数理方程习题综合
数理方程 习题答案
数理方程习题答案数理方程习题答案数理方程是数学中一门重要的学科，它研究的是各种各样的方程。
在学习数理方程的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解习题，我们可以加深对数理方程的理解，掌握解题的方法和技巧。
在这篇文章中，我将为大家提供一些数理方程习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 求解方程：2x + 5 = 17。
解：将方程化简，得到2x = 17 - 5，即2x = 12。
再将等式两边同时除以2，得到x = 6。
所以方程的解为x = 6。
2. 求解方程组：2x + y = 73x - 2y = 4解：可以使用消元法来求解这个方程组。
首先，将第一个方程乘以2，得到4x + 2y = 14。
然后将第二个方程与这个结果相加，得到7x = 18。
再将等式两边同时除以7，得到x = 18/7。
将x的值代入第一个方程，可以求得y的值为y = 7 - 2x = 7 - 2(18/7) = 7 - 36/7 = 7/7 - 36/7 = -29/7。
所以方程组的解为x = 18/7，y = -29/7。
3. 求解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
解：可以使用因式分解法来求解这个二次方程。
首先，将方程化简，得到(x - 2)(x - 3) = 0。
根据乘积为零的性质，可以得到x - 2 = 0或者x - 3 = 0。
解这两个方程，可以得到x = 2或者x = 3。
所以方程的解为x = 2或者x = 3。
4. 求解三次方程：x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。
解：可以使用综合除法来求解这个三次方程。
首先，将方程按照降幂排列，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。
然后，尝试将方程的第一项x^3除以x的最高次数x^3，得到商为1。
将这个商乘以方程的所有项，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 - (x^3 - 3x^2 + 2x - 4) = 0。
化简这个等式，可以得到0 = 0。
数理方程练习题(1)
一、填空题1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。
2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0x x y yu u+=，(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；二、选择题1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］(A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ()220y xxxxy u x yuu +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题()()()()()()2,0,00,,0,0,,0tt xx x x t u a u t x lu t u l t u x x u x xϕφ⎧=><<⎪==⎨⎪==⎩的形式解可写成［ D ］(A) ()01,coscos2n n a n at n x u x t a ll ππ∞==+∑(B) ()001,coscosn n n at n x u x t a b t a llππ∞==++∑(C) ()0,cos sin cos n nn n at n at n x u x t a b l l l πππ∞=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑(D) ()001,cos sin cos n n n n at n at n xu x t a b t a b l llπππ∞=⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑ 4. 若非齐次边界条件为12(0,)(),(,)()x u t t u l t t μμ==，则辅助函数可取［C ］ (A) ()()12(,)W x t t x t μμ=+； (B) ()()21(,)W x t t x t μμ=+； (C) ()()()12(,)W x t x l t t μμ=-+； (D) ()()()21(,)W x t x l t t μμ=-+；三、求解下列问题（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞ ，其中a 为常数。
数理方程试题及解答二
数理方程试题二一、填空：（10×2分=20分）1.边界条件2.初始状态3.定解条件.4.边值问题5.拉普拉斯方程的连续解6.狄利克莱问题7.牛曼问题8.()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΓΩ⋅-∂∂=∇dV gradv gradu dS n vudV v u 2 9.()()()0001114M M M M u M u m u M dS n r r n πΓ⎡⎤⎛⎫∂∂=--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰10.()()()()01!21220≥++Γ-=++∞=∑n m n m x x J m n mn mm n二、选择题：（5×4分,共20分）1．A; 2. B; 3. C; 4. C; . 5. D ．三、（7分）解定解问题()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==≤≤='=><<=''-''=.0,,0,0;0,,0,;0,0,002t l u t u l x x g u x f x u t l x u c u t t xx tt解：令()()()()()()()2,0X x T t u x t X x T t X x c T t λ''''=≠⇒==-，()()()()20,0T t c T t X x X x λλ''''+=+=由方程()()()()000X x X x X X l λ''+=⎧⎪⎨==⎪⎩解出()()sin 1,2,3,n n n X x B x n l π== 由方程()()20T t c T t λ''+=解出：()()cos sin 1,2,3,.n nn n ct n ctT t C D n l lππ''=+= -----------4分 从而有：()(),cos sin sin 1,2,3,n n n n ct n ct n x u x t C D n l l l πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 叠加起来：()()11,,cos sin sin ,n n n n n n ct n ct n x u x t u x t C D l l l πππ∞∞==⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑ 代入初始条件确定,n n C D 有：()()002sin 2sin l n l nn C x xdx l ln D x xdx n c l πϕπψπ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰ ------------------------------------3分四、（7分）证明: ()[]()x xJ x xJ x01d d= 证明: ()()()()(),!21!32!2221222266244220 +-++-+-=k x x x x x J k k k()()().!1!21!4!32!3!22!22212127755331 ++-++⋅⋅-⋅⋅+⋅-=++k k x x x x x x J k k k---------------------4分将()x J 1乘以x 并求导数，得()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++⋅-=++ !1!21!222d d d d 12223421k k x x x x x xJ x k k k()()+-++-=+221233!212k x x x k k k()()()(),!21!32!222122226624422⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-= k x x x x x k k k即()[]()x xJ x xJ x01d d=---------------------------------------------------------------3分 五、（7分）由定解问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<-∞='+∞<<-∞=''=''==x x u x x u u a u t t t xx tt ,,;002ψϕ导出达朗贝尔公式。
数理方程30题
u(x,t) = cos at sin x
注记：如果用系数计算公式
∫ ∫ Cn
=
2 L
L sin(ξ ) sin(nξ )dξ
0
， Dn
=
2 nπa
L 0 × sin(nξ )dξ ，（n=1，2，……）
0
会得出同样结论。
例 8．用分离变量法求解双曲型方程初边值问题
⎧u ⎪⎪⎨u
[Cn
n=1
cos
nπ L
t
+
Dn
sin
nπ L
t]sin
nπ L
x
利用初值条件，得
∑ ∑ ∞ Cn
n=0
sin
nπ L
x
=
x(L −
x) ， π L
∞
nDn
n=0
sin
nπ L
x
=
0
为计算系数，首先令ϕ(x) = x(L − x) ，显然ϕ(0) = 0,ϕ(L) = 0 ，且
ϕ′(x) = L − 2x ，ϕ′′(x) = −2
x x
+ +
C1 C2
⎡ ∂ξ
构造变换：
⎧ξ ⎩⎨η
= =
2 sin 4 sin
x x
+ +
cos cos
y y
，
⎢ ⎢ ⎢
∂x ∂η
⎢⎣ ∂x
∂ξ ⎤
∂y ∂η
⎥ ⎥ ⎥
=
⎡2 ⎢⎣4
cos cos
x x
∂y ⎥⎦
− sin y⎤ − sin y⎥⎦
所以， a12 = 8sin 2 y cos2 x − 18cos2 x sin 2 y + 8cos2 x sin 2 y = −2 cos2 x sin 2 y
数理方程
iwx
B、 L[ f (t )] =
ò
f (t )e dt
ò
0
D、 f (t ) = L- 1[ F ] =
ò
+
-
F ( x)e- iwx dx
〇
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注： 1.试题请按照模板编辑，只写试题，不留答题空白； 2.内容请勿出边框。
考试方式： （开卷 闭卷）
教研室主任：
年
月
日
数学物理方程
共 2 页 第 2 页
课试卷
诚信承诺：本人在考试中真实答卷， 学号______________ 姓名_______________ 班级_______________ 学院_______________ 没有作弊行为！
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三、 （9 分）初始位移 ( x) sin x ，初始速度 ( x) x 2 的无界弦作自由振动，求其振动 规律 u ( x , t )
0 x l, t 0
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
1 , uh x 2 h 0,
当 | x | h 当 | x | h
，
lim uh x ( x) （在连续函数类中） 证明： h 0
〇
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数学综合算式专项练习题线性方程的计算
数学综合算式专项练习题线性方程的计算数学综合算式专项练习题：线性方程的计算在数学学习中，线性方程是一个重要的概念。
它描述了一种关系，其中每个变量的指数都是1。
线性方程的解是使得方程两边相等的变量的值。
本文将提供一些专项练习题，旨在帮助读者更好地理解和计算线性方程。
1. 问题一：解方程：2x + 5 = 15解答：首先，将方程中的常数项移到右边，得到：2x = 15 - 52x = 10接下来，将方程两边同除以系数2，得到：x = 10 ÷ 2x = 5所以，方程的解为x = 5。
2. 问题二：解方程：3(x + 4) = 27解答：首先，按照分配律展开方程，得到：3x + 12 = 27然后，将方程中的常数项移到右边，得到：3x = 27 - 123x = 15接下来，将方程两边同除以系数3，得到：x = 15 ÷ 3x = 5所以，方程的解为x = 5。
3. 问题三：解方程：2(3x - 1) = 10解答：首先，按照分配律展开方程，得到：6x - 2 = 10然后，将方程中的常数项移到右边，得到：6x = 10 + 26x = 12接下来，将方程两边同除以系数6，得到：x = 12 ÷ 6x = 2所以，方程的解为x = 2。
4. 问题四：解方程：4(x - 3) - 2x = 10解答：首先，按照分配律展开方程，得到：4x - 12 - 2x = 10然后，将方程中的常数项移到右边，得到：2x - 12 = 10接着，将方程中的变量项合并，得到：2x = 10 + 122x = 22最后，将方程两边同除以系数2，得到：x = 22 ÷ 2x = 11所以，方程的解为x = 11。
通过以上例子，我们可以看到解线性方程的一般步骤。
首先，将方程进行化简，将常数项移到一边，变量项移到另一边。
然后，将方程中的系数进行合并，最后用适当的运算得到变量的值。
总结起来，解线性方程的关键是通过适当的运算将方程转化为形如"x = 常数"的表达式。
数学综合算式专项练习题方程求解
数学综合算式专项练习题方程求解在数学中，方程求解是一个重要的概念和技能，它在各个领域都有应用。
解方程问题涉及到多个数学概念和方法，要求我们灵活运用所学的知识进行推理和计算。
本文将结合实际问题，介绍一些数学综合算式专项练习题的解法。
一、一元一次方程1. 如果将一个未知数记为x，那么一元一次方程的通常形式可以表示为ax + b = c，其中a、b、c分别是已知常数。
解这类方程时的主要目标是求出x的值。
例题1：解方程2x + 3 = 7。
解法：首先，将2x + 3 = 7中的常数项3移到等号的右边，得到2x = 7 - 3，即2x = 4。
然后，将方程两边同时除以2，得到x = 2。
因此，方程2x + 3 = 7的解为x = 2。
例题2：解方程3(x + 2) - 4 = 5x - 1。
解法：首先，按照运算法则展开等式左边的括号，得到3x + 6 - 4 = 5x - 1。
然后，将5x的项移到等号的左边，3x - 5x = -1 - 6 + 4，即-2x = -3。
接着，将方程两边同时除以-2，得到x = 3/2或1.5。
因此，方程3(x + 2) - 4 = 5x - 1的解为x = 3/2或1.5。
二、一元二次方程2. 一元二次方程一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c分别是已知常数，且a≠0。
解一元二次方程时，可以使用因式分解、配方法或求根公式等多种方法。
例题3：解方程x^2 + 5x + 6 = 0。
解法：首先，尝试因式分解，将方程右边表示为两个相乘的因式，即(x + 2)(x + 3) = 0。
然后，根据零乘积法则，得到两个方程x + 2 = 0和x + 3 = 0。
最后，解得x = -2或x = -3。
因此，方程x^2 + 5x + 6 = 0的解为x = -2或x = -3。
例题4：解方程2x^2 - 5x - 3 = 0。
解法：首先，使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，其中a = 2，b = -5，c = -3。
数理方程练习题(作业)
数理方程练习题一（2009研）1. 设(,)u u x y =，求二阶线性方程20ux y∂=∂∂ 的一般解。
2. 设u f = 满足Laplace 方程22220u u x y ∂∂∂∂+=求函数u.3. 求Cauchy 问题22000(,)(0,)cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==⎧-=∈⨯∞⎪⎨==∈⎪⎩的解．4. 求解Cauchy 问题200cos (,)(0,)cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==⎧-=∈⨯∞⎪≥⎧⎨==⎨⎪<⎩⎩5. 解在半无界问题20000(,)(0,)sin (0)0(0)tt xx t t t x u a u x t u x u x x u t +===⎧+=∈⨯∞⎪⎪==≤≤∞⎨⎪=≥⎪⎩6. 求解二维Cauchy 问题222200(,,)(0,)0()(,)tt t t t u a u x y t u u x x y x y ==⎧-∆=∈⨯∞⎪⎨==+∈⎪⎩求下列函数的Fourier 变换1 0()00axe xf x a x -⎧≥=>⎨<⎩2 1||()0||a x a x x a≤⎧∏=⎨>⎩3 2()x f x e -=7. 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动．研究两端自由棒的自由纵振动，即定解问题。
200,0(,0)(),(,0)()0(0,)(,)00tt xx t xx u a u x l t u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧-=<<>⎪==≤≤⎨⎪==≥⎩8. 散热片的横截面为矩形。
它的一边y=b 处于较高温度V ，其他三边b=0，x=0，x=a 则处于冷却介质中因而保持较低的温度v 求解这横截面上的稳定温度分布Ux,y)即定解问题0;0(0,),(,)0(,0),(,)()0xx yy u u x a y b u y v u a y vy b u x v u x b V x x a +=<<<<⎧⎪==<<⎨⎪==<<⎩9. 求解定解问题2000cos sin 0,00,0ttxx x x x x l t t t x u a u A t lu u u u πω====⎧-=⎪⎪⎪==⎨⎪'==⎪⎪⎩10. 求解定解问题200sin 0,00t xx x x x l t u a u A tu u u ω===⎧-=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩ 11. 弦的x=0端固定而x=l 端受迫作谐振动sin A t ω，则弦的初始位移和初始速度都是零，求弦的振动。
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例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。
解 原方程可以写成ð／ðx（ðv／ðy） =xy 两边对x 积分，得v y =¢（y ）+1/2 x 2Y ,其中¢（y ）是任意一阶可微函数。
进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫¢（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2=f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。
例1.1.2即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η),其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。
例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。
试确定该弦的运动方程。
取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。
用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。
由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。
下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。
在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。
作用在这段弧上的力有张力和外力。
可以证明，张力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。
事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长dx u xx x x ⎰∆++=∆21s ≈x ∆。
这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。
于是由Hooke 定律，张力T 与时间t 无关。
因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即T(x+x ∆)cos α’-T(x)cos α=0.由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+∆x)=T(x),故张力T 与x 无关。
于是，张力是一个与位置x 和时间t 无关的常数，仍记为T. 作用于小弧段'MM 的张力沿u 轴方向的分量为Tsin α’-T sin α≈T(u x (x+x ∆,t)-u x (x,t)).设作用在该段弧上的外力密度函数为F （x,t ）那么弧段'MM 在时刻t 所受沿u 轴方向的外力近似的等于F(x,t)x ∆.由牛顿第二定律得T （u x (x+x ∆,t)-u x (x,t)+F(x,t)x ∆=ρx ∆tt u , 其中ρ是线密度，由于弦是均匀的，故ρ为常数。
这里tt u 是加速度tt u 在弧段'MM 上的平均值。
设u=u(x,t)二次连续可微。
由微分中值定理得Tu zz （x+θx ∆，t)x ∆+F(x,t)x ∆=ρtt u x ∆, 0<θ<1.消去x ∆，并取极限x ∆→0得Tu xx （x,t ）+F(x,t)=ρu tt ,即u tt =ɑ2u xx +ƒ(x,t), 0<x<L,t>0,其中常数ɑ2=T/ρ，函数ƒ（x,t ）=F(x,t)/ρ表示在x 处单位质量上所受的外力。
上式表示在外力作用下弦的振动规律，称为弦的强迫横振动方程，又称一维非齐次波动方程。
当外力作用为零时，即ƒ=0时，方程称为弦的自由横振动方程。
类似地，有二维波动方程u tt =ɑ2（u xx +u y y ）+ƒ（x.y.t ）, (x,y)Ω∈,t>0,电场E 和磁场H 满足三维波动方程 E c E 2222t ∇=∂∂和H c H 2222t∇=∂∂, 其中c 是光速和2222222x z y ∂∂+∂∂+∂∂=∆=∇⋅∇=∇。
例1.2.2设物体Ω在内无热源。
在Ω中任取一闭曲面S （图1.2）。
以函数u(x,y,z,t)表示物体在t 时刻，M=M(x,y,z)处的温度。
根据Fourier 热传导定律，在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小面积dS 的热量dQ 与时间dt ，曲面面积dS 以及物体温度u 沿曲面的外法线n 的方向导数三者成正比，即dSdt n u k -∂∂,其中k=k(x,y,z)是在物体M(x,y,z)处的热传导系数，取正值。
我们规定外法线n 方向所指的那一侧为正侧。
上式中负号的出现是由于热量由温度高的地方流向温度低得地方。
故当0n u >∂∂时，热量实际上是向-n 方向流去。
对于Ω内任一封闭曲面S ，设其所包围的空间区域为V ，那从时刻t 1到时刻t 2经曲面流出的热量为1Q =dSdt nu kS ⎰⎰⎰∂∂21t t - 设物体的比热容为c(x,y,z)，密度为ρ(x,y,z)，则在区域V 内，温度由u(x,y,z,1t )到u(x,y,z)所需的热量为[]dvdt tu c dv t z y x u t z y x u c t t V V ∂∂=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰21),,,(),,,(Q 122ρρ. 根据热量守恒定律，有12Q Q -=即[]dSst nu kdv t z y x u t z y x t t S ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂=-21),,,(),,,u c 12V （ρ 假设函数u(x,y,z,t)关于x,y,z 具有二阶连续偏导数，关于t 具有一阶连续偏导数，那么由高斯公式得0][21t =⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰dvdt z u k z y u k y y u k x t u c t V ρ. 由于时间间隔[]21t ,t 及区域V 是任意的，且被积函数是连续的，因此在任何时刻t ，在Ω内任意一点都有⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂z u k z y u k y y u k y x u ρc(1.2.6)设弦在x 0点受到横向力T 作用后发生的位移为h,则弦的初始位移为 hx, 0≤x ≤x 0,u(x,0)= x 0h(L-x), x 0≤x ≤L,L-x 0其中h 待求。
由牛顿第二定律得F-Tsin α1-Tsin α2=0， 在微小振动的情况下，Sin α1≈tan α1= h , sin α2≈tan α2= h ,x 0 L-x 0 所以 F=Th +Thx 0 L-x 0因此 h=Fx 0(L-x 0) .TL F(L-x 0) , 0≤x ≤x 0,从而初始位移为u(x,0)= TL Fx 0(L-x) , x 0≤x ≤L. TL 而初始速度u t (x,0)=0. u tt =a 2u xx , 0<x<L,t>0,u(x,0)=Lb x, u t （x,0)=0, 0≤x ≤L, u(0,t)=0, u x (L,t)=0, t ≥0.（P17）例1.3.2 ：长为L 的均匀弦，两端x=0和x=L 固定，弦中张力为T ，在x=x0处以横向力F 拉弦，达到稳定后放手任其振动。
试写出初始条件。
解：建立如图坐标系。
(P18)例1.3.3考虑长为L 的均匀细杆的热传导问题。
若（1）杆的两端保持零度；（2）杆的两端绝热；（3）杆的一端为恒温零度，另一端绝热。
试写出该绝热传导问题在以上三种情况下的边界条件。
解：设杆的温度为u(x,t),则（1） u （x,t ）=0，u(L,t)=0.（2） 当沿杆长方向有热量流动时，由Fourier 实验定律得L x x x uk q x uk q ==∂∂-=∂∂=201,'其中q1,q2分别为x=0和x=L 处的热流强度。
而杆的两端绝热，这就意味着杆的两端与外界没有热交换，亦没有热量的流动，故有q1=q2=0和,0),0(=t x u 0),(=t L u x . (3)显然，此时有0),(,0),0(==t L u t u x .例1.5.1求Poisson 方程Uxx +Uyy =X^2 +XY+Y^2的通解解:先求出方程的一个特解V=V （x ，y),使其满足Vxx +Vyy=X^2 +XY+Y^2 由于方程右端是一个二元二次齐次多项式，可设V （x ，y) 具有形式V(x,y)=aX^4 +bX^3 Y+cY^4,其中a,b,c 是待定常数Vx=4aX^3+3bX^2 Y Vy=bX^3+4cY^3Vxx=12aX^2+6bXY Vyy=12cY^2得Vxx+Vyy=12aX^2 +6bXY+12cY^2=X^2 +XY+Y^2比较两边系数，可得a=1/12,b=1/6,c=1/12于是V （x,y)=1/12(X^4 +2X^3 Y+Y^4）下面求函数W=W(x,y),使其满足Wxx+Wyy=0.作变量代换e=x,n=iy(记为d)Ue=du/de=du/dx=Ux Un=du/dn=du/dy *dy/dn=-iyUee=dUe/de=Uxx Unn=-Uyy可得Wee-Wnn=0再作变量代换s=e+n,t=e-nUe=du/de(s,t)=Us+Ut Un=du/dn=Us-UtUee=dUe/de=d(Us+Ut)/de=Uss+Utt+2UstUnn=dUn/dn=d(Us-Ut)/dn=Uss+Utt-2Ust那么方程进一步化为Wst=0其通解为W=f(s)+g(t)=f(e+n)+g(e-n)=f(x+iy)+g(x-iy),其中f,g 是任意两个二阶可微函数。
那么根据叠加原理，方程的通解为u(x,y)=V+W=f(x+iy)+g(x-iy)+1/12(X^4+2X^3 Y+Y^4)(P32)例2.1.1 判断方程U xx +2U xy -3U yy +2U x +6U y =0（2.1.22）的类型，并化简。
解： 因为a 11= 1,a 12= 1,a 22= -3,所以 =a 212-a 11a 22=4>0,故方程为双曲型方程。
对应的特征方程组为,311221112212=-+=a a a a a d d x y .111221112212-=--=a a a a a d d x y 该方程组的特征曲线（即通解）为.,321c x y c x y =+=-作自变量变换x y x y +=-=ηξ,3则;3ηξu u u xx +-= ,ηξu u u y +=,69ηηξηξξu u u u xx +-= ,23ηηξηξξu u u u xy +--= .2ηηξηξξu u u u yy ++=将上述各式带入方程（2.1.22），得第一种标准形式.021=-ηξηu u （2.1.23） 若令,2,2ηξηξ-=+=t s 则得到第二种标准形式.0=+--t s tt ss u u u u （2.1.24）下面对式（2.1.24）进一步化简。