高中数学必修一导学案 3.1.2用二分法求方程的近似解教案 新人教版必修1
高一数学必修一第三章第二节用二分法求方程的近似解公开课一等奖优秀课件
反思与感悟
用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取， 符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断， 以决定是停止计算还是继续计算.
3 • 题型探究
跟踪训练1 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零 点.(精确度0.01)
0.261 0 0.103 3 0.027 3 －0.010 0
由于1.265 625－1.257 812 5＝0.007 812 5<0.01， 所以 1.265 625 是函数的零点的近似值，即3 2的近似值是 1.265 625.
反思与感悟
“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点 附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.
2＋4 f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点 x1＝ 2 ＝3，计算得 f(2)·f(x1)<0，则此
时零点 x0 所在的区间是( B )
A.(2,4) C.(3,4)
B.(2,3) D.无法确定
规律与方法
1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间 的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度， 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
二分法的概念： 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ， 使 区 间 的 两 个 端 点 逐步逼近零，点进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 方程的近似解 .
2 • 问题导学
高一数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解 3课件 新人教A版必修1
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 第11次
左端点
0 0 0.5 0.5 0.625 0.6875 0.71875 0.734 375 0.742 1875 0.742 1875 0.742 1875
右端点
2 1 1 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.746 093 75 0.744 140 675
值α满足|a-α|<ε或|b-α|<ε，所以只需取零点近似解x0=a或(b).
（2）若在区间［an,bn］上，|an-bn|<2ε，取零点近似解x0=
，
则|x0-a|< |an-bn|<ε.
返回
［1.437 5,1.463 125］
x7 1.4453125
f(x7)>0
［1.437 5,1.445 312 5］
返回
∵1.445 312 5-1.437
1.4375 1.4453125
5=02.007 812 5<0.01,
∴
【 确评定≈近1似.析要44解使】为.函区此数间类的长问一度题个 小的，求否解则，会首增先加是运大算致次区数间和的
元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，
猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际
上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设
计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
价格区间［500,1 000］的中点750,如果主持人说低了，就
再取［750,1 000］的中点875；否则取另一个区间
返回
学点一 用二分法求零点的近似值 求函数f(x)=x3-3的一个正零点（精确到0.01）.
3.1.2用二分法求方程的近似解
函数f ( x ) ln x 2 x 6的零点.
方程 ln x 2 x 6 0的根.
1.你能找出零点落在下列哪个区间吗？ A.1,2 B.2,3 C .3,4 D.4,5 2.你能继续缩小零点所在的区间吗？
定义如下： 对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所 在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步 逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 二分法（bisection）
关键点
1.零点的初始区间的确定 2.缩小区间的方法
3.零点的精确化
二 数学应用
课题: 3.1.2 用二分法求方程的近似解
(1) 如何求方程 x2-2x-1=0 的一个正的近似解 . （精确到0.1）
一 方法探究
方程的解
(1) x
2
2x 1 0
方 程 f ( x ) 0 的 根 函 数 y f ( x )的 零 点
函 数 y f ( x )图 像 与 X 轴 的 交 点 的 横 坐 标
1.确定区间[a,b]，验证f(a)· f(b)<0,给定精确度ε ；
编写程序
4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε，则得到零 点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4．
用二分法求方程的近似解一般步骤：
口 诀
定区间，找中点， 同号去，异号算， 周而复始怎么办? 中值计算两边看. 零点落在异号间. 精确度上来判断.
4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点 近似值a(或b);否则重复步骤2~4．
2021-2022学年人教A版必修一 3.1.2 用二分法求方程的近似解 教案(5)
《二分法》教学设计一、地位与作用本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第三章《函数的应用》3.1《函数与方程》中第3.1.2节《用二分法求方程的近似解》，二分法是求方程近似解的常用方法，学生在求方程近似解的过程中，将方程解的问题转化为函数的零点问题，并能结合图像初步确定零点所在区间，体现了化归与转化的思想、函数与方程的思想、数形结合思想、逼近的思想，本节课可以帮助学生体会多种数学思想方法的应用，二分法的逼近思想为数学必修3中算法内容的学习做了铺垫，也为后面学习球的面积、体积公式等微积分知识奠定了基础，本节课有着它特有的地位与作用。
二、教育理念和教学方式学生是学习的主体，是课堂的主人，教师是学生课堂学习的引导者和领路人，在本节课的教学过程中，教师以问题为线索，设计合理的教学情境，激发学生的学习热情，引导学生积极参与课堂，在自主探索与合作交流中尝试解决问题。
本着以人为本的原则，课堂上，教师为学生搭设平台，用激励的语言鼓励各层次学生参与学习和思考，尊重学生的想法并给予适时的引导，帮助学生实现自我价值，调动学生学习的积极性，让学生学习中体会成功的喜悦。
三、学情分析对于学生来说，本节课的知识内容较独立，比较抽象，难于理解，有零点的存在性定理为基础，学生对如何确定零点的大致范围有基本的思路，但不追求细节，教师应从学生学习的角度出发，搭设合理的台阶，设计符合学生思维的问题，以问题为载体，师生互动与探究中帮助学生提高数学素养和能力。
四、教材处理教材在本节内容呈现上过渡较快，不符合班级学生的基础和认知，教师在设计上由易到难、由浅入深，复习相关知识后，层层递进，搭设合理台阶，符合学生的认知水平，利于学生学习。
五、教学目标及重难点（一）教学目标知识与技能目标1、初步理解求方程近似解的二分法思想2、掌握二分法及其实施步骤3、能够借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解过程与方法目标回顾零点及零点的存在性定理，自主探究用二分法求方程的近似解情感态度与价值观目标感受从具体到一般的认知过程，在自主探究中提升学生学习信心及学习积极性重、难点重点：二分法思想及其实施步骤难点：二分法求函数零点的步骤及精确度的理解六、教学流程（一）知识再现教师提出学案中设计的问题（学生温故而知新，为后面将求方程根的问题转化为求函数零点问题做铺垫）（二）新知探究教师引出学案中问题，给学生时间思考解答（发散学生思维，激发学生学习的热情和积极性）问题1：如何求方程lnx+2x-6=0的实数根？转化为求函数f(x)=lnx+2x-6的零点问题2：已知函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2,3）内有零点，如何找到这个零点？问题3：用什么样的方法将区间逐步缩小呢？问题4：区间分成两段后，怎样确定零点在哪一个小区间内？问题5：何时终止步骤？问题6：若给定精确度0.1，函数零点的近似值如何选取？0.01呢？(表格略)问题7：如果将零点所在区间改为（a,b）,如何将区间逐步缩小？区间分成两端后，怎样确定零点所在小区间？师生共同理清思路，学生尝试重复步骤求出零点，复杂计算问题教师可借助多媒体帮助解决(教师层层渗透本节课的“二分法”思想，为学生创造机会思考解决问题，引导学生自主学习)（三）形成概念教师引出二分法，学生尝试给出概念（学生进一步体会二分法的思想及逼近的思想，明确应用二分法思想求函数零点的前提条件）（四）归纳方法学生尝试梳理步骤，完成学案中的问题，教师应用多媒体以框图的形式呈现二分法步骤（学生在思考中解决步骤中的难点问题,加深对步骤的理解）（五）典例巩固教师根据课堂时间适当设计例题，学生巩固二分法的步骤，理解二分法是求方程近似解常用的方法（学生通过例题巩固方法，确定近似值的取法，体会算法的思想）（六）归纳总结学生谈感受，可能不够到位，其他同学补充（学生在总结中提升自我能力，体会数学思想）（七）板书设计（见教案）。
用二分法求方程的近似解教案
用二分法求方程的近似解一、教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位．二、学生学习情况分析学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题．三、设计思想倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合.四、教学目标通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生能够初步了解逼近思想；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程．五、教学重点和难点1．教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．2．教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．六、教学过程设计（一）创设情境，提出问题问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子．10km长，大约有200多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成学生再创造的欲望．注意学生解题过程中出现的问题，及时引导学生思考，从二分查找的角度解决问题．[学情预设] 学生独立思考，可能出现的以下解决方法：思路1：直接一个个电线杆去寻找．思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点．老师从思路2入手，引导学生解决问题：如图，维修工人首先从中点C．查用随身带的话机向两个端点测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近．师：我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件）．在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围（即二分法思想）．[设计意图] 从实际问题入手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法, 说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用．（二）师生探究,构建新知问题2：假设电话线故障点大概在函数()ln26=+-的零点位置，请同f x x x学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？1．利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，通过具体的函数图象帮助学生理解闭区间上的连续函数，如果两个端点的函数值是异号的，那么函数图象就一定与x轴相交，即方程()0f x=在区间内至少有一个解（即上节课的函数零点存在性定理，为下面的学习提供理论基础）．引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．2．我们已经知道，函数()ln26ff x x x=+-在区间（2，3）内有零点，且(2)＜0，(3)f＞0.进一步的问题是，如何找出这个零点？合作探究：学生先按四人小组探究.（倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性）生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.师：如何有效缩小根所在的区间？生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围？师：很好，一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便.因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.引导学生分析理解求区间(,)a b 的中点的方法2a b x +=． 合作探究：（学生2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程．四人小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果．）步骤一：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得(2.5)0.0840f ≈-<. 由(3)f ＞0，得知(2.5)(3)0f f ⋅<，所以零点在区间(2.5，3)内。
人教版·数学Ⅰ_312用二分法求方程的近似解
课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：
重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．教学程序与环节设计：
由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围．
．二分法为什么可以逼近零点的再分析；
．追寻阿贝尔和伽罗瓦．
教学过程与操作设计：。
3.1.2用二分法求方程的近似解(s必修一 数学 优秀课件)
f (2.75) 0.512 0
f (2.5) f (2.75) 0 所以零点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于 (2,3) (2.5,3) (2.5, 2.75) 所以零点所在的范围确实越来越小
用二分法求方程的近似解：
口 诀
定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
x 2 bx c, x 0 5.设函数 f ( x) ，若f (– 4) = f (0)， x0 2,
f (– 2) = – 2，则关于x的方程f (x) = x的解的个数为（ （B ） 2 （C ）3 （D ）4
）
（A ）1
6.若直线y = 2a与函数y = | a x– 1 |（a > 0且a ≠ 1）的
函数f(x)的一个零点在（-1，0）内，另一个零点在（2，3）内
y
如何进一步有效缩小根所在的区间？ 第一步：得到初始区间（2，3） 第二步：取2与3的平均数2.5 第三步：再取2与2.5的平均数2.25 如此继续取下去： 若要求结精确度为0.1，则何时停 止操作？
y=x2-2x-1
-1 0 1 2 3 2.25 2
15
10
y
-
(2,3)
+
2.5 2.75 2.625
-0.084
0.512
-20
1
5
（2.5，3） +
0.5
-10 0.25
-(2.5,2.75)+
0.215
o
5
10
x
-(2.5,2.625)+ 2.5625
(2.5,2.5625)
3.1.2 用二分法求方程的近似解
3．1.2用二分法求方程的近似解课时目标 1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．1．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求________________________________________________________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：(1)确定区间[a，b]，验证____________，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点____；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则________________；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈________)；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈________)．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．一、选择题1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是()A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关2．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 007)<0，f(2 008)<0，f(2 009)>0，则下列叙述正确的是()A．函数f(x)在(2 007,2 008)内不存在零点B．函数f(x)在(2 008,2 009)内不存在零点C．函数f(x)在(2 008,2 009)内存在零点，并且仅有一个D．函数f(x)在(2 007,2 008)内可能存在零点4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间()A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定5A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)6．已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0 2)>0二、填空题7．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)①(－∞，1]②[1,2]③[2,3]④[3,4]⑤[4,5]⑥[5,6]⑦[6，＋∞)8.x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．三、解答题10．确定函数f(x)＝12log x＋x－4的零点所在的区间．11．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)能力提升12．下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的命题：①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．那么以上叙述中，正确的个数为()A．0 B．1 C．3 D．413．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？知识梳理1．f(a)·f(b)<0一分为二逐步逼近零点方程的近似解2．(1)f(a)·f(b)<0(2)c(3)①c就是函数的零点②(a，c)③(c ，b )作业设计1．B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]2．A [由选项A 中的图象可知，不存在一个区间(a ，b )，使f (a )·f (b )<0，即A 选项中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．]3．D4．B [∵f (1)·f (1.5)<0，x 1＝1＋1.52＝1.25. 又∵f (1.25)<0，∴f (1.25)·f (1.5)<0，则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．]5．C [设f (x )＝2x －x 2，根据列表有f (0.2)＝1.149－0.04>0，f (0.6)>0，f (1.0)>0，f (1.4)>0，f (1.8)>0，f (2.2)<0，f (2.6)<0，f (3.0)<0，f (3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．]6．B [∵f (x )＝2x －1x －1，f (x )由两部分组成，2x 在(1，＋∞)上单调递增，－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增．∵x 1<x 0，∴f (x 1)<f (x 0)＝0， 又∵x 2>x 0，∴f (x 2)>f (x 0)＝0.]7．③④⑤8．[2,2.5)解析 令f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)＝－1<0，f (3)＝16>0，f (2.5)＝15.625－10＝5.625>0.∵f (2)·f (2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)．9．0.75或0.687 5解析 因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．10．解 (答案不唯一)设y 1＝12log x ，y 2＝4－x ，则f (x )的零点个数即y 1与y 2的交点个数，作出两函数图象，如图．由图知，y 1与y 2在区间(0,1)内有一个交点，当x ＝4时，y 1＝－2，y 2＝0，f (4)<0，当x ＝8时，y 1＝－3，y 2＝－4，f (8)＝1>0，∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．故函数f (x )的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．11．证明 设函数f (x )＝2x ＋3x －6，∵f (1)＝－1<0，f (2)＝4>0，又∵f (x )是增函数，∴函数f (x )＝2x ＋3x －6在区间[1,2]内有唯一的零点，则方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设该解为x 0，则x 0∈[1,2]，取x 1＝1.5，f (1.5)≈1.33>0，f (1)·f (1.5)<0，∴x 0∈(1,1.5)，取x 2＝1.25，f (1.25)≈0.128>0，f (1)·f (1.25)<0，∴x 0∈(1,1.25)，取x 3＝1.125，f (1.125)≈－0.444<0，f (1.125)·f (1.25)<0，∴x 0∈(1.125,1.25)，取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5,1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴1.187 5可作为这个方程的实数解．12．A[∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．]13．解第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．∴最多称四次．。
《用二分法求方程的近似解》 教案及说明
课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解教学目标：知识与技能――通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，会用二分法求解具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用，体会程序化解决问题的思想．过程与方法――借助计算器求二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做准备．情感、态度、价值观――通过探究体验、展示、交流养成良好的学习品质，增强合作意识。
通过体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重点：重点――通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点――恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．教学方法：问题导学、数学探究：通过问题引导学生自主探究二分法的原理与步骤，以师生互动为主的教学方法。
并辅以多媒体教学手段，创设问题情景，学生根据问题研讨。
教学程序与环节设计：由猜商品价格及实际问题引入现实生活中的二分法．提出本节课研讨的数学问题．分析、研讨用二分法求方程近似解的思想、学生总结研讨成果，领悟新知识，提高认识.应用二分法解决简单问题，体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围．教学过程与操作设计：260x x +-=的近似解（误差不超过首先利用函数性质或借助计算机、出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，二分法逐步计算解答． 探究交流问题： 、你是如何确定函数()ln f x x =“用二分法求方程的近似解（一）”教案说明本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》3.1.2用二分法求方程的近似解（下面简称‘二分法’），为更好地把握这一课时内容，对本课时教案给予以下说明.一、授课内容的数学本质本课时的主要任务是结合3.1.1中的例1，介绍二分法的基本操作思路，在此基础上又从算法思想的角度归纳了二分法的一般操作步骤，并使学生尝试用二分法按给定的精确度、借助计算器或计算机等，求一个具体方程的近似解. 借以体验从具体到一般的认识过程，渗透运动变化（逐步逼近）和极限思想（无限逼近），初步体会“近似是普遍的、绝对的，精确则是特殊的、相对的”辩证唯物主义观点，树立追求真理、崇尚科学的信念.函数与方程是中学数学的重要内容之一，又是初等数学和高等数学的衔接的枢纽，其实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系，因而函数与方程思想的教学，有着不可替代的重要位置。
§3.1.2 用二分法求方程的近似解
第三章 函数的应用3.1 函数与方程§3.1.2 用二分法求方程的近似解【学习目标】根据具体函数图象，能够借助计时器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.【预习提纲】1. 二分法的定义：对于在区间[a ，b]上 且 的函数y=f （x ），通过不断地把函数y=f （x ）的零点所在的区间一分为二， ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2.用二分法球函数零点的一般步骤：（1） 确定区间[a ，b]，验证 ，给定 ；（2） 求区间（a ，b ）的中点c ；（3） 计算f （c ）；① 若 ，则 就是函数的零点；② 若 ，则令 ；③ 若 ，则令 ；（4）判断是否达到 ：即若 ，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）到（4）。
【例题精讲】例1. 借助计算器或计算机，用二分法求方程2x －x 2＝0在区间(－1,0)内的实数解(精确到0.01)．例2.求函数62ln )(-+=x x x f 在区间)3,2(内的零点.【归纳点拨】二分法的第一步可以结合函数的图象来初步判断根的分布区间；在解题过程中，只有区间端点的函数值异号才能使用二分法算下去．最终视函数值的绝对值的大小尽快逼近满足精确度要求的零点．【课堂反馈】1 下列函数图像与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是（ ）2.根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)3.函数f (x )＝2x －log 12x 的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1,2)4.判断方程x 3－x －1＝0在区间[1,1.5]内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1)．【总结思考】本节课你都学会了什么？有哪些收获？【巩固延伸】1．若函数)(x f 是奇函数，且有三个零点1x 、2x 、3x ，则321x x x ++的值为( )A ．－1B ．0C ．3D ．不确定 2．已知],[,)(3b a x x x x f ∈--=，且0)()(<⋅b f a f ，则0)(=x f 在[a ，b ]内( )A ．至少有一实数根B ．至多有一实数根C ．没有实数根D ．有惟一实数根 3．设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f )则)(x f y = ( ) A ．在区间)1,1(e ，(1，e )内均有零点B ．在区间)1,1(e ， (1，e )内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点；在区间(1，e )内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间(1，e )内有零点4．若方程x 2－3x ＋mx ＋m ＝0的两根均在(0，＋∞)内，则m 的取值范围是( )A ．m ≤1B ．0<m ≤1C ．m >1D ．0<m <1 5．函数)(x f ＝(x －1)ln(x －2)x －3的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．函数y ＝3x －1x 2的一个零点是( ) A ．－1 B ．1 C ．(－1,0) D ．(1,0)7．函数)(x f ＝ax 2＋bx ＋c ，若0)2(,0)1(<>f f ，则)(x f 在(1,2)上零点的个数为( )A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有【挑战自我】1.方程32x x =精确到0.1的一个近似解是________．2.借助计算器或计算机用二分法求方程(x ＋1)(x －2)(x －3)＝1在区间(－1,0)内的近似解．(精确到0.1)【参考答案】预习提纲 略（教材）例题精讲例1.令f (x )＝2x －x 2，∵f (－1)＝2－1－(－1)2＝－12<0，f (0)＝1>0， 说明方程f (x )＝0在区间(－1,0)内有一个零点．取区间(－1,0)的中点x 1＝－0.5，用计算器可算得f (－0.5)≈0.46>0.因为f (－1)·f (－0.5)<0，所以x 0∈(－1，－0.5)．再取(－1，－0.5)的中点x 2＝－0.75，用计算器可算得f (－0.75)≈－0.03>0.因为f (－1)·f (－0.75)<0，所以x 0∈(－1，－0.75)．同理，可得x 0∈(－0.875，－0.75)，x 0∈(－0.812 5，－0.75)，x 0∈(－0.781 25，－0.75)，x 0∈(－0.781 25，－0.765 625)，x 0∈(－0.773 437 5，－0.765 625)．由于|(－0.765 625)－(0.773 437 5)|<0.01，此时区间(－0.773 437 5，－0.765 625)的两个端点精确到0.01的近似值都是－0.77，所以方程2x －x 2＝0精确到0.01的近似解约为－0.77.例2.略（教材）课堂反馈1.B2. C.3. B4.设函数f (x )＝x 3－x －1，因为f (1)＝－1<0，f (1.5)＝0.875>0，且函数f (x )＝x 3－x －1的图象是连续的曲线，所以方程x 3－x －1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．取区间(1,1.5)的中点x 1＝1.25，用计算器可算得f (1.25)＝－0.30<0.因为f (1.25)·f (1.5)<0，所以x 0∈(1.25,1.5)．再取(1.25,1.5)的中点x 2＝1.375，用计算器可算得f (1.375)≈0.22>0.因为f (1.25)·f (1.375)<0，所以x 0∈(1.25，1.375)．同理，可得x 0∈(1.312 5,1.375)，x 0∈(1.312 5，1.343 75)．由于|1.343 75－1.312 5|<0.1，此时区间(1.312 5，1.343 75)的两个端点精确到0.1的近似值是1.3，所以方程x 3－x －1＝0在区间[1,1.5]精确到0.1的近似解约为1.3.巩固延伸1.B.2. D.3.D.4. B.5.A.6.B.7.C.挑战自我1.1.42.方程在(－1,0)内精确到0.1的近似解为－0.9.。
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3.1.2用二分法求方程的近似解（教学设计） 教学目标： 知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用． 过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备． 情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点： 重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识． 难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 一、复习回础，新课引入： 高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数)(xfy的零点（即0)(xf的根），对于)(xf为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）． 在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题． 二、师生互动，新课讲解：
1、二分法：
上节（P88例1）课我们已经知道，函数62ln)(xxxf在区间（2，3）内有零点，问题是：如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．下面介绍一种求近似解的方法． 我们知道，函数)(xf的图象与直角坐标系中x轴交点的横坐标就是方程0)(xf的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解． （1）在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5； （2）用计算器计算084.0)5.2(f，因为0)3()5.2(ff，所以零点在区间)3,5.2(内； （3）再取区间)3,5.2(中点2.75，用计算器计算512.0)75.2(f，因为0)75.2()5.2(ff，所以零点在区间)75.2,5.2(内．
（4）重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值． 本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出（课本第89页表3-2）． 当精确度为0.01时，由于0078125.053125.25390625.201.0，所以，我们可将53125.2x作为函数62ln)(xxxf零点的近似值，也即方程062lnxx根的近似值． 对于在区间],[ba上连续不断且0)()(bfaf的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）． 给定精确度，用二分法求函数)(xf零点近似值的步骤如下： 1）确定区间],[ba，验证0)()(bfaf，给定精确度； 2）求区间),(ba的中点c； 3）计算)(cf； 4）判断：（1）若0)(cf，则c就是函数的零点；（2）若0)()(cfaf，则令cb（此时零点),(0cax）；（3）若0)()(bfcf，则令ca（此时零点),(0bcx）． 5）判断：区间长度是否达到精确度？即若ba，则得到零点近似值；否则重复2——5． 说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于都是重复性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算． 例1（课本P90例2）借助计算器或计算机用二分法求方程732xx的近似解（精确到1.0）．
小结： 1） 结论：图象在闭区间a[，]b上连续的单调函数)(xf，在a(，)b上至多有一个零点． 2） 函数零点的性质 从“数”的角度看：即是使0)(xf的实数；
从“形”的角度看：即是函数)(xf的图象与x轴交点的横坐标； 若函数)(xf的图象在0xx处与x轴相切，则零点0x通常称为不变号零点； 若函数)(xf的图象在0xx处与x轴相交，则零点0x通常称为变号零点． 3） 用二分法求函数的变号零点 二分法的条件)(af·)(bf0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点． 变式训练1：求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)． 解 设f(x)＝x2－2x－1. ∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0， ∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0. 取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0， ∴2再取2与2.5的平均数2.25， ∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25再取2.25与2.5的平均数为2.375， f(2.375)＝－0.109 4<0，
∴2.375f(2.437 5)＝0.066 4>0.
∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1， ∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5. 点评 对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求之． 例2：已知函数()fx在区间[,]ab上是连续不断的曲线，判断下列结论，正确的是 ① 若()()0fafb，则函数()fx在(,)ab内有且只有一个零点 ② 若()()0fafb，则函数()fx在(,)ab内无零点 ③ 若()fx在(,)ab内有零点，则()()0fafb ④ 若()()0fafb，则函数()fx在(,)ab内有零点 ⑤ 若()()0fafb，则函数()fx在(,)ab内有零点 【解析】①有条件()()0fafb，则函数()fx在(,)ab内可能不止一个零点，如3()4fxxx有（－3，3）内有三个零点；②在()()0fafb下函数()fx在(,)ab内未必没有零点，如2()4fxx在（－3，3）内有两个零点；③()fx在(,)ab内有零点，()()0fafb未必成立，如2()4fxx在（－3，3）内有零点，但(3)(3)0ff；④注意端点问题，可能,ab恰好使得()fx＝0．本题从多角度、多侧面考查对定理的理解，对培养学生思维的严密性很有帮助．答案：⑤ 变式训练2：（课本P92习题3.1 A组：NO：1）
例3：已知函数2()21fxkxx，当k为何值时，函数()fx在R上有一个零点？两个零点？无零点？ 【解析】 当k＝０时，()fx是一次函数，在R上有且只有一个零点；当0k时，()fx是二次函数，其零点个数由的符号决定．又44k，当1k时，0，()fx无零点；当1k时，0，()fx有一个零点；当1,0kk时，0，()fx有两个零点．综上所述，当k＝０或1k时，函数有一个零点；当1,0kk时，函
数有两个零点；当1k时，函数没有零点． 变式训练3：函数2()fxxaxb的零点是－１和２，求函数3()gxaxbx的零点． 解：由已知得1,2是方程20xaxb的两根, 10420abab
,解得:1,2ab
由320xx得:2(2)0xx,即0x. 故函数()gx的零点是0. 三、课堂小结，巩固反思： 1．二分法的理论依据是什么？
二分法的理论依据是：如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续不断，且0)()(bfaf，那么一定存在),(bac，使0)(cf． 2．二分法的实施要点是什么？ 二分法寻找零点的过程是将一个含有零点的区间],[ba平分为两个小区间，判断哪个小区间内含有零点，再将该小
区间平分，„„，通过n次的平分、判断，使零点存在于一个长度nabl2的小区间．当n适当大时，l满足精确度的允许范围，于是小区间内的值可作为函数零点的近似值． 四、布置作业： A组： 1．下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3 C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx 答案 C 解析 对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0， 即函数f(x)＝|x|存在零点； 当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)>0， ∴f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点但零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点． 2．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点( B )． A．至少有一个 B．至多有一个 C．有且只有一个 D．可能有无数个 3．(2011·新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )．
A.－14，0 B. 0，14 C.14，12 D.12，34
解析 因为f14＝e14＋4×14－3＝e14－2＜0，f12＝e12＋4×12－3＝e12－1＞0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为14，12. 答案 C 4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根为 。（答案：1.437 5 ） 5．若函数f(x)在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分( )
A．5次 B．6次 C．7次 D．8次
解析：设对区间(1,2)至少二等分n次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为12，第2次二等分后区间长为122，
第3次二等分后区间长为123，„，第n次二等分后区间长为12n.依题意得12n<0.01，∴n>log2100.由于6即n＝7为所求． 答案：C
6.[2014·北京卷] 已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是( ) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞) 6．C [解析] 方法一：对于函数f(x)＝6x－log2x，因为f(2)＝2>0，f(4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C. 7．方程ln260xx在区间上的根必定属于区间（ B ）