2014届高三理科数学高考模拟题

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2014年高考数学理科(高考真题+模拟新题)分类汇编：M单元推理与证明

数学M单元推理与证明M1 合情推理与演绎推理8．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有() A．2人B．3人C．4人D．5人8．B[解析] 假设A、B两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的．因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即3位学生的成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件．20．[2014·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)20．解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.15．、[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．15．6[解析] 若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确；若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4.若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b ＝1，由a ≠1，c ≠2，d ≠4，得满足条件的有序数组为a ＝2，b ＝1，c ＝4，d ＝3或a ＝3，b ＝1，c ＝4，d ＝2或a ＝4，b ＝1，c ＝3，d ＝2；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6. 19．、[2014·广东卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式． 14．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．14．A [解析] 由于甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A 城市．又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A 城市．14．猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________．14．F ＋V －E ＝2 [解析] 由题中所给的三组数据，可得5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，由此可以猜想出一般凸多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 所满足的等式是F ＋V －E ＝2.M2 直接证明与间接证明 4．[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A. 方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D. 方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根4．A [解析] “方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.M3 数学归纳法 21．、、[2014·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p . 21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x . 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立．(2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p .①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p成立．由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p a －p k ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1. 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k p＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1p>1＋p · 1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k . 因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p 均成立．再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n <1，即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p ，则x p ≥c ，所以f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p ⎝⎛⎭⎫1－c x p >0. 由此可得，f (x )在[c 1p ，＋∞)上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1p .①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p 1>c 可知 a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p ，故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p 成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p)，即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p均成立．19．、[2014·广东卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．22．、[2014·全国卷] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2.22．解：(1)易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2.(i)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数；若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)是减函数；若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)是增函数．(ii)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，所以f (x )在(－1，＋∞)是增函数.(iii)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，0)是增函数；若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． (2)由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln(x ＋1)>2xx ＋2(x >0)．又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在[0，3)是减函数．当x ∈(0，3)时，f (x )<f (0)＝0，即ln(x ＋1)<3xx ＋3(0<x <3)．下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3n ＋2.(i)当n ＝1时，由已知23<a 1＝1，故结论成立．(ii)假设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln ⎝⎛⎭⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3，a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln ⎝⎛⎭⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n ＝k ＋1时，有2k ＋3 <a k ＋1≤3k ＋3，结论成立．根据(i)(ii)知对任何n ∈结论都成立．21．，，，[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g (x )＝x1＋x (x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x 1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a（1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立．综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝xx ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝ ⎠⎛0n ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)，结论得证．22．，，[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 22．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式．当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题 a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即 1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，存在 c ＝14使a 2n <C <a 2a ＋1对所有n ∈N *成立．方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立．由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14. ③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2.所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14. ④ 综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．2．[2014·陕西五校联考] 设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c.类比这个结论可知：四面体P -ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P -ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 42．C [解析] 由类比推理可知，选项C 正确． 4．[2014·烟台一模] 对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 22＝1＋3，32＝1＋3＋5，42＝1＋3＋5＋7，…； 23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，….根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，p 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋p ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．124．C [解析] 由归纳推理可知，m ＝6，p ＝5，∴m ＋p ＝11.6．[2014·衡水中学调研] 已知椭圆中有如下结论：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上斜率为1的弦的中点在直线x a 2＋y b 2＝0上．类比上述结论可推得：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上斜率为1的弦的中点在直线________________________________________________上．6.x a 2－yb 2＝0 [解析] 由类比推理可得．7．[2013·湖南两校联考] 在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，点D 是点A 在BC 边上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A -BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是点A 在平面BCD 内的射影，且点O 在平面BCD 内，类比平面三角形射影定理，△ABC ，△BOC ，△BDC 三者面积之间的关系为________．7．S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BDC [解析] 如图所示，依题意作出四面体A-BCD.连接DO ，并延长交BC 于点E ，连接AO ，AE ，则易知AO ⊥DE ，BC ⊥AO.由DA ⊥平面ABC ，得DA ⊥BC ，又DA ∩AO ＝A ，所以BC ⊥平面AED ，所以DE ⊥BC ，AE ⊥BC.又易知△AED 为直角三角形，其中∠DAE ＝90°，AO 为斜边ED 上的高，所以由射影定理得AE 2＝EO ·ED.又S △ABC＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·EO ，S △BDC ＝12BC·DE ，所以AE ＝2S △ABC BC ，EO ＝2S △BOC BC ，DE ＝2S △BDC BC.由AE 2＝EO·ED ，得S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BDC .11．[2014·山东日照一中月考] 二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S＝πr 2，则S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，则V ′＝S .已知四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________．11．2πr 4 [解析] 因为(2πr 4)′＝8πr 3，所以猜想W ＝2πr 4.。

2014年高考数学理科(高考真题+模拟新题)分类汇编：E单元不等式

数学E 单元不等式E1 不等式的概念与性质 5．，，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A. 1x 2＋1＞1y 2＋1 B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 35．D [解析] 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)，1x 2＋1＞1y 2＋1都不一定正确，故选D.4．[2014·四川卷] 若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c4．D [解析] 因为c ＜d ＜0，所以1d <1c ＜0，即－1d >－1c ＞0，与a ＞b ＞0对应相乘得，－a d >－b c ＞0，所以a d <bc.故选D.E2 绝对值不等式的解法 9．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 9．D [解析] 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8.当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a 2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.E3 一元二次不等式的解法 2．、[2014·全国卷] 设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0) D ．(－1，0]2．B [解析] 因为M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝{x |－1<x <4}∩{0≤x ≤5}＝{x |0≤x <4}．12．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝3sin πxm ，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)12．C [解析] 函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2＋k π，即x ＝m ⎝⎛⎭⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝⎛⎭⎫k 0＋122＋3<m 2.因为⎝⎛⎭⎫k ＋122的最小值为14，所以只要14m 2＋3<m 2成立即可，即m 2>4，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．E4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题5．[2014·安徽卷] x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1 5．D [解析]方法一：画出可行域，如图中阴影部分所示，可知点A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2), 则z A ＝2，z B ＝－2a ，z c ＝2a －2.要使对应最大值的最优解有无数组，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.方法二：画出可行域，如图中阴影部分所示，z ＝y －ax 可变为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，则由题意知l 0∥AB 或l 0∥AC ，故a ＝－1或a ＝2.6．[2014·北京卷] 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－126．D [解析] 可行域如图所示，当k >0时，知z ＝y －x 无最小值，当k <0时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，kx －y ＋2＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，故z min ＝0＋2k ＝－4，即k ＝－12.11．[2014·福建卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．11．1 [解析] 作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z ，则当直线y ＝3x ＋z 经过点(0，1)时，z 最小，将点(0，1)代入z ＝3x ＋y ，得z min ＝1，即z ＝3x ＋y 的最小值为1.3．[2014·广东卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．83．B [解析] 本题考查运用线性规划知识求目标函数的最值，注意利用数形结合思想求解．画出不等式组表示的平面区域，如图所示．当目标函数线经过点A (－1，－1)时，z 取得最小值；当目标函数线经过点B (2，－1)时，z 取得最大值．故m ＝3，n ＝－3，所以m －n ＝6.14．[2014·湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.14．－2 [解析] 画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z ＝2x ＋y 在点A (k ，k )处取最小值，即3k ＝－6，解得k14．[2014·全国卷] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．14．5 [解析] 如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC 的内部(包括边界), z ＝x ＋4y 的最大值即为直线y ＝－14x ＋14z 的纵截距最大时z 的值．结合题意，当y ＝－14x ＋14z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋2y ＝3，可得点A 的坐标为(1，1)，所以z max ＝1＋4＝5.9．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4 D ．p 1，p 39．B [解析] 不等式组表示的区域D 如图中的阴影部分所示，设目标函数z ＝x ＋2y ，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (2，－1)处取得最小值，且z min ＝2－2＝0，即x ＋2y 的取值范围是[0，＋∞)，故命题p 1，p 2为真，命题p 3，p 4为假．9．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．29．B [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (5，2)处取得最大值，故目标函数的最大值为2×5－2＝8.9．[2014·山东卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值2 5时，a 2＋b 2的最小值为( )A. 5B. 4C. 5D. 29．B [解析] 画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当目标函数z ＝ax ＋by 过点A (2，1)时，z 取得最小值，即2 5＝2a ＋b ，所以2 5－2a ＝b ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(2 5－2a )2＝5a 2－8 5a ＋20，构造函数m (a )＝5a 2－8 5a ＋20(5>a >0)，利用二次函数求最值，显然函数m (a )＝5a 2－85a ＋20的最小值是4×5×20－（8 5）24×5＝4，即a 2＋b 2的最小值为4.故选B.18．，[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 18．解：(1)方法一：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2. 方法二：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)，∴|OP →|＝2 2.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.5．，[2014·四川卷] 执行如图1-1所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )图1-1A ．0B ．1C ．2D ．35．C [解析] 题中程序输出的是在⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0的条件下S ＝2x ＋y 的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x ＝1，y ＝0时，S ＝2x ＋y 取得最大值2，2>1，故选C.2．[2014·天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．B [解析] 画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1×1＋2×1＝3.13． [2014·浙江卷] 当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．13.⎣⎡⎦⎤1，32 [解析] 实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，图中A (1，0)，B (2，1)，C ⎝⎛⎭⎫1，32.当a ≤0时，0≤y ≤32，1≤x ≤2，所以1≤ax ＋y ≤4不可能恒成立；当a >0时，借助图像得，当直线z ＝ax ＋y 过点A 时z 取得最小值，当直线z ＝ax ＋y 过点B 或C 时z 取得最大值，故⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，1≤a ＋32≤4，解得1≤a ≤32.故a ∈⎣⎡⎦⎤1，32.E6 2a b+≤16．、[2014·辽宁卷] 对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．16．－2 [解析] 由题知2c ＝－(2a ＋b )2＋3(4a 2＋3b 2)．(4a 2＋3b 2)⎝⎛⎭⎫1＋13≥(2a ＋b )2⇔4a 2＋3b 2≥34(2a ＋b )2，即2c ≥54(2a ＋b )2，当且仅当4a 21＝3b 213，即2a ＝3b ＝6λ(同号)时，|2a ＋b |取得最大值85c ，此时c ＝40λ2.3a －4b ＋5c ＝18λ2－1λ＝18⎝⎛⎭⎫1λ－42－2≥－2，当且仅当a ＝34，b ＝12，c ＝52时，3a －4b ＋5c取最小值－2.14．，[2014·山东卷] 若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．14．2 [解析]T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r·⎝⎛⎭⎫b x r＝C r 6a 6－r·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a 6－3b 3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2.10．，[2014·四川卷] 已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.1010．B [解析] 由题意可知，F ⎝⎛⎭⎫14，0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝2，解得y 1y 2＝1或y 1y 2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y 1y 2＜0，即y 1y 2＝－2. 当y 21≠y 22时，AB 所在直线方程为y －y 1＝y 1－y 2y 21－y 22(x －y 21)＝ 1y 1＋y 2(x －y 21)，令y ＝0，得x ＝－y 1y 2＝2，即直线AB 过定点C (2，0)．于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y 1|＋12×2|y 2|＋12×14|y 1|＝18(9|y 1|＋8|y 2|)≥18×29|y 1|×8|y 2|＝3，当且仅当9|y 1|＝8|y 2|且y 1y 2＝－2时，等号成立．当y 21＝y 22时，取y 1＝2，y 2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728，而1728>3，故选B. 14．，[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．14．5 [解析] 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.∴|P A ||PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5，当且仅当|P A |＝|PB |时等号成立．E7 不等式的证明方法 20．[2014·北京卷] 对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记 T 1(P )＝a 1＋b 1，T k (P )＝b k ＋max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }(2≤k ≤n )，其中max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }表示T k －1(P )和a 1＋a 2＋…＋a k 两个数中最大的数． (1)对于数对序列P ：(2，5)，(4，1)，求T 1(P )，T 2(P )的值；(2)记m 为a ，b ，c ，d 四个数中最小的数，对于由两个数对(a ，b )，(c ，d )组成的数对序列P ：(a ，b )，(c ，d )和P ′：(c ，d )，(a ，b )，试分别对m ＝a 和m ＝d 两种情况比较T 2(P )和T 2(P ′)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使T 5(P )最小，并写出T 5(P )的值．(只需写出结论)20．解：(1)T 1(P )＝2＋5＝7，T 2(P )＝1＋max{T 1(P )，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8. (2)T 2(P )＝max{a ＋b ＋d ，a ＋c ＋d }， T 2(P ′)＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }．当m ＝a 时，T 2(P ′)＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }＝c ＋d ＋b .因为a ＋b ＋d ≤c ＋b ＋d ，且a ＋c ＋d ≤c ＋b ＋d ，所以T 2(P )≤T 2(P ′)．当m ＝d 时，T 2(P ′)＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }＝c ＋a ＋b .因为a ＋b ＋d ≤c ＋a ＋b ，且a ＋c ＋d ≤c ＋a ＋b ，所以T 2(P )≤T 2(P ′)．所以无论m ＝a 还是m ＝d ，T 2(P )≤T 2(P ′)都成立．(3)数对序列P ：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T 5(P )值最小， T 1(P )＝10，T 2(P )＝26，T 3(P )＝42，T 4(P )＝50，T 5(P )＝52. 19．、、[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }． (1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .19．解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0，所以s <t .E8 不等式的综合应用 9．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 9．D [解析] 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a 2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.13．[2014·福建卷] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．13．160 [解析] 设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4 m 3，高为1 m 得，另一边长为4xm.记容器的总造价为y 元，则 y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×1×10 ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160(元)，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，等号成立．因此，当x ＝2时，y 取得最小值160元，即容器的最低总造价为160元． 21．，，，[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g (x )＝x1＋x (x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a（1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x 不恒成立．综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝xx ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝ ⎠⎛0n⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)，结论得证．E9 单元综合16．、[2014·辽宁卷] 对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．16．－2 [解析] 由题知2c ＝－(2a ＋b )2＋3(4a 2＋3b 2)．(4a 2＋3b 2)⎝⎛⎭⎫1＋13≥(2a ＋b )2⇔4a 2＋3b 2≥34(2a ＋b )2，即2c ≥54(2a ＋b )2，当且仅当4a 21＝3b 213，即2a ＝3b ＝6λ(同号)时，|2a ＋b |取得最大值85c ，此时c ＝40λ2.3a －4b ＋5c ＝18λ2－1λ＝18⎝⎛⎭⎫1λ－42－2≥－2，当且仅当a ＝34，b ＝12，c ＝52时，3a －4b ＋5c取最小值－2.12．、[2014·辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12πD.18 12．B [解析] 不妨设0≤y <x ≤1.当x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |＝12(x －y )≤14.当x －y >12时，|f (x )－f (y )|＝|f (x )－f (1)－(f (y )－f (0))|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<12|x －1|＋12|y －0|＝－12(x －y )＋12<14.故k min ＝14.3．[2014·天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．B [解析] 画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内min ＝1×1＋2×1＝3. 16．[2014·广州七校联考] 不等式|x ＋2|＋|x －1|≤5的解集为________．16．[－3，2] [解析] 根据绝对值的几何意义，得不等式的解集为－3≤x ≤2.4．[2014·安徽六校联考] 若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．A [解析] ∵x ＋y ≥2xy ，且x ＋y ＝2，∴2≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，∴xy ≤1，∴1xy≥1，∴1≥M ，∴M max ＝1. 7．[2014·福建宁德期末] 已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( )A.63B.23 3C.43 3D.236 7．C [解析] 由题知x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a ≥2 43＝4 33，当且仅当a ＝36时，等号成立．6．[2014·长沙模拟] 若f (x )为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，f (2)＝0，则f （x ）－f （－x ）x＞0的解集是( )A ．(－2，0)∪(0，2)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－2，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)6．D [解析] 因为f (x )为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在区间(－∞，0)上单调递增．又f (－x )＝－f (x )，所以f （x ）－f （－x ）x >0等价于2f （x ）x>0.根据题设作出f (x )的大致图像如图所示．由图可知，2f （x ）x>0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．13．[2014·浙江六市六校联考] 已知正数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋9y＝10，则x ＋y 的最大值为________．13．8 [解析] ∵1x ＋9y ＝10－(x ＋y )，∴(x ＋y )1x ＋9y ＝10(x ＋y )－(x ＋y )2.又(x ＋y )1x ＋9y＝10＋9x y ＋yx≥10＋6＝16，∴10(x ＋y )－(x ＋y )2≥16，即(x ＋y )2－10(x ＋y )＋16≤0，∴2≤x ＋y ≤8，∴x ＋y 的最大值为8.。

天津市和平区2014届高三第三次模拟考试数学理试题 Word版含答案

2014年天津市和平区高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．1．已知i是虚数单位，复数=1﹣bi，其中a、b∈R，则|a+bi|等于（）A．﹣1+2i B．1C．D．52．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A．4 B．5C．6D．73．若△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且asinA+csinC﹣bsinB=asinC，则cosB等于（）A．B．C．﹣D．4．设不等式组，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点P（x，y），则P点的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．5．已知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=﹣，且满足S n++2=a n（n≥2）．则S2014等于（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣6．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．7．（定义在R上的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0（其中m＞2）有n个不同的实数根x1，x2，…x n，则f（x i）的值为（）A．B．C．D．8．已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．若（1+mx）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，且a1+a2+…+a6=63，则实数m的值为_________．10．一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是一个圆内切于一个正三角形，则该几何体的侧视图的面积为_________．11．已知圆的极坐标方程为ρ=3cosθ，直线的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=1，则圆上的点到直线的距离的最大值为_________．12．如图，AB为⊙O的直径过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，若AB=BC=2，则CD的长为_________．13．给出以下命题：①抛物线y=4x2的准线方程为y=﹣；②“若x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是“若x2+y2≠0，则x，y都不为0”；③已知线性回归方程为=3+2x，当变量x增加2个单位时，其预报值平均增加4个单位；④命题ρ：“∀x∈（0，+∞），sinx+≥2”是真命题．则所有正确命题的序号是_________．14．（如图，在四边形ABCD中，已知AB=3，DC=2，点E、F分别在边AD、BC上，且=5，=5，若向量与的夹角为60°，则•的值为_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA，（x∈R）在x=处取得最大值，且A∈[0，π]．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）在某校高中学生的校本课程选课过程中，规定每位学生必选一个科目，并且只6位同学，选课情况如下表：现从一组、二组中各任选2人．（Ⅰ）求选出的4人均选科目乙的概率；（Ⅱ）设X为选出的4个人中选科目甲的人数，求X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，已知平面四边形ABCD中，D为PA的中点，PA⊥AB，CD∥AB，且PA=CD=2AB=4，将此平面四边形ABCD沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，连接PA、PB，设PB的中点为E，（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段BD上是否存在一点F，使得EF⊥平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．18．（13分）过椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为8，椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，且⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．19．（14分）已知数列{a n}（n∈N*）的各项满足a1=1﹣3k，a n=4n﹣1﹣3a n﹣1（n≥2，k∈R），（Ⅰ）判断数列{a n﹣}是否成等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若数列{a n}为递增数列，求k的取值范围．20．（14分）（2014•）设函数f（x）=x﹣ae x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）对任意n的个正整数a1，a2，…a n记A=（1）求证：（i=1，2，3…n）（2）求证：A．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．解：（Ⅰ）f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA=2sinxcosxcosA﹣2cos2xsinA+sinA=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A），∵f（x）在x=处取得最大值，∴2×﹣A=2kπ+，k∈Z，∴A=﹣2kπ+，k∈Z，∵A∈[0，π]，∴A=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），∵x∈[﹣，]，∴（2x﹣）∈[﹣，]，∴f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为，﹣116．解：（Ⅰ）设“选出的4人均选科目乙”为事件A，即事件A为“一组的确良人和二组的2人均选科目乙”，根据题意，得P（A）===．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）===，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）===，∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3P∴EX==1．17．（I）证明：直二面角P﹣DC﹣B的平面角为∠PDA=90°，且PD⊥DC，DA∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，则BC=BD=，在三角形BCD中，BC2+BD2=CD2，∴BD⊥BC，∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBD⊥平面PBC．（II）∵PD，PA，DC两两垂直，PA=CD=2AB=4，∴AB=2，∵E是PB的中点，∴AD=DP=2，则建立以D为原点的空间直角坐标系如图，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），D（0，0，0），P（0，0，2），则=（0，2，0），=（﹣2，2，0），=（0，4，﹣2）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则由，令x=1，则y=1，z=2，即=（1，1，2），则cos＜＞==，∴直线AB和平面PBC所成角的正弦值等于cos＜＞=，（III）∵F∈BD，故可设F（m，m，0），而PB的中点E（1，1，1），∴，∵，，∴，解得m=，∴线段BD上是否存在一点F（），使EF⊥平面PBC．18．解：（Ⅰ）由已知，得，解得：，∴b2=a2﹣c2=4﹣3=1．故椭圆Γ的方程为；（Ⅱ）假设满足条件的圆存在，其方程为x2+y2=r2（0＜r＜1）．当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，由，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，①∵，∴x1x2+y1y2=0，又y1=kx1+t，y2=kx2+t，∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，即（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0．②将①代入②，得，即t2=（1+k2）．∵直线PQ与圆x2+y2=r2相切，∴r==∈（0，1），∴存在圆x2+y2=满足条件．当直线PQ的斜率不存在时，易得=，代入椭圆Γ的方程，得=，满足．综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件．19．解：（I）∵a n=4n﹣1﹣3a n﹣1（n≥2，k∈R），∴=﹣3（n≥1，k∈R）．而a1=1﹣3k，∴=．当k=时，=0，则数列{a n﹣}不成等比数列；当k≠时，≠0，则数列{a n﹣}成等比数列．（II）由（I）可知：当k≠时，≠0，a n﹣=．当k=时，上式也符合．∴数列{a n}的通项公式为．（III）a n+1﹣a n=﹣=．∵数列{a n}为递增数列，∴＞0恒成立，①当n为奇数时，有，即恒成立．由，可得k＞0．②当n为偶数时，有．即恒成立．由，可得k＜．综上可得：k的取值范围是．20．解：（I）∵函数f（x）=x﹣ae x﹣1．∴函数f′（x）=1﹣ae x﹣1．当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上是增函数当a＞0时，令f′（x）=0得x=1﹣lna，则f（x）在区间（﹣∞，1﹣lna）上是增函数，在区间（1﹣lna，+∞）上是减函数综上可知：当a≤0时，f（x）在R上是增函数；当a＞0时，f（x）在区间（﹣∞，1﹣lna）上是增函数，在区间（1﹣lna，+∞）上是减函数．（II）由（I）可知：当a≤0时，f（x）≤0不恒成立当a＞0时，f（x）在点x=1﹣lna时取最大值﹣lna，令﹣lna≤0，则a≥1故若f（x）≤0对x∈R恒成立，则a的取值范围为[1，+∞）（III）（1）由（II）知：当a=1时恒有f（x）=x﹣e x﹣1≤0成立即x≤e x﹣1∴（2）由（1）知：，，…，把以上n个式子相乘得≤=1∴A n≥a1•a2•…•a n故。

黑龙江省哈三中2014届高三下学期第一次高考模拟数学理

哈三中2021届高三下学期第一次高考模拟数学理试题考试说明：本试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部，总分值150分，考试时间120 分钟．〔1〕答题前，考生先将自己的XX、XX填写清楚；〔2〕选择题必须使用2B铅笔填涂,非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,字迹清楚；〔3〕请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；〔4〕保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I卷〔选择题,共60分〕一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．)1.集合M1,2，N1,2,3，Pxxab,aM,bN,那么集合P的元素个数为A.3B.4C.5D.62.假设i是虚数单位，那么复数21ii的实部与虚部之积为A. 34B.343C.i43D.i43.假设,表示两个不同的平面，a,b表示两条不同的直线，那么a//的一个充分条件是A.,aB.b,a//bC.a//b,b//D.//,a4.假设1cos2，那么34cos4sin的值为A. 1318B.1118C.59D.15.假设按右侧算法流程图运行后，输出的结果是67,那么输入的N开场的值为输入N ·1·k1,S0A.5B.6C.7D.8x16.假设变量x,y 满足约束条件xy40，那么目标函数x3y 40z3xy 的最小值为A.4B.0C.43D.42y27.直线xy20截圆x4所得劣弧所对圆心角为A.B.C.632 3D.568.如下图，是一个空间几何体的三视图，且这个空间2几何体的所有顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是 A. 499 B. 7 3 C. 28 3 D. 28 9 正视图侧视图9.等比数列a n 中，假设a 4a 83，那么a 6a 22a 6a 10的值是22 A.9B.9C.6D.3 10.在二项式(2x)4xn的展开式中只有第五项的二项式2 俯视图系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，那么有理项都互不相邻的概率为A. 1 6B. 1 4C. 1 3D.5 1222xy11.设A 、B 、P 是双曲线1 22aba 0,b0上不同的三个点，且A 、B 连线经过坐标原点，假设直线PA 、PB 的斜率之积为 1 4 ，那么该双曲线的离心率为A.52B.6 2C.2D.15312.在平面直角坐标系xOy中，P是函数f(x)xlnxx的图象上的动点，该曲线在P处的切线l交y轴于点(0,)点My，过点P作l的垂线交y轴于点N(0,y N).那么M·2·yNyM的X围是A．(,1][3,)B.(,3][1,)C.[3,)D.(,3]XX市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷〔理工类〕第二卷〔非选择题,共90分〕二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．〕13.(0,)2 ，由不等式1tan2，tan222tantan2tan322tan22tan,333tantantan3tan433tan333tan，归纳得到推广结论：mtan1()nnN，那么实数m_____________ntan14.五名三中学生中午打篮球,将校服放在篮球架旁边,打完球回教室时由于时间太紧,只有两名同学拿对自己衣服的不同情况有_____________种.(具体数字作答)15.A(0,1),B(0,1),C(1,0),动点P满足 2APBP2|PC|,那么|APBP|的最大值为_____________16.在ABC中，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，角A为锐角,且2sinBsinC2sinA4sinBsinC()m，那么实数m X围为_____________三、解答题〔本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．〕17．〔本小题总分值12分〕数列{a n}满足a n1a n2,a12，等比数列{b n}满足b1a1,b4a8.〔I〕求数列{a n}，{b n}的通项公式；〔II〕设c n a n b n，求数列{c n}的前n项和T n.18.〔本小题总分值12分〕某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制〞折算，排出·3·前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一局部，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.频率组距〔I 〕请在图中补全频率分布直方图；0.08〔II 〕假设Q 大学决定在成绩高的第3， 0.074，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进展面试.0.06 0.05 0.04 ①假设Q 大学本次面试中有B 、0.03C 、D 三位考官，规定获得两位考官的认可即面试 0.02 0.01O7580859095100成功，且面试结果相互独立，成绩甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为1 2 、 1 3 ， 1 5，求甲同学面试成功的概率；②假设Q 大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生承受考官B 的面试，第3组中有名学生被考官B 面试，求的分布列和数学期望.19.〔本小题总分值12分〕如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为菱形，BAD60，Q 为AD 的中点.〔I 〕假设PAPD ，求证：平面PQB 平面PAD ；〔II 〕假设平面PAD 平面ABCD ，且PAPDAD2，点M 在线段PC 上，试确定点M 的位置，使二面角MBQC 大小为60,并求出P M PC的值.PDC20.〔本小题总分值12分〕Q2p0上一点，经过点A B5,2的直线l与抛B物线假设点A1,2是抛物线C:y2px·4·C交于P,Q两点.〔I〕求证：PAQA为定值；〔II〕假设点P,Q与点A不重合，问APQ的面积是否存在最大值?假设存在，求出最大值；假设不存在，请说明理由.21.〔本小题总分值12分〕设aR，函数21xf(x)xea(x1)．〔Ⅰ〕当a1时，求f(x)在3(,2)4内的极值；〔Ⅱ〕设函数1xg(x)f(x)a(x1e)，当g(x)有两个极值点x1，x2〔x1x2〕时，总有x2g(x1)f(x1)，XX数的值．〔其中f(x)是函数f(x)的导函数．〕请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分. 22.〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE 分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F.〔Ⅰ〕求证：C、D、G、E四点共圆.〔Ⅱ〕假设F为EB的三等分点且靠近E，EG1，GA3，求线段CE的长.AODGCEFB 23.〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为xyt 33t，〔t为参数〕，以坐标原点为·5·2 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos30〔Ⅰ〕求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值X围. 24.〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲函数f(x)x1.〔Ⅰ〕解不等式f(x1)f(x3)6；b 〔Ⅱ〕假设a1,b1，且a0，求证：f(ab)af().a2021年XX市第三中学第一次高考模拟考试答案数学〔理工类〕一、选择题1.C2.B3.D4.C5.B6.B7.C8.C9.B10.D11.A12.A二、填空题13. nn14.2015.616.66 (2,)(,2)22三、解答题17.解：〔I〕a n1a n2,a12，所以数列{a n}为等差数列，那么2(1)22ann；-----------------------------------------------3分nb1a12,b4a816，所以b34q8,q2，b1n那么2b；-------------------------------------------------------------------6分n〔II〕n1cabn2，nnn那么234n1 T122232n2n----2 / 23345n22T122232n2n两式相减得234n1n2T1222322n2----------9分n·6·2 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos30〔Ⅰ〕求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值X围. 24.〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲函数f(x)x1.〔Ⅰ〕解不等式f(x1)f(x3)6；b 〔Ⅱ〕假设a1,b1，且a0，求证：f(ab)af().a2021年XX市第三中学第一次高考模拟考试答案数学〔理工类〕一、选择题1.C2.B3.D4.C5.B6.B7.C8.C9.B10.D11.A12.A二、填空题13. nn14.2015.616.66 (2,)(,2)22三、解答题17.解：〔I〕a n1a n2,a12，所以数列{a n}为等差数列，那么2(1)22ann；-----------------------------------------------3分nb1a12,b4a816，所以b34q8,q2，b1n那么2b；-------------------------------------------------------------------6分n〔II〕n1cabn2，nnn那么234n1 T122232n2n345n22T122232n2n两式相减得234n1n2T1222322n2----------9分n·6·2 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos30〔Ⅰ〕求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值X围. 24.〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲函数f(x)x1.〔Ⅰ〕解不等式f(x1)f(x3)6；b 〔Ⅱ〕假设a1,b1，且a0，求证：f(ab)af().a2021年XX市第三中学第一次高考模拟考试答案数学〔理工类〕一、选择题1.C2.B3.D4.C5.B6.B7.C8.C9.B10.D11.A12.A二、填空题13. nn14.2015.616.66 (2,)(,2)22三、解答题17.解：〔I〕a n1a n2,a12，所以数列{a n}为等差数列，那么2(1)22ann；-----------------------------------------------3分nb1a12,b4a816，所以b34q8,q2，b1n那么2b；-------------------------------------------------------------------6分n〔II〕n1cabn2，nnn那么234n1 T122232n2n345n22T122232n2n两式相减得234n1n2T1222322n2----------9分n·6·2 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos30〔Ⅰ〕求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值X围. 24.〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲函数f(x)x1.〔Ⅰ〕解不等式f(x1)f(x3)6；b 〔Ⅱ〕假设a1,b1，且a0，求证：f(ab)af().a2021年XX市第三中学第一次高考模拟考试答案数学〔理工类〕一、选择题1.C2.B3.D4.C5.B6.B7.C8.C9.B10.D11.A12.A二、填空题13. nn14.2015.616.66 (2,)(,2)22三、解答题17.解：〔I〕a n1a n2,a12，所以数列{a n}为等差数列，那么2(1)22ann；-----------------------------------------------3分nb1a12,b4a816，所以b34q8,q2，b1n那么2b；-------------------------------------------------------------------6分n〔II〕n1cabn2，nnn那么234n1 T122232n2n345n22T122232n2n两式相减得234n1n2T1222322n2----------9分n·6·2 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos30〔Ⅰ〕求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值X围. 24.〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲函数f(x)x1.〔Ⅰ〕解不等式f(x1)f(x3)6；b 〔Ⅱ〕假设a1,b1，且a0，求证：f(ab)af().a2021年XX市第三中学第一次高考模拟考试答案数学〔理工类〕一、选择题1.C2.B3.D4.C5.B6.B7.C8.C9.B10.D11.A12.A二、填空题13. nn14.2015.616.66 (2,)(,2)22三、解答题17.解：〔I〕a n1a n2,a12，所以数列{a n}为等差数列，那么2(1)22ann；-----------------------------------------------3分nb1a12,b4a816，所以b34q8,q2，b1n那么2b；-------------------------------------------------------------------6分n〔II〕n1cabn2，nnn那么234n1 T122232n2n345n22T122232n2n两式相减得234n1n2T1222322n2----------9分n·6·2 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos30〔Ⅰ〕求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值X围. 24.〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲函数f(x)x1.〔Ⅰ〕解不等式f(x1)f(x3)6；b 〔Ⅱ〕假设a1,b1，且a0，求证：f(ab)af().a2021年XX市第三中学第一次高考模拟考试答案数学〔理工类〕一、选择题1.C2.B3.D4.C5.B6.B7.C8.C9.B10.D11.A12.A二、填空题13. nn14.2015.616.66 (2,)(,2)22三、解答题17.解：〔I〕a n1a n2,a12，所以数列{a n}为等差数列，那么2(1)22ann；-----------------------------------------------3分nb1a12,b4a816，所以b34q8,q2，b1n那么2b；-------------------------------------------------------------------6分n〔II〕n1cabn2，nnn那么234n1 T122232n2n345n22T122232n2n两式相减得234n1n2T1222322n2----------9分n·6·2 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos30〔Ⅰ〕求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值X围. 24.〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲函数f(x)x1.〔Ⅰ〕解不等式f(x1)f(x3)6；b 〔Ⅱ〕假设a1,b1，且a0，求证：f(ab)af().a2021年XX市第三中学第一次高考模拟考试答案数学〔理工类〕一、选择题1.C2.B3.D4.C5.B6.B7.C8.C9.B10.D11.A12.A二、填空题13. nn14.2015.616.66 (2,)(,2)22三、解答题17.解：〔I〕a n1a n2,a12，所以数列{a n}为等差数列，那么2(1)22ann；-----------------------------------------------3分nb1a12,b4a816，所以b34q8,q2，b1n那么2b；-------------------------------------------------------------------6分n〔II〕n1cabn2，nnn那么234n1 T122232n2n345n22T122232n2n两式相减得234n1n2T1222322n2----------9分n·6·。

河北省唐山市2014届高三年级第三次模拟考试理科数学试卷

河北省唐山市2014高考第三次模拟试题理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．设集合2{|320}A x x x =-+<，{|228}x B x =<<，则（） A ．A B = B ．A B ⊇ C ．A B ⊆ D ．A B φ=2．若复数z 满足(2)1z i -=，则z =（） A ．2155i + B ．2155i - C ．1255i + D ．1255i - 3．已知 1.22a =，0.80.5b =，2log 3c =，则（）A ．a b c >>B ．c b a <<C ．c a b >>D ．a c b >>4．在等比数列{}n a 中，356a a +=，4a =，则26a a +=（）A ．．．8 D ．4 5．函数1sin y x x=-的一段大致图象是（）6．椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点为12,F F ，过1F 作直线l 交C 于A ，B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，且0290AF B ∠=，则椭圆C 的离心率为（）A ．2．12-C 1D ．27．执行左下面的程序框图，如果输入的依次为3,5,3,5,4,4,3,4,4，则输出的S 为（）A ．92 B ．4 C ．35 D8．右上图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（） A ．1 B ．43 C ．53 D ．239．三棱锥S A B C -的四个顶点都在球面上，SA 是球的直径，A C A B ⊥，2BC SB SC ===，则该球的表面积为（） A ．4π B ．6π C ．9π D ．12π10．ABC ∆中，D 是BC 中点，AD m =，BC n =，则AB AC ⋅等于（）A ．2214m n -B ．2214m n +C ．2214m n +D ．2214m n - 11．若2,2a b >>，且222111l o g ()l o g l o l o g 22a b a a b ++=++，则22log (2)log (2)a b -+-=（）A ．0B ．12C ．1D ．2 12．设数列{}n a 满足12a =，1431n n a a n +=-+，*n N ∈，则数列{}n a 的前n 项和可以表示为（）A ．1131ni n i ni C--=+∑ B ．11(3)ni n i ni C i --=+∑ C ．131ni n in i C -=+∑ D ．1(3)ni n in i C i -=+∑第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

数学_2014年山东省某校高考数学三模试卷(理科)_(含答案)

2014年山东省某校高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合M={x|x2−x<0}，N={x||x|<2}，则（）A M∩N=⌀B M∩N=MC M∪N=MD M∪N=R2. 复数z=2+4i1−i（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（）A (3, 3)B (−1, 3)C (3, −1)D (2, 4)3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1, 2)内是增函数的为（）A y=log2|x|B y=cos2xC y=2x−2−x2 D y=log22−x2+x4. 如图，程序框图所进行的求和运算是（）A 12+14+16+⋯+120B 1+13+15+⋯+119C 1+12+14+⋯+118D 12+122+123+⋯+12105. 有一几何体的三视图如下，则该几何体体积为（）A 4+5π2 B 4+3π2C 4+π2D 4+π6. 函数f(x)=sin(ωx+φ)（其中|φ|<π2）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f(x)的图象上所有点( )A 向右平移π6个单位长度 B 向右平移π12个单位长度 C 向左平移π6个单位长度 D 向左平移π12个单位长度7. 下列四个图中，函数y =10ln|x+1|x+1的图象可能是（）A B C D8. 两名学生参加考试，随机变量x 代表通过的学生数，其分布列为那么这两人通过考试的概率最小值为（） A 16 B 13 C 12 D 239. 设△ABC 中，AD 为内角A 的平分线，交BC 边于点D ，|AB →|=3，|AC →|=2，∠BAC =60∘，则AD →⋅BC →=( )A −85 B 95 C −95 D 8510. 定义在R 上的函数f(x)满足：f(x)+f′(x)>1，f(0)=4，则不等式e x f(x)>e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A (0, +∞)B (−∞, 0)∪(3, +∞)C (−∞, 0)∪(0, +∞)D (3, +∞)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图所示，由图可知，这一批电子元件中使用寿命在100∼300ℎ的电子元件的数量与使用寿命在300∼600ℎ的电子元件的数量的比是________． 12. (x 2−1x )n 的展开式中，常数项为15，则n =________．13. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．14. 若实数x ，y 满足{y ≥1，y ≤2x −1，x +y ≤m.如果目标函数z =x −y 的最小值为−1，则实数m =________．15. 已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2+x +|a −14|+|a|=0有实根，则a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c −a)cosB −bcosA =0． (1)求角B 的大小；(2)求√3sinA +sin(C −π6)的取值范围．17. 力综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规．某大城市2014年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用，同时每年投放10万辆的机动车牌号，只有摇号获得指标的机动车才能上牌，经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌．（1）问：到2018年初，该城市的机动车保有量为多少万辆；（2）根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解．问：至少需要多少年可以实现这一目标．（参考数据：0.954=0.81，0.955=0.77，lg0.75=−0.13，lg0.95=−0.02）18.在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知AB =AC =AA 1=√5，BC =4，点A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O ．（1）证明在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长；（2）求平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值．19. 从集合{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}的所有非空真子集中等可能地取出一个．（1）求所取的子集中元素从小到大排列成等比数列的概率；（2）记所取出的子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 20. 已知函数f(x)=ln(ax +1)+x 3−x 2−ax ．（1）若x =23为f(x)的极值点，求实数a 的值；（2）若y =f(x)在[1, +∞)上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）若a =−1使，方程f(1−x)−(1−x)3=bx 有实根，求实数b 的取值范围．21.已知点H(−3, 0)，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M在直线PQ 上，且满足HP →⋅PM →=0，PM →=−32MQ →．（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过定点D(m, 0)(m>0)作直线l交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：∠AED=∠BED；（3）在（2）中，是否存在垂直于x轴的直线l′被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在求出l′的方程；若不存在，请说明理由．2014年山东省某校高考数学三模试卷（理科）答案1. B2. B3. A4. A5. A6. A7. C8. B9. C10. A11. 1412. 613. √5514. 515. [0,14]16. 解：(1)在△ABC中，∵ (2c−a)cosB−bcosA=0，∴ 2sinCcosB−sinAcosB−sinBcosA=0，即2sinCcosB−sin(A+B)=0，即sinC(2cosB−1)=0，∴ cosB=12，∴ B=π3．(2)由(1)可得√3sinA+sin(C−π6)=√3sinA+cosA=2sin(A+π6)，∵ A∈(0, 2π3)，∴ A+π6∈(π6, 5π6)，sin(A+π6)∈(12, 1]，∴ 2sin(A+π6)∈(1, 2]，即√3sinA+sin(C−π6)的取值范围是(1, 2]．17. 解：（1）设2012年年初机动车保有量为a 1万辆，以后各年年初机动车保有量依次为a 2万辆，a 3万辆，…，每年新增机动车10万辆，则a 1=600，a n +1=0.95a 1+10，又a n+1−200=0.95(a n −200)，且a 1−200=600−200=400，∴ 数列{a n −200}是以400为首项，0.95为公比的等比数列， ∴ a n −200=400⋅0.95n−1，即a n =400⋅0.95n−1+200，∴ 2018年初机动车保有量为a 5=400⋅0.954+200=524万辆．（2）由题意知，a n =400⋅0.95n−1+200<500，即0.95n−1<0.75， ∴ n >lg0.75lg0.95+1=7.5．故至少需要8年时间才能实现目标．18.（1）证明：连接AO ，在△AOA 1中，作OE ⊥AA 1于点E ，因为AA 1 // BB 1，所以OE ⊥BB 1，因为A 1O ⊥平面ABC ，所以BC ⊥平面AA 1O ，所以BC ⊥OE ，所以OE ⊥平面BB 1C 1C ，又AO =√AB 2−BO 2=1，AA 1=√5，得OE =AO⋅A 1O AA 1=2√5=2√55，则AE =AO 2AA 1=√55（2）解：如图，分别以OA ，OB ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A(1, 0, 0)，B(0, 2, 0)，C(0, −2, 0)，A 1(0, 0, 2) 由AE →=15AA 1→，得点E 得坐标是(45,0,25)，设平面A 1B 1C 的法向量是n →=(x, y, z)，由{n →⋅A 1→C =0˙得{x −2y =0y +z =0令y =1，得x =2，z =−1，所以n →=(2, 1, −1)，所以cos <OE →，n →>=|OE →|⋅|n →|˙=√3010即平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值为√3010．19. 解：（1）集合{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}的所有非空真子集，共有n =27−2=126，符合条件的子集有：三元集9个，四元集5个，五元集3个，六元集2个，共有m =9+5+3+2=19个，∴ 所求概率为P =m n=19126；（2）ξ的可能取值是1、2、3、4、5、6，P(ξ=1)=C 71126=7126，P(ξ=2)=C 72126=21126，P(ξ=3)=C 73126=35126， P(ξ=4)=C 74126=35126，P(ξ=5)=C 75126=21126，P(ξ=6)=C 76126=7126，数学期望Eξ=1×7126+2×21126+3×35126+4×35126+5×21126+6×7126=441126=72．20. 解：（1）f′(x)=aax+1+3x 2−2x −a =x[3ax 2+(3−2a)x−(a 2+2)]ax+1∵ x =23为f(x)的极值点，∴ f′(23)=0，∴ 3a(23)2+23(3−2a)−(a 2+2)=0且23a +1≠0，解得a =0 又当a =0时，f ′(x)=x(3x −2)，从而x =23为f(x)的极值点成立．（2）因为f(x)在[1, +∞)上为增函数，所以x[3ax 2+(3−2a)x−(a 2+2)]ax+1≥0在[1,+∞)上恒成立．若a =0，则f ′(x)=x(3x −2)，此时f(x)在[1, +∞)上为增函数成立，故a =0符合题意若a ≠0，由ax +1>0对x >1恒成立知a >0．所以3ax 2+(3−2a)x −(a 2+2)≥0对x ∈[1, +∞)上恒成立．令g(x)=3ax 2+(3−2a)x −(a 2+2)，其对称轴为x =13−12a，因为a >0，所以13−12a<13，从而g(x)在[1, +∞)上为增函数．所以只要g(1)≥0即可，即−a 2+a +1≥0成立解得1−√52≤a ≤1+√52又因为a >0，所以0<a ≤1+√52．综上可得0≤a ≤1+√52即为所求（3）若a =−1时，方程f(1−x)−(1−x)3=bx 可得lnx −(1−x)2+(1−x)=bx即b =xlnx −x(1−x)2+x(1−x)=xlnx +x 2−x 3在x >0上有解即求函数g(x)=xlnx +x 2−x 3的值域．法一：b =x(lnx +x −x 2)令ℎ(x)=lnx +x −x 2由ℎ′(x)=1x +1−2x =(2x+1)(1−x)x∵ x >0∴ 当0<x <1时，ℎ′(x)>0，从而ℎ(x)在(0, 1)上为增函数；当x >1时，ℎ′(x)<0，从而ℎ(x)在(1, +∞)上为减函数．∴ ℎ(x)≤ℎ(1)=0，而ℎ(x)可以无穷小．∴ b 的取值范围为(−∞, 0] 法二：g ′(x)=lnx +1+2x −3x 2g″(x)=1x +2−6x =−6x 2−2x−1x当0<x <1+√76时，g″(x)>0，所以g′(x)在0<x <1+√76上递增；当x >1+√76时，g″(x)<0，所以g′(x)在c >1+√76上递减；又g ′(1)=0，∴ 令g′(x 0)=0，0<x 0<1+√76∴ 当0<x <x 0时，g ′(x)<0，所以g(x)在0<x <x 0上递减；当x 0<x <1时，g ′(x)>0，所以g(x)在x 0<x <1上递增；当x >0时，g(x)<0，所以g(x)在x >1上递减；又当x →+∞时，g(x)→−∞，g(x)=xlnx +x 2−x 3=x(lnx +x −x 2)≤x(lnx +14)当x →0时，lnx +14<0，则g(x)<0，且g(1)=0所以b 的取值范围为(−∞, 0] 21. 解：（1）设M(x, y)，P(0, y ′)，Q(x ′, 0)(x ′>0)∵ PM →=−32MQ →，HP →⋅PM →=0．∴ (x,y −y′)=−32(x′−x,−y)且(3, y ′)⋅(x, y −y ′)=0…∴ x′=13x ，y′=−12y ，3x +yy′−y′2=0．…∴ y 2=4x(x >0)…∴ 动点M 的轨迹C 是以O(0, 0)为顶点，以(1, 0)为焦点的抛物线（除去原点）．… （2）：①当直线l 垂直于x 轴时，根据抛物线的对称性，有∠AED =∠BED ；…②当直线l 与x 轴不垂直时，依题意，可设直线l 的方程为y =k(x −m)(k ≠0, m >0)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组{y =k(x −m)y 2=4x(x >0)消去x 并整理，得ky 2−4y −4km =0∴ y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−4m…设直线AE 和BE 的斜率分别为k 1、k 2，则k 1+k 2=y 1x 1+m+y 2x 2+m=y 1(x 2+m)+y 2(x 1+m)(x 1+m)(x 2+m)=14y 1y 22+14y 2y 12+m(y 1+y 2)(x 1+m)(x 2+m)=14y 1y 2(y 1+y 2)+m(y 1+y 2)(x 1+m)(x 2+m)=14(−4m)(4k )+4m k(x 1+m)(x 2+m)=0…∴ tan∠AED +tan(180∘−∠BED)=0∴ tan∠AED =tan∠BED∵ 0<∠AED <π2，0<∠BED <π2∴ ∠AED =∠BED ．综合①、②可知∠AED =∠BED ．…（3）假设存在满足条件的直线l ′，其方程为x =a ，AD 的中点为O ′，l ′与AD 为直径的圆相交于点F 、G ，FG 的中点为H ，则O ′H ⊥FG ，O ′点的坐标为(x 1+m 2，y12 )．∵ |O′F|=12|AD|=12√(x1−m)2+y12=12√(x1−m)2+4x1，|O′H|=|a−x1+m2|=12|2a−x1−m|，∴ |FH|2=|O′F|2−|O′H|2=14[(x1−m)2+4x1]−14(2a−x1−m)2=(a−m+1)x1+a(m−a)…∴ |FG|2=(2|FH|)2=4[(a−m+1)x1+a(m−a)]令a−m+1=0，得a=m−1此时，|FG|2=4(m−1)∴ 当m−1>0，即m>1时，|FG|=2√m−1（定值）∴ 当m>1时，满足条件的直线l′存在，其方程为x=m−1；当0<m≤1时，满足条件的直线l′不存在．…。

浙江省舟山中学2014届高三高考适应性模拟押题测试(一)数学(理)试题

浙江省舟山中学2014届高三高考适应性模拟押题测试（一）数学（理）试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若P={}1≤x x ，Q={}1-≥y y ，则（） A ．Q P ⊆B ．Q PC R ⊆ C ．φ=⋂Q PD ．R Q C P R =⋃)(2．如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12。

则该几何体的俯视图可以是（）A. B. C. D. 3．一个算法的程序框图如右，则其输出结果是（）A.0B.211 4．已知命题11:242xp ≤≤，命题15:[,2]2q x x +∈--，则下列说法正确的是( )A ．p 是q 的充要条件B ．p 是q 的充分不必要条件C ．p 是q 的必要不充分条件D ．p 是q 的既不充分也不必要条件5.由直线2+=x y 上的点向圆()()22421x y -++= 引切线，则切线长的最小值为( ) A ．30 B ．31 C ．24 D ．336 已知21[1,0)()1[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，，，则下列函数的图象错误．．的是7. 假如清华大学给某市三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为（）(A) 10 (B) 15 (C) 21 (D) 308．函数()12sin cos 442f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在y 轴右侧的零点按横坐标从小到大依次记为123,,,P P P ，则24P P 等于（）A 、πB 、2πC 、3πD 、4π9 已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,210．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -在空间直角坐标系中移动，但保持点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，则点1C 到原点O 的最远距离为（） A． B． C ．5 D ．4二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11.()=-++44)1(1i i。

数学_2014年某校高考数学三模试卷(理科)(含答案)

2014年某校高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 已知集合M ={2, log 2a}，N ={a, b}，若M ∩N ={0}，则M ∪N =( ) A {0, 1} B {0, 1, 2} C {1, 2} D {0, 2}2. 等差数列{a n }的前 n 项和为{S n }，若S 8−S 4=36，a 6=2a 4，则a 1=( ) A −2 B 0 C 2 D 43. 设随机变量ξ服从正态分布N(2, σ2)，若P(ξ>c)=a ，则(ξ>4−c)等于（） A a B 1−a C 2a D 1−2a4. 如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A 30B 50C 75D 1505. 一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面内）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可以是( ) A 等腰三角形 B 等腰梯形 C 五边形 D 正六边形6. 函数f(x)=cos 2x +√3sinxcosx 在区间[π6, π2]的最大值为（） A 1 B1+√32C 32D 27. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，其f(x)=f(x −2)，若f(x)在区间[2, 3]单调递减，则（）A f(x)在区间[−3, −2]单调递增B f(x)在区间[−2, −1]单调递增C f(x)在区间[3, 4]单调递增D f(x)在区间[1, 2]单调递减8. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30∘的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（）A √6B √3C √2D √339. 已知△ABC 外接圆O 的半径为1，且OA →⋅OB →=−12．∠C =π3，从圆O 内随机取一个点M ，若点M取自△ABC内的概率恰为3√3，则△ABC的形状为的形状为（）4πA 直角三角形B 等边三角形C 钝角三角形D 等腰直角三角形10. 已知数列{a n}满足a1＝0，a n+1＝a n+2√a n+1+1，则a13＝（）A 143B 156C 168D 19511. 用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A 432B 288C 216D 144|，(a∈R)在区间[0, 1]上单调递增，则实数a的取值范围是12. 已知函数f(x)=|e x+ae x（）A a∈[0, 1]B a∈(−1, 0]C a∈[−1, 1]D a∈(−∞, −1]∪[1, +∞)二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 甲、乙、丙、丁四人商量去看电影．甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去．最后有人去看电影，有人没去看电影，去的人是________．14. 某城市为促进家庭节约用电，计划制定阶梯电价，阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档，属于第一档电价的家庭约占10QUOTE，属于第二档电价的家庭约占40QUOTE，属于第三档电价的家庭约占30QUOTE，属于第四档电价的家庭约占20QUOTE．为确定各档之间的界限，从该市的家庭中抽查了部分家庭，调查了他们上一年度的年月均用电量（单位：千瓦时），由调查结果得如图的直方图，由此直方图可以做出的合理判断是________①年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档②年月均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭属于第二档③年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档④该市家庭的年月均用电量的平均数大于年月均用电量的中位数．15. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为________．16. 在平面直角坐标系中，定义d(P, Q)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|为两点P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)之间的“折线距离”，在这个定义下给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于2的点的轨迹是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是一个圆；③到M(−1, 0)，N(1, 0)两点的“折线距离”之和为4的轨迹是面积为6的六边形；④到M(−1, 0)，N(1, 0)两点的“折线距离”差的绝对值为3的点的轨迹是两条平行直线．其中正确的命题是________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题过6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设数列{a n }的前n 项和为Sn ，且S n =4a n −p ，其中p 是不为零的常数．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）当p =3时，若数列{b n }满足b n+1=b n +a n (n ∈N ∗)，b 1=2，求数列{b n }的通项公式．18. 某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A 、B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．(I)从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； (II)根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关．总计附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（此公式也可写成x 2=n(n 11n 22−n 12n 21)2n 1+n 2+n +1n +2）19.如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC ，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90∘，且AB =AA 1，D ，E ，F 分别是B 1A ，CC 1，BC 的中点．（1）求证：B 1F ⊥平面AEF ；（2）求二面角B 1−AE −F 的正切值．20. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短半轴长为1，动点M(2, t)(t >0)在直线x =a 2c（a为长半轴，c 为半焦距）上． (1)求椭圆的标准方程;(2)求以OM 为直径且被直线3x −4y −5=0截得的弦长为2的圆的方程；(3)设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．21. 设函数f(x)=x −a(x +1)ln(x +1)，(x >−1, a ≥0) （1）求f(x)的单调区间；（2）当a =1时，若方程f(x)=t 在[−12，1]上有两个实数解，求实数t 的取值范围；（3）证明：当m >n >0时，(1+m)n <(1+n)m ．四、选做题：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 垂直，并与AB 相交于点E ，点F 为弦CD 上异于点E 的任意一点，连接BF 、AF 并延长交⊙O 于点M 、N ．（1）求证：B 、E 、F 、N 四点共圆；（2）求证：AC 2+BF ⋅BM =AB 2．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23. 极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C 2的参数方程为{x =m +tcosαy =tsinα (t 为参数，0≤α<π)，射线θ＝φ，θ＝φ+π4，θ＝φ−π4与曲线C 1交于（不包括极点O ）三点A 、B 、C ．(I)求证：|OB|+|OC|=√2|OA|；(Ⅱ)当φ=π12时，B ，C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．【选修4-5：不等式选讲】 24. 选修4−5：不等式选讲已知函数f(x)=|x −a|+|x −1|，a ∈R ．（1）当a =3时，解不等式f(x)≤4；（2）当x ∈(−2, 1)）时，f(x)>|2x −a −1|．求a 的取值范围．五、附加思考题：（不用再卷子上作答思考即可）25. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则总有a +b >c ．由正弦定理得sinA +sinB >sinC ．由导数公式：(sinx)′=cosx ，可以得到结论：对任意△ABC 有cosA +cosB >cosC ．上述结论是否正确？如果不正确，请举出反例，并指出推导过程中的错误．2014年某校高考数学三模试卷（理科）答案1. B2. A3. B4. B5. D6. C7. D8. B9. B 10. C 11. B 12. C13. 甲乙丙 14. ①③④ 15. 8+2π 16. ①③④ 17. 证明：（1）证：因为S n =4a n −p(n ∈N ∗)，则S n−1=4a n−1−p(n ∈N ∗, n ≥2)，所以当n ≥2时，a n =S n −S n−1=4a n −4a n−1，整理得a n =43a n−1．由S n =4a n −p ，令n =1，得a 1=4a 1−p ，解得a 1=p3．所以a n 是首项为p 3，公比为43的等比数列．（2）解：因为a 1=1，则a n =(43)n−1，由b n+1=a n +b n (n =1, 2,)，得b n+1−b n =(43)n−1，当n ≥2时，由累加得b n =b 1+(b 2−b ′1)+(b 3−b 2)+...+(b n −b n−1)=2+1−(43)n−11−43=3(43)n−1−1，当n =1时，上式也成立．18. 解：(1)根据频率分步直方图可得成绩优秀的人数是4， ξ的可能取值是0，1，2P(ξ=0)=C462C502=207245，P(ξ=1)=C461C41C502=1841225，P(ξ=2)=C42C502=61225∴ ξ的分布列是∴ Eξ=0×207245+1×1841225+2×61225=425(II)由频率分步直方图知，甲班成绩优秀和成绩不优秀的人数是12，38，乙班成绩优秀和成绩不优秀的人数是4，46根据列联表可知K2=100(12×46−4×38)216×84×50×50=4.762，由于4.762>3.841，∴ 有95%的把握说成绩优秀与教学方式有关．19. 证明：（1）等腰直角三角形△ABC中F为斜边的中点，∴ AF⊥BC又∵ 直三棱柱ABC−A1B1C1，∴ 面ABC⊥面BB1C1C，∴ AF⊥面C1B，∴ AF⊥B1F设AB=AA1=1，∴ B1F=√62，EF=√32，B1E=32，∴ B1F2+EF2=B1E2，∴ B1F⊥EF又AF∩EF=F，∴ B1F⊥面AEF解：（2）∵ B1F⊥面AEF，作B1M⊥AE于M，连接FM，∴ ∠B1MF为所求又∵ FM=√3√10，所求二面的正切值为√520. 解：(1)又由点M 在准线上，得a 2c =2，故1+c 2c=2，∴ c =1，从而a =√2，所以椭圆方程为x 22+y 2=1；(2)以OM 为直径的圆的方程为x(x −2)+y(y −t)=0, 即(x −1)2+(y −t2)2=t 24+1.其圆心为(1,t2)，半径r =√t 24+1,因为以OM 为直径的圆被直线3x −4y −5=0截得的弦长为2, 所以圆心到直线3x −4y −5=0的距离d =√r 2−1=t2,所以|3−2t−5|5=t2，解得t =4,所求圆的方程为(x −1)2+(y −2)2=5.(3)设N(x 0, y 0)，则FN →=(x 0−1,y 0)，OM →=(2,t)， MN →=(x 0−2,y 0−t)，ON →=(x 0,y 0)，∵ FN →⊥OM →，∴ 2(x 0−1)+ty 0=0，∴ 2x 0+ty 0=2，又∵ MN →⊥ON →，∴ x 0(x 0−2)+y 0(y 0−t)=0，∴ x 02+y 02=2x 0+ty 0=2，所以|ON →|=√x 02+y 02=√2为定值．21. 解：（1）f′(x)=1−aln(x +1)−a①a =0时，f′(x)>0∴ f(x)在(−1, +∞)上是增函数 … ②当a >0时，f(x)在(−1,e1−a a−1]上递增，在[e1−a a−1，+∞)单调递减．…（2）由（1）知，f(x)在[−12，0]上单调递增，在[0, 1]上单调递减又f(0)=0,f(1)=1−ln4,f(−12)=−12+12ln2∴ f(1)−f(−12)<0∴ 当t ∈[−12+12ln2，0)时，方程f(x)=t 有两解 …（3）要证：(1+m)n <(1+n)m 只需证nln(1+m)<mln(1+n)，只需证：ln(1+m)m<ln(1+n)n设g(x)=ln(1+x)x，(x >0)，则g /(x)=x1+x−ln(1+x)x 2=x−(1+x)ln(1+x)x 2(1+x)…由（1）知x −(1+x)ln(1+x)，在(0, +∞)单调递减 … ∴ x −(1+x)ln(1+x)<0，即g(x)是减函数，而m >n ∴ g(m)<g(n)，故原不等式成立． …22. 证明：（1）连结BN ，则AN ⊥BN ，又CD ⊥AB ，则∠BEF =∠BNF =90∘，即∠BEF +∠BNF =180∘，则B 、E 、F 、N 四点共圆．…（2）由直角三角形的射影原理可知AC 2=AE ⋅AB ，由Rt △BEF 与Rt △BMA 相似可知：BF BA=BE BM，∴ BF ⋅BM =BA ⋅BE =BA ⋅(BA −EA)， ∴ BF ⋅BM =AB 2−AB ⋅AE ，∴ BF ⋅BM =AB 2−AC 2，即AC 2+BF ⋅BM =AB 2．…23. （1）依题意，|OA|＝4cosφ，|OB|＝4cos(φ+π4)，|OC|＝4cos(φ−π4)，则|OB|+|OC|＝4cos(φ+π4)+4cos(φ−π4)＝2√2(cosφ−sinφ)+2√2(cosφ+sinφ)＝4√2cosφ， =√2|OA|．（2）当φ=π12时，B ，C 两点的极坐标分别为(2, π3)，(2√3, −π6)．化为直角坐标为B(1, √3)，C(3, −√3)． C 2是经过点(m, 0)，倾斜角为α的直线，又经过点B ，C 的直线方程为y =−√3(x −2)，故直线的斜率为−√3，所以m ＝2，α=2π3．24. 解：（1）∵ a =3时，f(x)=|x −3|+|x −1|={4−2x,x <12,1≤x ≤32x −4,x >3，∴ 当x <1时，由f(x)≤4得4−2x ≤4，解得x ≥0； ∴ 0≤x <1；当1≤x ≤3时，f(x)≤4恒成立；当x >3时，由f(x)≤4得2x −4≤4，解得x ≤4． ∴ 3<x ≤4…所以不等式f(x)≤4的解集为{x|0≤x ≤4}．…（2）因为f(x)=|x −a|+|x −1|≥|x −a +x −1|=|2x −a −1|，当(x −1)(x −a)≥0时，f(x)=|2x −a −1|；当(x −1)(x −a)<0时，f(x)>|2x −a −1|．…记不等式(x−1)(x−a)<0的解集为A，则(−2, 1)⊆A，故a≤−2，所以a的取值范围是(−∞, −2]．…25. 解：上述结论不正确．例如：当A=π2，B=π3，C=π6时，cosA+cosB<cosC错误：求导运算不保证不等式关系不变．。

2014届黑龙江省哈师大附中等东北三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学试题(含答案解析)word精校版

2014年哈师大附中第一次高考模拟考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合2{|20}A x x x =-≤，{|40}B x x =-≤≤，则R A C B = A ．RB ．{|0}x R x ∈≠C ．{|02}x x <≤D ．∅ 2．若复数z 满足iz = 2 + 4i ，则复数z =A ．2 + 4iB ．2 - 4iC ．4 - 2iD ．4 + 2i3．在251()x x-的二项展开式中，第二项的系数为A ．10B ．-10C ．5D ．-54．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①()sin f x x =，②()cos f x x =，③1()f x x=，④2()f x x =，则输出的函数是 A ．()sin f x x = B ．()cos f x x = C ．1()f x x=D ．2()f x x =5．直线m ，n 均不在平面α，β内，给出下列命题：① 若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ② 若m ∥β，α∥β，则m ∥α；③ 若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α； ④ 若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α。

天津市武清区2014届高三第三次模拟数学(理)试题(附答案)

武清区2013～2014学年度高三年级第三次模拟高考数学(理科)试题注意事项：1．选择题选出答案后，请用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

2．请用黑色墨水的钢笔或签字笔解答填空题、解答题。

一．选择题（本大题共8 小题，每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若i 为虚数单位，则复数ii +3等于（）（A ）i 2321+-（B ）i 2321+ （C ）i 4341+- （D ）i 4341+ 2．函数34log 2)(2+⋅+=x a x a x f 在区间)1,21(上有零点，则实数a 的取值范围是（）（A ）21-<a （B ）23-<a（C ）2123-<<-a （D ）43-<a3．在下列命题中，真命题是（）（A ）“抛物线12+-=x y 与x 轴围成的封闭图形面积为34”；（B ）“若抛物线的方程为x y 42=，则其焦点到其准线的距离为2”的逆命题；（C ）“若向量)12,4,3(=a，则|a |=13”的否命题；（D ）“若3|2||1|=++-x x ，则21≤≤-x ”的逆否命题．4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）（A ）38（B ）316 （C ）8 （D ）3325．要得到函数)6cos(2π-=x y 的图象,可把函数x x y cos sin +=的图象( )（A ）向左平移125π个单位长度（B ）向右平移125π个单位长度（C ）向左平移12π个单位长度（D ）向右平移12π个单位长度6．已知数列{n a }对任意的*∈N n 有1)1(11++-=+n n a a n n 成立，若11=a ，则10a 等于（）（A ）1091 （B ）10101 （C ）11111 （D ）111227．函数{}221,max )(x x x x f --=的单调增区间是( ）（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21，[)∞+,1 （B ）⎥⎦⎤⎝⎛-∞-21,，[]1,0 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 （D ）[]1,08．若1>k ，0>a ，则222)1(16ak a k -+取得最小值时，a 的值为（）（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上）9．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+00520532x y x y x ，则目标函数y x z 3+=的最大值为． 10．5人排成一排，其中甲、乙二人不能相邻的不同排法共有种． 11．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为．12．双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点在直线l ：2)4sin(=+πθρ(原点为极点、x 轴正半轴为极轴)上，右顶点到直线l 的距离为22，则双曲线C 的渐近线方程为．13．如图，P 是圆O 外的一点，PA 为切线，A 为切点，割线PBC 经过圆心O，6,PC PA ==则PCA ∠= ． 14．如图,在ABC ∆中，BN AC AN AB AM ,41,31==与CM 交于点P ，且),(R y x AC y AB x AP ∈+=，则=+y x ．三.解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

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2015届高三数学试题(理科)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．
1．集合{|lg0}Mxx，2{|9}Nxx，则MN（）
A．(1,3) B．[1,3) C．(1,3] D．[1,3]
2. 已知复数(1)zii (为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x则抛物线的方程是( )

A.28yx B. 28yx C. 24yx D. 24yx
4.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（）
A. 363(2) B. 363(2)
C. 1083 D. 108(32)
5.已知向量(1,1)a，(3,)bm，//()aab，
则m（）
A． 2 B．2 C．3 D．3
6.设随机变量服从正态分布(3,4)N，若
(23)(2)PaPa
，则a（）

A． 3 B． 53 C．5 D．73
7．在△ABC中，已知b＝4 ，c＝2 ，∠A＝120°，则a （）
A．2 B．6 C．2 或6 D．27
8.执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）

（A）（B）6（C）7（D）8

9．若实数x，y满足条件0,30,03,xyxyx则2xy的最大值为（）
（A）9 （B）3 （C）0 （D）3
10．已知函数44()sincosfxxx的最小正周期是π，那么正数（）
（A）2 （B）1
（C）12 （D）14
11. “φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
12.已知等差数列{}na的公差为3，若431,,aaa成等比数列，则2a等于
A．9 B．3 C． -3 D．-9
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．若)2,0[，)sin4,cos3(),sin,(cos21OPOP，则21PP的取值范围
是

14．62()xx展开式中，常数项是 .

15．已知椭圆22221(0)xyabab的离心率55e，其中一个顶点坐标为（0，2），
则椭圆的方程为。
16.已知函数)0)(4sin(2)(xxf的最小正周期为,下列四个判断:

(1)当]2,0[x时,)(xf的最小值为1;
(2)函数)(xf的图象可由xy2cos2的图象向右平移4个单位长度得到;
(3)函数)(xf的图象关于直线8x对称;
(4)函数)(xf在区间]83,8[上是减函数.则其中所有正确命题的序号是
三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写
在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分)
17.(本小题满分12分)在ABC中,角CBA、、的对边分别为
cba、、
,BA2,33sinB.

(1) 求Acos及Ccos的值.(2) 若2b,求c.
18．(本小题满分12分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选
一个科目。已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：
科目甲科目乙总计
第一小组 1 5 6
第二小组 2 4 6
总计 3 9 12
现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况.
（1）求选出的4 人均选科目乙的概率；
（2）设为选出的4个人中选科目甲的人数，求的分布列和数学期望．
19．（本题满分12分）
数列na的前n项和为122nnS，数列nb是首项为1a，公差为(0)dd的等差数
列，且1311,,bbb成等比数列．
（1）求数列na与nb的通项公式；

（2）设nnnbca，求数列nc的前n项和nT．
20.（本小题满分12分）在直三棱柱111ABCABC中，1BCCCAB=2 ,BCAB.
点NM,分别是1CC ,CB1的中点，G是棱AB上的动点.
（I）求证：CB1平面BNG；(II)若CG//平面MAB1，试确定G点的位置，并给出证
明；(III)求二面角1MABB的余弦值.

21. （本小题满分12分）
已知椭圆22122:1(0)xyCabab的离心率为33e，直线:2lyx与以原点为圆

心、以椭圆1C的短半轴长为半径的圆O相切.
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆1C的左焦点为1F，右焦点为2F，直线1l过点1F，且垂直于椭圆的长轴，
动直线2l垂直于1l，垂足为点P，线段2PF的垂直平分线交2l于点M，求点M的轨迹2C的方
程；

21．（本小题满分12分）
设函数2()ln(),fxxxaaR.
（Ⅰ）若0a，求函数()fx在[1，e]上的最小值；
（Ⅱ）若函数()fx在1[,2]2上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；
选考题：请考生从第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．（本小题满分10分）
选修4-1：几何证明选讲
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦
CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2 = EF·EC。
（1）求证：CE·EB = EF·EP；
（2）若CE:BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求PA的长。

23．（本小题满分10分）
选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为sin()124，圆C的圆心是

(2,)4C

，半径为2。

（1）求圆C的极坐标方程；
（2）求直线l被圆C所截得的弦长。
24．（本小题满分10分）
选修4-5：不等式选讲
设函数()|21||3|fxxx。
（1）解不等式()0fx；
（2）已知关于x的不等式3()afx恒成立，求实数a的取值范围。