提公因式法分解因式
提公因式法因式分解
1、 因式分解与整式乘法有什么关系？
因式分解是整式乘法的逆运算 2、 多式ma+mb+mc中的每一项都含有 一个相同的因式 m ？你知道这个相同的因 式怎样称呼吗？ 把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可 以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积了， 用提公因式法进行因式分解 像这种因式分解的方法叫______________
1．用提公因式分解因式 （1）3am+2－12am+1（m为自然数） （2）xm+1y2＋3xmy＋2xm—1 2．利用因式分解计算 （1）21.93×1.6＋18.4×21.93－20×21.93 （2）3.14×17.7－3.14×3.5－3.14×2.5 3．求证：3200－4×3199＋10×3199是7的倍数吗？ （提示：先因式分解、提公因式3199）
作业
• 课本42页A组第2题 • 【学后延伸——挑战自我】 • 分解因式计算2101 - 2100
1 、对下列多项式进行因式分解： （1）－5a2＋25a； （2）3a2－9ab； （3）25x2－16y2； （4）x2＋4xy ＋4y2.
2 、分解因式：2x4y2－4x3y2＋10xy4。
1．选择题 （1）以下由左到右的变形是因式分解的是 （C） A．(a＋3)( a－3)＝a2－9 B．y2－9＋2y＝(y＋3)( y－3)＋2y C．b2－16＝(b＋4)( b－4) D．4x＋5y＋25y2＝4x＋5y(1＋5y) （2）下列提公因式法因式分解错误的是 （B ） A．8x2y－24xy2＝8xy(x－3y) B．ax＋bx＋ay＋by＝x(a＋b)＋y(a＋b) C．gt12＋gt22＝gt12（1＋t10) D．15a2＋25ab2＝5a(3a＋5b2) 2．填空题 （1）15a3－5a2的公因式是 5a2。 （2）4a3b－6a2b2＋2a2b的公因式是 2a2b 。 （3）分解因式：3x2y3－9x3y2＝3x2y2( y-3x )。 a5 （4）分解因式：a9＋a7－2a6－3a5＝ (a4＋a2－2a－3)。 3．把下列各式分解因式 （1）ma－mb＋mc （2）8a3－12a2 （3）7x2y2－21y2z （4）15xyz－5yz2 （5）3m2x－3mx－6x （6）9a6x2－18a5x3－36a4x4
因式分解经典例题
因式分解经典例题一、提取公因式法例1：分解因式ax + ay。
解析：公因式为a，所以ax+ay = a(x + y)。
例2：分解因式3x^2-6x。
解析：公因式为3x，3x^2-6x=3x(x - 2)。
例3：分解因式5a^2b - 10ab^2。
解析：公因式为5ab，5a^2b-10ab^2=5ab(a - 2b)。
二、运用平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a - b)分解因式例4：分解因式x^2-9。
解析：x^2-9=x^2-3^2=(x + 3)(x-3)。
例5：分解因式16y^2-25。
解析：16y^2-25=(4y)^2-5^2=(4y + 5)(4y-5)。
例6：分解因式(x + p)^2-(x + q)^2。
解析：根据平方差公式a=(x + p)，b=(x+q)，则(x + p)^2-(x + q)^2=[(x + p)+(x + q)][(x + p)-(x + q)]=(2x + p + q)(p - q)。
三、运用完全平方公式a^2±2ab + b^2=(a± b)^2分解因式例7：分解因式x^2+6x + 9。
解析：x^2+6x + 9=x^2+2×3x+3^2=(x + 3)^2。
例8：分解因式4y^2-20y+25。
解析：4y^2-20y + 25=(2y)^2-2×5×2y+5^2=(2y - 5)^2。
例9：分解因式x^2-4xy+4y^2。
解析：x^2-4xy + 4y^2=x^2-2×2xy+(2y)^2=(x - 2y)^2。
四、综合运用多种方法分解因式例10：分解因式x^3-2x^2+x。
解析：先提取公因式x，得到x(x^2-2x + 1)，而x^2-2x + 1=(x - 1)^2，所以原式=x(x - 1)^2。
例11：分解因式2x^2-8。
解析：先提取公因式2，得到2(x^2-4)，再利用平方差公式x^2-4=(x + 2)(x-2)，所以原式=2(x + 2)(x - 2)。
因式分解的七种常见方法
1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握：
①等式左边必须是多项式； ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方 面考虑。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
ax ay ax y
方法 1 提公因式法
具体方法：
1.当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；
2.字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；
(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2； ＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)
(3)(a－b)2(a＋b)＋(a－b)(a＋b)2. ＝(a－b)(a＋b)[(a－b)＋(a＋b)]＝2a(a－b)(a＋b)
返回
方法 2 公式法
题型1 直接用公式法
5．把下列各式分解因式：
(2)－3x7＋24x5－48x3 ＝－3x3(x4－8x2＋16)
返回
＝－3x3(x2－4)2＝－3x3(x＋2)2(x－2)2.
题型3 先局部再整体法
7．把下列各式分解因式：
(1)(x＋3)(x＋4)＋x2－9； ＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)(x－3) ＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)] ＝(x＋3)(2x＋1)
取每项相同的多项式，多项式的次数取最低的。
3.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，
使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
因式分解题型提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法
1.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的 的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。
2．常用的因式分解方法：（1）提公因式法：对于ma mb mc ++， 叫做公因式， 叫做提公因式法。
①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
②公因式的构成：系数：各项系数的 ；字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。
（2）公式法：①常用公式平方差： 完全平方：立方和：3322a b (a+b)(a -ab+b )+= 立方差：②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）（3）十字相乘法①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。
（4）分组分解法①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式或利用公式法，即可达到分解因式的目的。
例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
因式分解———提公因式公式法
因式分解———提公因式公式法因式分解是数学中的一个重要的方法，它可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式。
常用的因式分解方法有提公因式法和公式法。
一、提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法，它的基本思想是找出多项式中的公因式，并将其提取出来。
下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式3x^2+9x分解因式。
解题步骤：1.观察多项式中的每个项，找出它们的公因式。
在这个例子中，3和9都是3的倍数，所以可以提取出公因式3来，即3x^2+9x=3(x^2+3x)。
2.检查提取出的公因式是否是多项式的最大公因子。
这一步其实是用求最大公因子的方法来验证的。
在这个例子中，公因式3是最大公因子，因为3x^2和3x都可以被3整除，而且没有其他的公因子。
3.将提取出来的公因式和剩下的部分组合在一起。
在这个例子中，可以将公因式3和剩下的部分(x^2+3x)组合在一起，即3(x^2+3x)。
综上所述，多项式3x^2+9x可以分解因式为3(x^2+3x)。
二、公式法公式法是因式分解中的另一种常用方法，它适用于具有特定形式的多项式。
下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式x^2+4x+4分解因式。
解题步骤：1.观察多项式的各个项的系数。
在这个例子中，x^2的系数为1，4x的系数为4，4的系数为42.检查多项式是否具有特定形式。
在这个例子中，多项式的形式为x^2+4x+4，它的形式和公式(a+b)^2非常相似。
3.根据公式(a+b)^2，将多项式进行分解。
根据公式(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，可以将多项式x^2 + 4x + 4分解为(x+2)^2综上所述，多项式x^2+4x+4可以分解因式为(x+2)^2综合练习：1.将多项式6x^2+9x+3分解因式。
解：可以观察到，多项式的各个项的系数都是3的倍数，所以可以提取公因式3，即6x^2+9x+3=3(2x^2+3x+1)。
2.将多项式x^3-8分解因式。
2.2 提公因式法因式分解(北师大版)
做一做
分解因式： 分解因式： （1）a(x+y)-2b(x+y) ）
（2）5m(x-y)2-10n(y-x)2 ）
想一想
提公因式法分解因式与单项式 乘多项式有什么关系？ 乘多项式有什么关系？
作业 P 44 习题2.2 T1(1)(3)(5)(7) T2(1)(3)
注意：当多项式的第一项的系数为负数时， 注意：当多项式的第一项的系数为负数时， 通常先提出“ 号 通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数 为正。 同时多项式的各项都要变号。 为正。 同时多项式的各项都要变号。
做一做
将下列各式分解因式： 将下列各式分解因式： (1)63ab-14ab2 (2) 3a2y-3ay+6y (3)-24m2n+16mn2-28m
下列多项式的各项是否有公因式？ 下列多项式的各项是否有公因式？ 如果有，是什么？ 如果有，是什么？ (1)3x2+x (2)2b2+4b-6b x
2b
思考:如何提取多项式的公因式 思考 如何提取多项式的公因式? 如何提取多项式的公因式
1.公因式系数应取各项系数的最大公约数 公因式系数应取各项系数的最大公约数 2.字母取各项相同的字母 且相同字母的指 字母取各项相同的字母,且相同字母的指 字母取各项相同的字母 数取次数最低的
议一议
多项式2x 多项式 2+6x3中各项的公因式是什 么？ 2x2
如果一个多项式的各项含有公因式， 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就 可以把这个公因式提出来， 可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成 两个因式乘积的形式。 两个因式乘积的形式。 这种分解因式的方法叫做提公因式法。
分解因式： 例１.分解因式： 分解因式 (1）3x+6 ） (2)7x2-21x (3)8a3-12ab3c+ab (4)-24x3-12x2+28x
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
提公因式法分解因式教学反思
提公因式法分解因式教学反思反思一：提公因式法分分解因式在引入“因式分解解”这一概念时是通过复习小小学知识“因数分解”，接着着让学生类比得到的。
此处的的设计意图是类比方法的渗透透。
因式分解与整式乘法的的区别则通过把等号两边的式式子互相转换位置而直观得出出。
在学习提取公因式时首首先让学生通过小组讨论得到到公因式的结构组成，并且引引导学生得出提取公因式法这这一因式分解的方法其实就是是将被分解的多项式除以公因因式得到余下的因式的计算过过程。
此处的意图是充分让学学生自主探索，合作学习。
而而实际上，学生的学习情绪还还是调动起来了的。
通过小组组讨论学习，尽管语言的组织织方面不够完善，但是均可以以得出结论。
接着通过例题讲讲解，最后让学生自主完成练练习题，老师当堂讲评。
上完完本课，教学目的能够完成，，教学重难点也能逐个突破。
不足之处：本课的教学设设计引入的过程可以简化。
对对于因式分解的概念，学生可可通过自己的一系列练习实践践去体会到此概念的特点，故故不需在开头引入的地方多加加铺垫，浪费了一定的时间。
在设计的时候脚手架的搭建建层次也不够分明。
教学过过程中，能做到及时向学生反反馈信息。
能走下讲台，做到到课内批改大部分学生的练习习，且对于个别学习本课新知知识有困难的学生能单独予以以辅导。
在批改过程中，发现现大部分学生都做错及存在的的问题能充分利用多媒体向学学生展示，或是马上板演为全全体学生讲解清楚。
教学过程程中，教学基本功比较扎实。
反思二：提公因式法分解解因式教学反思这节课主要要是通过确定多项式各项的公公因式，然后提取公因式，将将一个多项式转化成几个整式式的积的形式。
教学这节课课时，我先由分解质因数引入入“分解因式”的概念，通过过比较发现分解因式与整式乘乘法互为逆运算;然后讨论如如何找一个多项式各项的公因因式，最后设计了典型的范例例使学生掌握“提公因式法分分解因式”。
一节课自始至至终学生积极性比较高，课堂堂效率也较理想。
提公因式法因式分解教案
提公因式法因式分解教案今天我们要研究的因式分解,与整式乘法有什么不同呢?请看下面的例子：示范】(x+2)(x+3)=x^2+5x+6这是一个整式乘法的例子,现在我们来看一个因式分解的例子：示范】x^2+5x+6=(x+2)(x+3)你们可以看到,这两个式子的形式是一样的,但是它们的意义不同,整式乘法是求出多项式的积,而因式分解则是把一个多项式拆分成几个整式的积的形式.这就是因式分解与整式乘法的区别.设计意图】通过比较整式乘法和因式分解的例子,让学生理解因式分解的概念和与整式乘法的区别.师】那么,如何进行因式分解呢?我们来看下面这个例子：示范】6x^2+9x=3x(2x+3)这个式子是如何得出的呢?我们先找到这个多项式的公因式3x,然后把剩下的部分因式分解成2x+3的形式,最后把公因式和因式分解的部分相乘.这就是提公因式法因式分解的方法.设计意图】通过示范例子,让学生了解提公因式法因式分解的方法,并培养寻找公因式的能力.三）巩固练问题3：对下列多项式进行因式分解：1)4x^2+4x2)6a^2-9ab设计意图】巩固提公因式法因式分解的方法,让学生掌握应用.师】请大家自己尝试对这两个多项式进行因式分解.学生】(1)4x^2+4x=4x(x+1)2)6a^2-9ab=3a(2a-3b)师】非常好,你们已经掌握了提公因式法因式分解的方法.那么,我们来看下面这个问题：问题4：用提公因式法因式分解下列多项式：1)ax+bx+ay+by2)2x^2-2xy-3x+3y设计意图】提高难度,让学生运用提公因式法因式分解多项式.师】请大家尝试对这两个多项式进行因式分解.学生】(1)ax+bx+ay+by=(a+b)x+(a+b)y=(a+b)(x+y)2)2x^2-2xy-3x+3y=2x(x-y)-3(x-y)=(2x-3)(x-y)师】非常好,你们已经掌握了提公因式法因式分解多项式的方法.问题3：填写下列式子的右边空白部分。
因式分解提公因式法
因式分解
提公因式法
回顾因式分解的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。
ma+mb+mc=
我们称m为公因式。
m(a+b+c)
像多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，
把公因式m提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成两个因式m和(a+b+c) 的乘积，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。
（1）3a2-9ab （2） -5a2+25a （3）2(x+y)2-4x(x+y) （4）2(a-1)+a(1-a)
分析第（1）题： 由公因式的定义，我们按以下几步确定公因式： ①定系数：∵系数3和-9的最大公约数为3，∴公因式的系数为（ ） ②定“字母(或整体）”：∵两项中的相同字母是（ ）， ∴公因式的字母取（ ）； ③定指数：∵相同字母的最小指数为（ ），∴相同字母的指数取（
）；
因此, 3a2-9ab 的公因式为：（
3a2-9ab
=
）
找到公因式后，可以利用多项式除以单项式的法则得出另一个因式
（1）3a2-9ab （2）-5a2+25a （3）2(x+y)2-4x(x+y) （4）2(a-1)+a(1-a)
（4）可以先将（1-a)转化为-(a-1) -5a2+25a 定系数 定字母（整体）
=2(a-1)-a(a-1)
2(a-1)+a(1-a)
2(x+y)2-4x(x+y)
-5
a 1
2
(x+y)
1 (a-1) 1 (a-1)
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提公因式法分解因式（培优）
【知识点讲解】
如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外
面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多
项式的公因式的确定方法是：
（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解
【例题讲解】
例1、把下列各式因式分解
（1）3122mmmmaxacxabxxa （2）)(2)(2)(223ababababaa
例2、利用提公因式法简化计算过程
1368987521136898745613689872681368
987
123
例3、不解方程组23532xyxy，求代数式()()()22332xyxyxxy的值。
例4、证明：对于任意自然数n，323222nnnn一定是10的倍数。
例5、因式分解322xxx()()
例6、分解因式：412132qpp()()
【巩固练习】
1、分解因式：
（1）41222332mnmnmn （2）aababaabba()()()322222
（3）axabxacxadxnnnn2211（n为正整数）
2、计算：()()221110的结果是（ ）
A、2100 B、210 C、2 D、1
3、已知x、y都是正整数，且xxyyyx()()12，求x、y。
4、证明：812797913能被45整除。
5、化简：111121995xxxxxxx()()()…，且当x0时，求原式的值。
6、计算：200020012001200120002000
7、已知：xbxc2（b、c为整数）是xx42625及3428542xxx的公因式，求b、c
的值。
8、设x为整数，试判断1052xxx()是质数还是合数，请说明理由。