数理方程1 (1)
数理方程练习题(1)
一、填空题1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。
2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0x x y yu u+=，(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；二、选择题1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］(A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ()220y xxxxy u x yuu +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题()()()()()()2,0,00,,0,0,,0tt xx x x t u a u t x lu t u l t u x x u x xϕφ⎧=><<⎪==⎨⎪==⎩的形式解可写成［ D ］(A) ()01,coscos2n n a n at n x u x t a ll ππ∞==+∑(B) ()001,coscosn n n at n x u x t a b t a llππ∞==++∑(C) ()0,cos sin cos n nn n at n at n x u x t a b l l l πππ∞=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑(D) ()001,cos sin cos n n n n at n at n xu x t a b t a b l llπππ∞=⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑ 4. 若非齐次边界条件为12(0,)(),(,)()x u t t u l t t μμ==，则辅助函数可取［C ］ (A) ()()12(,)W x t t x t μμ=+； (B) ()()21(,)W x t t x t μμ=+； (C) ()()()12(,)W x t x l t t μμ=-+； (D) ()()()21(,)W x t x l t t μμ=-+；三、求解下列问题（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞ ，其中a 为常数。
数理方程知识点总结
数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。
数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。
一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。
求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。
具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。
（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。
算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。
数理方程（ＰＤＦ）
un( x, t )
=
( An
cos
naπt
l
+
Bn
sin
naπt
l
)
sin
nπx
l
=
Nn
sin(ωnt
+
Sn )sin
nπx
l
其中
Nn
=
( An2
+
Bn2
)
1 2
,
Sn
=
arctg
An Bn
,
ωn
=
nπ a l
特点
最大振幅
初位相
频率
⑴ 弦上各点的频率 ωn 和初位相 Sn 都相同，因而没 有波形的传播现象。
+
Sn )sin
nπx
l
u其有⑴ 特(x中弦点,t 上)N是各n最由=点大无(u振的A穷(幅nx2频多,+t率)个B=nω2振∑)n12 幅,∞n=S和、1n初u初频=n位(位率a相xr,、相ctSt)gn初BAnn位, 相ω都频n各率相=不同nπ相l，a 同因的而驻没
波波⑵叠形弦加的上而传各成播点。现振象幅。| N
⑵ 弦上各点振幅
|
Nn
sin
nπx
l
|
，因点而异 节点
在
x
=
0
,
l n
,
2l n
,...
(n−1)l n
,l
处，振幅永远为0
腹点
在
x
=
l 2n
,
3l 2n
,...
(2
n−1)l 2n
处，振幅最大,为
Nn
un( x, t )
=
数理方程第1讲
CDx
v+Dv
x+Dx
10
L—每一回路单位的串联电感; C—每一单位长度的分路电容. i LDx v x CDx i+Di
v+Dv x+Dx
11
i v (v Dv) LDx t v i L x t
i LD x v x CDx i+Di
(1.4)
v+Dv x+Dx
12
div D (1.11) J—传导电流面密度,—电荷的体密度.
26
D rot H J t B rot E t div B 0 div D
(1.8) （ 1.9) (1.10) (1.11) (1.12)
D E B H J E
(1.13) (1.14)
1
第一章 一些典型方程和定解条件的推导 §1.1 基本方程的建立
2
例1 弦的振动 设有一根均匀柔软的细弦, 平衡时沿直线拉紧, 而且除受不随时间而变的张力作用外, 不受外 力影响. 下面研究弦作微小横向振动的规律. 所谓"横向"是指全部运动出现在一个平面上, 而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动. 所谓"微小"是指的振动的幅度及弦在任意位 置处切线的倾角都很小, 以致它们的高于一次 方的项都可略而不计.
32
例4 热传导方程 在物体中任取一闭曲面S, 它所包围的区域记 作V. 假设在时刻t区域V内点M(x,y,z)处的温度 为u(x,y,z,t), n为曲面元素DS的法向(从V内指向 V外). 由传热学中傅里叶实验定律可知, 物体在无穷 小时间段dt内, 流过一个无穷小面积dS的热量 dQ与时间dt, 曲面面积dS, 以及物体温度u沿曲 面dS的法线方向的方向导数三者成正比
数理方程 - 01 - 数理方程绪论
2015/10/13
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通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
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例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
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受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
《数理方程》第一讲
通过Ω 的边界流出Ω 外的热量为Q2 ， Ω 内温度变化所需要的热量为 Q3 。
10
9.1.2 热传导方程的导出
则
Q1
Q1 Q2 Q3
t2 t1
1.6
F ( x, y, z, t )dVdt
1.7
由热力学的Fourier实验定理得：
t2 u u dQ 2 k d dt Q2 k d dt t1 n n
1.13
16
9.1.2 热传导方程的导出
可得
U U 2U R GU C t L G t C t2 2U 2U U LC RC LG RGU 2 2 t x t 2U I 2I I U R L 2 x IR L t t t t x2 I I U 2U U 2 G C GU C x xt x t x
20
9.1 典型方程的建立
三类典型方程： 波动方程 热传导方程 Poisson方程
utt a 2 u f
ut a 2 u f
u g
21
9.2
定解条件与定解问题
utt a2 u f ut a2 u f
u g 三类方程 如果有解，则其解应该不唯一。 在这众多的解中确定出所需要的解，还需要 增加另外的条件，即定解条件，使之成为定 解问题，在此条件下，再来讨论适定性，即 存在性、唯一性和稳定性。
Q3
t2 t1
u u u k ( cos cos cos )dSdt t1 x y z t2 2u 2u 2u Q2 k 2 2 dvdt 2 t1 y z x
数理方程第1讲-69页PPT资料
4
方程(1.1)是在自变量x1,x2, …的n维空间Rn 中的一个适 当的区域D内进行考察的，我们要求能找出在D内恒 满足方程(1.1)的那些函数u。如果这种函数存在，那
和时间无关。弦是柔软有弹性的，即它不能抵抗弯矩， 因此在任何时刻弦的张力T总是沿着弦的切线方向。
u
F
△x
Q T
P
a
T
N
O
x
N'
x+△x
x
13
或
综合上述分析，由牛顿第二定律可得
a T si T n si F n x x ttu( 1 . 3 )
又 tanaux ，故 sia n taan ux 1ta2na 1ux2
，薄膜所形成的曲面方程为u=u(x,y)。
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
3. 线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知 函数及它的所有偏导数来说都是线性的，且方程中 的系数都仅依赖于自变量，那么这样的偏微分方程 就称为线性偏微分方程。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
6
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
研究生课程数理方程(1)
(4n 2n)! n!(2n n)!0!
(1)n (2n)! 22n (n!)2
(3.1.5)
P2n1 (0) 0
(3.1.6)
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前几个勒让德多项式在 [-1，1]上的图形如图所示。
第三章 第一节
Pn (x) P0 (x) P1 ( x)
P4 (x)
P2 (x)
O
P3 (x)
x
x
2
)
n
k
(1)
k
k 0
n
(1) k
k 0
n!
x2n2k
k!(n k)!
可得n阶勒让德多项式的一般形式：
n
Pn
(
x)
2
k 0
2n
(1) k!(n
k (2n 2k k)!(n
)! 2k
)!
xn2k
（3.1.2）
其中
n 2
表示
n 2
的整数部分，从而有 ：
上页 下页 返回
第三章 第一节
P2n ห้องสมุดไป่ตู้x)
Pn
(x)
1 dn 2n n!dxn
(x2 1)n
,
n=0,1,2……
（3.1.1）
式（3.1.1）通常称为罗德利格斯（Rodrigues）表达 式，因此可以将前几个勒让德多项式具体写出来：
P0 (x) 1, P1(x) x,
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第三章 第一节
P2(x)
1 d2 222! dx2
第三章第三章第一节第一节上页上页上页下页下页下页返回返回返回313316第三章第三章第一节第一节上页上页上页下页下页下页返回返回返回前几个勒让德多项式在11上的图形如图所示
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一、波动方程(弦振动方程)
问题1：均匀弦的微小横振动
u T2
数理方程
u ( x, t )
2 C
B
1
T1
utt a2uxx 0
a T/
自由振动方程
A
x x dx
2
x
utt a uxx f ( x, t ), f ( x, t )
F ( x, t )
受迫振动方程
数理方程
扩散强度：扩散运动的强度可用扩散强度 q 表示，也即定义为单位时间内通过 单位横截面积的原子或分子或质量。
扩散定律： q Du
dz
z
( x dx, y dy, z dz )
ut a 2 2 u F ( x, y, z; t )
输运方程
y
dy ( x , y , z ) dx
x
数理方程
问题2：热传导方程 类似于扩散，温度不均匀时，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这 就是热传导问题。此时要研究的是温度在空间的分布和随时间的变化 u (x , y , z ; t ) 热传导定律 :
q ku
数理方程
数学物理方程
Equations of Mathematical Physics
主讲：王 正 斌
南京邮电大学 、 理学院、应用物理系
:
wangzb@
答疑：周三中午11：30～13：00，教2＃426
数理方程
Refrences：
1.《数学物理方法》(第三版)，梁昆淼 编 2.《矢量分析与场论》(第三版)，谢树艺 3.《数学物理方程的MATLAB解法与可视化》 彭芳麟 4.《微分方程》
Ett a 22 E 0
数理方程
二、输运方程
问题1：扩散方程
数理方程
扩散：就是由于浓度的不均匀使得物质从浓度高的地方流入浓度低的地方； 应用：制作半导体器件就是常用扩散法；
扩散梯度：在扩散问题中研究的是浓度 u 在空间中的分布和随时间的变化
u ( x, y, z; t ) 那么浓度的不均匀程度可以用浓度梯度 u 表示；
对于半导体器件的开发，引进了粒子“扩散和输运”的概念，很多数学理论和方 法在物理科学与技术领域都找到了归宿，数学与物理的亲缘关系越来越明显。 数学物理方法就这样应运而生了。
数理方程 物理的实践验证观点经常被数学所运用。同理， 数学的严谨 推理和周密分析方法也应为物理所借鉴 数理方程分类
波动方程 (双曲型偏微分方程) 线性偏微分方程 输运方程 (抛物型偏微分方程) 恒定场方程(椭圆型偏微分方程) 线性积分方程
数理方程 1.2、数学物理方程的导出
数学物理方程是把物理规律用数学语言表达出来（物理问题的 数学建模）
数学物理方程的导出步骤为：
(1) 首先确定所研究的物理量 u ( x,
y, z , t )
(2) 根据物理规律分析微元和相邻部分的相互作用(抓住主要 影响，忽略次要影响)，这种相互作用在一个短时间段里如何 影响物理量 u (3) 用数学语言表达出这种相互影响，经简化整理就得到数 学物理方程。
是所谓的个性。例：半导体扩散工艺有两种工艺，一种是“恒定
表面浓度扩散”；另一种是 “限定源扩散”
数理方程
边界条件：为了求解具体的物理问题，还要研究物理量受周围环境的影响，而 周围环境影响总是通过边界才传给研究对象的，因此周围环境的影响体现于边 界所处的物理状况，这就是边界条件。 初始条件：为了求解物理量随时间的变化问题，还要考虑研究对象的特定历 史，也就是早先某个所谓的初始状态，也即初始条件。 定解问题：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和历史，也即个性。 在数学上，边界条件和初始条件合称为定解条件。把在给定的定解条件下求解数 学物理方程称为数学物理定解问题或简称为定解问题。
5.《高等数学》
数理方程
Warnings and Announcements
•Reading this book impairs your ability to drive a car or operate machinery. •This book has been found to cause drowsiness in laboratory animals.
电报方程
a 2 1/( LC )
理 想 传 输 线
数理方程
问题3：电磁波波动方程
E
k
H
D H J t
Maxwell Equations
结构方程
B 0 D D E
B H
B E t
Htt a 22 H 0
问题2：传输线方程 u ( x, t );
Rdx
Ldx
j ( x, t )
Cdx
Gdx
x
x dx
LCjtt j xx ( LG RC ) jt RGj 0 LCutt u xx ( LG RC )u t RGu 0
2 j a jxx 0 tt 2 u a u xx 0 tt
线性方程
数 理 方 程
数学角度
线性微分积分方程
非线性方程
数理方程 1.1、概述
共性：数理方程是把物理规律用数学语言描述出来，也就是研究
某个物理量在空间的分布规律和随时间变化的规律。简单地说， 就是用数学物理方程表达物理规律。这种物理规律反映的是同一 类物理现象的共同规律，也就是所谓的共性。 泛定方程：在数学上同一类物理现象的共性称为泛定方程。 个性：但同一类物理现象中，各个具体问题又具有特殊性，也就
•Caution: FLAMMABLE - Do not read while smoking or near a fire.
数理方程
数理方程这门学科的由来: 20世纪，物理学的基本概念和技术已经被应用到自然科学所有领域。 现在，物理学的原理、方法不仅在天文、地理学科有着广泛的应用，而且在 生命科学、环境科学、化学化工、信息科学等领域也出现了很大程度上的交 叉互融。物理学已经成为自然科学发展的重要基石。 随着科学的发展，对物理学提出了更高的要求。对于物理场及相关物理量 的描述，引进了数学中的偏微分方程。对于原子描述，引进了球函数的概念，