七年级数学上册有理数--绝对值问题的解题策略与方法专题讲解.doc

绝对值问题的解题策略与方法

策略一去掉绝对值符号

根据绝对值的基本性质去掉绝对值符号，是解决绝对值问题的常用策略方法.

例1三个有理数。、b、c的积是负数，它们的和是正数，且工=回+叫+ M时，求a b c

代数式-x2016 + 2x + 2016的值.

分析由三个有理数。、b.。的积是负数，它们的和是正数，确定出负因数的个数,

\b\ c

然后可以把尤=口 + 口 + 一中的绝对值去掉，求出尤，再代入代数式求值.

a b c

解T a、b、c的积是负数，它们的和是正数，「・。、b、。必是一负两正.

不妨设ovO, Z?>0, c>0 ,

rll -a h c t

则尤=——+ —+ —= 1, a b c

..・原式=一12°】6+ 2 + 2016 = 2017.

例2关于工的方程尸_4|』+ 5 =，〃有四个全不等的实根，求实数机取值范围.

分析先分两种情况：工20和x<0去掉绝对值，再把方程左、右两边分别看作函数且作出图象，观察图象求解.

解设y = /_4尤+5,则

(1)当X 2 0 时，y = x2 -4x + 5;

(2)当x v()时，y = r +4尤 + 5.

作出〃=尤2一4工+5图象，如图1

图1

要使尤2 -4x+5 = m有四个全不相等的实根，需使函数Y >的图象与直线y - m有四

个不同的交点，由图象，可知1

策略二添加绝对值符号

利用后=叫2,把关于。的问题转化关于为的问题，可以达到出奇制胜的效果.

例3 解方S:X2-3|X|-10=0.

分析此题可以分尤20和尤vO两种情况，先去掉绝对值再解方程.若把原方程中的

F项的工添加绝对值符号，把原方程转化为关于|尤|的方程来解，则更简捷.

解方程可化为

”一3工一10 = 0

则(|x|-5)(|x| + 2) = 0,

乂 = 5 ,或国=一2（舍去）,

二工］=5 , X2=—5.

例4关于x的方程%2 - 2 x + 2 = zn有三个实根，求m的值.

解方程化为:旧_2同+ 2 =初,且设它的两个根为时,

原方程有三个实根，则孔，工，中必有一个大于0, —个等于0, 1 乙

把同=0代入原方程，得m = 2.

当〃2 = 2 时，x2—2 x = 0 ,

工=0, x = 2>0.

.・.工|=0,易=2，工3=一2，方程有三个实根，..・，〃 =2即为所求.

策略三运用绝对值的几何意义

a\是数轴上表示数。的点与原点的距离，\x-a\是数轴上表示数x的点与表示数。的点的距离.运用绝对值的儿何意义，可以使绝对值问题得到巧解.

例5 解方程|x+l| + |x-2| = 5.

分析此题分三种情况x<-l, -1<^<2和工>2进行讨论，去掉绝对值符号，可以解此方程.如果用绝对值的几何意义，便可以直接得出其解.

解工+1 +工-2 =5是数轴上表示数工的点到表示-1和2的点的距离之和，由此得

方程的解为再=一2, = 3.

1 J

例6若|x + 2| + |l-x| = 9-|y-5|-|l + >?|,求x+y的最大值和最小值.

分析利用绝对值的儿何意义，先可以确定|尤+ 2| + |工一1|、伯一5| + |），+ 1|的范围，从而找到解题思路.

解把条件整理，得

x + 2|4- x-1 + 5 + g + l| = 9

根据绝对值的几何意义，得

x + 2| + |x-l|>3,当一2

侦—5+伯+ 1|>6,当—时，取等号.

故有x + 2 + x—1 = 3,

当x = -2, y = -1时，有最小值为一3;

当x = \ , y = 5时，工+>有最大值为6.

策略四运用绝对值的非负性

。20,即。是一个非负数，运用绝对值的非负性解有关绝对值问题，也是一种常用的策略方法.

例7若(ab - 2)2,与人一1互为相反数，求二+ --------------- + ------------- +

ah (a +1)(/? + 1) (。+ 2)(/? + 2)

+ ------------------ 的值.

(。+ 2015)俗 + 2015)

解•.•（泌—2），与/? —1互为相反数,

：• (ab — 2)~ + /? — 1 — 0

.•・原式=—!—+ 1

1x2 2x3 2016x2017

=( ------ )+ ( ----- ) + •,• + ( --------------- )

1 2 2 3 2016 2017

__ 2016

_ 1-2017 ~ 2017

例8若关工的方程|%2-6% + 8| = «恰有两个不等实根，求实数。的取值范围.

分析先作函数y =、2_6x + 8的图象，再根据绝对值的非负性，位于x轴上方的部分不变，把位于工轴下方的部分沿工轴对折上去，就得到y = |x2-6x + 8|图象.

y

2

~0\~~1 ~2~3~4 ~~5~x 图 2

解在同一坐标系中作出函数y=r_6x + 8与y 的图象，如图2.

由图可知，当。>1或。=0时，函数y = x2 -6x + 8与V = Q的图象有旦只有两个交

故当。> 1或“=0时，关于的方程|x2-6x + 8| = tz恰有两个不等实根.

策略五运用绝对值的不等式性质

绝对值问题常用到两个重要不等式：

(1) a - \b\ < a±b\< a + 网;

(2) a -|/?|| < a±b\.

例9若有理数。，b , c满足：

a-2b\<6 f \b-c < 7 , \a-b-c = 13 ,求一 + 的值.

解,/ 13 = a-b-c

<。一2/?|+

<6 + 7 = 13

ci —+ “ - c'| = 13.

例10设y = x-1 - x + 5，求y的最大值和最小值.