2010全国数学建模d题

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 20101219 所属学校（请填写完整的全名）： 淮安信息职业技术学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 王姚 2. 杨彬 3. 黄影影 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 刘 嘉

日期： 2010 年 9月 13 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人

评 分

备 注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号） 1

对学生宿舍设计方案的评价 摘 要 本文主要采用层次分析法对四种学生宿舍的设计进行评价。

首先，根据调查我们得到经济性、舒适性、安全性的一组正互反对比矩阵，见（矩阵一），然后可以根据这组矩阵得出特征向量w，然后根据调查得出【建设成本、运行成本、收费标准】、【人均面积 使用方便 互不干扰 采光 通风】、【人员疏散、防盗】得出这样的3组矩阵，见（矩阵二到四），应用MATLAB并分别可得出对应的特征向量。 然后，我们根据每种学生宿舍设计方案的楼层平面图，可以计算各个指标的数值，接着根据这些指标我们根据假设对这些指标量化。根据量化的指标值，将每种数值归类，便可以得出一组四行十列的矩阵，根据每种方案的条件又可以得出10组四乘四的矩阵，便可以得出相应的的特征向量，以此作依据，计算出最终的权重，然后比较权重即得出最佳方案。我们利用层次分析法，得到四种设计方案的权重分别为：1p=0.2282；

2p=0.2533；3p=0.3450；4p=0.2821。因为3p>4p>2p>1p,所以我们组认为方案设计三为最优设计方案。

关键词：模糊层次分析法、MATLAB编程、权重、特征向量、成反对比矩阵 2

一 问题重述 高等学校的根本任务是培养德、智、体等诸方面全面发展的社会主义事业的建设者和接班人。学生宿舍是大学生生活、学习的重要场所，它集教育、管理、服务于育人的全过程，是高校必不可少的运行系统和必备的基础条件。多年来，人们一直在探求高校宿舍管理工作的有效方法，摸。 学生宿舍事关学生在校期间的生活品质, 直接或间接地影响到学生的生活、学习和健康成长。学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计既要让学生生活舒适，也要方便管理, 同时要考虑成本和收费的平衡。需要我们做的是建立数学模型，从附件的四种比较典型的学生宿舍的设计方案中，就它们的经济性、舒适性和安全性作出综合量化评价和比较。 目前选择设计方案主要考虑以下几个方面： 从建设成本、运行成本和收费标准等方面来衡量经济性，从人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等方面考虑舒适性，而安全性我们侧重于人员疏散和防盗….. 现在需要解决以下几个问题： 1.根据我们所了解到数学建模知识，选择方案要考察方案的那些情况？哪些因素是数学建模的关键因素，如何考察？ 2.根据上述信息，建立合理的数学模型，从中选出一个设计放案，使该设计方案的满意度最大。 3.若只从建设成本或舒适度方面考虑，而忽略其他方面，这种做法是不可取的。

二、问题分析 1.经济性方面：经济性包括好多方面，如果面面俱到，则会把问题复杂到无法解决，所以我们采取抓主要矛盾，淡化次要矛盾。再考路建设成本时，我们将成本的高低与建筑面积相联系；考虑运行成本时，我们将其与建筑面积、管理、维修等联系，并对其进行了理想化假设;收费标准的决定因素除了与建筑面积相联系，可容纳的学生数也是不可忽略的，为了将模型建立起来，我们做了一些具体假设

2.舒适性方面：我们认为，学生宿舍的最根本目的是提供学生住宿，所以我们以人均宿舍面积作为主要标准来衡量人均面积；在使用方便方面，设备越齐全用起来越舒服，鉴于四种设计方案设备的不统一性，我们采用量化的方法，有一个设备，其期望值就加一，期望值越大，被选的机率也就越大。结合自身，我们发现大部分时间都呆在宿舍，所以，在宿舍里，和你待的人越少，被打扰的机率就越小，也就是说你的私人空间越大，我们考虑以此作为衡量标准。采光和通风是我们量化的难点，也不知道究竟该怎样去衡量，在此，我们从实际出发，结合自己住宿经验，结合相关资料做了一些假设我们将通风性用四个指标来衡量，按照决定性依次降低的顺序排列为：有窗户有无、走廊宽窄、宿舍密度大小……当第一个因素（窗户有无）无法判别出顺序是，在考虑第二个因素，依次下去，直到比较出顺序为止。 3.安全性方面：学校宿舍是生活、学习的场所，随着宿舍意外的发生，安全性问题也被越来越重视，如何在火场逃生等自救问题学校也是越来越加强教育，我们知道，紧急情况下，楼梯是最优逃生渠道，所以楼梯宽度和走廊宽度所占的比率是一个很好的衡量的衡量标准，当然，走在宽敞的路上，我们的心情也会好些，我们只是在居安思危，防患于未然。对于防盗问题，人多、楼梯多不便管理，所以人多、楼梯多就成为防盗制约因素，人、楼梯数越多，就安全方面越不会被我们考虑，我们用衡量采光的方法来考 3

虑此问题。 三、模型假设 1、建设成本=（建筑面积*每平方价格），假设每平方价格为单位1； 2、根据网上调查：一个新建校区的高档留学生公寓，总建筑面积为65112㎡，运行费用为226.87万元/，则可计算单位面积的运行费用=运行费用/建筑面积；【2】 3、假设宿舍楼寿命30年,收费标准=(建设成本/30+运行成本)/人数； 4、使用方便性=服务设施的种类。服务种类越多，使用越方便。其中服务设施包括盥洗室、卫生间、淋浴间、活动室、夜间自习室、餐厅、垃圾间、开水间、厨房、客厅等，我们按照服务设施的种类进行累计，如：设计方案一没有开水间则计为0，设计方案二有开水间则计为1，最后用各个方案的累加值来表示其使用方便性，数值越大，方便性越强。 5、互不干扰包括好多，但是我们认为一个宿舍房间住的人数越多，互相干扰的就越厉害，人数越少，干扰性越小，如：八人间即使面积大一点也没有两人间干扰性小。 6、采光性=（东面房间数/总房间数）*25%+（南面房间数/总房间数）*50%+（西面房间数/总房间数）*25%+（北面房间数/总房间数）*5% ，其中设：东西方向照射阳光的时间各占25%，向南方向照射阳光的时间占45%，正北方向（或无阳光照射的地方）照射阳光时间占5%，无窗户就无采光； 7、通风性分为四个等级1、2、3、4，有窗户有无（主要因素），走廊宽窄（其次），宿舍密度[假设用每100平方米中宿舍个数表示](再次)大小，通风性好； 8、人员疏散性=通道面积/总人数，其中通道面积包括走廊面积和楼梯面积（忽略墙壁厚度）； 9、防盗性分为四个等级1、2、3、4，等级越高，防盗性越好。在这里我们主要考虑人数越少，楼梯个数越少，防盗越好。 四、符号说明

符号 含义 A 最终选择的方案 1B 经济性 2B 舒适性 3B 安全性 1C 建设成本 2C 运行成本 3C 收费标准 4C 人均面积 5C 使用方便 6C 互不干扰

7C 采光 8C 通风

9C 人员疏散 10C 防盗

1D 设计方案一

2D 设计方案二 4

3D 设计方案三 4D 设计方案四 CI 一致性指标 RI 随机一致性指标 CR 一致性检验指标 Y 优先级 J 加权值

max 加权值/优先级的

 单位面积的运行费用

n 决定因素的个数

 最大特征值

iW 第i个矩阵的特征向量

iP 第i个方案的权重

五、模型建立与求解 5.1模型的建立 层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。 5.1．1建立递阶层次结构模型； 我们根据附表中的四种设计方案，利用层次分析法建立如下层次图：

图1 【注】第一层称为目标层，第二层称为准则层，第三层称为指标层，最下层称为方案层。