冀教初中数学九年级下册《30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数》课堂教学课件
【冀教版】2019年春九年级数学下册：30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数
30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法．2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．一、情境导入某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？二、合作探究探究点：用待定系数法求二次函数解析式 【类型一】用一般式确定二次函数解析式已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解析式．解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．解：设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝－4，a ＋b ＋c ＝1，解这个方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝－4.∴这个二次函数的解析式为y ＝2x 2＋3x －4.方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值．【类型二】用顶点式确定二次函数解析式已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式．解：设二次函数解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，图象顶点是(－2，3)，∴h ＝－2，k ＝3，依题意得：5＝a (－1＋2)2＋3，解得a ＝2，∴y ＝2(x ＋2)2＋3＝2x 2＋8x ＋11.方法总结：若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为y＝a(x－h)2＋k.顶点坐标为(h，k)，对称轴方程为x＝h，极值为当x＝h时，y极值＝k来求出相应的数．【类型三】根据平移确定二次函数解析式将抛物线y＝2x－4x＋1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式．解析：要求抛物线平移的函数解析式，需要将函数y＝2x2－4x＋1化成顶点式，然后根据顶点坐标的变换求抛物线平移后的解析式．解：y＝2x2－4x＋1＝2(x2－2x＋1)－1＝2(x－1)2－1，该抛物线的顶点坐标是(1，－1)，将其向左平移3个单位，向下平移2个单位后，抛物线的形状，开口方向不变，这时顶点坐标为(1－3，－1－2)，即(－2，－3)，所以平移后抛物线的解析式为y＝2(x＋2)2－3.即y ＝2x2＋8x＋5.方法总结：抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象向左平移m(m>0)个单位，向上平移n(n>0)个单位后的解析式为y＝a(x－h＋m)2＋k＋n；向右平移m(m>0)个单位，向下平移n(n>0)个单位后的解析式为y＝a(x－h－m)2＋k－n.【类型四】根据轴对称确定二次函数解析式已知二次函数y＝2x－12x＋5，求该函数图象关于x轴对称的图象的解析式．解析：关于x轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形状不变，而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口方向与原图象的开口方向相反，顶点的横坐标不变，纵坐标与原图象的纵坐标互为相反数．解：y＝2x2－12x＋5＝2(x－3)2－13，顶点坐标为(3，－13)，其图象关于x轴对称的顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图象的解析式为y＝－2(x－3)2＋13.方法总结：y＝a(x－h)2＋k的图象关于x轴对称得到的图象的解析式为y＝－a(x－h)2－k.【类型五】用待定系数法求二次函数解析式的实际应用科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想，推测出与之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃.解析：设l 与t 之间的函数关系式为l ＝at 2＋bt ＋c ，把(－2，49)、(0，49)、(1，46)分别代入得：⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝49，c ＝49，a ＋b ＋c ＝46，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝49.∴l ＝－t 2－2t ＋49，即l ＝－(t ＋1)2＋50，∴当t ＝－1时，l 的最大值为50.即当温度为－1℃时，最适合这种植物生长．故答案为－1.方法总结：求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解．三、板书设计教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算.。
冀教版数学九年级下册《30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数》说课稿2
冀教版数学九年级下册《30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数》说课稿2一. 教材分析冀教版数学九年级下册《30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数》这一节主要介绍了如何通过三个不共线的点的坐标来确定一个二次函数。
这是学生在学习了二次函数的图像和性质之后的一个进一步的应用，也是对学生综合运用所学知识解决实际问题的一个挑战。
教材通过具体的例子引导学生理解和掌握这个方法，并通过练习题让学生加以巩固。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元二次方程、二次函数的图像和性质等知识，对于如何通过点的坐标来确定一个函数，学生已经有了一定的理解。
但是，如何通过三个不共线的点的坐标来确定一个二次函数，对学生来说还是一个比较新的概念，需要通过具体的例子和练习来理解和掌握。
三. 说教学目标1.让学生理解通过三个不共线的点的坐标来确定一个二次函数的方法。
2.培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
3.通过对这个问题的探究，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：通过三个不共线的点的坐标来确定一个二次函数的方法。
2.教学难点：如何引导学生理解这个方法，并能够运用到实际的题目中。
五. 说教学方法与手段在这一节课中，我将采用讲授法、引导发现法、讨论法等教学方法。
同时，我会利用多媒体课件和黑板来进行教学，通过具体的例子和练习题来帮助学生理解和掌握这个方法。
六. 说教学过程1.导入：通过一个具体的问题引入本节课的主题，激发学生的兴趣。
2.讲解：通过多媒体课件和黑板，讲解如何通过三个不共线的点的坐标来确定一个二次函数。
3.练习：让学生通过练习题来巩固所学的方法。
4.讨论：引导学生进行小组讨论，分享各自的解题方法和解题思路。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
6.作业：布置相关的作业，让学生进一步巩固所学。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出本节课的重点和难点。
主要包括以下内容：1.通过三个不共线的点的坐标来确定一个二次函数的方法。
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30.3由不共线三点的坐标确定二次函数甄俊芬主备学习目标1、通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究,掌握求表达式的方法。
2、能灵活的根据条件恰当地选取选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化。
自主学习与展示1、一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a,b,c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数，所以，我们把________________________叫做二次函数的一般式。
2、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，用配方法可化成：y ＝a(x-h)2＋k ，顶点是(h ，k)。
配方: y ＝ax 2＋bx ＋c ＝__________________＝___________________＝__________________＝a(x ＋)2＋。
对称轴是x ＝ ，顶点坐标是 ,其中 h ＝ ，k= , 所以，我们把_____________叫做二次函数的顶点式。
3、已知A （2，1）、B （0，-4），求经过A 、B 两点的一次函数表达式。
解：设过A 、B 两点的一次函数表达式为把 、 代入得解得k= ,b= 所以表达式为 。
我们把这种方法叫做待定系数法自主学习与小组合作自主学习例1 已知二次函数的图象过(1二次函数表达式。
小组合作 （1（2（3）、需要代入几个点的坐标？（4）、用一般式求二次函数的表达式的一般步骤是什么？自我检查与组内互查根据下列条件求二次函数解析式1、已知一个二次函数的图象经过了点A （0，－1），B （1，0），C （－1，2）；2、已知二次函数的图象经过(0，0)，(1，2)，(-1，-4)三点；3、已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）；4、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x ＝2。
反思：（1）在第四小题中给出对称轴能得到什么?（2）你能进一步总结出待定系数法确定表达式的一般步骤吗？（共分4步）自主学习例2 已知二次函数的图象经过原点，且当x ＝1时，y 有最小值－1， 求这个二次函数的解析式。
《由不共线三点的坐标确定二次函数》课件 (同课异构)2022年精品课件
解:∵该图象经过点〔2,3〕和(－1,－3)，
{ { 3=4a+c，
a=2，
∴
解得 －3=a+c，
c=－5.
关于y轴 对称
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
做一做
1.二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8) 和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点〔-2,8〕和〔-1,5〕，
该是多少？ 3 5 c m
u立方根的概念 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a
的立方根，也叫做a的三次方根．记作 3 a .
u立方根的表示 一个数a的立方根可以表示为:
根指数
3a
被开方数
读作:三次根号 a， 其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.
填一填： 根据立方根的意义填空：
因为2 3 =8，所以8的立方根是（ 2 ）；
• 他们的课程，无论是在内容和形式上，都是经过认真 研判，把各学科的核心素养作为教学主线。既涵盖城市中 小学、又包括乡村大局部学校的教学模式。適合全國大局 部教學大區。本課件就是從全國一等獎作品中，优选出的 具有代表性的作品。示范性强，有很大的推广价值。
第三十章
学练优九年级数学下〔JJ〕 教学课件
2.过点〔2，4〕，且当x=1时，y有最值为6，那么其表
达式y=-2(x-1)2+6
是
.
顶点坐标是（1，6）
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3.二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1， 1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
a-b＋c＝-5，
依题意得 c＝－4，
解得
2021春冀教版九年级数学下册 第30章 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数
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冀教版 九年级下
第三十章ꢀ二次函数
30.3 由不共线三点的坐标确定二次 函数*
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1 一般式 2 见习题
3 见习题 4 见习题 5 见习题
6 见习题 7 见习题 8 见习题 9 见习题
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2024年九年级数学下册第30章二次函数30.3由不共线三点的坐标确定二次函数教案(新版)冀教版
a + b + c = 0
4a + 2b + c = 3
解得：a = 3，b = -6，c = 3
所以，该二次函数的解析式为y = 3x^2 - 6x + 3。
例题4：
已知抛物线y = ax^2 + bx + c的图像过点(1, 2)，(2, 5)，(3, 10)，求a、b、c的值。
解答：
由于抛物线过点(1, 0)和(2, 0)，可以设抛物线方程为y = a(x - 1)(x - 2)。
顶点在直线x = 3上，所以顶点坐标为(3, k)。
将顶点坐标代入方程，得到k = a(3 - 1)(3 - 2) = 2a。
由于顶点在抛物线上，所以满足抛物线方程，代入顶点坐标得到k = a(3 - 1)(3 - 2) = 0。
- 在课堂教学中，通过提问、观察和即时测试等方式，了解学生对通过不共线三点的坐标确定二次函数的理解和掌握程度。
- 对学生在小组讨论和互动中的表现进行评估，观察学生的参与度、合作能力和解决问题的策略。
- 及时发现学生在学习过程中的困难和误区，针对性地进行解答和辅导，确保学生能够及时纠正错误，巩固知识点。
解答：
设二次函数的解析式为y = ax^2 + bx + c。
将已知点的坐标代入，得到以下方程组：
4a - 2b + c = 0
a + b + c = 0
4a + 2b + c = 6
解得：a = 1，b = -1，c = -2
所以，该二次函数的解析式为y = x^2 - x - 2。
九．课堂
1. 课堂评价
- 对学生在课堂上的表现给予正面反馈，鼓励学生积极思考、大胆提问，增强学生的学习自信心。
30.3由不共线三点的坐标确定二次函数
探究2： 用顶点式求二次函数解析式.
• 变式1：若1题的已知条件改为：已 知二次函数的顶点坐标为（1,4）， 图像过点（0,3），求此函数的表 达式。
• 变式2：已知二次函数的对称轴为x=1,函数的 最大值为4，与y轴的交点为（0,3），求此二 次函数的表达式
思考归纳： 如何用待定系数法求二次函数的表达式？ 1、已知三点求表达式，设一般式 2、已知二次函数的顶点求表达式，设顶 点式
• 变式5：二次函数的图象与轴交与A、B两点， 与y轴交C点，A点坐标为（-3,0）、B点坐 标为（1,0），且△ABC的面积为6，求该 二次函数的表达式.
师生互动，课堂小结
• 这节课你学到了什么？
1、(1)已知三点坐标,设二次函数解析 式为y=ax2+bx+c. (2)已知顶点坐标：设二次函数解析式 为y=a(x-h)2+k. (3)已知抛物线与x轴两交点坐标为 (x1,0),(x2,0)可设二次函数解析式为 y=a(x-x1)(x-x2). 2、注意分类思想的运用
• 则二次函数y=ax2+bx+c =a(x-x1)(x-x2) 我们把y=a(x-x1)(x-x2)叫做二次函数的交 点式也可以叫做双根式。
探究3 用交点式求二次函数解析式
• 变式3：若二次函数过点（3,0），（-1,0）， （0，3），求函数的表达式。
• 变式4：若二次函数过点（3,0）函数与x轴 的两个交点的距离为4，图像过点（0,3）求 函数的表达式
探究3 用交点式二次函数解析式
• 1、求二次函数y=-x2+2x+3与x轴的交点坐标
(3,0) (-1,0)
• 2、把多项式 -x2+2x+3分解因式
九年级数学 第三十章 二次函数 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数教学
22
第十五页，共二十三页。
当堂(dānɡ tánɡ)练习
1.如图，平面直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中，函数图象的表达式应
是 y 3 x2 . 4
注意注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、 y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三 者是顶点式的特殊形式.
y
5
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5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，
对称轴是x＝－3，请解答下列(xiàliè)问题：
(1)求抛物线的表达式；
解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c 得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19. ∵对称轴是x＝－3，∴ ＝b －3，
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例2 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标(zuòbi函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此(yīncǐ)， 可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 0=a(0-8)2+9. 解得 a 9 .
4 3 2
1
-4 -3 -2 -13-O1
12 x
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2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式 是 y=-2(x-1)2+6 .
顶点坐标是（1，6）
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3.已知二次函数(hánshù)的图象经过点(－1，－5)，(0，－4) 和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
已知几个点的坐标求出它的表达式？
由不共线三点的坐标确定二次函数
30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法．2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．一、情境导入某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？二、合作探究探究点：用待定系数法求二次函数解析式【类型一】用一般式确定二次函数解析式已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解析式．解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．解：设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝－4，a ＋b ＋c ＝1，解这个方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝－4.∴这个二次函数的解析式为y ＝2x 2＋3x －4.方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值．【类型二】用顶点式确定二次函数解析式已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式．解：设二次函数解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，图象顶点是(－2，3)，∴h ＝－2，k ＝3，依题意得：5＝a (－1＋2)2＋3，解得a ＝2，∴y ＝2(x ＋2)2＋3＝2x 2＋8x ＋11.方法总结：若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为y ＝a (x －h )2＋k .顶点坐标为(h ，k )，对称轴方程为x ＝h ，极值为当x ＝h 时，y 极值＝k 来求出相应的数．【类型三】根据平移确定二次函数解析式将抛物线y ＝2x 2－4x ＋1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式．解析：要求抛物线平移的函数解析式，需要将函数y ＝2x 2－4x ＋1化成顶点式，然后根据顶点坐标的变换求抛物线平移后的解析式．解：y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x 2－2x ＋1)－1＝2(x －1)2－1，该抛物线的顶点坐标是(1，－1)，将其向左平移3个单位，向下平移2个单位后，抛物线的形状，开口方向不变，这时顶点坐标为(1－3，－1－2)，即(－2，－3)，所以平移后抛物线的解析式为y ＝2(x ＋2)2－3.即y ＝2x 2＋8x ＋5.方法总结：抛物线y ＝a (x －h )2＋k 的图象向左平移m (m >0)个单位，向上平移n (n >0)个单位后的解析式为y ＝a (x －h ＋m )2＋k ＋n ；向右平移m (m >0)个单位，向下平移n (n >0)个单位后的解析式为y ＝a (x －h －m )2＋k －n .【类型四】根据轴对称确定二次函数解析式y x 2x x 轴对称的图象的解析式．解析：关于x 轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形状不变，而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口方向与原图象的开口方向相反，顶点的横坐标不变，纵坐标与原图象的纵坐标互为相反数．解：y ＝2x 2－12x ＋5＝2(x －3)2－13，顶点坐标为(3，－13)，其图象关于x 轴对称的顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图象的解析式为y ＝－2(x －3)2＋13.方法总结：y ＝a (x －h )2＋k 的图象关于x 轴对称得到的图象的解析式为y ＝－a (x －h )2－k . 【类型五】用待定系数法求二次函数解析式的实际应用科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过温度t /℃ －4 －2 0 1 4植物高度增长量l /mm 41 49 49 46 25l t 为________℃.解析：设l 与t 之间的函数关系式为l ＝at 2＋bt ＋c ，把(－2，49)、(0，49)、(1，46)分别代入得：⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝49，c ＝49，a ＋b ＋c ＝46，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝49.∴l ＝－t 2－2t ＋49，即l ＝－(t ＋1)2＋50，∴当t ＝－1时，l 的最大值为50.即当温度为－1℃时，最适合这种植物生长．故答案为－1.方法总结：求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解．三、板书设计教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算.。
2019春冀教版九年级下册数学课件：30.3由不共线三点的坐标确定二次函数 课后作业 (共10张PPT)
第三十章 二次函数
30.3 由不共线三点的坐标
确定二次函数
1 利用对称确定二次函数表达式
2 利用对称轴确定二次函数表达式 3 利用直线平移－6x＋5，求满足下列条件的二
次函数的表达式： (1)两图像关于x轴对称； (2)两图像关于y轴对称； (3)两图像关于经过抛物线y＝3x2－6x＋5的顶点且平行
的表达式为y＝－x＋4，作抛物线的对称轴，交BC 于点H，则点H的坐标为(1，3)． 1 ∴S△BDC＝S△BDH＋S△DHC＝ × 2 3 1 3 × [1 － ( － 2)] ＋ × 3 2 3 2 2 ×(2－1)＝3.
1 y x c, 2 (3)由 y 1 x2 x 2 2
消去y，得到x2－x＋4－2c＝0.
当Δ＝0时，直线与抛物线相切， 1 5 1－4(4－2c)＝0，∴c＝ . 8 1 当直线y＝－ x＋c经过点C时，c＝3， 2 1 当直线y＝－ x＋c经过点B时，c＝5. 2 1 ∵直线y＝－ x向上平移c个单位长度所得的直线与抛 2 物线段BDC(包括端点B，C)部分有两个交点∴<c≤3.
∴y2＝5x＋10.
②当y1＝－x2－2x＋8时，解－x2－2x＋8＝0， 得x＝－4或2， ∴抛物线与x轴的交点是(－4，0)和(2，0)．
∵y2随着x的增大而增大，且过点A(－1，5)，
∴y1与y 2都经过x轴上的同一点(－4，0)． 把(－1，5)，(－4，0)的坐标代入y2＝kx＋b， 5 k , 2 0 5 k b 5, 3 得 解得 ∴y2＝ x＋ . 3 3 2 0 4 k b 0, b , 3 5 2 0 综上，y2的解析式为y2＝5x＋10或y2＝ x＋ . 3 3
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4
y
3
0
2
0
3
经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这 个二次函数的表达式 y=x2 4x+. 3
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3.（潼南·中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，
点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，
沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC
的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN 的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4）,则
yl
A
B
M
能大致反映S与t的函数关系的图象是( )
s
s
s
43
43
43
s
43
ON
C
x
23
23
23
23
O 2 4 tO 2 4 tO 2 4 tO 2 4 t
A
B
C
D
解析：选C.过点A作x轴的垂线，垂足为E，则OE=2，AE2 =3 ，当点M在OA
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二次函数表达式有哪几种表达方式？ 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
如何求二次函数的表达式？ 已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求 其表达式.
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【例题】
【例1】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1， 4），（2，7）三点，求这个函数的表达式.
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30.3由不共线三点的坐标确定二次函数
甄俊芬主备 2014年12月10日
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1.会用待定系数法确定二次函数的表达式. 2.会求简单的实际问题中的二次函数表达式.
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【跟踪训练】
（西安·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过
A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点.
求该抛物线的表达式.
y
【解析】设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,
根据题意，得
a b c 0, 9a 3b c 0, c 1.
a
1, 3
解之 得
b
2 3
,
c 1.
AO C
B
x
∴所求抛物线的表达式为 y 1 x 2 2 x 1.
33
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1．（衢州·中考）下列四个函数图象中，当x＞0时， y随x的增大而增大的是( C )
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2.（莆田·中考）某同学用描点法画 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出如下表格:
x
0
1
2
上时，ON=t，MN3=t ，所以S=3 t2 （0≤t≤2）；当点M在AB上时，MN的
2
值不变为 2 ，3 所以S= （3t2≤t≤4），故选C.
你学到哪些二次函数表达式的求法？ （1）已知图象上三点的坐标或给定x与y的三对对应值， 通常选择一般式. （2）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式. （3）已知图象与x轴的交点坐标,通常选择交点式.
确定二次函数的表达解析式时，应该根据条件的特 点，恰当地选用一种函数表达方式.
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一个人如果看到什么都是本分，那就没有感激； 如果看到情分更多，那就会有一种珍重之心. ——佚名
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y
-1
x
o
-3
解析：设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-3,
由点( 0,-5 )在抛物线上得： a-3=-5, 得a=-2， 故所求的抛物线表达式为y=－2(x＋1)2-3.
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【规律方法】1.求二次函数y=ax2+bx+c的表达式，关键 是求出待定系数a, b, c的值，由已知条件（如二次函数图象 上三个点的坐标）列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c， 就可以写出二次函数的解析式. 2.当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式y=a(x-h)2+k, 将h,k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的 值.
解析：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
a-b+c=10，
a=2,
由条件得： a+b+c=4， 解方程组得： b=-3,
4a+2b+c=7，
c=5.
因此，所求二次函数的表达式是
y=2x2-3x+5.
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【例2】已知抛物线的顶点为 (-1，-3),与y轴交点为 (0，-5),求抛物线的表达式.