新沪科版初中数学八年级上册15.4角的平分线专题训练及答案(精品).doc
2019年精选初中数学八年级上册15.4 角的平分线沪科版复习特训【含答案解析】四十七
2019年精选初中数学八年级上册15.4 角的平分线沪科版复习特训【含答案解析】四十七第1题【单选题】如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为( )A、有误B、2C、3D、2有误【答案】：【解析】：第2题【单选题】如图，AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是( )A、BD+ED=BCB、DE平分∠ADBC、AD平分∠EDCD、ED+AC>AD【答案】：【解析】：第3题【单选题】如图，L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有( )A、一处B、二处C、三处D、四处【答案】：【解析】：第4题【单选题】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED②AC+BE=AB③∠BDE=∠BAC ④AD平分∠CDE ⑤S△ABD∶S△ACD=AB∶AC，其中正确的有( )A、2个B、3个C、4个D、5个【答案】：【解析】：第5题【填空题】如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=______．【答案】：【解析】：第6题【填空题】如图，AD∥BC，BG，AG分别平分∠ABC与∠BAD，GH⊥AB，HG=5，则AD与BC之间的距离是______.【答案】：【解析】：第7题【填空题】在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=20，且BD：DC=3：2，则D到AB边的距离是______．A、8【答案】：【解析】：第8题【解答题】在△ABC中，点D在边BA或BA的延长线上，过点D作DE∥BC，交∠ABC的角平分线于点E．如图1，当点D在边BA上时，点E恰好在边AC上，求证：∠ADE=2∠DEB；如图2，当点D在BA的延长线上时，请直接写出∠ADE与∠DEB之间的数量关系，并说明理由．【答案】：【解析】：第9题【解答题】如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．（1）∠ECD和∠EDC相等吗？（2）OC和OD相等吗？（3）OE是线段CD的垂直平分线吗？【答案】：【解析】：第10题【解答题】已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．求证：AD垂直平分EF．【答案】：【解析】：第11题【解答题】如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，并说明理由；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D 点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并并说明理由．【答案】：【解析】：第12题【综合题】现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是______如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明）【答案】：【解析】：第13题【综合题】在△ABC中，BD为∠ABC的平分线．如图1，∠C=2∠DBC，∠A=60°，求证：△ABC为等边三角形；如图2，若∠A=2∠C，BC=8，AB=4.8，求AD的长度；如图3，若∠ABC=2∠ACB，∠ACB的平分线OC与BD相交于点O，且OC=AB，求∠A的度数．【答案】：【解析】：。
沪科版数学八年级上册(基础练习)15.4《角的平分线》
15.4《角的平分线》基础练习第1课时《角平分线的尺规作图》一、选择题1．如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．2．如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）A．B．1 C．D．3．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A．40°B．55°C．65°D．75°5．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，以大于EF长为半径作圆弧，两条弧交于点G，作射线AG交CD于点H，若∠C=120°，则∠AHD=（）A．120°B．30°C．150°D．60°6．下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线．如图，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS7．如图，点A在点O的北偏西30°的方向上，AB⊥OA．根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法正确的是（）A．点O在点A的南偏东60°方向上B．点B在点A北偏东30°方向上C．点B在点O北偏东60°方向上D．点B在点O北偏东30°方向上8．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（）A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3二、填空题9．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3．按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF．AE交BF于点O，连接OC，则OC=．10．“直角”在初中几何学习中无处不在．课堂上李老师提出一个问题：如图1，已知∠AOB．判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图2，在OA、OB上分别取点C，D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB 的反向延长线于点E．若OE=OD，则∠AOB=90°．李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据：．11．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为．12．如图，在▱ABCD中按以下步骤作图：①以点B为圆心，BA长为半径作弧，交BC于点E；②分别以A，E为圆心，大于AE的长为半径作弧两弧交于点F；③连接BF，延长线交AD于点G．若∠AGB=30°，则∠C=°．13．小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的作法是这样的：如图，（1）利用刻度尺在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON；（2）利用两个三角板，分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P；（3）画射线OP．则射线OP为∠AOB的平分线．请写出小林的画法的依据．三、解答题14．如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC．（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．15．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°．（1）用尺规作图作∠ABC的角平分线，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）．（2）求证：△BCD是等腰三角形．第2课时《角平分线的性质和判定》基础练习一、选择题1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（）A．2 B．3 C．4 D．62．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°3．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）A．40°B．45°C．50°D．60°4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（）A．6 B．8 C．10 D．125．如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是（）A．20 B．25 C．30 D．356．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC=6cm，则PD的长可以是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．7 cm7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AC=6，则AB长是（）A．5 B．4 C．3 D．28．如图，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，则以下结论错误的是（）A．AD+BC=AB B．∠AOB=90°C．与∠CBO互余的角有2个D．点O是CD的中点二、填空题9．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB=5，BC=6，S△ABC=9，则DE 的长为．10．如图：在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，若BD=6，则CD=．11．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有处．12．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是．13．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB 与CD之间的距离等于．三、解答题14．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．15．阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．求证：AM、BN、CP交于一点．证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（），∴OE=OF（）．同理，OD=OF．∴OD=OE（）．∵CP是∠ACB的平分线（），∴O在CP上（）．因此，AM，BN，CP交于一点．参考答案第1课时1．解：过点M作ME⊥OB于点E，由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，则∠POB=×60°=30°，∴ME=OM=3．故选：C．2．解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，∴∠BCE=∠DCE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，∴BE=BC=3，∵AB=2，∴AE=BE﹣AB=1，故选：B．3．解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．故选：D．4．解：根据作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=∠CAB=25°，∵∠C=90°，∴∠CDA=90°﹣25°=65°，故选：C．5．解：由作法得AH平分∠BAC，则∠CAH=∠BAH，∵AB∥CD，∴∠BAC=180°﹣∠C=180°﹣120°=60°，∴∠CAH=∠BAC=30°，∴∠AHD=∠CAH+∠C=30°+120°=150°．故选：C．6．解：由作图可得OD=OE，EC=DC，而OC=OC，所以根据“SSS”可判定△OCD和△OCE全等．故选：C．7．解：如图由题意：∠AOD=30°，∠COD=90°，∴∠AOC=120°，由作图可知，OB平分∠AOC，∴∠AOB=∠AOC=60°，∴∠DOB=30°，∴点B在点O北偏东30°方向上，故选：D8．解：根据基本作图可判断图1中AD为∠BAC的平分线，图2中AD为BC边上的中线，图3中AD为∠BAC的平分线．故选：C．9．解：过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为：D，G，由题意可得：O是△ACB的内心，∵AB=5，AC=4，BC=3，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB=90°，∴四边形OGCD是正方形，∴DO=OG==1，∴CO=．故答案为：．10．解：由作图可知，CE=CD，∵OE=OD，∴CO⊥ED（等腰三角形的三线合一），∴∠COD=90°，故答案为等腰三角形的三线合一．11．解：根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，因此2a+b+1=0，即：2a+b=﹣1．故答案为：2a+b=﹣1．12．解：由题意：∠GBA=∠GBE，∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBE=30°，∴∠ABC=60°，∵AB∥CD，∴∠C=180°﹣∠ABC=120°，故答案为12013．解：有画法得OM=ON，∠OMP=∠ONP=90°，则可判定Rt△OPM≌Rt△OPN，所以∠POM=∠PON，即射线OP为∠AOB的平分线．故答案为斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线．14．（1）解：如图，（2）证明：∵DE平分∠ADB，∴∠ADE=∠BDE，∵∠ADB=∠C+∠DAC，而∠C=∠DAC，∴2∠BDE=2∠C，即∠BDE=∠C，∴DE∥AC．15．（1）解：如图，BD为所作；（2）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=∠ABC=36°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°，∴∠C=∠BDC，∴△BCD为等腰三角形．第2课时1．解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF=6，故选：D．2．解：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=∠DAB=35°，故选：B．3．解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD﹣∠BPC=（x﹣40）°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP=∠PAC=50°．故选：C．4．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AB=8，CD=2，∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，∴DE=CD=2，∴△ABD的面积=AB•DE=×8×2=8．故选：B．5．解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3，∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×（AB+BC+AC）×3=×20×3=30，故选：C．6．解：作PD⊥OB于D，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，∴PD=PC=6cm，则PD的最小值是6cm，故选：D．7．解：如图：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DE=2，∴DF=DE=2，∵S△ABC=10，∴AB×DE+AC×DF=10，∴×AB×2+6×2=10，∴AB=4，故选：B．8．解：∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE，∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；在Rt△AOD和Rt△AOE中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，∠AOE=∠AOD，同理可得OC=OE，∠BOC=∠BOE，∴∠AOB=×180°=90°，故B选项结论正确；与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故C选项结论错误；∵OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．故选：C．9．解：作DF⊥AB于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE=DF，∴×AB×DF+×BC×DE=S△ABC，即×5×DE+×6×DE=9，解得，DE=，故答案为：．10．解：∵∠C=90°，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=30°，∴AD=BD=6，∵∠C=90°，∠CAD=30°，∴CD=AD=3，故答案为：3．11．解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC内角平分线的交点满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，∴点P到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个．故答案为：4．12．解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD，OD=OF，即OE=OF=OD=4，∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD=×4×（AB+AC+BC）=×4×21=42，故答案为：42．13．解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE=OF，OE=OG，∴OE=OF=OG=2，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠EOF+∠EOG=（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ACD）=180°，∴F、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离=OF+OG=2+2=4．故答案为：4．14．证明：在△ABD和△CBD中，AB=BC（已知），∠ABD=∠CBD（角平分线的性质），BD=BD（公共边），∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN（角平分线的性质）．15．证明：设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（已知），∴OE=OF（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）．同理，OD=OF．∴OD=OE（等量代换）．∵CP是∠ACB的平分线（已知），∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．因此，AM，BN，CP交于一点；故答案为：已知；角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等；等量代换；已知；角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．。
沪科版数学八年级上册专题训练15.4 角的平分线
15.4 角的平分线1. 如图，点P 是∠BAC 内一点，且点P 到AB ，AC 的距离相等，则△PEA ≌△PFA 的理由是( )A ．HLB ．AASC ．SSSD ．ASA2. 到三角形三边距离相等的点是( )A ．三边垂直平分线的交点B ．三条高所在直线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条中线的交点3. 如图，△ABC 的三边AB ，BC ，AC 的长分别是20 cm ，30 cm ，40 cm ，点O 为△ABC 三内角平分线的交点，则S △AOB ∶S △BOC ∶S △AOC 等于( )A ．1∶1∶1B ．1∶2∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶54．作∠AOB 的平分线时，以点O 为圆心，某一长度为半径作弧，与OA ，OB 分别相交于点C ，D ，然后分别以点C ，D 为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度应( )A ．大于12CDB ．等于12CDC ．小于12CD D ．以上答案都不对 5. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图，则能说明∠AOC ＝∠BOC 的依据是( )A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．角平分线上的点到角两边距离相等6. 如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA ＝3，则PQ 的最小值为( )A. 3 B．2 C．3 D．2 37. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，AC＝3，则△ADC的面积是( )A．3 B．4 C．5 D．68. 如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则∠P＝ .9．如图，O是△ABC内一点，OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，且OD＝OE＝OF，若∠A＝70°，则∠BOC＝ .10. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，则S△ABD∶S△ACD ＝，BD∶CD＝ .11. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，S△ABC ＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是 .12. 如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：OC 平分∠ACD .13. 如图，已知OD 平分∠AOB ，P 是OD 上一点，在OA ，OB 边上取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD ，垂足分别为M ，N .求证：PM ＝PN .14. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，且CD ＝CB ，∠ABC＋∠ADC ＝180°.求证：AE ＝12(AB ＋AD )．参考答案1. A2.C3.C4.A5.A6.C7.A8.90° 9.120° 10.3∶4 3∶4 11.312.证明：作OE ⊥AC 于E ，得OE ＝OC .又∵OC ＝OD ，∴OE ＝OD ，∴OC 平分∠ACD.13.证明：∵OD 平分∠AOB ，∴∠1＝∠2.又∵OA ＝OB ，OD ＝OD ，∴△AOD ≌△BOD ，∴∠3＝∠4.又∵PM ⊥DB ，PN ⊥DA ，∴PM ＝PN.14.证明：过点C 作CF ⊥AD ，交AD 延长线于点F ，易证△CEB ≌△CFD ，△AEC ≌△AFC. ∴DF ＝BE ，AF ＝AE .又DF ＝AF －AD ＝AE －AD ，BE ＝AB －AE ，∴AB －AE ＝AE －AD ，即AE ＝ 12(AB ＋AD ).。
【水印已去除】【培优练习】《角的平分线》(数学沪科版八上)【含答案】
15.4《角的平分线》培优练习第1课时《角平分线的尺规作图》一、选择题1．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB作法的合理顺序是（）①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①2．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线②∠ADC=60°③△ABD是等腰三角形④点D到直线AB的距离等于CD的长度．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OM、ON，使OM=ON；再分别以点M、N圆心，以大于MN长为半径作圆弧，两弧交于点E，过点E作EC⊥OA于点C．若EC=2，则点E到直线OB的距离是．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长，交BC于点D，则下列说法中，正确的有．（填写序号）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．三、解答题5．如图，在△ABC中，∠C=90°，P是AB上任意一点（P与A不重合），PQ⊥BC，垂足为D．（1）操作：作∠BAC的平分线AE交PQ于点E（保留作图痕迹，不用写作法）；（2）图中是否存在与AP相等的线段？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由．6．如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．（1）尺规作图：过顶点A，作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：BE=CE．第2课时一、选择题1．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD=∠B B．CH=CE=EF C．AC=AF D．CH=HD2．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为40、50、60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：5 D．4：5：6二、填空题3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，垂足为A，交CD于D，若AD=8，则点P到BC的距离是．4．如图，已知∠MON=80°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．当AB⊥OM，且△ADB有两个相等的角时，∠OAC的度数为．三、解答题5．已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．求证：AB=AC．参考答案第1课时1．解：角平分线的作法是：在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C；作射线OC．故其顺序为②③①．故选：C．2．解：根据基本作图，所以①正确，因为∠C=90°，∠B=30°，则∠BAC=60°，而AD平分∠BAC，则∠DAB=30°，所以∠ADC=∠DAB+∠B=60°，所以②正确；因为∠DAB=∠B=30°，所以△ABD是等腰三角形，所有③正确；因为AD平分∠BAC，所以点D到AB与AC的距离相等，而DC⊥AC，则点D到直线AB的距离等于CD的长度，所以④正确．故选：D．3．解：∵在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OM、ON，使OM=ON；再分别以点M、N圆心，以大于MN长为半径作圆弧，两弧交于点E，∴E点在∠AOB的平分线上，∵过点E作EC⊥OA于点C，EC=2，∴点E到直线OB的距离是：2．故答案为：2．4．①证明：连接NP，MP，在△ANP与△AMP中，∵，∴△ANP≌△AMP，则∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；②证明：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∠ADC=60°，故此选项正确；③证明：∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；④证明：∵在Rt△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD，∴BC=BD+CD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD，∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此选项正确；故答案为：①②③④．5．解：（1）∠BAC的平分线如图所示；（2）存在．PA=PE．理由：∵PD⊥BC，∴∠C=∠PDB=90°，∴AC∥PE，∴∠CAE=∠AEP，∵∠EAB=∠EAC，∴∠PAE=∠PEA，∴PA=PE．6．（1）解：如图，AD为所作；（2）证明：如图，∵∠ABC=∠ACB，∴AC=AB，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD，即AD垂直平分BC，∴EB=EC．第2课时1．解：A、∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD=∠B，故正确；B、∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD∴∠AEF=∠CHE，∴∠CEH=∠CHE∴CH=CE=EF，故正确；C、∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE=∠BAE，又∵∠ACB=∠AFE=90°，AE=AE，∴△ACE≌△AEF，∴CE=EF，∠CEA=∠AEF，AC=AF，故正确；D、点H不是CD的中点，故错误．故选：D．2．解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，∵三条角平分线交于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，∴OD=OE=OF，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB：BC：CA=4：5：6，故选：D．3．解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．故答案为：44．解：如图1，∵∠MON=80°，OE平分∠MON，∴∠MOE=∠MON=40°，又∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∴∠1=90°﹣∠MOE=50°，①当∠1=∠2=50°时，∠OAC=∠OAB﹣∠2=40°；②当∠1=∠3=50°时，∠2=180°﹣∠1﹣∠3=80°，∴∠OAC=90°﹣∠2=10°；③当∠2=∠3时，∵∠1=50°，∴∠2=∠3==65°，∴∠OAC=∠OAB﹣∠2=25°；④如图2，当点D在射线BE上时，因为∠ABE=130°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=115°，C不在ON上，舍去；综上，∠OAC的度数为10°、25°、40°，故答案为：10°、25°、40°．5．证明：在Rt△BOF和Rt△COE中，，∴Rt△BOF≌Rt△COE，∴∠FBO=∠ECO，∵OB=OC，∴∠CBO=∠BCO，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．。
新沪科版八年级上册《15.4 角的平分线》专题训练(含答案)
ABCME124352020年~2021年最新15.4 角的平分线专题一 角平分线知识的应用1.如图，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，S △ABC =36cm 2，•AB =18cm ，BC =12cm ，求DE 的长．2.已知：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝3∠C ，∠1＝∠2，BE ⊥AE . 求证：AC －AB ＝2BE .专题二 作图与实际问题3.如图，点B 、C 在∠SAT 的两边上，且AB =AC .（1）请按下列语句用尺规画出图形（不写画法，保留作图痕迹） ①AN ⊥BC ，垂足为N ；②∠SBC 的平分线交AN 延长线于M ； ③连接CM .（2）该图中有__________对全等三角形.4.夏令营组织学员到某一景区游玩，老师交给同学一张画有直角坐标系和标有A 、B 、C 、D 四个景点位置的地图，指出：今天我们游玩的景点E 是新开发的，地图上还没来得及标注，但已知这个景点E 满足：AB SCT 42Y 轴ABD35①与景点A、C和景点B、D所在的两条直线等距离；②到B、C两景点等距离.请你在平面直角坐标系中，画出景点E的位置，并标明坐标（用整数表示）.专题三角平分线中的探究题5.已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示。
6.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过I作DE∥BC交BA•于D，交AC于E．（1）你能发现哪些结论？把它们一一列出来，并选择一个加以证明．（2）若AB=7，AC=5，你能求△ADE的周长吗？（3）作∠ABC与∠ACB的外角平分线，他们相交于点O，过O点作BC•的平行线分别交AB、AC的延长线于F、G，你还能发现什么结论？【知识要点】1.角平分线上任意一点到角的两边的距离相等.2.在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.【温馨提示】1.角平分线性质定理中的“角平分线上的点”是指角的平分线上的任意一点.2.角平分线性质和判定定理中的“距离”是指点到直线的距离,它是过角的平分线上任意一点向角的两边作垂线,该点与垂足间的距离,是指点到直线的垂线段的长,而不是该点与角的两边上任意一点的距离.【方法技巧】1. 利用角平分线的性质可证明两条线段相等, 利用角平分线的判定可证明两个角相等,OO B CAACB图2图1要注意不要再利用全等三角形证明.2.遇到证明有关角平分线的问题时,可作角的两边的垂线,证明垂线段相等.参考答案1.解:∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AB，∴DE=DF．∵S△ABC=36cm2，S△ABD =12 BC·DF．又∵S△ABC =S△ABD+S△BCD，AB=18cm，BC=12cm，∴12×18DE+12×12DF=36，∴9DE+6DF=36．又∵DE=DF，∴9DE+6DE=36，∴DE=125cm．2.证明：延长BE交AC于点M，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°.在△ABE中，∵∠1＋∠3＋∠AEB＝180°，∴∠3＝90°－∠1. 同理，∠4＝90°－∠2.∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM.∵BE⊥AE，∴BM＝2BE，∴AC－AB＝AC－AM＝CM.∵∠4是△BCM的外角，∴∠4＝∠5＋∠C.∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3＋∠5＝∠4＋∠5，∴3∠C＝∠4＋∠5＝2∠5＋∠C.∴∠5＝∠C，∴CM＝BM.∴AC－AB＝BM＝2BE.3.（1）如图;（2）3.4.如图,坐标为(2,2).5.（1）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，由题意知，OE＝OF，OB＝OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC,∴∠B＝∠C，从而AB＝AC.（2）过点O分别作OF⊥AB，OE⊥AC，F、E分别是垂足，由题意知，OE＝OF.在Rt△OFB和Rt△OEC中，∵OF＝OE，OB＝OC，∴Rt△OFB≌Rt△OEC.∴∠OBF＝∠OCE，又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACD，∴AB＝AC.（3）不一定成立。
沪科版八年级数学上册 15.4 角的平分线 同步测试卷
沪科版八年级数学上册 15.4 角的平分线 同步测试卷1 / 11沪科版八年级数学上册15.4角的平分线测试卷一、选择题（本大题共10小题，共40分）1. 如图，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等．若∠BOC ＝120°，则∠A 的度数为（）A.B.C.D.2. 如图， △ 中， 于点，则DE 的长是A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm3. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF AB ，DE AC ，若AB =8cm ，AC =6cm ，S △ABC =14cm 2，则DF 的长为（ ）A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm4. 如图所示，OP 是 的平分线，点P 到OA 的距离 ，点N 是OB 上的任意一点，则线段PN 的取值范围为 ( )A.B.C.D.5.如图，在△ABC中，AD BC，垂足为D，AD＝BD＝CD，则下列结论错误的是( )A. B. AD平分 C. D.6.已知，如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=2cm，则点D到AB的距离为（）A.B. 3cmC.D. 2cm7.如图，在△ABC中，∠C=90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD BC，OE AC，OF AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，则点O到边AB的距离为A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm8.如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A. 6B. 12C. 32D. 649.下列说法中正确的个数是（）（1)三角形三条高线的交点叫做三角形的重心；（2）三角形具有稳定性；沪科版八年级数学上册 15.4 角的平分线 同步测试卷3 / 11（3）在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上；（4）有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等；（5）等腰三角形的角平分线，中线，高线互相重合，简称三线合一。
沪科版(精品)数学八上册：15.4角的平分线第1课时角的平分线的作法与性质作业49(含答案)
15.4角的平分线第1课时角的平分线的作法与性质知识要点基础练知识点1角平分线的尺规作图1.小明同学画∠AOB的平分线,作法如下:①以点O为圆心,适当长为半径作弧,交两边于点C,D;②分别以点C,D为圆心,相同的长度为半径作弧,两弧交于点E;③则射线OE就是∠AOB的平分线.小明这样做的依据是(D)A.SASB.ASAC.AASD.SSS2.尺规作图:如图,已知∠AOB和C,D两点,求作一点P,使PC=PD,且点P在∠AOB的平分线上.(不写作法,保留作图痕迹)解:如图所示,P点即为所求.知识点2过一点作已知直线的垂线3.(漳州中考)下列尺规作图,能判断AD是△ABC边上的高的是(B)知识点3角平分线的性质4.如图,在△ABC中,∠C=90°,E是AB的中点,点D在∠B的平分线上,DE⊥AB,则(B)A.BC>AEB.BC=AEC.BC<AED.以上全不对5.如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,DE=2,AC=3,则△ADC的面积是(A)A.3B.4C.5D.66.如图,已知OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,Q是射线OM上的一个动点.若PA=2,则PQ的最小值为2.综合能力提升练7.(莆田中考)如图,OP是∠AOB的平分线,点C,D分别在角的两边OA,OB上,添加下列条件,不能判定△POC≌△POD的选项是(D)A.PC⊥OA,PD⊥OBB.OC=ODC.∠OPC=∠OPDD.PC=PD8.如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x 轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(2x,y+1),则y关于x的函数关系为(B)A.y=xB.y=-2x-1C.y=2x-1D.y=1-2x9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足.则下列结论:①DE=DF;②BD=CD;③AD上任意一点到AB,AC的距离相等;④AD上任意一点到B,C的距离相等.其中正确的是(D)A.①②B.③④C.①②③D.①②③④10.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E ,BC=50,DE=14,则△BCE的面积等于350.11.如图,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD 于点M,PN⊥CD于点N.求证:PM=PN.证明:∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中,∴△ABD≌△CBD(SAS),∴∠ADB=∠CDB.∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°.(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD,交AC于点D;(保留作图痕迹,不要求写作法)(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后,求∠BDC的度数.解:(1)∠ABC的平分线如图所示.(2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=70°,∴∠A=180°-70°-70°=40°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠ABC=35°,∴∠BDC=∠ABD+∠A=35°+40°=75°.13.如图,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC的中点,作DE⊥AB 于点E,DF⊥AC于点F.求证:DE=DF.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.①在△BDE和△CDF中,∠B=∠C,∠BED=∠CFD,BD=CD,∴△BDE≌△CDF.②∴DE=DF.③(1)上面的证明过程是否正确?若正确,请写出①,②和③的推理根据.(2)请你写出另一种证明此题的方法.解:(1)正确.①等边对等角,②AAS,③全等三角形的对应边相等.(2)连接AD,∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD平分∠BAC(等腰三角形三线合一),又∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF.拓展探究突破练14.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AG⊥BC于点G,BD平分∠ABC,AE⊥BD于点H,交BC于点E,AG与BD相交于点F.求证:AD=EF.证明:∵BD平分∠ABC,AE⊥BD,∴BH为AE的垂直平分线.∵点F在BD上,∴AF=EF.∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD.∵∠BAC=90°,AG⊥BC,∴∠ABD+∠ADB=90°,∠DBC+∠BFG=90°.∴∠ADB=∠BFG.∵∠AFD=∠BFG,∴∠ADB=∠AFD,∴AF=AD.又∵AF=EF,∴AD=EF.。
八年级数学上册15.4角的平分线同步导练1(新版)沪科版【含答案】
15.4角的平分线（1）基础导练1. 如图，已知∠B=∠C，AD平分∠BAC，用来直接证明△ABD≌△ACD的依据是（）A. ASAB.SASC.AASD.SSS2. 如图：将一张矩形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α满足（）A．90°＜α＜180°B．α=90°C．0°＜α＜90°D．α随着折痕位置的变化而变化3.如图所示，在ΔABC中，∠B=∠D=90°，CB=CD，则AC是∠BAD的________ .4. 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线，不写作法，保留作图痕迹.能力提升5. 如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，OB=OC ，求证：AO平分∠BAC．6.已知：如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F,且DB=DC, 求证：BE=CF.CF A D B E ┐ ┐参考答案1. C2. B3. 平分线4. 略5. 证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°．又∵∠BOD=∠COE在△BOD和△COE中，∠BDC=∠CEB,∠BOD=∠COE,OB=OC,∴△BOD≌△COE（AAS）．∴OD=OE．∴AO平分∠BAC．6.证明：∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵ DB=DC,DE=DF,∴Rt△BDE≌Rt△CDF,∴BE=CF.。
沪科版八年级上册《角的平分线》同步练习(含详细答案)
角的平分线课堂练习1. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm2.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．4 B．3 C．6 D．53. 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD 的大小关系是（）A．PC＞PD B．PC=PD C．PC＜PD D．不能确定4. 如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．65. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，CD=2，则点D到AB的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．46. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP7.如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处．已知BC=12，∠B=30°，则DE的长是（）A．6 B．4 C．3 D．28. 如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4 D．3：4：59.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．10. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为．11. 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN 和EM相交于点C．求证：点C在∠AOB的平分线上．答案解析1.C精讲精析：过D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD，∵CD=3cm，∴DE=3cm．2.B精讲精析：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC交AC于点F，∴DF=DE=2．又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，AB=4，∴7=21×4×2+21×AC×2，∴AC=3．3.B精讲精析：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知PC=PD．4.A精讲精析：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点P到AB的距离是也是3．5.B精讲精析：由角平分线的性质，得点D到AB的距离=CD=2．6.D精讲精析：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB∴PA=PB，∴△OPA≌△OPB∴∠APO=∠BPO，OA=OB，∴A、B、C项正确设PO与AB相交于E∵OA=OB，∠AOP=∠BOP，OE=OE∴△AOE≌△BOE，∴∠AEO=∠BEO=90°∴OP垂直AB，而不能得到AB平分OP，故D不成立．7.B精讲精析：由题意可得，AD平分∠BAC，∠C=∠AED=90°∴DE=DC，又∠B=30°，∴DE=21BD，又BC=12，则3DE=12，∴DE=4．8.C精讲精析：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．9.4 精讲精析：过点P作MN⊥AD，∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，∴AP⊥BP，PN⊥BC，∴PM=PE=2，PE=PN=2，∴MN=2+2=4．10.4精讲精析：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，∴AD=DP，又AD=4，∴DP=4．11. 精讲精析：证明：作CG⊥OA于G，CF⊥OB于F，如图，在△MOE和△NOD中，OM=ON，∠MOE为公共角，OE=OD，∴△MOE≌△NOD（SAS）．∴S△MOE=S△NOD．∴S△MOE-S四边形ODCE=S△NOD-S四边形ODCE，∴S△MDC=S△NEC，∵OM=ON，OD=OE，∴MD=NE，由三角形面积公式得：21DM×CG=21×EN×CF，∴CG=CF，又∵CG⊥OA，CF⊥OB，∴点C在∠AOB的平分线上．。
沪科版八年级数学上册(同步导练)：15.4角的平分线(二)
15.4角的平分线（2）基础导练1. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3 cm，则点D到AB的距离是（）A．5 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm2. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2,则PQ的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．43. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PBB．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB垂直平分OP4. 如图，已知PA、PC分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M、N，那么PM与PN的关系是（）A．PM＞PNB．PM=PNC．PM＜PND．无法确定5. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A ．11B ．5.5C ．7D ．3.5能力提升6.如图，已知BE ⊥AC 于E,CF ⊥AB 于F,BE 、CF 相交于点D,若BD=CD.求证：AD 平分∠BAC.7.八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图），设计了如下方案： （Ⅰ）∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN,过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线.（Ⅱ）∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间移动角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN,过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线. （1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行，请证明；若不可行，请说明理由； （2）在方案（Ⅰ）PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使PM ⊥OA,PN ⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.┐ CEADFB参考答案1. C2. B3. D4. B5. B （提示：过D作AG的垂线，垂足为H，则ΔADH≌ΔADF，ΔGDH≌ΔEDF）6.证明：∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠BFD=∠CED=90°，在△BFD和△CED中，∠BFD=∠CED,∵∠BDF=∠CDE,BD=CD,∴△BFD≌△CED,∴DF=DE,又∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴AD平分∠BAC.7.（1）方案（Ⅰ）不可行，缺少证明三角形全等的条件；方案（Ⅱ）可行，证明在△OPM和△OPN中，OM=ON,∵ OP=OP,PM=PN,∴△OPM≌△OPN,∴∠AOP=∠BOP,∴OP平分∠AOB.（2）此方案可行，在Rt△OPM和Rt△OPN中，∵ PM=PN,OP=OP,∴Rt△OPM≌Rt△OPN,∴∠AOP=∠BOP,∴OP平分∠AOB. OMN BPA。
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15.4 角的平分线
专题一 角平分线知识的应用
1.如图，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，S △ABC =36cm 2，•AB =18cm ，BC =12cm ，求DE 的长．
2.已知：如图，在△ABC 求证：AC －AB ＝2BE .
专题二
作图与实际问题
3.如图，点B 、C 在∠SAT 的两边上，且AB =AC .
（1）请按下列语句用尺规画出图形（不写画法，保留作图痕迹）
①AN ⊥BC ，垂足为N ；
②∠SBC 的平分线交AN 延长线于M ； ③连接CM .
（2）该图中有__________对全等三角形.
4.夏令营组织学员到某一景区游玩，老师交给同学一张画有直角坐标系和标有A 、B 、C 、D 四个景点位置的地图，指出：今天我们游玩的景点E 是新开发的，地图上还没来得及标注，但已知这个景点E 满足：①与景点A 、C
和景点B 、D 所在的两条直线等距离；②到B 、C 两景点等距离.请你在平面直角坐标系中，画出景点E 的
位置，并标明坐标（用整数表示）.
A
B
S C
T
专题三 角平分线中的探究题
5.已知：点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，且OB ＝OC . （1）如图1，若点O 在BC 上，求证：AB ＝AC ；
（2）如图2，若点O 在△ABC 的内部，求证：AB ＝AC ； （3）若点O 在△ABC 的外部，AB ＝AC 成立吗？请画图表示。
6.如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点I ，过I 作DE ∥BC 交BA •于D ，交AC 于E ．
（1）你能发现哪些结论？把它们一一列出来，并选择一个加以证明． （2）若AB =7，AC =5，你能求△ADE 的周长吗？
O
O B
C
A
A
C
B
图2
图1
（3）作∠ABC与∠ACB的外角平分线，他们相交于点O，过O点作BC•的平行线分别交AB、AC的延长线于F、G，你还能发现什么结论？
【知识要点】
1.角平分线上任意一点到角的两边的距离相等.
2.在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
【温馨提示】
1.角平分线性质定理中的“角平分线上的点”是指角的平分线上的任意一点.
2.角平分线性质和判定定理中的“距离”是指点到直线的距离,它是过角的平分线上任意一点向角的两边作垂线,该点与垂足间的距离,是指点到直线的垂线段的长,而不是该点与角的两边上任意一点的距离.
【方法技巧】
1. 利用角平分线的性质可证明两条线段相等, 利用角平分线的判定可证明两个角相等,要注意不要再利用全等三角形证明.
2.遇到证明有关角平分线的问题时,可作角的两边的垂线,证明垂线段相等.
参考答案
1.解:∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AB，∴DE=DF．
∵S△ABC=36cm2，S△ABD =1
2 BC·DF．
又∵S△ABC =S△ABD+S△BCD，AB=18cm，BC=12cm，∴1
2
×18DE+
1
2
×12DF=36，
∴9DE +6DF =36．
又∵DE =DF ，∴9DE +6DE =36，∴DE =
12
5
cm ． 2.证明：延长BE 交AC 于点M ， ∵BE ⊥AE ，∴∠AEB ＝∠AEM ＝90°.
在△ABE 中，∵∠1＋∠3＋∠AEB ＝180°，∴∠3＝90°－∠1. 同理，∠4＝90°－∠2.
∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB ＝AM . ∵BE ⊥AE ，∴BM ＝2BE ，∴AC －AB ＝AC －
AM ＝
CM .
∵∠4是△BCM 的外角，∴∠4＝∠5＋∠C.
∵∠ABC ＝3∠C ，∴∠ABC ＝∠3＋∠5＝∠4＋∠5，
∴3∠C ＝∠4＋∠5＝2∠5＋∠C .
∴∠5＝∠C ，∴CM ＝BM .∴AC －AB ＝BM ＝2BE .
3.（1）如图;（2）3.
4.如图,坐标为(2,2).
5.（1）过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，E 、F 分
别是垂足，由题意知，OE ＝OF ，OB ＝OC ，
∴Rt △OEB ≌Rt △OFC ,∴∠B ＝∠C ，从而AB ＝AC . （2）过点O 分别作OF ⊥AB ，OE ⊥AC ，F 、E 分别是垂足，由题意知，OE ＝OF .
在Rt △OFB 和Rt △OEC 中，
N
A
B S
C
T M
∵OF＝OE，OB＝OC，∴Rt△OFB≌Rt△OEC.
∴∠OBF＝∠OCE，又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACD，∴AB＝AC.
（3）不一定成立。
（注：当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB＝AC；否则，AB≠AC，如示例图）.
6.（1）①BD=DI，CE=EI；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC．
证明：因BI平分∠DBC，∴∠DBI=∠CBI，
又∵DE∥BC，∴∠CBI=∠DIB，∴∠DIB=∠DBI，故BD=DI，
同理CE=EI，即①得证．由①不难推出②、③．
（2）由（1）知△ADE周长=AB+AC=7+5=12．
（3）OF=FB；OG=GC；BF+CG=FG．
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