数理方程第二版 课后习题答案
数理方程第二次作业参考答案
第二次作业1.化下列方程为标准形式：0=+yy xx yu u解：根据题意可得y c b a ===,0,1，则有y ac b -=-=∆2。
（1）当0=y 时，0=∆，方程为抛物型方程，标准形式为0=xx u ；（2）当0>y 时，0<∆，方程为椭圆型方程，对应的特征方程为022=+ydx dy解得两条特征线为C ix y =±2 选取变换x y ==ηξ,2，带入原方程可得01=-+ξηηξξξu u u （3）当0<y 时，0>∆，方程为双曲型方程，对应的特征方程为022=+ydx dy解得两条特征线为C x y =±--2 选取变换y x y x -+=--=2,2ηξ，带入原方程可得()()ηξξηηξu u u ---=21 2.确定下列方程的通解：023=+-yy xy xx u u u解：根据题意可得2,23,1=-==c b a ，0412>=-=∆ac b ，方程为双曲型方程，对应的特征方程为 02322=++dx dxdy dy解得两条特征线为212C x y C x y =+=+选取变换x y x y 2,+=+=ηξ，可把原方程化简为0=ξηu此方程的通解是()()ηξg f u +=其中是g f ,关于ηξ,的任意二次可微的连续函数，所以原方程的通解为()()y x g y x f u +++=2作业中出现的问题：第一题：1.有的同学以为特征线就是通解，这也太荒谬了。
2.有的同学没有讨论0=y 时候的情况。
3.作变量代换的时候有的同学设的变量很复杂，不可取。
另外化简的时候没有化到最简，方程中还包含y x ,。
此外有的同学认为书上最简形式的椭圆、双曲方程就是本题的结果，这是完全错误的。
还有计算问题也出现了很多。
第二题：1.到0=ξηu 这一步都没有什么大问题，主要是后面求这个积分出现了问题，一方面有的同学最后结果中后面还带着积分号，另一方面有很多同学都没有讨论g f ,和性质。
数学物理方程第二版谷超豪主编的课本的课后答案
1、一个偏微分方程所含有的未知函数最高阶导数的阶数称为这个偏微分方程的阶。
2、如果方程对未知函数及其各阶导数总体来说是线性的，则称这个方程是线性方程，否则称这个方程是非线性方程。
3、几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果（即假设其他原因不存在时，该原因所产生的效果）的累加。
这个原理称为叠加原理。
4、I 【22222//0u t a u x ∂∂-∂∂=0:(),/()t u x u t x ϕψ==∂∂=】初值问题I 的解为(,)[()()]/2(1/2)()x atx atu x t x at x at a d ϕϕψαα+-=-+-+⎰此公式称为达朗贝尔公式5、依赖区间（x-at,x+at ）第一章课后题2.8求解222200{//sin |0,/|sin }t t u t u x t x u u t x ==∂∂-∂∂==∂∂= 解：()0()11(,)sin sin sin 22x t x tt x tx t u x t d d t xττξξτξξ+-+---=+=⎰⎰⎰sin(1,2,...)k k C x k lπ=为常微分方程()()0X x X x λ''+=满足边界条件(0)0,()0X X l ==的固有函数（或特征函数）而222k lπλ=称为相应的固有值。
2222200:(),()0,:0uu atxu t u x x tx x l u ϕψ∂∂-=∂∂∂===∂===初值问题，的解是(,)cos sin sin k k k a k a k a u x t A t B t xl l l πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又可以写成(,)c o s ()s ink kk k k u x t N t xlπωθ=+其中,cos sin K K k k K a N lπωθθ====KN 称为波的振幅，Kω称为圆频率，k θ称为波的初位相。
弦上位于m l x k=（m=0,1,..k ）处的点在振动过程中保持不动，称为节点。
概率论与数理统计第二版参考答案
习题2参考答案2.1 X 23456789101112P1/36 1/18 1/12 1/95/36 1/6 5/36 1/91/12 1/18 1/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124CC C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628CC C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++=(2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314kk lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯=1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X CC ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X CC C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5) 01.51.5{0}0!P X e-=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e ee---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)
数学物理方程第二版答案第一章．颠簸方程§ 1 方程的导出。
定解条件4. 绝对柔嫩逐条而平均的弦线有一端固定，在它自己重力作用下，此线处于铅垂均衡地点，试导出此线的细小横振动方程。
解：如图 2，设弦长为l ，弦的线密度为，则 x 点处的张力 T ( x) 为T ( x)g(lx)且 T( x) 的方向老是沿着弦在 x 点处的切线方向。
仍以 u( x, t) 表示弦上各点在时辰 t 沿垂直于 x 轴方向的位移，取弦段 ( x, xx), 则弦段两头张力在 u 轴方向的投影分别为g(l x) sin ( x); g (l( xx)) sin (xx)此中 (x) 表示 T (x) 方向与 x 轴的夹角又sintgux.于是得运动方程x2u[l( xx)]u∣xxg [lx]u∣x gt 2xx利用微分中值定理，消去x ，再令 x0 得2ug[( l x) ut 2] 。
x x5. 考证u( x, y,t )t 21在锥 t 2 x 2 y 2 >0 中都知足颠簸方程x 2 y 22u2u2u证：函数 u( x, y,t )1在锥 t 2x 2 2内对变量 t 2x 2 y 2t 2 x 2y >0y 2x, y, t 有u3二阶连续偏导数。
且(t2x 2 y 2) 2 tt2u35(t2x2y 2) 23(t2x2y2) 2 t2t23(t 2x 2y 2) 2 (2t 2x2y 2)u3x2 y 2)2 x(t2x2u35t2x2y223 t2x2y22 x 2x25 t2x2y22 t22 x2y22 u5同理t2x2y22 t2x22y2y22 u 2u52u .所以t 2 x 2y 2 2 22x 2 y 2x2y2tt2即得所证。
§2 达朗贝尔公式、波的传抪3.利用流传波法，求解颠簸方程的特点问题（又称古尔沙问题）2ua 22ut 2x 2u x at 0(x) (0)(0)u x at( x).解： u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令 x-at=0得 ( x) =F （ 0） +G （ 2x ）令 x+at=0得( x) =F （2x ） +G(0)所以F(x)=( x) -G(0).2G （ x ） = ( x) -F(0).2且F （ 0） +G(0)= (0) (0).所以u(x,t)=(xat) + ( x at ) - (0).22即为古尔沙问题的解。
数理方程第二版 课后习题答案教学教材
数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。
证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。
如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。
解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。
解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。
证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。
高等数学教材第二版答案
高等数学教材第二版答案在高等数学教学过程中，教材是学生们学习的主要依据，而答案则是学生们在学习中所追求的。
本篇文章将给出《高等数学教材第二版》的答案，以满足学生们在学习过程中的需求。
第一章极限与连续1.1 初等函数的极限1.2 无穷小与无穷大1.3 极限运算法则1.4 一元函数的连续性1.5 连续函数的运算与初等函数的连续性第二章一元函数微分学2.1 导数的概念与几何意义2.2 导数的计算方法2.3 高阶导数与莱布尼茨公式2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 函数的局部性质第三章一元函数积分学3.1 不定积分的定义与基本性质3.2 不定积分的计算3.3 定积分的定义与性质3.4 定积分的计算方法3.5 积分中值定理与换元积分法第四章多元函数微分学4.1 多元函数的极限4.2 偏导数的概念与计算4.3 隐函数的偏导数4.4 多元复合函数的偏导数4.5 方向导数与梯度4.6 多元函数的微分第五章多元函数积分学5.1 二重积分的概念与性质5.2 二重积分的计算方法5.3 三重积分的概念与性质5.4 三重积分的计算方法5.5 曲线与曲面积分第六章微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 可分离变量的微分方程6.3 一阶线性微分方程6.4 高阶线性微分方程6.5 齐次线性微分方程第七章无穷级数7.1 数项级数的概念7.2 数项级数的收敛性7.3 幂级数与函数展开7.4 函数项级数的一致收敛性7.5 幂级数的和函数通过以上各章节的答案，学生们可以对高等数学教材第二版中的各个题目进行参考和对照，以检查自己的学习效果和理解程度。
同时，对于一些较难的问题，答案的给出也可以作为解题思路的参考，引导学生们加深对知识点的理解和应用。
值得注意的是，答案只是学习的辅助工具，学生们在学习过程中应注重理论的学习和问题的解决思路。
与学习过程相比，答案的提供仅是一个参考，对于理解掌握知识点并独立解决问题才是更为重要的。
希望本篇文章所提供的《高等数学教材第二版》答案能够帮助到广大学生，提升他们在高等数学学习中的自信与能力。
新编高等数学第二版教材答案
新编高等数学第二版教材答案第一章：函数和极限1. 函数的概念和性质2. 极限的概念和性质3. 极限的运算法则4. 无穷大与无穷小量5. 函数的连续性6. 一元函数的导数和微分第二章：一元函数的微分学1. 导数的定义和性质2. 导数的几何意义和物理意义3. 微分的概念和性质4. 微分中值定理5. 函数的高阶导数6. 复合函数的导数第三章：一元函数的积分学1. 不定积分和定积分的概念2. 基本积分公式3. 定积分性质和计算方法4. 牛顿-莱布尼茨公式5. 定积分的几何意义和物理意义6. 定积分和不定积分的关系第四章：一元函数的应用1. 曲线的切线和法线2. 函数的单调性和凹凸性3. 函数的极值和最值4. 弧长和曲线的曲率5. 定积分的应用：面积和体积计算6. 微分方程的应用第五章：数列和级数1. 数列的概念和性质2. 数列的极限和收敛性3. 数列极限的运算法则4. 单调数列的性质5. 级数的概念和性质6. 常见级数的收敛性判别第六章：无穷级数1. 可数无穷集合和不可数无穷集合2. 数列极限存在准则3. 函数项级数的收敛性4. 幂级数的收敛性5. 傅里叶级数的收敛性6. 项级数的运算性质和收敛域第七章：多元函数的微分学1. 多元函数的极限和连续性2. 偏导数和全微分3. 多元复合函数的导数4. 隐函数的导数5. 方向导数和梯度6. 条件极值和拉格朗日乘子法第八章：多元函数的积分学1. 二重积分和三重积分的概念2. 二重积分和三重积分的性质3. 二重积分和三重积分的计算方法4. 广义积分的概念和性质5. 广义积分的收敛性判别6. 曲线积分和曲面积分第九章：多元函数的应用1. 向量场及其运算2. 向量场的散度和旋度3. 曲线、曲面的方程4. 曲线积分和曲面积分的应用5. 散度定理和高斯公式6. 斯托克斯公式及其应用第十章：常微分方程1. 方程的解和初值问题2. 一阶线性微分方程3. 二阶线性常系数齐次微分方程4. 二阶线性非齐次微分方程5. 微分方程的应用6. 线性微分方程组该教材答案包含了新编高等数学第二版教材中各个章节的题目答案，以方便学生们辅助学习和复习。
高等数学第二版教材练习答案
高等数学第二版教材练习答案第一章：数学形式与证明练习题答案：1. (2, ∞)2. -√2, √23. 假设已知函数f(x) ≥ 0，而 f(x) = 0 的一个解为 x = a，则 x = a 是函数f(x) ≥ 0 的最小零点。
4. a. 记 b = 1 - √2，则 (b - √2)^2 = (1 - √2 - √2)^2 = (1 - 2√2 + 2)^2 =(3 - 2√2)^2 = 9 - 12 + 8 = -3 < 0。
b. ∃a∈R，无论 a 取何值，都有 a^2 + 2a + 2 > 0。
5. a. 必要性：已知f(x) 是偶函数，即f(-x) = f(x)，则对于∀x∈D_f，有 -x∈D_f，即 (b)。
充分性：已知对于∀x∈D_f，有 -x∈D_f，即 (b)，则有 f(-x) = f(-(-x)) = f(x)，即 f(x) 是偶函数。
b. 必要性：已知f(x) 是奇函数，即f(-x) = -f(x)，则对于∀x∈D_f，有 -x∈D_f，即 (a)。
充分性：已知对于∀x∈D_f，有 -x∈D_f，即 (a)，则有 f(-x) = -f(x)，即 f(x) 是奇函数。
6. a. 设 f(x) 是周期函数，周期为 T>0，则对于∀x∈R，有 x+T∈D_f，即 (c)。
b. 存在正常数 a>0，使得对于∀x∈R，有 x+a∈D_f，即 (b)。
例如，函数 f(x) = sin(x) 满足这个条件。
c. 存在正常数 a>0，使得对于∀x∈R，有 x+a∈D_f 且 x+2a∈D_f，即 (a)。
例如，函数 f(x) = sin(2x) 满足这个条件。
d. 必要性：已知 f(x) 是周期函数，周期为 T>0，则对于∀x∈R，有 x+T∈D_f，即 (c)，故 b-d 都是必要条件。
充分性：设 b、c、d 其中至少有一个条件满足，即 f(x) 在某个区间内满足 b/c/d 条件。
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第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。
证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。
如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。
解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。
解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。
证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。
解：5. 求抛物线对应于的一段的弧长。
解：6. 求星形线，的全弧长。
解：7. 求旋轮线，对应于一段的弧长。
解：8. 求圆柱螺线从它与平面的交点到任意点的弧长。
解：圆柱螺线与平面的交点为，交点对应的参数为，而，9. 求曲线，在平面与平面之间的弧长。
解：取为曲线参数，曲线的向量参数方程为：平面对应于参数，平面对应于参数，10. 将圆柱螺线化为自然参数表示。
解：，因为自然参数11. 求极坐标方程给定的曲线的弧长表达式。
解：极坐标方程给定的曲线的方程可化为向量参数形式：§3 空间曲线1. 求圆柱螺线在任意点的密切平面的方程。
解：密切平面的方程为即2. 求曲线在原点的密切平面、法平面、从切平面、切线、主法线、副法线的方程。
解：原点对应于参数,于是在处，密切平面的方程为副法线的方程为法平面的方程为：切线的方程为从切平面的方程为主法线的方程为3. 证明圆柱螺线的主法线和轴垂直相交。
证：一方面，主法线的方程为另一方面，过圆柱螺线上任意一点作平面π与轴垂直，π的方程为，π与轴的交点为，过与的直线显然与轴垂直相交，而其方程为这正是主法线的方程，故主法线和轴垂直相交。
证毕4．在曲线的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。
解：令，则曲线的方程可表示为：设的副法线向量为，则有根据题意，新曲线的方程可表示为}将代入上式，整理后，得于是新曲线的密切平面为：即：5. 证明球面曲线的法平面通过球的中心。
证：设曲线为球心在原点，半径为的球面上的曲线,其中为自然参数。
曲线(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。
则有上式两边关于求导，得设为法平面上的点的向径，则曲线(C)上任意一点P处的法平面的向量方程为根据(2)式满足方程(3)，故法平面过原点。
证毕6. 证明过原点平行于圆柱螺线的副法线的直线的轨迹是锥面。
证：设过原点且与平行的直线上的点为,则直线的方程为化为参数方程，得则有这说明直线上的点都在锥面上。
证毕7. 求下列曲线的曲率和挠率。
，解: 对于曲线(1)对于曲线(2)8. 给定曲线，求（1）基本单位向量，，；（2）曲率和挠率；（3）验证伏雷内公式。
解: 对于给定曲线，有其中，根据(5)(6)(8)式可得，根据(6)(9)(10)式，可得，又根据(6)式，得另一方面，根据(4)(7)(8)(10)式，可得从而，。
9. 证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。
证1：设曲线(C )的向量参数方程为：，其中为自然参数。
(C )上任意一点P （P 点的向径为）处的基本向量为，，。
因为(C )在P 点处的切线都经过一定点Q （Q 点的向径设为），所以与共线，进而有(1)上式两端关于求导并利用Frenet 公式，得： (2)(2)式中的为(C )在P 点处的曲率。
又(2)式中，这是因为如果，则同时与和共线，但这是不可能的，因为和是相互正交的单位向量。
从而根据(2)式有，即(C )是直线。
证毕证2：设曲线的方程为)(t r r =，因为曲线上任一点r 的切线经过一定点0r ，则0-与'共线，但'0')(-=，于是0-与'0)(r r -共线，从而)(0-⨯'0)(-=0,由此可知0r r -具有固定的方向，即0r r -与一个常向量平行，于是0r r -=p λ,或p r r λ+=0，这说明曲线上的点r 都在以p 为方向向量，过点0r 的直线上，所以曲线为直线。
证毕10. 证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线。
证：设曲线(C)的向量参数方程为：，其中为自然参数。
曲线(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。
因为我们只研究不含逗留点的曲线（参见教科书P.31的脚注），即，而即(C)上任何点的曲率。
设(C)在P点处的密切平面都经过一个定点Q （Q点的向径设为），则为(C)在P点处的密切平面上的一个向量，从而有(1)(1) 式两端关于求导并利用Frenet公式，得：(2)(2)式中的为(C)在P点处的挠率。
由(2)式可知，或者但，因为如果结合(1)式,可知与共线，于是(3)(3)式两端关于求导并利用Frenet公式，得：(4)(4)式中的为(C)在P点处的曲率。
因为，所以，结合(3)知同时与和共线，但这是不可能的，因为和是相互正交的单位向量。
这个矛盾说明，于是由(2)式可知，只能，曲线(C) 是平面曲线。
证毕11. 证明：如果曲线的所有法平面都包含常向量，则此曲线是平面曲线。
证1：设曲线(C)的向量参数方程为：，其中为自然参数。
(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。
因为(C)在P点处的法平面都包含常向量，则有(1)注意到，(1)式两端关于从到求积分，得：(2)（2）式说明曲线(C)在以常向量为法向量且过点的平面上。
证毕证2：设曲线(C)的向量参数方程为：，其中为自然参数。
(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。
因为我们只研究不含逗留点的曲线（参见教科书P.31的脚注），即，而即(C)上任何点的曲率。
因为(C)在P点处的法平面都包含常向量，则(1)上式两端关于求导并利用Frenet公式，得：(2)因为，所以(3) ，结合(1)式可知与共线，从而(4)(4)式两端关于求导并利用Frenet公式，得：(5)(5)式中，否则，根据(3)式，和将同时成立，即既与平行，又与垂直，这是矛盾。
于是只能是，所以曲线(C) 是平面曲线。
证毕12. 证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率等于常数的曲线。
证：设曲率为常数的空间曲线(C)的向量参数方程为：，其中为自然参数。
(C)上任意一点P处的基本向量为，，，曲率半径为，又设(C)的曲率中心的轨迹为，的曲率记为，根据题意，的方程为(1)式两边关于求导，得(4)式说明的曲率也是常数且。
证毕13. 证明曲线(C)：为平面曲线，并求出它所在平面的方程。
解：由上式可知，(C)为平面曲线。
令，则有(C)所在平面的方程为。
14. 设在两条曲线和的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也分别平行。
证：设曲线的方程为，，其中为的自然参数，曲线的方程为，，其中为曲线的自然参数。
因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线上的点和区间内的参数一一对应，曲线上的点和区间内的参数一一对应，如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系，则对应的参数与之间也建立了一一对应关系，从而设，，和为曲线在点处的基本向量，，，和为曲线在点处的基本向量，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和。
如果两条曲线总保持在对应点与处的切线平行，则有，其中(2)式两边关于求导，得从而，(4)式说明和在对应点与处的主法线平行。
又因为，由(2)式和(4)式，得(5) 式说明和在对应点与处的副法线平行。
证毕15. 设在两条曲线和的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线总是相互平行，证明它们在对应点的切线成固定角。
证：设曲线的方程为，，其中为的自然参数，曲线的方程为，，其中为曲线的自然参数。
因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线上的点和区间内的参数一一对应，曲线上的点和区间内的参数一一对应，如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系，则对应的参数与之间也建立了一一对应关系，从而设，，和为曲线在点处的基本向量，，，和为曲线在点处的基本向量，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，如果两条曲线总保持在对应点与处的主法线平行，则有，其中根据(2)式，可得设与之间的夹角为，则根据(3)式，(4)式说明和在对应点与处的切线成固定角。
证毕16. 如果曲线的主法线是曲线的副法线，的曲率和挠率分别为和，求证其中是常数。
证：设曲线的方程为，，其中为的自然参数，曲线的方程为，，其中为曲线的自然参数。
因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线上的点和区间内的参数一一对应，曲线上的点和区间内的参数一一对应，如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系，则对应的参数与之间也建立了一一对应关系，从而设，，和为曲线在点处的基本向量，，，和为曲线在点处的基本向量，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和。
如果曲线的主法线是曲线的副法线，依题意，有下面两式成立：，其中。
(3)式两边关于求导，得整理(4)式，可得利用(2)式，在(5)式两边与作内积，得(6)式中由于故，从而为常数，(5)式化为(7)式两边关于求导，得因为，上式两边同时与作内积，得根据(7)式，(9)式等价于即从而，。
证毕17. 曲线在哪些点的曲率半径最大？解：解: 对于给定曲线，有其中，根据(7)式，当，时，最大。