§9-3直线与平面的位置关系(2)
9.3 直线与平面的位置关系(3)公开课
学生练习
已知空间四边形ABCD，AB=AC,DB=DC,求证：BC⊥AD A
B D
E
C
学生练习
选做 如图，已知a//b,a⊥α,求证：b⊥α
a
b
m n
课堂小结
判定定 理及应 用
定义
直线与平面垂直
定义 转化思想：线面垂直 判定定理 线线垂直
布置作业
作业：中职教材P122练习第1,2题
如果直线a与平面α内的两条直线垂直，则直线a和平面α互相垂直？ 如果两条直线平行 如果两条直线相交
a
b
α
问题情境
动手操作
过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置 在桌面上（BD，DC与桌面接触）
A
思考
(1)折痕AD与桌面垂直吗？
B
D
C
(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α 垂直？
直线与平面垂直的判定
授课者：陆华勇
复习引入
直线与平面的位置关系有哪几种? 直线与平面的位置关系有 哪 几种？
线在面内
线面
线面平行
垂直
位置关系 线面相交
斜交
√
问题情境
思考
你能列举生活中直线和平面垂直的例子吗？
问题情境
问题情境
思考
直线和平面垂直是何定义呢？
问题情境
做实验
A
m
C D E
B
H G
F ⑴书脊所在直线和各页面与桌面的交线的位置关系?
A B D
C
当折痕 AD⊥BC 且 翻折后 BD与DC不在一条直线上时.
数学建构
2.直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此 平面垂直． 符号表示：
苏教版高中数学教材必修2
1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直的判定定理1： 如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面． l⊥a
l⊥b
a⊂ l⊥ * 线线垂直 线面垂直
第1章 立体几何初步
b⊂
a∩b＝A
苏教版高中数学教材必修2
1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直的判定定理2： 求证： 如果两条平行直线中的一条垂直于一 个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
—— 直线a的垂面；
P —— 垂足．
a⊥，l⊂ a⊥l．
第1章 立体几何初步
苏教版高中数学教材必修2
1.2 点、线、面之间的位置关系
过一点有 无数
条直线与已知直线垂
直；
过一点有且只有一 条直线与已知平面垂 直； 过一点有且只有一 个平面与已知直线垂 直．
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
P
A
l
一条直线和一个
平面相交但是不 垂直，称这条直 线为这个平面的斜线； 斜线和平面的交点叫 做斜足；
R
Q
A’
从平面外一点向平面引斜线，点与斜足间的线
段叫做点到平面的斜线段； 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的
判断：
1．a∥b，b∥c，则a∥c． T
2．a⊥b，b⊥c，则a∥c． F 3．a⊥b，b∥c，则a⊥c． T
苏教版高中数学教材必修2
第1章
立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直：
如果一条直线a与一个平面内的任意一
工程制图-第三章-直线、平面的相对位置
直线、平面的相对位置本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：1)平行关系：直线与平面平行，两平面平行。
2)相交关系：直线与平面相交，两平面相交。
§1 平行关系1.1 直线与平面平行定理:若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。
以，直线EF平行于ABC平面。
[例1]过已知点k ，作一条水平线平行于△ABC 平面。
步骤：1）在ABC 平面内作一水平线AD ； 2）过点K 作 KL ∥AD ； 3）直线KL即为所求。
d′d l′lk′k a′a b′e′bc X[例2]试判断:已知直线AB是否平行于四棱锥的侧表面SCF。
作图步骤：1）作c'm'∥a'b'；2）根据CM在平面SCF内，作出cm；3）由于cm不平行于ab，即在该平面内作不出与AB平行的直线，所以，直线AB不平行于四棱锥侧表面SCF。
1.2 平面与平面平行两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。
所以：平面ABC 和平面DEF 相平行。
［例3］过点K作一平面，是其与平面ABC平行。
解：只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。
作图步骤：2）作KD∥AC(k'd'∥a'c',kd∥ac);a'cac'bb'k'kl'ld'dX1）作KL∥BC(k'l'∥b'c', kl∥bc); 3）平面KDL即为所求。
2.1 直线与平面相交2.1.1 利用积聚性求交点当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。
⑴平面为特殊位置[例]求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
空间及投影分析平面ABC 是一正垂面，其V 投影积聚成一条直线，该直线与m'n'的交点即为K点的V 投影。
课件9：2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系~2.1.4 平面与平面之间的位置关系
[思考] 1．如何判断一条直线在平面内呢？ 提示：利用公理1判断． 2．“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”意 义相同吗？ 提示：不同．前者包括直线与平面平行和直线在平面内两种 情况，后者仅指直线与平面平行．
[知识点二] 平面与平面之间的位置关系 1．位置关系 有且只有两种 (1)两个平面平行—— 没有 公共点； (2)两个平面相交——有 一 条公共直线． 2．符号表示 两个平面 α、β 平行，记为 α∥β ；两个平面 α、β 相交于直线 l，记 为 α∩β＝l .
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 ~2.1.4 平面与平面之间的位置关系
【课时目标】
课时点睛
目标定位
我们已经学习了空间中直线与直线 的位置关系，空间中直线与平面， 平面与平面又有哪些位置关系呢？ 这些位置关系是如何定义的？不同 的平行关系间有何联系呢？
1.理解空间中直线与平面的位置关系． 2.理解空间中平面与平面的位置关系． 3.会用图形符号表示直线与平面、平面 与平面的位置关系.
【预习自测】
1．若直线 a∥平面 α，则( ) A．过 α 内一定点有且仅有一条直线与 a 平行 B．过 α 内一定点有无数条直线与 a 平行 C．过 α 内一定点有且仅有一条直线与 a 异面 D．过 α 内一定点有且仅有一条直线与 a 相交 解析：α 内一定点与直线 a 确定唯一的一个平面，此平面与 α 的 交线与 a 平行，故选 A. 答案：A
3．图形表示 两个平面 α、β 平行，如图(1)所示；两个平面 α、β 相交于直线 l， 如图(2)所示．
Байду номын сангаас
[思考] 3．两个平面会只有1个交点吗？ 提示：根据公理3，若两个不重合的平面相交，则有一条公共交线，而 不会只交于一点． 4．平面α∥平面β，直线a⊂α，则直线a和平面β的关系是什么？ 提示：a∥β.∵α∥β，∴平面α与平面β无公共点． 又∵a⊂α，∴直线a与平面β无公共点， ∴a∥β.
直线平面之间的位置关系知识点总结9篇
直线平面之间的位置关系知识点总结9篇第1篇示例：在数学中，我们经常会遇到直线和平面之间的位置关系问题。
了解直线平面之间的位置关系对于解题非常重要。
下面就让我们来总结一下关于直线平面之间的位置关系的知识点。
我们要了解直线和平面的基本概念。
直线是由无数个点组成的，它没有宽度和高度，只有长度。
而平面是一个二维的空间，由无数个点组成，具有长度和宽度，但没有高度。
直线和平面之间有以下几种位置关系：1. 直线在平面内部：当直线的所有点都在平面内部时，我们称这条直线在这个平面内部。
2. 直线与平面相交：当一条直线与一个平面相交时，它们有一个共同的交点。
在这种情况下，直线和平面既不重合也不平行。
对于直线平面之间的位置关系，我们还可以根据直线与平面之间的夹角来进行分类：1. 两条直线之间的位置关系：两条直线可以相交、平行、垂直等。
当两条直线在平面上相交时，我们可以根据它们之间的夹角来判断它们的位置关系。
2. 直线与平面之间的夹角：直线与平面之间的夹角也可以用来判断它们之间的位置关系。
当夹角为90度时，直线与平面垂直；夹角为0度时，直线与平面平行；夹角不为0度也不为90度时，直线与平面相交。
我们还要了解直线与平面之间的距离问题。
对于直线与平面之间的距离，我们通常是指从直线上的一点到平面的最短距离。
这个问题可以通过向量、坐标等方法来求解，需要根据具体的题目情况来确定解题方法。
了解直线与平面之间的位置关系是解题的基础。
通过掌握上述知识点，我们可以更好地理解和解决相关问题。
希望以上内容能够帮助大家更好地掌握直线平面之间的位置关系知识。
第2篇示例：在几何学中，直线是一种无限延申的几何实体，是平面中的一种基本几何元素。
直线平面之间的位置关系是几何学中一个重要的知识点，掌握好这一知识点可以帮助我们更好地理解平面几何中各种图形的性质和相互关系。
下面我们来总结一下关于直线平面之间的位置关系的知识点。
1. 直线与平面的位置关系在平面几何中，直线和平面是两种不同的几何实体，它们之间有着特定的位置关系。
直线与平面的位置关系知识点归纳
P·αLβD CBAα第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系LA· α C·B ·A· α1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：空间点、直线、平面之间的位置关系
■名师点拨 (1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线 既不相交，也不平行． (2)不能把异面直线误认为分别在不同平面 内的两条直线，如图中，虽然有 a⊂α，b⊂β， 即 a，b 分别在两个不同的平面内，但是因 为 a∩b＝O，所以 a 与 b 不是异面直线．
2．空间中直线与平面的位置关系
2．[变条件]在本例中，若将条件改为平面 α 内有无数条直线与 平面 β 平行，那么平面 α 与平面 β 的关系是什么？ 解：如图，α 内都有无数条直线与平面 β 平行．
由图知，平面 α 与平面 β 可能平行或相交．
3．[变条件]在本例中，若将条件改为平面 α 内的任意一条直线 与平面 β 平行，那么平面 α 与平面 β 的关系是什么？ 解：因为平面 α 内的任意一条直线与平面 β 平行，所以只有这 两个平面平行才能做到，所以平面 α 与平面 β 平行．
平行．( × ) (10)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( × )
异面直线是指( ) A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线
解析：选 D.对于 A，空间两条不相交的直线有两 种可能，一是平行(共面)，另一个是异面，所以 A 应排除．对于 B，分别位于两个平面内的直线， 既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是 相交的情况，所以 B 应排除．对于 C，如图中的 a，b 可看作是平 面 α 内的一条直线 a 与平面 α 外的一条直线 b，显然它们是相交直 线，所以 C 应排除．只有 D 符合定义．
位置关系
直线 a 在 平面 α 内
直线 a 在平面 α 外
直线 a 与平
直线 a 与
2022年高考复习 9.3空间点、直线、平面之间的位置关系
.
(1)若 a⊂α,b⊂β,则 a 与 b 是异面直线;
(2)若 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 异面;
(3)若 a,b 不同在平面 α 内,则 a 与 b 异面;
(4)若 a,b 不同在任何一个平面内,则 a 与 b 异面.
[答案] (4)
[解析] (1)(2)(3)中的两直线还有可
公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相 平行
.
定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角
相等 或
互补 .
课前双基巩固
2.空间直线之间的位置关系
共面
(1)空间直线
平行直线
相交直线
异面——异面直线
(2)异面直线所成的角
①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O 作直线 a'∥a,b'∥b,把 a'与 b'所成的
面 BB1D1D 的交线
确,并说明理由.
为 OO1.
(1)直线 AC1 在平面 CC1B1B 内;
(3)错误.因为 A,O,C
(2)设正方形 ABCD 与正方形 A1B1C1D1 的中心分别为 O,O1,
三点共线,所以 A,O,C 不能确定一
则平面 AA1C1C 与平面 BB1D1D 的交线为 OO1;
(2)设正方形 ABCD 与正方形 A1B1C1D1 的中心分别为 O,O1,
则平面 AA1C1C 与平面 BB1D1D 的交线为 OO1;
(3)由点 A,O,C 可以确定一个平面;
(4)由 A,C1,B1 确定的平面是 ADC1B1;
(5)设直线 l 是平面 ABCD 内的直线,直线 m 是平面 DD1C1C
直线与平面的位置关系知识点
高考数学-直线与平面的位置关系知识点2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义：平面是无限延展的 2 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥bLA ·α C ·B·A· α P· αLβ共面直线=>a ∥c强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
空间点、直线、平面之间的位置关系
题 演
学
练
推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
集
训
题 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
型
重 点
2．异面直线判定的一个定理
课 时
研 讨
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线
跟 踪
检
是异面直线．
测
必考部分 第八章 §8.3
第11页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（文）
所以 EF，BD 确定一个平面，即 D，B，F，E 四点共面．
必考部分 第八章 §8.3
第30页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（文）
基
②在正方体 AC1 中，设 A1CC1 确定的平面为 α，
题 演
学
∠FAB＝90°，BC＝12AD，BE＝12FA，G，H
分别为 FA，FD 的中点．
练 集 训
题
型
重
课
点
时
研
跟
讨
踪 检
测
①四边形 BCHG 的形状是_平__行__四__边__形___；
②点 C，D，E，F，G 中，能共面的四点是_C_，__D__，__E_，__F_．
必考部分 第八章 §8.3
时
研
跟
讨
踪 检
测
必考部分 第八章 §8.3
第28页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（文）
基
础 分
(2)已知在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别为 D1C1，C1B1 真
层 导
的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
题 演
学
求证：①D，B，F，E 四点共面；