高一数学(人教A版)必修4课件：第三章 三角恒等变换
cosθ＋sinθ cosθ－sinθ ＝ 2 2 ＋ cosθcos θ－sin θ cosθcos2θ－sin2θ 2cosθ 2 ＝cosθ· cos2θ＝cos2θ.
专题二 三角函数的求值 三角函数的求值有三种类型： (1)给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给 角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化 为求特殊角的三角函数问题；(2)给值求值：给出某些角的三 角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在 于“变角”，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．把 所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨
故cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα 11 1 5 3 4 3 1 ＝(－ )× ＋ × ＝ . 14 7 14 7 2
专题三 三角恒等式的证明 1．三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件 的恒等式证明和条件恒等式证明． (1)不附加条件的恒等式证明． 就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这 是三角变换的重要思想之一．证明的一般思路是由繁到简， 如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过 渡．
(2)条件恒等式的证明． 这类问题的解题思路是恰当、适时地使用条件，或仔细 探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是 代入法和消元法．
2．证明三角恒等式常用的方法． (1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等； 在证明过程中，时刻“盯”住目标，分析其特征，时刻向着 目标“奔”． (2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子． (3)把要证的等式进行等价变形． (4)作差法，证明其差为0.
23＋cos4x 1 求证：tan x＋tan2x＝ . 1－cos4x
2
[分析]
本题目中角有x、4x，函数名称有切、有弦．证
明可从左到右，或从右到左，统一角，统一函数名称．
[证明]
4 4 sin2x cos2x sin x＋cos x 左边＝ 2 ＋ 2 ＝ cos x sin x sin2xcos2x
sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x ＝ 1 2 4sin 2x 1 2 1 2 1－2sin 2x 1－2sin 2x ＝ 1 ＝1 sin22x 1－cos4x 4 8 8－4sin22x 4＋4cos22x ＝ ＝ 1－cos4x 1－cos4x
4＋21＋cos4x ＝ 1－cos4x 23＋cos4x ＝ ＝右边． 1－cos4x 原式得证．
· sin(α＋φ)，其中tanφ＝
b a
或asinα＋bcosα＝
a a ＋b · cos(α－φ)，其中tanφ＝ . b
[特别提醒] 化简的基本思想方法是统一角、统一三角 各个名称． 1＋3tanθ 3＋5tanθ 化简： － 2cos2θ＋sin2θ－1 cos2θ－4sin2θ－4
[解析]
数学人教A版 ·必修4
第三章
三角恒等变换
第三章
章末归纳总结
三 角 恒 等 变 换
专题一
三角函数式的化简
1．三角函数式化简的基本原则： (1)“切”化“弦”． (2)异名化同名 (3)异角化同角． (4)高次降幂． (5)分式通分． (6)无理化有理． (7)常数的处理(特别注意“1”的代换)．
1＋3tanθ 原式＝ 2 ＋ cos θ－3sin2θ＋2sinθcosθ
3＋5tanθ 3cos2θ＋5sin2θ＋8sinθcosθ cosθ＋3sinθ 3cosθ＋5sinθ cosθ cosθ ＝ ＋ cosθ＋3sinθcosθ－sinθ 3cosθ＋5sinθcosθ＋sinθ 1 1 ＝ 2 ＋ cos θ－sinθcosθ cos2θ＋sinθ· cosθ
2．三角函数式化简的基本技巧． (1)sinα，cosα→凑倍角公式． (2)1± cosα→升幂公式． π α α2 (3)1± sinα化为1± 2± cos( α)，再升幂或化为(sin2± 2) . cos (4)asinα＋bcosα→辅助角公式asinα＋bcosα＝ a2＋b2
2 2
专题五 数学思想(转化与化归思想) 本章的主要内容是三角恒等变换，因此等价转化思想在 本章得以充分体现．在进行三角函数的化简、求值、证明 时，常常需要进行转化、包括式子的结构形式的转化、式子 中角的转化以及不同三角函数之间的转化．
sin2x＋2sin2x π 3 17 7 若cos( 4 ＋x)＝ 5 ， 12 π<x< 4 π，求 的 1－tanx 值． [分析] π π π π 注意x＝( ＋x)－ ，及2x＝2( ＋x)－ 的两变 4 4 4 2
2sinxcosx＋2sin2x ∴原式＝ 1－tanx 7 2 2 7 22 2－ · － ＋2－ 10 10 10 ＝ 1－7 28 ＝－ . 75
＝3cos2x－ 3sin2x＋3 3 1 ＝2 3( cos2x－ sin2x)＋3 2 2 π ＝2 3cos(2x＋6)＋3， 故f(x)的最大值为2 3＋3； 2π 最小正周期T＝ 2 ＝π.
π (2)由f(α)＝3－2 3，得2 3cos(2α＋ )＋3＝3－2 3， 6 π 故cos(2α＋ )＝－1. 6 π π π π 又由0<α<2，得6<2α＋6<π＋6， π 5 故2α＋6＝π，解得α＝12π. 4 π 从而tan5α＝tan3＝ 3.
[解析]
∵α、 β均为锐角，∴0<α＋β<π.
11 又cos(α＋β)＝－14 ∴sin(α＋β)＝ 又tanα＝4 3 sin2α tan2α 48 2 ∴sin α＝ 2 . 2 ＝ 2 ＝ 49 sin α＋cos α 1＋tan α 4 3 1 2 ∴sinα＝ 7 ，从而cosα＝ 1－sin α＝7， 11 2 5 3 1－－14 ＝ 14 .
设f(x)＝6cos2x－ 3sin2x. (1)求f(x)的最大值及最小正周期； 4 (2)若锐角α满足f(α)＝3－2 3，求tan5α的值． [分析] 将f(x)化成一角一函数的形式，再用y＝Asin(ωx
＋φ)的性质作出解答．
[解析]
1＋cos2x (1)f(x)＝6· － 3sin2x 2
论；(3)给值求角：实质上是转化为“给值求值”，关键也是 变角，把所求角用含有已知角的式子表示，由所得的函数值 结合该函数的单调性求得角．
11 已知tanα＝4 3，cos(α＋β)＝－14 ，α、β均为锐 角，求cosβ的值． [分析] 利用β＝(α＋β)－α进行角的代换，则cosβ＝
cos[(α＋β)－α]，利用公式展开，结合已知条件求解．
专题四 三角恒等变换 三角恒等变换是三角函数的重要内容，搞清公式间的关 系是学习的关键．对于和、差角的三角函数公式，关键是弄 清楚角的变化，从整体上把握公式，既要学会正向运用，也 α 要学会逆向运用；对于倍、半角公式，可从α与 之间的关系 2 出发思考，通过这种关系的思考而建立函数式之间的联 系．对于和积互化公式，应抓住公式特点进行变形，辅助角 公式则是应用较为广泛的公式，讨论三角函数的最值、周 期、单调性等性质时，常使用此公式变换．
换，就有以下的解法．
;x<4π，∴3π<x＋4<2π.
π 3 π 4 又∵cos(4＋x)＝5，∴sin(4＋x)＝－5， π π ∴cosx＝cos[( ＋x)－ ] 4 4 π π π π ＝cos( ＋x)cos ＋sin( ＋x)sin 4 4 4 4 2 ＝－ ， 10 7 2 ∴sinx＝－ ，tanx＝7， 10
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高中数学 必修四 课件：第三章 三角恒等变换
或asinα＋bcosα＝
a2＋b2·cos(α－φ)，其中tanφ＝ab.
第三章 章末归纳总结
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[特别提醒] 化简的基本思想方法是统一角、统一三角 各个名称．
化简：2cos21θ＋＋3stainn2θθ－1－cos2θ3－＋45stainn2θθ－4
第三章 章末归纳总结
[分析] 利用β＝(α＋β)－α进行角的代换，则cosβ＝ cos[(α＋β)－α]，利用公式展开，结合已知条件求解．
第三章 章末归纳总结
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[解析] ∵α、 β均为锐角，∴0<α＋β<π. 又cos(α＋β)＝－1114 ∴sin(α＋β)＝ 1－－11142＝5143. 又tanα＝4 3 ∴sin2α＝sin2αsi＋n2cαos2α＝1＋tanta2nα2α＝4489. ∴sinα＝473，从而cosα＝ 1－sin2α＝17，
第三章 章末归纳总结
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专题一 三角函数式的化简 1．三角函数式化简的基本原则： (1)“切”化“弦”． (2)异名化同名 (3)异角化同角． (4)高次降幂． (5)分式通分． (6)无理化有理． (7)常数的处理(特别注意“1”的代换)．
第三章 章末归纳总结
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若cos(
π 4
＋x)＝
3 5
，
17 12
π<x<
7 4
π，求
sin2x＋2sin2x 1－tanx
的
值．
[分析]
注意x＝(
π 4
＋x)－
π 4
，及2x＝2(
高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
明目标、知重点
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
高一数学人教A版必修四课件：第三章 《三角恒等变换》3 章末高效整合 课件资料
数 学 必修3
第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
第三章
三角恒等变换
数 学 必修3
第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
知能整合提升
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第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
1．记忆和(差)角公式，明晰公式间的关系 (1)公式 C(α－β)是由向量数量积的坐标表示推导出来的， 体现了向量的工具性． (2) 公 式 C(α ＋ β) 是 推 导 其 他 公 式 的 出 发 点 ， 公 式 S(α ＋ β) 就 是 转 化 为
π π 1 ∴sin4＋α· cos4＋α＝ ， 6 π 1 sin2＋2α＝ ，即 3
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第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
热点考点例析
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第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
三角函数式的求值 三角函数的求值有三种类型： (1)给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关 系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题． (2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题的关键在于“变角”，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．把所求角用 含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论．
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第三章
三角恒等变换
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解析：
1 1 (1)由 sin x＋cos x＝ ，平方得 1＋sin 2x＝ ， 5 25
第三章
三角恒等变换
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第三章
三角恒等变换
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第三章
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知能整合提升
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第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
1．记忆和(差)角公式，明晰公式间的关系 (1)公式 C(α－β)是由向量数量积的坐标表示推导出来的， 体现了向量的工具性． (2) 公 式 C(α ＋ β) 是 推 导 其 他 公 式 的 出 发 点 ， 公 式 S(α ＋ β) 就 是 转 化 为
π π 1 ∴sin4＋α· cos4＋α＝ ， 6 π 1 sin2＋2α＝ ，即 3
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第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
热点考点例析
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第三章
三角恒等变换
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
三角函数式的求值 三角函数的求值有三种类型： (1)给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关 系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题． (2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题的关键在于“变角”，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．把所求角用 含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论．
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三角恒等变换
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解析：
1 1 (1)由 sin x＋cos x＝ ，平方得 1＋sin 2x＝ ， 5 25
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件-高一下学期数学人教A版必修4
OA ⋅ OB=|OA||OB| cos<a,b>=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
即：cos(α−β)=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
LOGO
（2）cos(α+β)= cos(α-(-β))
=cosα⋅cos(-β)+sinα⋅sin(-β)
又因为cos(-β)=cosβ，sin(-β)=-sinβ
A B
3
3
1
,则
3
1
，则tanacot
3
-
3
4
β=
3. 1
4. 5
5.A
，则tana=
C
tan( a+β )=
D
3
4
LOGO
6.已知cosa=
3
- ，且0＜a＜π，则sina=
5
1
3
7.已知tan( a+β )= ,，tan β=-2，则tana的值为（）
1
7
A
B
1
7
C 7
A
B
1
4
C
3
4
7. C
D -7
求证：tan(A+B)=
1−tanA+tanB
证明：tan(A+B)
将B换成-B会得到什么？
tan（-a）=-tana
sin A+B
=
cos A+B
sin A cos B+cos A sin B
=
cos A cos B−sin AB
分子分母分别除以cosAcosB(cosA不等于0,cosB不等于0)得：
11.在三角形ABC中，已知cosA=
人教A版高中数学高一必修4课件第三章三角恒等变换
章末复习提升
17
跟踪演练 2 已知 sinπ4＋αsinπ4－α＝61，α∈π2，π， 求1＋sinco4sα2α的值. 解 ∵sinπ4＋αsinπ4－α＝16， ∴sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，sinπ2＋2α＝13，
章末复习提升
18
即 cos 2α＝31.
又 α∈π2，π，2α∈(π，2π)，
∴sin 2α＝－ 1－cos22α＝－
1－132＝－2
3
2 .
章末复习提升
19
∴1＋sinco4sα2α＝2sin12＋α·ccooss 1＋ 2
22αα＝2×1－＋213＋2213×13
＝－4152.
章末复习提升
20
题型三 三角恒等式的证明 三角恒等式的证明主要是利用sin2α＋cos2α＝1， sin α ＝
∴|ka＋b|2＝|a－kb|2.
∴2kcos(α－β)＝－2kcos(α－β).
∵k≠0，∴cos(α－β)＝0.
∴cos(β－α)＝0.
又∵0<α<β<π，
∴β－α＝π2.
章末复习提升
31
跟踪演练 4 设函数 f(x)＝a·b，其中向量 a＝(2cos x,1)，
b＝(cos x， 3sin 2x).若 f(x)＝1－ 3，且 x∈－π3，π3，求 x. 解 由题设 f(x)＝2cos2 x＋ 3sin 2x ＝1＋cos 2x＋ 3sin 2x＝2sin2x＋6π＋1. 若 f(x)＝1－ 3，则 2sin2x＋π6＝－ 3，
章末复习提升
32
即
sin2x＋6π＝－
3 2.
∵x∈－π3，π3，
∴2x＋π6∈－π2，56π.
高一数学人教A版必修4课件：第三章 三角恒等变换 章末整合
类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.要注意角的范围; (3)“给值求角”,本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在求 出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围.
预习新知
专题一 专题二 专题三
导学探究
触类旁通
【例 2】 求值:sin 50°· (1+ 3tan 10°). 解 :方法一 :原式 =sin 50° 1 + 3 =sin 50° · =sin 50° · =sin 50° ·
cos60 °cos10 °
=
1 cos10 2
°
=
cos10 °
=1.
预习新知
专题一 专题二 专题三
导学探究
触类旁通
迁移应用 2 A.1 tan28 °
sin2 002°sin2 008°-cos6 °
sin2 002°cos2 008°+sin6 ° 1
的值是
(
)
B.
C.-tan 28° 答案 :A 解析 :原式 = =
预习新知
导学探究
触类旁通
预习新知
专题一 专题二 专题三
导学探究
触类旁通
专题一
三角函数式的化简
三角函数的化简,主要有以下几类:(1)对三角的和式,基本思路是降幂、消项和 逆用公式;(2)对三角的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成 整式或数值;(3)对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现 的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”; 角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段.
=-
°
=-
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专题一 专题二 专题三
导学探究
触类旁通
【例 2】 求值:sin 50°· (1+ 3tan 10°). 解 :方法一 :原式 =sin 50° 1 + 3 =sin 50° · =sin 50° · =sin 50° ·
cos60 °cos10 °
=
1 cos10 2
°
=
cos10 °
=1.
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专题一 专题二 专题三
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触类旁通
迁移应用 2 A.1 tan28 °
sin2 002°sin2 008°-cos6 °
sin2 002°cos2 008°+sin6 ° 1
的值是
(
)
B.
C.-tan 28° 答案 :A 解析 :原式 = =
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导学探究
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专题一 专题二 专题三
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触类旁通
专题一
三角函数式的化简
三角函数的化简,主要有以下几类:(1)对三角的和式,基本思路是降幂、消项和 逆用公式;(2)对三角的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成 整式或数值;(3)对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现 的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”; 角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段.
=-
°
=-
人教A版高中数学必修4课件：3-1-2-2两角和与差的正切公式
和的正切形式．(2)可以直接利用公式的变形，口答得 出结果，若在选择填空中，可以套入结论处理．
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第三章·3.1·3.1.2·
系列丛书
【解】
1＋tan15° tan45° ＋tan15° (1) ＝ 1－tan15° 1－tan15° tan45°
＝tan(45° ＋15° )＝tan60° ＝ 3. tanα＋tanβ (2)由tan(α＋β)＝ 的变形 1－tanαtanβ tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)得： tan10° ＋tan35° ＝tan45° (1－tan10° tan35° ) ＝1－tan10° tan35° ， 所以tan10° ＋tan35° ＋tan10° tan35° ＝1.
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第三章·3.1·3.1.2·
系列丛书
重点难点
重点：记住并会应用两角和与差的正切公式； 难点：灵活运用公式进行求值、化简、证明.
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第三章·3.1·3.1.2·
系列丛书
预习篇01
新知导学
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第三章·3.1·3.1.2·
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第三章·3.1·3.1.2·
系列丛书
3－tan105° tan60° －tan105° 解析：(1) ＝ ＝tan(－45° ) tan105° 1＋ 3tan105° 1＋tan60° ＝－1. tanα＋tanβ π (2)∵α＋β＝3，∴tan(α＋β)＝ ＝ 3， 1－tanαtanβ ∴tanα＋tanβ＋ 3tanαtanβ＝ 3， ∴tanα＋ 3tanαtanβ＋ 3c ＝ 3－tanβ＋ 3c＝0， ∴tanβ＝ 3(c＋1)．
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关
人教版高一数学 A版 必修4 教学课件：第三章 三角恒等变换 章末复习课
＝－t－122＋54.
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最
值及取到最值时x的值.
解 设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
此时，由 sinx＋π4＝－ 22， 解得 x＝2kπ－π 或 x＝2kπ－π2，k∈Z. 当 t＝ 2，即 sin x＋cos x＝ 2时，f(x)max＝ 2＋12.
此时，由 2sinx＋π4＝ 2，sinx＋π4＝1. 解得 x＝2kπ＋π4，k∈Z. 综上，当 x＝2kπ－π 或 x＝2kπ－π2，k∈Z 时，f(x)取得最小值，f(x)min ＝－1；当 x＝2kπ＋π4，k∈Z 时，f(x)取得最大值，f(x)max＝ 2＋12.
第三章 三角恒等变换
内容 索引
01 理网络
明结构
探题型 提能力
02
03
04
理网络·明结构
理网络·明结构
探题型·提能力 题型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用
给值求值的重要思想是沟通已知式与待求式之间的联系，常常 在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，
如α＝2·α2，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－ β)]，β＝12 [(α＋β)－(α－β)]等.
出来(如例2令sin x－cos x＝t).
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x－cos x＝t，
则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]，
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最
值及取到最值时x的值.
解 设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
此时，由 sinx＋π4＝－ 22， 解得 x＝2kπ－π 或 x＝2kπ－π2，k∈Z. 当 t＝ 2，即 sin x＋cos x＝ 2时，f(x)max＝ 2＋12.
此时，由 2sinx＋π4＝ 2，sinx＋π4＝1. 解得 x＝2kπ＋π4，k∈Z. 综上，当 x＝2kπ－π 或 x＝2kπ－π2，k∈Z 时，f(x)取得最小值，f(x)min ＝－1；当 x＝2kπ＋π4，k∈Z 时，f(x)取得最大值，f(x)max＝ 2＋12.
第三章 三角恒等变换
内容 索引
01 理网络
明结构
探题型 提能力
02
03
04
理网络·明结构
理网络·明结构
探题型·提能力 题型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用
给值求值的重要思想是沟通已知式与待求式之间的联系，常常 在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，
如α＝2·α2，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－ β)]，β＝12 [(α＋β)－(α－β)]等.
出来(如例2令sin x－cos x＝t).
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x－cos x＝t，
则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]，
高中数学人教版必修四配套课件第1部分第三章32简单的三角恒等变换
(2)求f(x)的单调递增区间．
返回
解：(1)由sin x≠0得，x≠kπ，k∈Z，
所以定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．
f(x)＝（sin
x－cos x）2sin sin x
xcos
x＝2sin
xcos
x－2cos2x
＝sin 2x－cos 2x－1＝ 2sin(2x－π4)－1
所以最小正周期T＝22π＝π.
返回
(3)降幂与升幂．由 C2α 变形后得到 sin2α＝12(1－cos 2α)，cos2α ＝12(1＋cos 2α)，运用它就是降幂．
反过来，直接运用倍角公式或变形公式 1＋cos 2α＝2cos2α，1 －cos 2了已知角与未知角之间的联 系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：
（sin 2|cos
2α2α－|＋cos2|sα2in）2α2|，
∵π<α<32π，
∴π2<α2<34π，
∴cos
α2<0，sin
α 2>0.
返回
∴原式＝－（2s（ins2iαn＋α2c＋oscoα2s）α22）＋
（sin α2－cos α2）2 2（sin α2－cos 2α）
sin ＝－
α2＋cos
所以S矩形PQCR＝PQ·PR
＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)
＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ
(4分) (7分)
返回
令t＝sin θ＋cos θ(1≤t≤ 2)，则sin θcos θ＝t2－2 1，
所以S矩形PQCR＝10
[思路点拨] 可设∠PAB＝θ，并用θ表示PR，PQ， 建立面积的函数关系式，再求其最大值、最小值．