数理方程版课后习题答案
数理方程 习题答案
数理方程习题答案数理方程习题答案数理方程是数学中一门重要的学科，它研究的是各种各样的方程。
在学习数理方程的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解习题，我们可以加深对数理方程的理解，掌握解题的方法和技巧。
在这篇文章中，我将为大家提供一些数理方程习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 求解方程：2x + 5 = 17。
解：将方程化简，得到2x = 17 - 5，即2x = 12。
再将等式两边同时除以2，得到x = 6。
所以方程的解为x = 6。
2. 求解方程组：2x + y = 73x - 2y = 4解：可以使用消元法来求解这个方程组。
首先，将第一个方程乘以2，得到4x + 2y = 14。
然后将第二个方程与这个结果相加，得到7x = 18。
再将等式两边同时除以7，得到x = 18/7。
将x的值代入第一个方程，可以求得y的值为y = 7 - 2x = 7 - 2(18/7) = 7 - 36/7 = 7/7 - 36/7 = -29/7。
所以方程组的解为x = 18/7，y = -29/7。
3. 求解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
解：可以使用因式分解法来求解这个二次方程。
首先，将方程化简，得到(x - 2)(x - 3) = 0。
根据乘积为零的性质，可以得到x - 2 = 0或者x - 3 = 0。
解这两个方程，可以得到x = 2或者x = 3。
所以方程的解为x = 2或者x = 3。
4. 求解三次方程：x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。
解：可以使用综合除法来求解这个三次方程。
首先，将方程按照降幂排列，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。
然后，尝试将方程的第一项x^3除以x的最高次数x^3，得到商为1。
将这个商乘以方程的所有项，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 - (x^3 - 3x^2 + 2x - 4) = 0。
化简这个等式，可以得到0 = 0。
数学物理方程第三版第一章答案(全)
数学物理方程第三版答案第一章． 波动方程§1 方程的导出。
定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程()⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。
现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。
在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆-+-∆++∆+θ令0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。
由虎克定律，张力),(t x T 等于),()(),(t x u x E t x T x =其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-∆+∆+利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu () 若=)(x s 常量，则得22)(tu x ∂∂ρ=))((x u x E x ∂∂∂∂即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x ux E t l T ∂∂=)(),(|lx =等于零，因此相应的边界条件为x u∂∂|lx ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。
数理方程习题解答
+
α
2 2
=
α32
+
α
2 4
，取单位特征方向，
α12
+
α
2 2
+ α32
+
α
2 4
= 1。所以，α12
+
α
2 2
= α32
+
α
2 4
=
1 2
。记
α1
=
1 2
cosθ ,
α2
=
1 2
sinθ ,α3
=
1 2
cosϑ,
α4
=
1 2
sinϑ
，则
α
=
⎛ ⎜⎝
1 2
cosθ ,
1 sinθ , 2
1 2
cosϑ,
则杆上各点 在时刻 的位移是
。
在杆上任取一段，其两端点静止时的坐标为
,此小杆段在时刻 的相对伸长
为： 律知张力为
，令
得 点在时刻 的相对伸长为ux (x, t) ，由 Hooke 定
，再此小杆段上用 Newton 第二定律得
两边同除 并令
得：
若杨氏模量为 为常数则得：
。
1 牛顿(Newton)第二定律与动量守恒定律等价，也可以用动量守恒定律来见方程，见《数学物理方程 讲义》 （姜礼尚、陈亚浙）P1
=
1 2
sinθ ,α3
=
±
1 sinθ ，则 2
α
=
⎛ ⎜⎝
cosθ
,
1 sinθ , ± 2
1 2
sin
θ
⎞ ⎟⎠
。
( ) 2 对波动方程utt − a2 uxx + uyy = 0 过直线l : t = 0, y = 2x 的特征平面。
数理方程第二版 课后习题答案教学教材
数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。
证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。
如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。
解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。
解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。
证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。
数理方程习题解答
d dx
k
(x)
dy dx
q(x)
y
(x)
y
0
在第一类齐次边界条件及自然条件下
特征函数系
Pm (r)
J
n
(
(n m R
)
r)
m 1, 2,...
R 0
rJ
n
(
(n) m R
r
)J
n
(
(n) k R
r)dr
0 mk
R2 2
J
2 n1
(m(n)
)
R2 2
J
2 n1
(
(n m
)
)
mk
设
① ② ①-②
J0 ( x)
贝塞尔函数的图象
J1(x)
J 2 ( x)
J3 ( x)
贝塞尔方程在第一 类边界条件下的 特征值和特征函数
r2P(r) rP(r) (r2 n2 )P(r) 0
P(r) rR 0
P(r) r0
Jn ( R) 0
R
(n) m
(m 1, 2,...)
(n) m
(
(n) m
贝塞尔函数的性质（4）
二维热传导物理问题
u
t
a2
2u x2
2u y 2
u t0 (x, y)
,
x2 y2 R2
u 0 x2 y2 R2
u(x, y,t) V (x, y)T (t)
T (t) a2T (y 2
V
0
V 0 x2 y2 R2
贝塞尔函数的性质（1）
第一类贝赛尔函数：
在整个数轴上收敛，在每个指定的点都
取有限值 第二类贝赛尔函数：
数学物理方程答案(全)
SY (ux (x dx,t) ux (x,t)) Sdxutt
utt
Y P
uxx
杆的一端固定，有 u(0,t) 0 ，另一端为自由端有 ux (x,l) 0
由于弦在出事时刻处于静止状态，即初速度为零，故 ut (0,t) 0
在 t 0 时刻，整个杆被纵向拉长 d ，则单位杆长的伸长量为 d ，故 x 点处的伸长 l
(3)特征方程为
4( dy )2 8( dy ) 3 0
dx
dx
解得
dy 3 和 dy 1 dx 2 dx 2
习题 2.2
1.一根半径为 r，密度为 ，比热为 c，热传导系数为 k 的匀质圆杆，如同截面
上的温度相同，其侧面与温度为 1 的介质发生热交换，且热交换的系数为 k1 。
试导出杆上温度 u 满足的方程。 解：
0
x
x+dx
取微元在 (x, x dx) 之间，在时间 t 内
x
从左右两截面流入的热量，有热传导方程可得
dT g dx 对上式进行积分,并且利用在 x 0 处的张力为T x0 gl 可求得 T (x) g(l x)
对于(2)式 sin2 tan2 ux (x dx,t) sin 1 tan 1 ux (x,t)
将上述结果代入(2)式得出
T (x dx,t)ux (x dx,t) T (x)ux (x,t) uttdx
2 x ux)
Y P
x
(x2
u x
)
1 x2
4.一根长为 L、截面面积为 1 的均匀细杆，其 x=0 端固定，以槌水平击其 x=L
端，使之获得冲量 I。试写出定解问题。
解：由 Newton 定律： SYux (x dx,t) YSux (x,t) Sdxutt ，其中，Y 为杨
数学物理方程第三版第一章答案(全)
数学物理方程第三版答案第一章． 波动方程§1 方程的导出。
定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程()⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。
现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。
在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆-+-∆++∆+θ令0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。
由虎克定律，张力),(t x T 等于),()(),(t x u x E t x T x =其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-∆+∆+利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu () 若=)(x s 常量，则得22)(tu x ∂∂ρ=))((x u x E x ∂∂∂∂即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x ux E t l T ∂∂=)(),(|lx =等于零，因此相应的边界条件为x u∂∂|lx ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。
数理方程课后习题(带答案)
u0 X0T0 B0A0 C0
0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
ABea2nl222t nn
cons l
xCea2nl222t n
cosn
l
x
un 0unC 0n 1Cnea2n l2 22tconlsx
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
由此可得：w (x)1
xt
dt
f()dC xA ,
a2 0 0
其中
C1 l(BAa 1 2 0 ldt0 tf()d),
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
然后用分离变量解
v(vt0,t)a2
2v x2 , 0, v(l,
t)
0,
0 x l,t 0 t 0
v(x,0) g(x) w(x), 0 x l
0xl1,0yl2 0yl2
u(x,0)0,u(x,l2)(x), 0xl1
uXY
XX0,
X(0)X(l1)0
0xl1
YY0
n n2 nl1 2,n1,2,3,L
n
Xn An sin l1 x
Yn
n2 2
l12
Yn
0
ny
ny
Yn Cnel1 Dne l1
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
un 1unn 1Cnenl1 yD nenl1 ysinnl1 x u(x,0)n 1CnDnsinnl1x0 u(x,l2)(x)n 1 C nenl1l2D nenl1l2 sinn l1x
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文档来
(4)式说明 和 在对应点 与 处的切线成固定角。
证毕
16. 如果曲线 的主法线是曲线 的副法线， 的曲率和挠率分别为 和 ，求证
，又设(C)
16 / 27
的曲率中心的轨迹为 ， 的曲率记为 ，根据题意， 的方程为文档来自于网络搜索 (1)式两边关于 求导，得
(4)式说明 的曲率 也是常数且 。
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13. 证明曲线(C)： 在平面的方程。文档来自于网络搜索 解：
证毕 为平面曲线，并求出它所
由上式可知，(C)为平面曲线。 令 ，则有
，则在区间 上处处有
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，从而
，于是
。证
5. 证明
具有固定方向的充要条件是
证：必要性：设
具有固定方向，则
。 可表示为
，其
中 为某个数量函数， 为单位常向量，于是
自于网络搜索
充分性：如果
，可设 ，令
。文档来 ，其中 为某个数量
函数， 为单位向量，因为
，于是文档来自于网络搜索
2 / 27
档来自于网络搜索
这个矛盾说明
，于是由(2)式可知，只能 ，曲线(C) 是平面曲
线。
证毕
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11. 证明：如果曲线的所有法平面都包含常向量 ，则此曲线是平面曲线。
证 1： 设曲线(C)的向量参数方程为：
，其中 为自然参数。(C)上任意一
点 P（P 点的向径为 ）处的基本向量为 ， ， 。因为(C)在 P 点处的法平面都
证：设曲线 的方程为
， ，其中 为 的自然参数，曲线 的方程
为
， ，其中 为曲线 的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则曲
线，于是曲线 上的点 和区间 内的参数 一一对应，曲线 上的点 和区间 内
的参数 一一对应，如果两条曲线的点 与 之间建立了一一对应关系，则对应的
参数 与 之间也建立了一一对应关系，从而文档来自于网络搜索
14 / 27
(2) (2)式中的 为(C)在 P 点处的挠率。
由(2)式可知，
或者
但
，因为如果
结合(1)式,可知
(3) (3)式两端关于 求导并利用 Frenet 公式，得：
与 共线，于是
(4)
(4)式中的 为(C)在 P 点处的曲率。因为 ，所以
，结合(3)知
同时与 和 共线，但这是不可能的，因为 和 是相互正交的单位向量。文
上任意一点 ，π与 轴的交点为
直线显然与 轴垂直相交，而其方程为文档来自于网络搜索
文档来
，过 与 的
这正是主法线的方程，故主法线和 轴垂直相交。
证毕
4．在曲线
的副法线的正向取单位长，求其端点
组成的新曲线的密切平面。文档来自于网络搜索
解：令
，则曲线的方程可表示为：
9 / 27
设 的副法线向量为 ，则有
主法线、副法线的方程。文档来自于网络搜索
7 / 27
解：
原点
对应于参数
,于是在 处，
密切平面的方程为 副法线的方程为 法平面的方程为： 切线的方程为
从切平面的方程为 主法线的方程为
8 / 27
3. 证明圆柱螺线 证：
的主法线和 轴垂直相交。
一方面，主法线的方程为
另一方面，过圆柱螺线
自于网络搜索
作平面π与 轴垂直，π的方程为
第一章 曲线论
§1 向量函数 1. 证明本节命题 3、命题 5 中未加证明的结论。 略
2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设 ， 为常向量，因为
所以
。
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3. 证明
证：
证毕文
文档来自于网络搜索
证毕 4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零， 则此向量在该区间上是常向量。文档来自于网络搜索
(5)
(5)式中
，否则，根据(3)式，
和
将同时成立，即 既与
平行，又与 垂直，这是矛盾。于是只能是 ，所以曲线(C) 是平面曲线。
证毕 文档来自于网络搜索
12. 证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率等于常数的曲线。
证：设曲率为常数 的空间曲线(C)的向量参数方程为：
，其中 为自然
参数。(C)上任意一点 P 处的基本向量为 ， ， ，曲率半径为
设 ， ，和 为曲线 在点 处的基本向量， ， ，和 为曲线 在点 处 的基本向量，曲线 在点 处的曲率和挠率分别记为 和 ，曲线 在点 处的曲 率和挠率分别记 为和 ，如果两条曲线总保持在对应点 与 处的主法线平行， 则有文档来自于网络搜索
，其中 根据(2)式，可得
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设 与 之间的夹角为 ，则根据(3)式，
1 / 27
证：设
， 为定义在区间 上的向量函数，因为
在区间 上可导当且仅当数量函数 ， 和 在区间 上可导。所以，
，根据数量函数的 Lagrange 中值定理，有文档来自于网络搜索
其中 ， ， 介于 与 之间。从而
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上式为向量函数的 0 阶 Taylor 公式，其中
。如果在区
间 上处处有
上式两边关于 求导，得
设 为法平面上的点的向径，则曲线(C)上任意一点 P 处的法平面的向量方程为
10 / 27
根据(2)式
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满足方程(3)，故法平面过原点。
证毕文
6. 证明过原点平行于圆柱螺线
面 证：
。文档来自于网络搜索
的副法线的直线的轨迹是锥
设过原点
且与 平行的直线上的点为
,则直线的方程为
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，即(C)是直线。
证毕
证 2：设曲线的方程为 r r(t) ，因为曲线上任一点 r 的切线经过一定点 r0 ，则 r r 0 与 r ' 共线，但 r ' (r r 0 )' ，于是 r r 0 与 (r r0 )' 共线，从而
(r r 0 ) (r r0 )' =0,由此可知 r r 0 具有固定的方向，即 r r 0 与一个常向量 p 平
行，于是 r r 0 = p ,或 r r 0 p ，这说明曲线上的点 r 都在以 p 为方向向量，
过点 r0 的直线上，所以曲线为直线。
档来自于网络搜索
证毕文
10. 证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线。
证：设曲线(C)的向量参数方程为：
，其中 为自然参数。曲线(C)上任意
可表
示为
，其中 为某个数量函数， 为单位常向量，作以 为法向
量，过原点的平面 ，则 平行于 。
自于网络搜索
证毕文档来
§2 曲线的概念
3 / 27
1. 求圆柱螺线
在点
的切线与法平面的方程。
解：
文档来自于网络搜索
，点
对应于参数 ，于是当 时，
，
，于是切线的方程为：
法平面的方程为
2. 求三次曲线
在点 处的切线和法平面的方程。
解：
，当 时，
，
于网络搜索
于是切线的方程为：
，文档来自
法平面的方程为
3. 证明圆柱螺线
的切线和 轴成固定角。
证：
令 为切线与 轴之间的夹角，因为切线的方向向量为
的方向向量为
，则文档来自于网络搜索
，轴
4 / 27
4. 求悬链线 解：
证毕 从 起计算的弧长。
5. 求抛物线 解：
对应于
的一段的弧长。
6. 求星形线
对应于参数
，
10. 将圆柱螺线
化为自然参数表示。
6 / 27
解：
，因为自然参数
文档来自于网络搜索
11. 求极坐标方程 解：极坐标方程
给定的曲线的弧长表达式。 给定的曲线的方程可化为向量参数形式：
§3 空间曲线
1. 求圆柱螺线 解：密切平面的方程为
在任意点的密切平面的方程。
即
2. 求曲线
在原点的密切平面、法平面、从切平面、切线、
线，于是曲线 上的点 和区间 内的参数 一一对应，曲线 上的点 和区间 内
的参数 一一对应，如果两条曲线的点 与 之间建立了一一对应关系，则对应的
参数 与 之间也建立了一一对应关系，从而文档来自于网络搜索
设 ， ，和 为曲线 在点 处的基本向量， ， ，和 为曲线 在点 处 的基本向量，曲线 在点 处的曲率和挠率分别记为 和 ，曲线 在点 处的曲 率和挠率分别记 为和 。如果两条曲线总保持在对应点 与 处的切线平行，则 有文档来自于网络搜索
曲线（参见教科书 P.31 的脚注），即 而
，文档来自于网络搜索
即(C)上任何点的曲率 。
因为(C)在 P 点处的法平面都包含常向量 ，则
(1) 上式两端关于 求导并利用 Frenet 公式，得：
(2) 因为
，所以
(3)
，
结合(1)式可知 与 共线，从而
(4) (4)式两端关于 求导并利用 Frenet 公式，得：
一点 P（P 点的向径为 ）处的基本向量为 ， ， 。因为我们只研究不含逗留点
的曲线（参见教科书 P.31 的脚注），即 而
，文档来自于网络搜索
即(C)上任何点的曲率 。 设(C)在 P 点处的密切平面都经过一个定点 Q （Q 点的向径设为 ），则 为 (C)在 P 点处的密切平面上的一个向量，从而有文档来自于网络搜索 (1) (1) 式两端关于 求导并利用 Frenet 公式，得：
12 / 27
根据(5)(6)(8)式可得
，根据(6)(9)(10)式，可得
，又根据(6)式，得