北师大七年级下《4.1.2三角形的三边关系》同步练习含答案
2020年春北师大版七年级下册第4章《三角形》单元测试卷 含答案
的依据是（ ）
A．SAS
B．SSS
C．AAS
D．ASA
5．下列说法正确的有（ ）
（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形的两边之差大于第三边；（3）三角形按边分
类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（4）三角形按角分类应分为锐角三
角形、直角三角形和钝角三角形．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
不要因为长期埋头科学，而失去对生活、对美、对待诗意的感受能力。——达尔 文
2020 年北师大版七年级下册第 4 章《三角形》单元测试卷
（满分 100 分）
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．以下是四位同学在钝角三角形△ABC 中画 AC 边上的高，其中正确的是（ ）
A．
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不要因为长期埋头科学，而失去对生活、对美、对待诗意的感受能力。——达尔 文
22．在△ABC 和△DEC 中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90° （1）如图 1，当点 A、C、D 在同一条直线上时，AC＝12，EC＝5， ①求证：AF⊥BD； ②求 AF 的长度； （2）如图 2，当点 A、C、D 不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD．
DE＝20 米，则 AB＝
．
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不要因为长期埋头科学，而失去对生活、对美、对待诗意的感受能力。——达尔 文
14．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AD 平分∠CAB，交边 BC 于点 D，过点 D 作 DE
⊥AB，垂足为 E．若∠CAD＝20°，则∠EDB 的度数是
．
15．如图，AD 是△ABC 的中线，已知△ABD 的周长为 25cm，AB 比 AC 长 6cm，则△ACD
(北师大版)长沙市七年级数学下册第四单元《三角形》检测卷(答案解析)
一、选择题1．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（ ）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒 2．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（ ）A ．BD CE =B ．AD AE =C ．BE CD = D ．DA DE = 3．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（ ）．A ．AC DB = B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AB DC = 4．如图，若MB ND =，MBA NDC ∠=∠，添加下列条件不能直接判定ABM CDN ≌的是（ ）A ．AM CN =B ．A NCD ∠=∠C ．AB CD =D ．M N ∠=∠ 5．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A ．3、1、4B ．3、5、9C ．5、6、7D ．3、6、10 6．能把一个三角形的面积平均分成两个面积相等的三角形，这条线一定是这个三角形的一条（ ）A ．角平分线B ．高C ．中线D ．一条边的垂直平分线 7．如图，//AB CD ，点E 在AC 上，110A ∠=︒，15D ∠=︒，则下列结论正确的个数是（ ）（1）AE EC =；（2）85AED ∠=︒；（3）A CED D ∠=∠+∠；（4）45BED ∠=︒A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，ABC A BC '≌，110A '∠=︒，30ABC ∠=︒，则ACB =∠( )A ．40︒B ．20︒C ．30D ．45︒9．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，AD 与CE 交于点F ．请你添加一个适当的条件，使AEF ≌CEB △．下列添加的条件不正确的是（ ）A ．EF EB = B ．EA EC = C ．AF CB =D ．AFE B ∠=∠ 10．如图所示的正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，把ADE 绕点A 顺时针旋转得到ABF ，20FAB ∠=︒．旋转角的度数是（ ）A ．110°B ．90°C ．70°D ．20°11．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ）A ．两条直角边对应相等B ．斜边和一锐角对应相等C ．斜边和一直角边对应相等D ．两个锐角对应相等 12．如图，已知AC ⊥BD ，垂足为O ，AO ＝ CO ，AB ＝ CD ，则可得到△AOB ≌△COD ，理由是( )A ．HLB ．SASC ．ASAD ．SSS二、填空题13．如图，90MON ∠=︒，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，BE 平分NBA ∠，BE 的反向延长线与BAO ∠的平分线交于点C ，则ACB ∠的度数是_______．14．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝100°，AD ⊥BC 于D 点，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ．若∠C ＝26°，则∠DAE 的度数为_____．15．如图，CE 是△ABC 外角的平分线，且AB ∥CE ，若∠ACB ＝36°，则∠A 等于_____度．16．如图，∠ABC =90°，∠CBD =45°，BP 平分∠ABD ，则∠ABP 的度数是_____°．17．已知一个三角形的三条边长为2、7、x ，则x 的取值范围是_______．18．连接正方形网格中的格点，得到如图所示的图形，则1234∠+∠+∠+∠=________º．19．如图，在线段AB 两侧作ABC 和ABD △，使AC AB =，ABC ABD ∠=∠，E 为BC 边上一点，满足2EAD BAC ∠=∠，P 为直线AE 上的动点，连接BP 、DP ．已知3AB =， 2.6AD =，BDE 的周长为3.6，则BP DP +的最小值为______．20．已知三角形ABC 的三边长分别是,,a b c ，化简a b c b a c +----的结果是_________________;三、解答题21．如图，在多边形ABCDE 中，BC CD ⊥，BF AE ⊥于点F ，且BF BC =，2CBF DBE ∠=∠，ABF CBD ∠=∠．（1）求证：AB DB =；（2）若4DE =，3BF =，求BDE 的面积．22．如图（1），已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =；AE 是过A 的一条直线，且B ，C 在AE 的异侧，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于E ．（1）求证：BD DE CE =+；（2）若直线AE 绕A 点旋转到图（2）位置时（BD CE <），其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的数量关系如何？请给予证明．（3）若直线AE 绕A 点旋转到图（3）位置时（BD CE >），其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线AE 在不同位置时BD 与DE ，CE 的位置关系．23．如图，ABC 中，AD 平分BAC ∠，P 为AD 延长线上一点，PE BC ⊥于点E ，若70C ∠=︒，24B ∠=︒，求P ∠的度数．24．△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D．（1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由；（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．①求证：BF∥OD；②若∠F＝35°，求∠BAC的度数．=，连接25．如图，已知点D，E分别在等边三角形ABC的边BC，CA上，且BD CE∠的度数．AD，BE相交于点F，AH BE⊥于点H，求FAH26．沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，⊥垂足为AB//PM//CD，相邻两平行线间的距离相等AC，BD相交于P，PD CD CD=米．请根据上述信息求标语AB的长度．D．已知16【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．【详解】解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：BP CP BD CQ =⎧⎨=⎩， 即3634t t vt =-⎧⎨=⎩， 解之得：14t v =⎧⎨=⎩， ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒，故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．2．D解析：D【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、添加BD＝CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意；B、添加AD＝AE，根据等边对等角可得∠ADE＝∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意；C、添加BE＝CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠BAE=∠CAD，可得∠DAB＝∠EAC，故本选项不符合题意；D、添加DA＝DE无法求出∠DAB＝∠EAC，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可．【详解】根据题意：BE=CE，∠AEB=∠DEC，∴只需要添加对顶角的邻边，即AE=DE（由AC=BD也可以得到），或任意一组对应角，即∠A=∠D，∠B=∠C，∴选项A、B、C可以判定，选项D不能判定，故选：D．【点睛】此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并熟练应用是解题的关键．4．A解析：A【分析】根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，结合选项进行判定，然后选择不能判定全等的选项．【详解】A、添加条件AM=CN，仅满足SSA，不能判定两个三角形全等；B、添加条件AB=CD，可用SAS判定△ABM≌△CDN；C、添加条件∠M=∠N，可用ASA判定△ABM≌△CDN；D、添加条件∠A=∠NCD，可用AAS判定△ABM≌△CDN．故选：A．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．C解析：C【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．【详解】A、1+3=4，不能组成三角形；B、3+5=8＜9，不能组成三角形；C、5+6=11＞7，能够组成三角形；D、3+6=9<10，不能组成三角形．故选：C．【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．6．C解析：C【分析】根据中线的性质即可求解．【详解】解：三角形的一条中线将三角形的面积平均分成两个面积相等的三角形，故选：C【点睛】本题主要考查的是中线的性质，正确的掌握中线的性质是解题的关键．7．B解析：B【分析】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝110°，∴∠C＝70°，∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正确，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，∴∠D+∠CED＝110°，∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正确，∵点E在AC上的任意一点，∴AE无法判断等于CE，∠BED无法判断等于45°，故（1）、（4）错误，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键． 8．A解析：A【分析】根据全等三角形对应角相等即可求解；【详解】∵ABC A BC '∆≅∆ ，∴ ∠A=∠A '=110°，∵∠ABC=30°，∴∠ACB=180°-110°-30°=40°，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正确掌握全等三角形对应角相等是解题的关键； 9．D解析：D【分析】根据垂直关系，可以判断△AEF 与△CEB 有两对角相等，就只需要添加一对边相等就可以了．【详解】解：∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，∴∠AEF=∠CEB=90°，∠ADB=∠ADC=90°，∴∠EAF+∠B=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠EAF=∠BCE ．A.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中AEF CEB EAF BCE EF EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ≌CEB △（AAS ），故正确；B.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中 AEF CEB EA ECEAF BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AEF ≌CEB △（ASA ），故正确；C.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中 AEF CEB EAF BCE AF CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF≌CEB△（AAS），故正确；D.在Rt△AEF和Rt△CEB中由AEF CEBEAF BCEAFB B∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩不能证明AEF≌CEB△，故不正确；故选D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．10．B解析：B【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=90︒，由旋转的性质推出ADE≌ABF，求出∠FAE=∠BAD=90︒，即可得到答案．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90︒，由旋转得ADE≌ABF，∴∠FAB=∠EAD，∴∠FAB+∠∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴∠FAE=∠BAD=90︒，∴旋转角的度数是90︒，故选：B．【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．11．D解析：D【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项不合题意；B、可以利用角角边判定两三角形全等，故本选项不合题意；C、根据斜边直角边定理判定两三角形全等，故本选项不合题意；D、三个角对应相等不能证明两三角形全等，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；本题主要利用三角形全等的判定，运用好有一对相等的直角这一隐含条件是解题的关键．12．A解析：A【分析】根据三角形全等的判定定理进行判断.【详解】A. AC ⊥BD ，垂足为O ，AO ＝ CO ，AB ＝ CD ，所以由HL 可得到△AOB ≌△COD ，所以A 正确；B.错误；C.错误；D.错误.【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握定理是本题解题的关键.二、填空题13．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出再根据角平分线的定义求出和然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解【详解】解：根据三角形的外角性质可得平分 解析：45︒【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式求出ABN ∠，再根据角平分线的定义求出ABE ∠和BAC ∠，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．【详解】解：根据三角形的外角性质，可得ABN AOB BAO ∠=∠+∠， BE 平分NBA ∠，AC 平分BAO ∠， 12ABE ABN ∴∠=∠，12BAC BAO ∠=∠，C ABE BAC ∴∠=∠-∠，1)2ABN BAO =∠-∠， ()1122AOB BAO BAO =∠+∠-∠，12AOB =∠， 90MON ∠=︒，90AOB ∠=︒∴，190452C ∴∠=⨯︒=︒． 故答案为：45°．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，以及角平分线的定义，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．14．14°【分析】利用垂直的定义得到∠ADC ＝90°再根据三角形内角和计算出∠CAD ＝64°接着利用角平分线的定义得到∠CAE ＝50°然后计算∠CAD ﹣∠CAE 即可【详解】解：∵AD ⊥BC ∴∠ADC ＝9解析：14°【分析】利用垂直的定义得到∠ADC ＝90°，再根据三角形内角和计算出∠CAD ＝64°，接着利用角平分线的定义得到∠CAE ＝50°，然后计算∠CAD ﹣∠CAE 即可．【详解】解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＝90°﹣∠C ＝64°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE ＝12∠BAC ＝12×100°＝50°， ∴∠DAE ＝∠CAD ﹣∠CAE ＝64°﹣50°＝14°．故答案为14°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂线的定义，解题关键是熟练运用相关性质求角．15．【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可【详解】解：∵∠ACB ＝36°∴∠ACD ＝180°﹣∠ACB ＝180°﹣36°＝144°∵CE 是△ABC 外角的平分线∴∠ACE ＝∵AB//CE ∴∠A ＝解析：【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可．【详解】解：∵∠ACB ＝36°，∴∠ACD ＝180°﹣∠ACB ＝180°﹣36°＝144°，∵CE 是△ABC 外角的平分线，∴∠ACE ＝111447222ACD ∠=⨯︒=︒， ∵AB//CE ，∴∠A ＝∠ACE ＝72°，故答案为：72．【点睛】 此题考查三角形外角性质，关键是根据三角形外角性质得出∠ACD 的度数解答． 16．5【分析】根据角度的加减及角平分线的定义可以得到解答【详解】解：由题意∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°+45°=135°∵BP 平分∠ABD ∴故答案为：675【点睛】本题考查角度的计算正确理解角平解析：5【分析】根据角度的加减及角平分线的定义可以得到解答．【详解】解：由题意，∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°+45°=135°，∵BP 平分∠ABD ，∴113567.522ABP ABD ︒∠=∠==︒， 故答案为：67.5．【点睛】本题考查角度的计算，正确理解角平分线的定义并灵活应用是解题关键． 17．5x9【解析】根据三角形的三边关系第三边的长一定大于已知的两边的差而小于两边的和得：7−2<x<7+2即5<x<9解析：5<x <9【解析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和得：7−2<x<7+2，即5<x<9.18．180°【分析】利用网格的特征可分别证明和从而可证得和故可得结论【详解】如图设正方形网格每一格长1个单位∴又故答案为：【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质构造直角三角形并证明全等是解答本题的 解析：180°【分析】利用网格的特征可分别证明ABF ADG ≅和AHC CDE ≅，从而可证得1290∠+∠=︒和3490∠+∠=°，故可得结论【详解】如图，设正方形网格每一格长1个单位，∴3AF =，1BF =，3AG =，1GD =，2AH =，2CE =，1HC =，1DE =，又90AFB AGD ∠=∠=︒，90AHC CED ∠=∠=︒ABF ADG ∴≅，AHC CDE ≅2BAF ∴∠=∠，ADG ABF ∠=∠，3DCE ∠=∠，4ACH ∠=∠290ADG ∠︒∠+=，390ACH ∠+∠=︒2190∴∠+∠=︒，3490∠+∠=°12349090180∴∠+∠+∠+∠==︒+︒︒故答案为：180︒【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，构造直角三角形并证明全等是解答本题的关键. 19．8【分析】在BC 上取CD′=BD 连接AD′证明△ACD′≌△ABD 得到AD′=AD ∠CAD′=∠BAD 从而证明△AED′≌△AED 得到D′E=DE ∠AED′=∠AED 过A 作AF ⊥BCAF 与BC 交于点解析：8【分析】在BC 上取CD′=BD ，连接AD′，证明△ACD′≌△ABD ，得到AD′=AD ，∠CAD′=∠BAD ，从而证明△AED′≌△AED ，得到D′E=DE ，∠AED′=∠AED ，过A 作AF ⊥BC ，AF 与BC 交于点F ，从而推断出BP+DP=BP+D′P 最小值为P 点与E 点重合时，BP 与D′P 共线，BP+D′P=BD′，利用勾股定理求出BD′的长度即可．【详解】解：在BC 上取CD′=BD ，连接AD′，∵AC=AB ，∴∠C=∠ABC ，∵∠ABC=∠ABD ，∴∠C=∠ABD ，又CD′=BD ，AC=AB ，∴△ACD′≌△ABD （SAS ），∴AD′=AD ，∠CAD′=∠BAD ，∴∠DAD′=∠BAC ，∵2∠EAD=∠BAC=∠DAD′，∴∠D′AE=∠DAE ，又AD′=AD ，AE=AE ，∴△AED′≌△AED （SAS ），∴D′E=DE ，∠AED′=∠AED ，∴D′在直线BD 上，过A 作AF ⊥BC ，AF 与BC 交于点F ，∵CD′=BD ，D′E=DE ，∴CD′+D′E+EB=BC=BD+DE+BE=3.6，∵P 为AE 上的动点，故BP+DP=BP+D′P 最小值为P 点与E 点重合时，BP 与D′P 共线，BP+D′P=BD′，∵△ABC 中，AB=AC=3，BC=3.6，AF ⊥BC ，AD′=AD=2.6，∴F 为BC 中点，即CF=BF=12BC=12×3.6=1.8， ∴22223 1.8 2.4AC CF --=， ∴22222.6 2.41AD AF '--=，∴BD′=BF+D′F=1.8+1=2.8，∴BP+DP 的最小值为2.8，故答案为：2.8．【点睛】本题考查了最短路径问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键正确作出辅助线，利用全等三角形的性质得到相等线段．20．【分析】先根据三角形的三边关系定理可得再根据绝对值运算整式的加减即可得【详解】由三角形的三边关系定理得：则故答案为：【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理绝对值运算整式的加减熟练掌握三角形的三边关系 解析：22b c -【分析】先根据三角形的三边关系定理可得,a b c a c b +>+>，再根据绝对值运算、整式的加减即可得．【详解】由三角形的三边关系定理得：,a b c a c b +>+>，0,0a b c b a c ∴+->--<， 则()a b c b a c a b c a c b +----=+--+-，a b c a c b =+---+，22b c =-，故答案为：22b c -．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理、绝对值运算、整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）6【分析】（1）根据题意，直接用ASA 证明两个三角形全等即可；（2）根据2CBF DBE ∠=∠和CBD ABF ∠=∠可知ABE DBE ∠∠=，即可证明ABE DBE ∆≅∆，所以ABE DBE S S ∆∆=，继而求面积即可；【详解】解：（1）证明：BC CD ⊥，BF AE ⊥，90AFB DCB ∴∠=∠=︒． 在ABF ∆和DBC ∆中，AFB DCB BF BCABF DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABF DBC ASA ∴∆≅∆AB DB ∴=．（2）2CBF DBE ∠=∠，CBD EBF DBE ∴∠+∠=∠． CBD ABF ∠=∠，ABF EBF DBE ∴∠+∠=∠，即ABE DBE ∠∠=．在ABE ∆和DBE ∆中，DB AB DBE ABE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE DBE SAS ∴∆≅∆．4DE AE ∴==，ABE DBE S S ∆∆=，1143622BDE ABE S S AE FB ∆∆∴==⋅=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确掌握知识点是解题的关键；22．（1）见解析；（2）BD DE CE =-，见解析；（3）BD DE CE =-；（4）当B ，C 在AE 的同测时，BD DE CE =-；当B ，C 在AE 的异侧时，若BD CE >，则BD DE CE =+，若BD CE <，则BD CE DE =-【分析】（1）在直角三角形中，由题中条件可得∠ABD=EAC ，又有AB=AC ，则有一个角及斜边相等，则可判定△BAD ≌△AEC ，由三角形全等可得三角形对应边相等，进而通过线段之间的转化，可得出结论；（2）由题中条件同样可得出△BAD ≌△AEC ，得出对应线段相等，进而可得线段之间的关系；（3）同（2）的方法即可得出结论．（4）利用（1）（2）（3）即可得出结论．【详解】解：（1）∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°∴∠ABD+∠BAD=90°又∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE在△ABD 与△ACE 中ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE∴BD=AE ，AD=EC ，∴BD=DE+CE（2）∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°∴∠ABD+∠BAD=90°又∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE在△ABD 与△ACE 中ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE∴BD=AE ，AD=EC∴BD=DE-CE ，（3）∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠EAC=90°，又∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠EAC ，在△ABD 与△CAE 中，BDA AEC ABD EAC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE ，∴BD=AE ，AD=CE ，∵DE=AD+AE=BD+CE ，∴BD=DE-CE ．（4）归纳：由（1）（2）（3）可知：当B ，C 在AE 的同侧时，若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD< CE,则BD= CE- DE.【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形全等的判定方法，余角的性质，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．23．23°【分析】在△ABC 中，利用三角形内角和定理可求出∠BAC 的度数，结合角平分线的定义可得出∠CAD 的度数，在△ACD 中，利用三角形外角定理可求出∠CDP 的度数，结合PE BC ⊥即90PED ∠=︒及三角形外角定理，从而得出P CDP PED ∠=∠-∠即可求得∠P 的度数．【详解】解：在ABC 中，70C ∠=︒，24B ∠=︒，∴180702486BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∵AD 平分BAC ∠，∴43CAD ∠=︒，∴4370113CDP CAD C ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵PE BC ⊥，即90PED ∠=︒，∴1139023P CDP PED ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了三角形外角定理、角平分线的定义，利用三角形外角定理及角平分线的定义，求出∠CDP的度数是解题的关键．24．（1）∠AOC＝∠ODC，理由见解析；（2）①见解析；②70°【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠OAC＋∠OCA＝12（180°−∠ABC），∠OBC＝12∠ABC，由三角形的内角和得到∠AOC＝90°＋∠OBC，∠ODC＝90°＋∠OBD，于是得到结论；（2）①由角平分线的性质得到∠EBF＝90°−∠DBO，由三角形的内角和得到∠ODB＝90°−∠OBD，于是得到结论；②由角平分线的性质得到∠FBE＝12（∠BAC＋∠ACB），∠FCB＝12ACB，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】（1）∠AOC＝∠ODC，理由：∵三个内角的平分线交于点O，∴∠OAC+∠OCA＝12（∠BAC+∠BCA）＝12（180°﹣∠ABC），∵∠OBC＝12∠ABC，∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+12∠ABC＝90°+∠OBC，∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°，∴∠ODC＝90°+∠OBD，∴∠AOC＝∠ODC；（2）①∵BF平分∠ABE，∴∠EBF＝12∠ABE＝12（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠DBO，∵∠ODB＝90°﹣∠OBD，∴∠FBE＝∠ODB，∴BF∥OD；②∵BF平分∠ABE，∴∠FBE＝12∠ABE＝12（∠BAC+∠ACB），∵三个内角的平分线交于点O，∴∠FCB＝12∠ACB，∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF＝12（∠BAC+∠ACB）﹣12∠ACB＝12∠BAC，∵∠F＝35°，∴∠BAC ＝2∠F ＝70°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．25．30【分析】根据条件可证明( SAS )ABD BCE ≅，得到BAD CBE ∠=∠，通过三角形的外角等于不相邻的两个内角和可知AFE ABF BAD ∠=∠+∠，最后推出60AFE ABC ︒∠=∠=，求出结果即可．【详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴AB BC =，60ABD C ︒∠=∠=在ABD △和BCE 中，,AB BC ABD C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴( SAS )ABD BCE ≅．∴BAD CBE ∠=∠．∵AFE ABF BAD ∠=∠+∠．∴60AFE ABF CBE ABC ︒∠=∠+∠=∠=∵AH BE ⊥于点H ，∴90AHF ︒∠=，9030FAH AFH ∴∠=︒-∠=︒．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定以及性质，涉及三角形的外角，属于基础题，熟练掌握全等三角形的判定以及性质是解决本题的关键．26．16米【分析】已知AB ∥CD ，根据平行线的性质可得∠ABP=∠CDP ，再由垂直的定义可得∠CDO=90︒，可得PB ⊥AB ，根据相邻两平行线间的距离相等可得PD=PB ，即可根据ASA 定理判定△ABP ≌△CDP ，由全等三角形的性质即可得CD=AB=16米．【详解】∵AB ∥CD ，∴∠ABP=∠CDP ，∵PD ⊥CD ，∴∠CDP=90︒，∴∠ABP=90︒，即PB ⊥AB ，∵相邻两平行线间的距离相等，∴PD=PB ，在△ABP 与△CDP 中， ABP CDP PD PBAPB CDP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABP ≌△CDP （ASA ）， ∴CD=AB=16米．【点睛】本题考察平行线的性质和全等三角形的判定和性质，综合运用各定理是解题的关键．。
(北师大版)重庆市七年级数学下册第四单元《三角形》测试(包含答案解析)
1．芜湖长江三桥是集客运专线、市域轨道交通、城市主干道路于一体的公铁合建桥梁，2020年9月29日公路段投入运营，其侧面示意图如图所示，其中 ，现添加以下条件，不能判定 的是（）
A． B．
C． D．
2．如图， ， ，要说明 ，需添加的条件不能是（）
A． B． C． D．
3．如图， ，点 在 上， ， ，则下列结论正确的个数是（）
17．已知三角形ABC的三边长分别是 ，化简 的结果是_________________;
18．如图， ，请添加一个条件，使 与 全等．你添加的条件是________（写出一个符合要求的条件即可）．
19．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为 ，宽为 ， , 两点在网格格点上，若点 也在网格格点上，以 , , 为顶点的三角形的面积为 ，则满足条件的点 有______个．
D、∵AC=DF，∴根据SAS即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形证明全等所需添加的条件，正确掌握知识点是解题的关键；
3．B
解析：B
【分析】
利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
又∵∠A＝110°，
∴∠C＝70°，
（1） ；（2） ；（3） ；（4）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，已知∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠ACB＝∠DFEC．AC＝DFD．BE＝CF
5．如图，AE∥DF，AE＝DF．添加下列的一个选项后．仍然不能证明△ACE≌△DBF的是（ ）
2020最新北师大版数学七下第三章《三角形》单元测试卷及答案(5套)
北师大版七年级数学下册第三章三角形单元测试卷（一）班级姓名学号得分一、选择题1．一定在△ABC内部的线段是（）A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线2．下列说法中，正确的是（）A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形3．如图，在△ABC中，D、E分别为BC上两点，且BD＝DE＝EC，则图中面积相等的三角形有（） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对（注意考虑完全，不要漏掉某些情况）4．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定5．下列各题中给出的三条线段不能组成三角形的是（）A．a＋1，a＋2，a＋3（a＞0） B．三条线段的比为4∶6∶10C．3cm，8cm，10cm D．3a，5a，2a＋1（a＞0）6．若等腰三角形的一边是7，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（）A．18 B．15 C．18或15 D．无法确定7．两根木棒分别为5cm和7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，那么第三根木棒的取值情况有（）种A．3 B．4 C．5 D．68．△ABC的三边a、b、c都是正整数，且满足a≤b≤c，如果b＝4，那么这样的三角形共有（）个 A．4 B．6 C．8 D．109．各边长均为整数的不等边三角形的周长小于13，这样的三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．三角形所有外角的和是（）A．180° B．360° C．720° D．540°11．锐角三角形中，最大角α的取值范围是（）A．0°＜α＜90°; B．60°＜α＜180°; C．60°＜α＜90°; D．60°≤α＜90°12．如果三角形的一个外角不大于和它相邻的内角，那么这个三角形为（）A．锐角或直角三角形; B．钝角或锐角三角形;C．直角三角形; D．钝角或直角三角形13．已知△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC一定（）A ．小于直角;B ．等于直角;C ．大于直角;D ．大于或等于直角 二、填空题1．如图:（1）AD ⊥BC ，垂足为D ，则AD 是________的高，∠________＝∠________＝90°；（2）AE 平分∠BAC ，交BC 于点E ，则AE 叫________，∠________＝∠________＝21∠________，AH 叫________；（3）若AF ＝FC ，则△ABC 的中线是________；（4）若BG ＝GH ＝HF ，则AG 是________的中线，AH 是________的中线． 2．如图，∠ABC ＝∠ADC ＝∠FEC ＝90°． （1）在△ABC 中，BC 边上的高是________； （2）在△AEC 中，AE 边上的高是________； （3）在△FEC 中，EC 边上的高是________； （4）若AB ＝CD ＝3，AE ＝5，则△AEC 的面积为________． 3．在等腰△ABC 中，如果两边长分别为6cm 、10cm ，则这个等腰三角形的周长为________． 4．五段线段长分别为1cm 、2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，以其中三条线段为边长共可以组成________个三角形． 5．已知三角形的两边长分别为3和10，周长恰好是6的倍数，那么第三边长为________． 6．一个等腰三角形的周长为5cm ，如果它的三边长都是整数，那么它的腰长为________cm ． 7．在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶2∶3，则∠A ＝______；∠B ＝______；∠C ＝______． 8．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点I ． （1）若∠ABC ＝70°，∠ACB ＝50°，则∠BIC ＝________； （2）若∠ABC ＋∠ACB ＝120°，则∠BIC ＝________； （3）若∠A ＝60°，则∠BIC ＝________； （4）若∠A ＝100°，则∠BIC ＝________； （5）若∠A ＝n °，则∠BIC ＝________． 三、解答题1．在△ABC 中，∠BAC 是钝角． 画出：（1）∠ABC 的平分线； （2）边AC 上的中线； （3）边AC 上的高．2．△ABC 的周长为16cm ，AB ＝AC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 分成周长相等的两个三角形．若BD ＝3cm ，求AB 的长．3．如图，AB ∥CD ，BC ⊥AB ，若AB ＝4cm ，212cm =∆ABC S ，求△ABD 中AB 边上的高．4．学校有一块菜地，如下图．现计划从点D 表示的位置（BD ∶DC ＝2∶1）开始挖一条小水沟，希望小水沟两边的菜地面积相等．有人说：如果D 是BC 的中点的话，由此点D 笔直地挖至点A 就可以了．现在D 不是BC 的中点，问题就无法解决了．但有人认为如果认真研究的话一定能办到．你认为上面两种意见哪一种正确，为什么?5．在直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，如下图所示．作BC 边上的高，图中出现三个直角三角形（3＝2×1＋1）；又作△ABD 中AB 边上的高1DD ，这时图中便出现五个不同的直角三角形（5＝2×2＋1）；按照同样的方法作21D D 、32D D 、……、k k D D 1-．当作出k k D D 1-时，图中共有多少个不同的直角三角形?6．一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块．请你制订出两种以上的划分方案．7．一个三角形的周长为36cm，三边之比为a∶b∶c＝2∶3∶4，求a、b、c．8．已知△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求△ABC各边的长．9．已知三角形三边的长分别为：5、10、a－2，求a的取值范围．10．已知等腰三角形中，AB＝AC，一腰上的中线BD把这个三角形的周长分成15cm和6cm 两部分，求这个等腰三角形的底边的长．11．如图，已知△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上．求证：BD－BC＜AD－AB．12．如图，△ABC中，D是AB上一点．求证：（1）AB＋BC＋CA＞2CD；（2）AB＋2CD＞AC＋BC．13．如图，AB∥CD，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G，（1）完成下面的证明：∵ MG平分∠BMN（），1∠BMN（），∴∠GMN＝21∠DNM．同理∠GNM＝2∵ AB∥CD（），∴∠BMN＋∠DNM＝________（）．∴∠GMN＋∠GNM＝________．∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝________（），∴∠G＝ ________．∴ MG与NG的位置关系是________．（2）把上面的题设和结论，用文字语言概括为一个命题：_______________________________________________________________．14．已知，如图D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，∠A＝46°，∠D＝50°．求∠ACB的度数．15．已知，如图△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC＝60°，求∠BOC的度数．16．已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数．17．已知，如图CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC内任一射线，交CE于E．求证：∠EBC＜∠ACE．18．画出图形，并完成证明：已知：AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，且AD ∥BC ． 求证：∠B ＝∠C ．单元测试卷（一）参考答案:一、1．A ； 2．D ； 3．A ； 4．C ；5．B ； 6．C ； 7．B ； 8．D ； 9．C （提示：边长分别为3、4、5；2、4、5；2、3、4．）10．C ； 11．D ； 12．D ； 13．C ； 二、1．（1）BC 边上，ADB ，ADC ；（2）∠BAC 的角平分线，BAE ，CAE ，BAC ，∠BAF 的角平分线； （3）BF ；（4）△ABH ，△AGF ； 2．（1）AB ； （2）CD ； （3）EF ； （4）7.5； 3．22cm 或26cm ； 4．3； 5．11； 6．2；7．90°，36°，54°；8．（1）120°； （2）120°； （3）120°； （4）140°； （5）290︒+︒n ；三、21．略；2．解法1：AB ＋BD ＋DA ＝DA ＋AC ＋CD ，∴ BD ＝CD ，∵ BD ＝3cm ，∴ CD ＝3cm ，BC ＝6cm ，∵ AB ＝AC ，∴ AB ＝5cm ． 解法2：△ABD 与△ACD 的周长相等，而AB ＝AC ，∴ BD ＝CD ， ∴ BC ＝2BD ＝6cm ，∴ AB ＝（16－6）÷2＝5cm ． 3．212cm =∆ABC S ，∴ 21AB ·BC ＝12，AB ＝4，∴ BC ＝6，∵ AB ∥CD ，∴ △ABD 中AB 边上的高＝BC ＝6cm ．4．后一种意见正确．5．不作垂线，一个直角三角形，即：1＝2×0＋1，作一条垂线，三个直角三角形，即：3＝2×1＋1，同理，5＝2×2＋１，找出相应的规律，当作出k k D D 1 时，图中共有2×k ＋1，即2k ＋1个直角三角形．6．第一种方案：在BC 上取E 、D 、F ，使BE ＝ED ＝DF ＝FC ，连结AE 、AD 、AF ，则△ABE 、△AED 、△ADF 、△AFC 面积相等；第二种方案：取AB 、BC 、CA 的中点D 、E 、F ，连结DE 、EF 、FD ，则△ADF 、△BDE 、△CEF 、△DEF 面积相等．7．设三边长a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，∵ 三角形周长为36，∴ 2k ＋3k ＋4k ＝36，k ＝4， ∴ a ＝8cm ，b ＝12cm ，c ＝16cm ．8．设三角形中最大边为a ，最小边为c ，由已知，a －c ＝14，b ＋c ＝25，a ＋b ＋c ＝48， ∴ a ＝23cm ，b ＝16cm ，c ＝9cm ．9．10－5＜a －2＜10＋5，∴ 7＜a ＜17． 10．设AB ＝AC ＝2x ，则AD ＝CD ＝x ，（1）当AB ＋AD ＝15，BC ＋CD ＝6时，2x ＋x ＝15，∴ x ＝5，2x ＝10，∴ BC ＝6－5＝1cm ；（2）当AB ＋AD ＝6，BC ＋CD ＝15时，2x ＋x ＝6，∴ x ＝2，2x ＝4，∴ BC ＝13cm ；经检验，第二种情况不符合三角形的条件，故舍去． 11．AD －AB ＝AC ＋CD －AB ＝CD ，∵ BD －BC ＜CD ， ∴ BD －BC ＜AD －AB ． 12．（1）AC ＋AD ＞CD ，BC ＋BD ＞CD ， 两式相加：AB ＋BC ＋CA ＞2CD ． （2）AD ＋CD ＞AC ，BD ＋CD ＞BC ， 两式相加：AB ＋2CD ＞AC ＋BC ． 13．（1）已知，角平分线定义，已知，180°，两直线平行同旁内角互补，90°，180°，三角形内角和定理，90°，互相垂直．（2）两平行直线被第三条直线所截，它们的同旁内角的角平分线互相垂直． 14．94°； 35．120°； 36．10°；17．∠EBC ＜∠DCE ，而∠DCE ＝∠ACE ，∴ ∠EBC ＜∠ACE ． 18．略．北师大版七年级数学下册第三章三角形单元测试卷（二）班级姓名学号得分一、选择题1．一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数．则这个三角形的周长为 ( ) A．10 B．12 C．14 D.162．在△ABC中，AB＝4a，BC＝14，AC＝3a．则a的取值范围是 ( )A．a＞2 B．2＜a＜14 C．7＜a＜14 D．a＜143．一个三角形的三个内角中，锐角的个数最少为 ( )[A．0 B．1 C．2 D．34．下面说法错误的是 ( )A．三角形的三条角平分线交于一点 B．三角形的三条中线交于一点C．三角形的三条高交于一点 D．三角形的三条高所在的直线交于一点5．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是 ( )A．中线B．角平分线 C．高线D．三角形的角平分线6．如图5—12，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，则图中与∠A相等的角是 ( )A.∠ 1 B．∠ 2 C．∠ B D．∠ 1、∠ 2和∠ B 7．点P是△ABC内任意一点，则∠APC与∠B的大小关系是( ) A．∠APC＞∠B B．∠APC＝∠B C．∠APC＜∠B D．不能确定8．已知：a 、b 、c 是△ABC 三边长，且M ＝(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)(a －b －c)，那么 ( ) A ．M ＞0 B ． M ＝0 C ．M ＜0 D ．不能确定9．周长为P 的三角形中，最长边m 的取值范围是 ( )A ．23P m P <≤B ．23P m P <<C ．23P m P ≤<D ．23P m P ≤≤10．各边长均为整数且三边各不相等的三角形的周长小于13，这样的三角形个数共有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 二、填空题1．五条线段的长分别为1，2，3，4，5，以其中任意三条线段为边长可以________个三角形．2．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝10，那么BC 边的取值范围是________，周长的取值范围是___________．3．一个三角形的三个内角的度数的比是2：2：1，这个三角形是_________三角形． 4．一个等腰三角形两边的长分别是15cm 和7cm 则它的周长是__________．5．在△ABC 中，三边长分别为正整数a 、b 、c ，且c ≥b ≥a ＞0，如果b ＝4，则这样的三角形共有_________个．6．直角三角形中，两个锐角的差为40°，则这两个锐角的度数分别为_________． 7．在△ABC 中，∠A －∠B ＝30°、∠C ＝4∠B ，则∠C ＝________．8．如图5—13，在△ABC 中，AD ⊥BC ，GC ⊥BC ，CF ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、C 、F 、E ，则_______是△ABC 中BC 边上的高，_________是△ABC 中AB 边上的高，_________是 △ABC 中AC 边上的高，CF 是△ABC 的高，也是△_______、△_______、△_______、△_________的高．[来9．如图5—14，△ABC 的两个外角的平分线相交于点D ，如果∠A ＝50°，那么∠D ＝_____． 10．如图5—15，△ABC 中，∠A ＝60°，∠ABC 、∠ACB 的平分线BD 、CD 交于点D ，则∠BDC ＝_____．11．如图5—16，该五角星中，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________度． 12．等腰三角形的周长为24cm ，腰长为xcm ，则x 的取值范围是________． 三、解答题1．如图5—17，点B 、C 、D 、E 共线，试问图中A 、B 、C 、D 、E 五点可确定多少个三角形?说明理由．2．如图5—18，∠BAD＝∠CAD，则AD是△ABC的角平分线，对吗?说明理由．3．一个飞机零件的形状如图5—19所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°，康师傅量得∠BCD＝143°，就能断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗?4．如图5—20，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．5．如图5—21，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的平分线，求∠DAE的度数．6．如图5—22，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝13cm，BC＝12cm，AC＝5cm，求：(1)△ABC的面积；(2)CD的长．7．已知：如图5—23，P是△ABC内任一点，求证：∠BPC＞∠A．8．△ABC中，三个内角的度数均为整数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠A的度数．9．已知：如图5—24，P 是△ABC 内任一点，求证：AB ＋AC ＞BP ＋PC ．10．如图5—25，豫东有四个村庄A 、B 、C 、D ．现在要建造一个水塔P ．请回答水塔P 应建在何位置，才能使它到4村的距离之和最小，说明最节约材料的办法和理由．单元测试卷（二）参考答案:一、1．C 2．B 3．C 4．C 5．A 6．B 7．A 8．C 9．A 10．C 二、1．3； 2．32周长20,164<<<<BC ； 3．锐角（等腰锐角）； 4．cm 37；5．10； 6．︒65和︒25； 7．︒100；8．GAC FAC FGC BFC BE CF AD ∆∆∆∆,,,,,,；9．︒65； 10．︒120； 11．︒180； 12．126<<x ． 三、1．可以确定6个三角形．理由：经过两点可以确定一条线段，而不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接可组成一个三角形，所以图中可以确定6个三角形．2．错误．因为AD 虽然是线段，但不符合三角形角平分线定义，这里射线AD 是BAC ∠的平分线3．假设此零件合格，连接BD ，则︒=︒-︒=∠+∠37143180CBD CDB ；可知()︒=︒+︒-︒=∠+∠40203090CBD CDB ．这与上面的结果不一致，从而知这个零件不合格．4．∵ AD 是BC 边上的中线，∴ D 为BC 的中点，BD CD =．∵ ADC ∆的周长－ABD ∆的周长＝5cm ∴ cm AB AC 5=-． 又∵ cm AB AC 11=+， ∴ cm AC 8=．5．由三角形内角和定理，得︒=∠+∠+∠180BAC ACB B ．∴ ︒=︒-︒-︒=∠4210434180BAC ． 又∵ AE 平分∠BAC ． ∴ ︒=︒⨯=∠=∠21422121BAC BAE ．∴ ︒=︒+︒=∠+∠=∠552134BAE B AED ． 又∵ ︒=∠+∠90DAE AED ，∴ ︒=︒-︒=∠-︒=∠35559090AED DAE ． 6．（1）∵ 在△ABC 中，︒=∠90ACB ，cm AC 5=，cm BC 12=，().3012521212cm BCAC S ABC =⨯⨯=⋅=∴∆[ （2）∵ CD 是AB 边上的高， ∴ CD AB S ABC ⋅=∆21．即CD ⨯⨯=132130．∴ ()cm CD 1360=．7．如图，延长BP 交AC 于D ，∵ A PDC PDC BPC ∠>∠∠>∠,， ∴ A BPC ∠>∠ 8．∵ A C ∠=∠74，∴ C A ∠=∠74，∴ C B C ∠<∠<∠74．又∵ ︒=∠+∠+∠180C B A ，∴ ︒=∠+∠+∠18074C B C ．∴ C B ∠-︒=∠711180，∵ C C C ∠<∠-︒<∠71118074，∴ ︒<∠<︒8470C ．又∵ C A ∠=∠74为整数，∴ ∠C 的度数为7的倍数．∴ ︒=∠77C ，∴ ︒=∠=∠4474C A ．9．如图，延长BP 交AC 于点D ．在△BAD 中，BD AD AB >+， 即：PD BP AD AB +>+． 在△PDC 中，PC DC PD >+． ①＋②得PC PD BP DC PD AD AB ++>+++， 即PC BP AC AB +>+10．如图，水塔P 应建在线段AC 和线段BD 的交点处．这样的设计将最节省材料．理由：我们不妨任意取一点P '，连结P A '、P B '、P C '、P D '、AB 、BC 、CD 、DA ， ∵ 在C P A '∆中,CP AP AC P C P A +=>'+'， ① 在D P B '∆中,DP BP BD P D P B +=>'+'， ② ①＋②得DP CP BP AP P D P C P B P A +++>'+'+'+'． ∵ 点P '是任意的，代表一般性，∴ 线段AC 和BD 的交点处P 到4个村的距离之和最小．北师大版七年级数学下册第三章 三角形 单元测试卷（三）班级 姓名 学号 得分一、选择题(每小题3分，共30分)1. 有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A 2，3，4B 1，4，2C 1，2，3D 6，2，3 2. 在下列各组图形中，是全等的图形是（ ）3. 下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（ ）AB C DE图4图2 图 3 A 、一个锐角对应相等 B 、两个锐角对应相等C 、一条边对应相等D 、两条边对应相等4.已知：如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O 点， ∠1＝∠2．图中全等的三角形共有 （ ） A ．4对 B ．．3对 C 2对 D ．1对5.如图所示，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）A.带①去B. 带②去C. 带③去D. 带①和②去6.右图中三角形的个数是（ ）A ．6 B ．7 C ．8 D ．97.如果两个三角形全等，那么下列结论不正确的是（ ） A ．这两个三角形的对应边相等 B ．这两个三角形都是锐角三角形C ．这两个三角形的面积相等D ．这两个三角形的周长相等8.在下列四组条件中，能判定△ABC ≌△A /B /C /的是（ ）A.AB=A /B /，BC= B /C /，∠A=∠A /B.∠A=∠A /，∠C=∠C /，AC= B /C /C.∠A=∠B /，∠B=∠C /，AB= B /C /D.AB=A /B /，BC= B /C /，△ABC 的周长等于△A /B /C /的周长9.下列图中，与左图中的图案完全一致的是（ ）10. 下列判断：①三角形的三个内角中最多有一个钝角，②三角形的三个内角中至少有两个锐角，③有两个内角为500和200的三角形一定是钝角三角形，④直角三角形中两锐角的和为900，其中判断正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 二、填空题：（每题4分共24分）11、为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是 。
北师大版数学七年级下册第4章《三角形》单元测试试题 附答案解析
北师大版七年级下册第4章《三角形》单元测试题（满分120分）班级:________姓名:________座位:________成绩:________一．选择题（共10小题，满分30分）1．一个三角形的两边长分别是2和4，则第三边的长可能是（）A．1B．2C．4D．72．在△ABC中，作BC边上的高，以下作图正确的是（）A．B．C．D．3．如图，已知BD＝CD，则AD一定是△ABC的（）A．角平分线B．高线C．中线D．无法确定4．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ACD的度数是（）A．140°B．120°C．110°D．100°5．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC．已知∠A＝74°，∠B＝46°，则∠BDC 的度数为（）A．104°B．106°C．134°D．136°6．如图，AB＝AC，若要使△ABE≌△ACD．则添加的一个条件不能是（）A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEB C．BD＝CE D．BE＝CD7．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS8．小明学习了全等三角形后总结了以下结论：①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等图形；④全等三角形的周长相等．其中正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．49．如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD ＝42°，则∠BFD＝（）A．45°B．54°C．56°D．66°10．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（）个．A．4B．5C．6D．7二．填空题（共6小题，满分24分）11．下列4个图形中，属于全等的2个图形是．（填序号）12．如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是．13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD 的度数是．14．如图，在△ABC中，AC＝BC，过点A，B分别作过点C的直线的垂线AE，BF．若AE ＝CF＝3，BF＝4.5，则EF＝．15．边长为整数、周长为20的三角形的个数为．16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝3，G是△ABC重心，则S△AGC＝．三．解答题（共8小题，满分66分）17．如图，在一个三角形的一条边上取四个点，把这些点与这条边所对的顶点连接起来．问图中共有多少个三角形．请你通过与数线段或数角的问题进行类比来思考．18．如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF．19．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．20．如图，已知B，D在线段AC上，且AD＝CB，BF＝DE，∠AED＝∠CFB＝90°求证：（1）△AED≌△CFB；（2）BE∥DF．21．如图，已知锐角△ABC，AB＞BC．（1）尺规作图：求作△ABC的角平分线BD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）点E在AB边上，当BE满足什么条件时？∠BED＝∠C．并说明理由．22．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，过D点作AB垂线，交AC于E，交BC的延长线于F．（1）∠1与∠B有什么关系？说明理由．（2）若BC＝BD，请你探索AB与FB的数量关系，并且说明理由．23．如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO 和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝°；若∠MON＝90°，则∠ACG＝°；（2）若∠MON＝n°．请求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）（3）如图2，若∠MON＝n°，过C作直线与AB交F．若CF∥OA时，求∠BGO﹣∠ACF的度数．（用含n的代数式表示）24．如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB，点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE，连接EA，EA满足条件EA⊥AB．（1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，BC＝2，求AB的长度；（2）求证：AE＝AF+BC；（3）如图2，点F是线段BA延长线上一点，探究AE、AF、BC之间的数量关系，并证明你的结论．参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：设第三边的长为x，由题意得：4﹣2＜x＜4+2，2＜x＜6，故选：C．2．【解答】解：BC边上的高应从点A向BC引垂线，只有选项D符合条件，故选：D．3．【解答】解：由于BD＝CD，则点D是边BC的中点，所以AD一定是△ABC的一条中线．故选：C．4．【解答】解：∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A+∠B＝100°，故选：D．5．【解答】解：∵∠A＝74°，∠B＝46°，∴∠ACB＝60°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝×60°＝30°，∴∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝104°，故选：A．6．【解答】解：A、添加∠B＝∠C可利用ASA定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；B、添加∠ADC＝∠AEB可利用AAS定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；C、添加BD＝CE可得AD＝AE，可利用利用SAS定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；D、添加BE＝CD不能判定△ABE≌△ACD，故此选项符合题意；故选：D．7．【解答】解：观察图形发现：AC＝DC，BC＝BC，∠ACB＝∠DCB，所以利用了三角形全等中的SAS，故选：D．8．【解答】解：①全等三角形的形状相同、大小相等，正确；②全等三角形的对应边相等、对应角相等，正确；③面积相等的两个三角形是全等图形，错误；④全等三角形的周长相等，正确．故选：C．9．【解答】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝42°，∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝48°，∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABF＝∠ABD＝24°，∴∠BFD＝∠BAD+∠ABF＝42°+24°＝66°，故选：D．10．【解答】解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，∴2＜BC＜22﹣BC，解得2＜BC＜11，又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2，∴AC＝为整数，∴BC边长为偶数，∴BC＝4，6，8，10，故选：A．二．填空题（共6小题）11．【解答】解：根据全等三角形的判定（SAS）可知属于全等的2个图形是①③，故答案为：①③．12．【解答】解：第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块不能配一块与原来完全一样的；第②块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带②去．故答案为：②，ASA．13．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣25°＝65°，由作图过程可知：MN是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝25°，∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝65°﹣25°＝40°．答：∠CAD的度数是40°．故答案为：40°．14．【解答】解：∵过点A，B分别作过点C的直线的垂线AE，BF，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，在Rt△AEC和Rt△CFB中，，∴Rt△AEC≌Rt△CFB（HL），∴EC＝BF＝4.5，∴EF＝EC+CF＝4.5+3＝7.5，故答案为：7.5．15．【解答】解：边长为整数、周长为20的三角形分别是：（9，9，2）（8，8，4）（7，7，6）（6，6，8）（9，6，5）（9，7，4）（9，8，3）（8，7，5），共8个．故答案为：8．16．【解答】解：延长AG交BC于E．∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝3，∴S△ABC＝•AB•AC＝9，∵G是△ABC的重心，∴AG＝2GE，BE＝EC，∴S△AEC＝×9＝4.5，∴S△AGC＝×S△AEC＝3，故答案为3三．解答题（共8小题）17．【解答】解：如图所示，图中三角形的个数有△ABC，△ACD，△ADE，△AEF，△AFG，△ABD，△ABE，△ABF，△ABG，△ACE，△ACF，△ACG，△ADF，△ADG，△AEG．18．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF（SSS）．19．【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6cm，BE＝7×2＝14cm，∵△ADC≌△CEB，∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：两堵木墙之间的距离为20cm．20．【解答】证明（1）∵∠AED＝∠CFB＝90°，在Rt△AED和Rt△CFB中，∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL）．（2）∵△AED≌△CFB，∴∠BDE＝∠DBF，在△DBE和△BDF中，∴△DBE≌△BDF（SAS），∴∠DBE＝∠BDF，∴BE∥DF．21．【解答】解：（1）如图，线段BD即为所求．（2）结论：BE＝BC．理由：∵BD平分∠ABC，∵BE＝BC，BD＝BD，∴△BDE≌△BDC（SAS），∴∠BED＝∠C．22．【解答】解：（1））∠1与∠B相等，理由：∵，△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠1+∠F＝90°，∵FD⊥AB，∴∠B+∠F＝90°，∴∠1＝∠B；（2）若BC＝BD，AB与FB相等，理由：∵△ABC中，∠ACB＝90°，DF⊥AB，∴∠ACB＝∠FDB＝90°，在△ACB和△FDB中，，∴△ACB≌△FDB（AAS），∴AB＝FB．23．【解答】解：（1）∵∠MON＝60°，∴∠OBA+∠OAB＝120°，∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC+∠BAC＝×120°＝60°，∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠ACG＝60°；∵∠MON＝90°，∴∠OBA+∠OAB＝90°，∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC+∠BAC＝×90°＝45°，∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°；故答案为：60，45；（2）在△AOB中，∠OBA+∠OAB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣n°，∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC+∠BAC＝（∠OBA+∠OAB）＝（180°﹣n°），即∠ABC+∠BAC＝90°﹣n°，∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°，∴∠ACG＝180°﹣（90°+n°）＝90°﹣n°；（3）∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABC＝ABO，∠BAC＝∠OAC＝，∵CF∥AO，∴∠ACF＝∠CAG，∵∠BGO＝∠BAG+∠ABG，∴∠BGO﹣∠ACF＝∠BAG+∠ABG﹣∠ACF＝2∠BAC+∠ABG﹣∠BAC＝∠ABG+∠BAC＝90°﹣n°．24．【解答】解：（1）在等腰直角三角形DEF中，∠DEF＝90°，∵∠1＝20°，∴∠2＝∠DEF﹣∠1＝70°，∵∠EDA+∠2+∠3＝180°，∴∠3＝60°，∵EA⊥AB，∴∠EAB＝90°，∵∠3+∠EAB+∠A＝180°，∴∠4＝30°，∵∠C＝90°，∴AB＝2BC＝4；（2）如图1，过D作DM⊥AE于M，在△DEM中，∠2+∠5＝90°，∵∠2+∠1＝90°，∵DE＝FE，在△DEM与△EF A中，，∴△DEM≌△EF A，∴AF＝EM，∵∠4+∠B＝90°，∵∠3+∠EAB+∠4＝180°，∴∠3+∠4＝90°，∴∠3＝∠B，在△DAM与△ABC中，，∴△DAM≌△ABC，∴BC＝AM，∴AE＝EM+AM＝AF+BC；（3）如图2，过D作DM⊥AE交AE的延长线于M，∵∠C＝90°，∴∠1+∠B＝90°，∵∠2+∠MAB+∠1＝180°，∠MAB＝90°，∴∠2+∠1＝90°，∠2＝∠B，在△ADM与△BAC中，，∴△ADM≌△BAC，∵EF＝DE，∠DEF＝90°，∵∠3+∠DEF+∠4＝180°，∴∠3+∠4＝90°，∵∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，在△MED与△AFE中，，∴△MED≌△AFE，∴ME＝AF，∴AE+AF＝AE+ME＝AM＝BC，即AE+AF＝BC．。
【同步练习】北师大版2019年 七年级数学下册 探索三角形全等的条件 同步练习(含答案)
北师大版七年级数学下册探索三角形全等的条件同步练习一、选择题1.如图，在△ABC和△DEF中，已有条件AB=DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEF．不能添加的一组条件是（）A.∠B=∠E,BC=EFB.∠A=∠D,BC=EFC.∠A=∠D,∠B=∠ED.BC=EF,AC=DF2.如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（）A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C3.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠EB．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠DD．∠B=∠E，∠A=∠D4.如图，AE=AF，AB=AC，EC与BF交于点O，∠A=60°，∠B=25°，则∠EOB的度数为（）A．60°B．70°C．75°D．85°5.如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠CB．AD=CBC．BE=DFD．AD∥BC6.已知△AB1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：1①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A.①正确,②错误B.①错误,②正确C.①,②都错误D.①,②都正确7.如图．从下列四个条件：①BC=B′C，②AC=A′C，③∠A′CA=∠B′CB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个D．4个8.如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（）A.AB=ACB.∠BAE=∠CADC.BE=DCD.AD=DE9.如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（）A．330°B．315°C．310°D．320°10.如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题11.如图示,点B在AE上,∠CBE=∠DBE,要使ΔABC≌ΔABD, 还需添加一个条件是__________.（填上你认为适当的一个条件即可）12.如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是．13.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，E、F分别为DB、DC的中点，则图中共有全等三角形对．14.．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是15.如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线，则由可得△AFC≌△AEB．16.如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC与B′C′边上的高．（只需填写一个你认为适当的条件）17.如图EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（填序号）．18.在平面直角坐标系中,点A（2,0），B（0,4），作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C坐标为 .三、解答题19.如图，在△AEC中，点D是EC上的一点，且AE=AD，AB=AC，∠1=∠2．求证：BD=EC．20.如图,在△ABC,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE相交于F.求证：AF平分∠BAC.21.如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．22.如图,已知在四边形ABCD中,E是AC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4.求证：∠5=∠6．23.如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求证：AB=DE．24.已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.25.如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．答案1.B.2.B3.C4.B5.B6.D7.B8.D9.B10.D11.答案为：BC=BD；12.答案为：AE=AB．13.答案为414.答案为：ASA15.答案为：SAS．16.添加∠C=∠C´，可以利用AAS判定其全等；还可添加AC=A′C′，∠CAD=∠C′A′D′等．17.答案为：①②③．18.答案为：（-2,0），（-2,4），（2,4）；19.证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠DAB=∠EAC，在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD=EC．20.证明：∵BD⊥AC,CE⊥AB∴∠ADB＝∠AEC＝90∵∠BAD＝∠CAE,AB＝AC∴△ABD≌△ACE （AAS）∴AE＝AD∵AF＝AF∴△ADF≌△AEF （HL）∴∠BAF＝∠CAF21.证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，∵在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS）．22.证明：∵，∴△ADC≌△ABC（ASA）．∴DC=BC．又∵，∴△CED≌△CEB（SAS）．∴∠5=∠6．23.证明：如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H，故∠A=∠CEH，在△ABC与△EHC中，∴△ABC≌△EHC（ASA），∴AB=HE，∵∠B+∠CDE=180°，∠HDE+∠CDE=180°∴∠HDE=∠B=∠H，∴DE=HE．∵AB=HE，∴AB=DE．24.解：（1）在△ABC中,∠BAC=90°，∴∠BAD＝90°-∠EAC。
北师大版七年级数学下册 第四章《三角形》单元测试卷(含答案)
高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B= 1 ∠C， 2
那么△ABC 是直角三角形；⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是
直角三角形；⑥在 ABC 中，若∠A＋∠B=∠C，则此三角形是直角三角形。
A、3 个
B、4 个
C、5 个
D、6 个
7．在 ABC 中， B, C 的平分线相交于点 P，设 A = x, 用 x 的代数式表示 BPC 的
B
21．（本题 6 分）有人说，自己的步子大，一步能走三米多，你相信吗？
用你学过的数学知识说明理由。
C D
第 20 题图
22．（本题 6 分）小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为 8m 和 5m 的木棒。如果要 求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？
2/5
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
度。
14．如图,∠1=_____.
A
A
C
B
E
D 第 11 题图 第 12 题图
D
B
C
第 13 题图
80
1
140
第 14 题图
第 16 题图
15.若三角形三个内角度数的比为 2:3:4,则相应的外角比是
.
16．如图，⊿ABC 中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE 平分∠ACB，CD⊥AB 于 D，DF⊥CE，
2
2
2
2
∠CDE=∠AED-∠C=(90°- 1 x)-[90°- 1 (40°+x)]=20°.
2
2
5/5
度数，正确的是（ ）
（A） 90 + 1 x （B） 90 − 1 x
北师大版数学四年级下册 三角形边的关系同步练习(含答案)
《三角形边的关系》同步练习一、判断题1.三条线段一定能围成三角形（）2.三角形任意两边之和一定大于第三边（）3.三角形的三边长可以相等（）4用四根一样的火柴棒可以围成一个三角形（）5.三角形任意两边之差大于第三边（）二、单选题1.三角形两边之和（）第三边A. 大于B. 小于C. 等于2.三角形两边之差（）第三边A. 大于B. 小于C. 等于3.1,2,3厘米的三根火柴（）围成三角形A. 能B. 不能4.5,6,7厘米的三根火柴（）围成三角形A. 能B. 不能5.有3厘米和4厘米的火柴,加上（）厘米的火柴后能围成三角形A. 6B. 7C. 8三、填空题1.三角形按边分类可以分为________ 、________ 。
2.若等腰三角形的两边长分别是3和4,则它的周长为________。
3.长为10、7、5、3的四跟木条,选其中三根组成三角形有________种选法。
4.三角形的周长是24cm,三边长是三个连续的自然数,则三边长为________。
5.在△ABC中,若a＝3,b＝5,则第三边c的取值范围是________。
6.△ABD中,∠B的对边是________。
7.如果三条线段的比：（1）5：20：30；（2）5：10：15；（3）3：3：5（4）3：4：5；（5）5：5：10。
那么其中可以构成三角形的比有________。
8.等腰三角形腰长10厘米,周长24厘米,底长________厘米。
9.等腰三角形可以分为________ 、________ 、________ 。
10.若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为________。
四、应用题1.已知等腰三角形的两边长分别为4,9,求它的周长2.一个等腰三角形,周长为20cm,一边长6cm,求其他两边长3.三角形两边长为5厘米,8厘米,求第三边边长4.有木条4根,长度为12厘米,10厘米,8厘米,4厘米,选其中三根组成三角形,则选择的种数有哪几种5三角形两边长为2厘米和7厘米,第三边长是奇数,第三边长多少?答案解析部分一、判断题1.【答案】错误【解析】【解答】要根据边角关系判断【分析】考察了三角形的特性2.【答案】正确【解析】【解答】只要是三角形,必然满足两边之和大于第三边【分析】考察了三角形的特性3.【答案】正确【解析】【解答】三角形三边相等是等边三角形【分析】考察了三角形的特性4.【答案】错误【解析】【解答】相当于1,1,2三根火柴棒,不能围成三角形【分析】考察了三角形的特性5.【答案】正确【解析】【解答】只要是三角形,两边只差一定大于第三边【分析】考察了三角形的特性二、单选题1.【答案】A【解析】【解答】三角形两边之和大于第三边【分析】考察了三角形的特性2.【答案】B【解析】【解答】三角形两边之差小于第三边【分析】考察了三角形的特性3.【答案】B【解析】【解答】两边之和大于第三边才能围成三角形【分析】考察了三角形的特性4.【答案】A【解析】【解答】三角形两边之和大于第三边,可以围成三角形【分析】考察了三角形的特性5.【答案】A【解析】【解答】三角形两边之和大于第三边,可以围成三角形。
第四章三角形 章节测试同步练习2022-2023学年北师大版七年级数学下册
北师大版七下三角形章节测试一、选择题（共11小题）1. 下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是( )A. 甲和乙B. 乙和丙C. 甲和丙D. 只有丙2. 如果过三角形重心的一条直线将该三角形分成两个直角三角形，则该三角形一定是( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形3. 已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( )A. 2B. 3C. 5D. 134. 用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如图所示，则说明∠CAD=∠DAB的依据是( )A. SSSB. SASC. ASAD. AAS5. 一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是( )A. ①B. ②C. ③D. ④6. 根据下列条件，能唯一画出△ABC的是( )A. AB=3，BC=4，AC=8B. AB=4，BC=3，∠A=30∘C. ∠A=60∘，∠B=45∘，AB=4D. ∠C=90∘，AB=67. 根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是( )A. AB=3，BC=4，CA=8B. AB=4，BC=3，∠A=60∘C. ∠A=60∘，∠B=45∘，AB=4D. ∠C=90∘，∠B=30∘，∠A=60∘8. 下列长度的三条线段，不能组成三角形的是( )A. 3，8，4B. 4，9，6C. 15，20，8D. 9，15，89. 下列说法中错误的是( )A. 三角形的三个内角中，最多有一个钝角B. 三角形三个内角中，至少有两个锐角C. 直角三角形中有两个锐角互余D. 三角形中两个内角和必大于90∘10. 两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为( )A. (a+b)2=c2B. (a−b)2=c2C. a2+b2=c2D. a2−b2=c211. 如图，点B，C分别在AE，AD上，BD与CE相交于点O，如果AB=AC，AD=AE，那么图中的全等三角形共有( )A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对二、填空题（共8小题）12. 已知△ABC的两条中线AD，BE相交于点F．如果AF=10，那么AD的长为．13. 请完善本课的知识结构图：14. 如图是5×5的正方形网络，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出个．15. 如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，以AB为一边画一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，点C的个数．16. 在△ABC中，如果∠A−∠B=90∘，则△ABC是三角形．17. 若直角三角形的一个锐角为15∘，则另一个锐角等于．18. 如图，一块三角形玻璃碎成了Ⅰ、Ⅱ两块，现需购买同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上第块玻璃碎片．19. 如图所示，图中有个三角形，其中以AB为边的三角形为，含∠OCB的三角形为．在△BOC中，OC的对角是，∠OCB的对边是．三、解答题（共5小题）20. 如图所示的每个图形中各有多少个三角形?21. 如图，已知 A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AC =FD ，AB =FE ，∠A =∠F ，请说明 △ABC 与△FED 全等的理由．22. 一个三角形的三个内角度数之比为 1:1:2．求这个三角形三个内角的度数，并说明该三角形的形状．23. 如图，AB 与 CD 相交于点 O ，如果 ∠A =∠C ，OA =OC ，那么 △AOD 与 △COB 全等吗?为什么?解：在 △AOD 和 △COB 中，{ ( ), ( ),∠AOD =∠COB ( ), 所以 △AOD ≌△COB ( )．24. 如图①，在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，BC =9 cm ，AC =12 cm ，AB =15 cm ，现有一动点 P ，从点 A 出发，沿着三角形的边 AC →CB →BA 运动，回到点 A 停止，速度为 3 cm/s ，设运动时间为 t s ．（1）如图①，当t=时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图②，在△DEF中，∠E=90∘，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好使△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．答案1. B2. C【解析】∵三角形重心是三角形三边中线的交点，过这一点的直线恰好分三角形为两个直角三角形，则这条线在三角形内部的线段是高，利用三角形“三线合一”的性质，即可推断这是等腰三角形．3. B4. A【解析】从角平分线的作法得出，△AFD与△AED的三边对应相等，则△AFD≌△AED(SSS)，所以∠CAD=∠DAB．5. C【解析】因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第3块．故选：C．6. C7. C【解析】A. ∵AB=3，BC=4，CA=8，AB+BC<CA，∴不能画出三角形，故本选项不合题意；B. AB=4，BC=3，∠A=60∘，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；C.当∠A=60∘，∠B=45∘，AB=4时，根据“ASA”可判断△ABC的唯一性；D.已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意．8. A9. D【解析】A、三角形的三个内角中，最多有一个钝角，正确．B 、三角形三个内角中，至少有两个锐角，正确．C、直角三角形中有两个锐角互余，正确，D、三角形中两个内角和必大于90∘，错误，比如钝角三角形的两个锐角的和小于90∘．10. C【解析】根据题意得：S=12(a+b)(a+b)，S=12ab+12ab+12c2，∴12(a+b)(a+b)=12ab+12ab+12c2，即(a+b)(a+b)=ab+ab+c2，整理得：a2+b2=c2．11. C12. 1513. 不在同一直线上，首尾顺次联结，三角形任意两边的和大于第三边，三角形任意两边的差小于第三边，AD，AD，BC，ADB，ADC，AE，BE，CE，BC，BC，BE，CE，AF，∠BAF，∠CAF，∠BAC，∠BAC，∠BAF，∠CAF14. 415. 7【解析】16. 钝角【解析】因为 ∠A −∠B =90∘，所以 ∠A =90∘+∠B ，所以 ∠A 是钝角，所以 △ABC 是钝角三角形．17. 75∘【解析】∵ 直角三角形的一个锐角为 15∘，∴ 另一个锐角 =90∘−15∘=75∘．18. Ⅰ19. 8，△ABO ；△ABC ；△ABD ，△BOC ；△ABC ，△OBC ，OB【解析】题图中有 8 个三角形，分别是 △ABO ，△ABD ，△ABC ，△BOC ，△ODC ，△BDC ，△ADO ，△ADC ，其中以 AB 为边的三角形为 △ABO ，△ABC ，△ABD ；含 ∠OCB 的三角形为 △BOC ，△ABC ．在 △BOC 中，OC 的对角是 ∠OBC ，∠OCB 的对边是 OB ．20. 如图所示，（1）中有 8 个三角形；（2）中有 5 个三角形；（3）中有 6 个三角形．21. 在 △ABC 和 △FED 中，{AC =DF(已知),∠A =∠F(已知),AB =FE(已知),所以 △ABC ≌△FED (SAS )．22. 45∘，45∘，90∘．等腰直角三角形．23. ∠A =∠C ；已知；OA =OC ；已知；对顶角相等；ASA24. （1） 112 或 192【解析】①当点 P 在 BC 上时，如图 1，若△APC的面积等于△ABC面积的一半，则12AC⋅CP=12⋅12AC⋅CB，∴CP=12BC=92cm，此时，点P移动的距离为AC+CP=12+92=332cm，∴移动的时间为332÷3=112s．②当点P在BA上时，过点C作CD⊥AB，交AB于D，如图2，若△APC的面积等于△ABC面积的一半，则12AP⋅CD=12⋅12AB⋅CD，∴AP=12AB，即点P为BA的中点，此时，点P移动的距离为AC+CB+BP=12+9+152=572cm，∴移动的时间为572÷3=192s．故答案为112或192．（2）∵△APQ≌△DEF，∴对应顶点为A与D，P与E，Q与F．①当点P在AC上时，如图3所示：此时，AP=4cm，AQ=5cm，∴点Q移动的速度为5÷(4÷3)=154cm/s．②当点P在AB上时，如图4所示：此时AP=4cm，AQ=5cm，即点P移动的距离为AC+CB+BP=9+12+15−4=32cm，点Q移动的距离为AB+BC+CQ=15+9+12−5=31cm，∴点Q移动的速度为31÷(32÷3)=9332cm/s，综上所述，点Q的运动速度为154cm/s或9332cm/s．第11页（共11 页）。
华师大版初中数学七年级下册《9.1.3 三角形的三边关系》同步练习卷
华师大新版七年级下学期《9.1.3 三角形的三边关系》2019年同步练习卷一．选择题（共1小题）1．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（）个．A．4B．5C．6D．7二．填空题（共2小题）2．若一个三角形的三边长分别是m+2，10，2m﹣1，则m的取值范围为．3．如果三角形的两边长分别是3和7，那么第三边的长应大于，而小于，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是．三．解答题（共47小题）4．一个四边形的周长为48cm，已知第一条边长acm，第二条边比第一条边的2倍长3cm，第三条边等于第一，第二两条边的和．（1）求出表示第四条边长的式子；（2）当a＝3cm时，还能得到四边形吗？请简要说明理由．5．“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框．（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有种．（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头）6．已知a、b、c分别为△ABC的三边，你能判断（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2的符号吗？并说明理由．7．用一条长18cm的铁丝围成一个三角形，其中三边长分别为4cm，xcm，ycm，且有两边相等，求x，y的值．8．一个三角形的两条边相等，周长为18cm，三角形一边长4cm，求其它两边长？9．已知△ABC三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当BC为最大边时，求△ABC三边长．10．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，点E、F、G分别在BC、AB、AC上．（1）若在△BCD中，BC＝5，BD＝4，设CD的长为奇数，则CD的取值是；（2）若EF⊥AB，DG∥BC，请判断CD与AB的位置关系，并说明理由．11．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5，（1）若设CD的长为奇数，则CD的取值是；（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．12．a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6．（1）求c的取值范围；（2）若△ABC的周长为18，求c的值．13．一个三角形的两边长为3和5，（1）求它的第三边a的取值范围；（2）求它的周长L的取值范围；（3）若周长为偶数，求三角形的第三边长．14．已知a，b，c是三角形的三边长．（1）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；（2）在（1）的条件下，若a＝5，b＝4，c＝3，求这个式子的值．15．小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米．①用含m的式子表示第三条边长；②第一条边长能否为10米？为什么？③若第一条边长最短，求m的取值范围．16．如图，已知△ABC．（1）若AB＝4，AC＝5，则BC边的取值范围是；（2）点D为BC延长线上一点，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，若∠E＝55°，∠ACD＝125°，求∠B的度数．17．已知，a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|．18．已知a、b、c是三角形三边长，化简：|a+b﹣c|+|a﹣c﹣b|﹣|b+c﹣a|．19．已知△ABC三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当BC为最大边时，求∠A 的度数．20．在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分别24和18两部分，求三角形三边的长．21．已知△ABC三边长是a、b、c，试化简代数式|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|．22．将长度为24的一根铝丝折成各边均为正整数的三角形，这个三角形的三边分别记为a、b、c，且a≤b≤c，请尽可能地写出满足题意的a、b、c．23．已知△ABC的三边长均为整数，△ABC的周长为奇数．（1）若AC＝8，BC＝2，求AB的长；（2）若AC﹣BC＝5，求AB的最小值．24．一个不等边三角形的边长都是整数，且周长是12，这样的三角形共有多少个？25．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m和5m的木棒．如果要求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？26．已知三角形的三边长分别是x，x﹣1，x+1．求x的取值范围．27．设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|a﹣c﹣b|+|b﹣c+a|．28．若三个互不相等的数：5、3、a能作为一个三角形的三边长，求a的取值范围．29．如图所示，已知O是△ABC内的一点，是说明OA+OB+OC与AB+BC+CA之间的大小关系．30．已知a、b、c分别为△ABC的三边长，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a+b|．31．如图所示，P是△ABC内一点，连接PB、PC，试比较PB+PC与AB+AC的大小．32．（1）下面两图是分别用三根、五根火材搭成的三角形，那么用九根火材你能搭成几种不同的三角形，画出示意图，并写出三角形的类型．（2）将一个正方形剖分成d个小正方形称为该正方形的d阶正方形剖分（注意：不要求分出的正方形大小一定要一样），如下面两图是一个正方形的4阶剖分（即d＝4）、8阶剖分（即d＝8），请你在另两个正方形中画出d＝6和d＝7的图形．33．已知△ABC有两边的长分别为3和7，第三边的长是关于x的方程解，求a 的取值范围．34．如图，已知线段AD是△ABC的中线，且AB＝6，AD＝4，AC边长为奇数．求边AC 的长．35．有人说，自己的步子大，一步能走三米多，你相信吗？用你学过的数学知识说明理由．36．如图，D，E是△ABC内两点，求证：AB+AC＞BD+DE+CE．37．如图，点P是△ABC内任意一点，试说明PB+PC＜AB+AC．38．小明家与学校相距2千米，与少年宫相距3千米，那么学校与少年宫相距一定是5千米吗？请说明理由．39．将长度为2n（n为不小于4的自然数）的一根铅丝折成各边长均为整数的三角形．把三边长分别为α、b、c且满足a≤b≤c的三角形简记为数组（a，b，c）如当n＝4时，有（2，3，3）．（1）就n＝5、6的情况．分别写出所有满足题意的（α，b，c）．（2）根据前面的结果猜想：当铅丝的长度为2n（n为不小于4的自然数）时．对应（a，b，c）的个数是．为了检验这个的猜想是否正确，请分别写出当n＝8、10时所有的（a，b，c），并判断这个猜想（选填“正确”或“不正确”）40．想一想，下面各题的三条线段能组成三角形吗？如果能，会组成什么样的三角形？（1）6cm，9cm，5cm；（2）6cm，8cm，10cm；（3）5cm，7cm，5cm；（4）12cm，3cm，7cm．41．某海军在南海某海域进行实战演习，小岛A的周围方圆12km内的区域为危险区域，有一艘渔船误入离A地7km的B处（如图），为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条射线方向航行？为什么？42．已知：如图，在△ABC中有D、E两点，求证：BD+DE+EC＜AB+AC．43．用长度相等的100根火柴，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形各边所用火柴的根数．44．有四个村庄（点）A、B、C、D，要建一所学校P，使P A+PB+PC+PD最小．画图说明P在哪里．45．①设△ABC的三边分别为a、b、c，试证明：a＜（a+b+c）②设四边形的四边长依次为a、b、c、d，两条对角线分别为e、f，证明：e+f＞（a+b+c+d）46．小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它？47．从1，2，3，…，2004中任选K﹣1个数中，一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的K的最小值是多少？48．如图，四个工厂A、B、C、D，试找一个供应站M，使它到四个工厂的距离之和为最小．49．现有长为150cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每段的长为不小于1（cm）的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段．50．已知三角形的一边是另一边的3倍，求证：三角形的最小边在周长的与之间．华师大新版七年级下学期《9.1.3 三角形的三边关系》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（）个．A．4B．5C．6D．7【分析】依据△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，可得2＜BC＜11，再根据△ABC的三边长均为整数，即可得到BC＝4，6，8，10．【解答】解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，∴2＜BC＜22﹣BC，解得2＜BC＜11，又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2，∴AC＝为整数，∴BC边长为偶数，∴BC＝4，6，8，10，故选：A．【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．二．填空题（共2小题）2．若一个三角形的三边长分别是m+2，10，2m﹣1，则m的取值范围为3＜m＜13．【分析】根据在三角形中，“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列不等式组求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得即，解不等式组得，3＜m＜13．【点评】本题利用了三角形中三边的关系求解，同时还要能够熟练解不等式组．3．如果三角形的两边长分别是3和7，那么第三边的长应大于4，而小于10，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是17．【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【解答】解：第三边的取值范围是大于4而小于10；如果三角形中，有两边相等，则分情况讨论：当三边是3，3，7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系，舍去；当三角形的三边是3，7，7时，符合，此时周长是17．【点评】考查了三角形的三边关系．注意等腰三角形的时候，一定要分情况讨论．三．解答题（共47小题）4．一个四边形的周长为48cm，已知第一条边长acm，第二条边比第一条边的2倍长3cm，第三条边等于第一，第二两条边的和．（1）求出表示第四条边长的式子；（2）当a＝3cm时，还能得到四边形吗？请简要说明理由．【分析】（1）由四边形的周长是四条边的和，首先表示出第二条边长为（2a+3）cm，第三条边为（a+2a+3）cm，即可得到第四边的长；（2）利用组成四边形的线段的条件，即可得到．【解答】解：（1）∵第一条边长是acm，依题意得：第二条边长为（2a+3）cm，第三条边为（a+2a+3）cm，又四边形的周长是48cm，∴第四条边长为：48﹣a﹣（2a+3）﹣（3a+3），＝48﹣a﹣2a﹣3﹣3a﹣3，＝42﹣6a（cm）；（2）当a＝3时，四条边的边长分别为3，9，12，24，因为3+9+12＝24．不是四边形．是四条在同一条直线上的线段．【点评】本题考查了列代数式，代数式的值，构成四边形的关系，合并同类项法则的运用．5．“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框．（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头）【分析】（1）根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定第三边的取值范围，从而确定符合条件的三角形的个数．（2）求出各三角形的周长的和，再乘以售价为8元╱分米，可求其所需钱数．【解答】解：（1）三角形的第三边x满足：7﹣3＜x＜3+7，即4＜x＜10．因为第三边又为奇数，因而第三边可以为5、7或9．故要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．（2）制作这种木框的木条的长为：3+5+7+3+7+7+3+7+9＝51（分米），∴51×8＝408（元）．答：至少需要408元购买材料．【点评】本题主要考查三角形三边关系的应用，注意熟练运用在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6．已知a、b、c分别为△ABC的三边，你能判断（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2的符号吗？并说明理由．【分析】理由公式法因式分解即可解决问题；【解答】解：（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2＝（a2+b2﹣c2+2ab）（a2+b2﹣c2﹣2ab）＝[（a+b）2﹣c2][（a﹣b）2﹣c2]＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）∵a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2＜0【点评】本题考查三角形的三边关系、平方差公式、完全平方公式等知识，解题的关键是熟练掌握因式分解，属于中考常考题型．7．用一条长18cm的铁丝围成一个三角形，其中三边长分别为4cm，xcm，ycm，且有两边相等，求x，y的值．【分析】根据三角形的三边关系即可解决问题；【解答】解：①当x＝4时，y＝18﹣8＝10，4+4＜10，不能构成三角形，不符合题意；②当y＝4时，x＝18﹣8＝10，4+4＜10，不能构成三角形，不符合题意；③当x＝y时，x＝y＝14÷2＝7，符合题意，∴x＝y＝7．【点评】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．8．一个三角形的两条边相等，周长为18cm，三角形一边长4cm，求其它两边长？【分析】分两种情形讨论求解即可：①若4cm为底边．②若4cm为腰长；【解答】解：①若4cm为底边，则另外两边均为（18﹣4）＝7厘米；②若4cm为腰长，则另一腰为4厘米，底边为18﹣4×2＝10厘米∵4+4＜10，∴此时不能构成三角形，舍去．因此其他两边的长分别为7cm、7cm．【点评】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．9．已知△ABC三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当BC为最大边时，求△ABC 三边长．【分析】首先设BC、AC、AB边的长度分别是a、b、c，则a+b+c＝12；然后根据△ABC三边长都是整数且互不相等，判断出△ABC三边长．【解答】解：根据题意，设BC、AC、AB边的长度分别是a、b、c，则a+b+c＝12；∵BC为最大边，∴a最大，又∵b+c＞a，∴a＜6，∵△ABC三边长都是整数，∴a＝5，又∵△ABC三边长互不相等，∴其他两边分别为3，4，∴三角形的三边长为AB＝4，BC＝5，AC＝3或AB＝3，BC＝5，AC＝4．【点评】此题主要考查了三角形三边的关系，以及勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．10．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，点E、F、G分别在BC、AB、AC上．（1）若在△BCD中，BC＝5，BD＝4，设CD的长为奇数，则CD的取值是3，5，7；（2）若EF⊥AB，DG∥BC，请判断CD与AB的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据三角形三边关系定理求出CD取值范围，再根据CD的长为奇数即可得出CD的取值；（2）由平行线的性质和已知条件可证明CD∥EF，可求得∠CDB＝90°，可判断CD⊥AB．【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC＝5，BD＝4，∴1＜CD＜9，∵CD的长为奇数，∴CD的取值是3，5，7．故答案为3，5，7；（2）CD⊥AB．理由如下：∴DG∥BC，∴∠1＝∠DCB，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DCB，∴CD∥EF，∴∠CDB＝∠EFB，∵EF⊥AB，∴∠EFB＝90°，∴∠CDB＝90°，∴CD⊥AB．【点评】本题考查了三角形三边关系定理，平行线的性质和判定，掌握定理与性质是解题的关键．11．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5，（1）若设CD的长为奇数，则CD的取值是3或5或7；（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．【分析】（1）利用三角形三边关系得出DC的取值范围即可；（2）利用平行线的性质得出∠AEC的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC＝4，BD＝5，∴1＜DC＜9；∵CD的长为奇数，∴CD的值为3或5或7；故答案为：3或5或7；（2）∵AE∥BD，∠BDE＝125°，∴∠AEC＝55°，又∵∠A＝55°，∴∠C＝70°．【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质，得出∠AEC的度数是解题关键．12．a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6．（1）求c的取值范围；（2）若△ABC的周长为18，求c的值．【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边得出3c﹣2＞c，任意两边之差小于第三边得出|2c﹣6|＜c，列不等式组求解即可；（2）由△ABC的周长为18，a+b＝3c﹣2，4c﹣2＝18，解方程得出答案即可．【解答】解：（1）∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6，∴，解得：2＜c＜6；（2）∵△ABC的周长为18，a+b＝3c﹣2，∴a+b+c＝4c﹣2＝18，解得c＝5．【点评】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．13．一个三角形的两边长为3和5，（1）求它的第三边a的取值范围；（2）求它的周长L的取值范围；（3）若周长为偶数，求三角形的第三边长．【分析】根据三角形的三边关系定理可得第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．再根据范围确定a的值．【解答】解：（1）根据三角形的三边关系可得5﹣3＜a＜5+3，即：2＜a＜8，（2）∵第三边a的取值范围为2＜a＜8，∴它的周长L的取值范围2+3+5＜L＜5+3+8即10＜L＜16；（3）∵第三边a的取值范围为2＜a＜8，周长为偶数，∴第三边的长为4或6．【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．14．已知a，b，c是三角形的三边长．（1）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；（2）在（1）的条件下，若a＝5，b＝4，c＝3，求这个式子的值．【分析】（1）根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c，b﹣c﹣a及c﹣a﹣b的符号，再根据绝对值的性质化简；（2）将a＝5，b＝4，c＝3代入计算即可．【解答】解：（1）∵a、b、c是三角形的三边长，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，∴原式＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b＝a+b+c；（2）当a＝5，b＝4，c＝3时，原式＝5+4+3＝12．【点评】本题考查的是三角形的三边关系以及绝对值的性质的运用，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．15．小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米．①用含m的式子表示第三条边长；②第一条边长能否为10米？为什么？③若第一条边长最短，求m的取值范围．【分析】（1）本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长；（2）当m＝10时，三边长分别为10，28，12，根据三角形三边关系即可作出判断；（3）根据第一条边长最短以及三角形的三边关系列出不等式组，即可求出m的取值范围．【解答】解：（1）∵第二条边长为（3m﹣2）米，∴第三条边长为50﹣m﹣（3m﹣2）＝（52﹣4m）米；（2）当m＝10时，三边长分别为10，28，12，由于10+12＜28，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为10米；（3）由题意，得，解得＜m＜9．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，在解题时根据三角形的三边关系，列出不等式组是本题的关键．16．如图，已知△ABC．（1）若AB＝4，AC＝5，则BC边的取值范围是1＜BC＜9；（2）点D为BC延长线上一点，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，若∠E＝55°，∠ACD＝125°，求∠B的度数．【分析】（1）利用三角形的三边关系确定第三边的取值范围即可；（2）首先利用平行线的性质确定∠EDB的度数，然后利用三角形内角和定理确定∠B的度数即可．【解答】解：（1）∵AB＝4，AC＝5，∴5﹣4＜BC＜4+5，即1＜BC＜9，故答案为：1＜BC＜9；（2）∵∠ACD＝125°，∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝55°，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠ACB＝55°．∵∠E＝55°，∴∠B＝180°﹣∠E﹣∠BDE＝180°﹣55°﹣55°＝70°．【点评】本题考查了三角形的三边关系及平行线的性质，解题的关键是能够了解三角形的三边关系及两直线平行同位角相等的知识，难度不大．17．已知，a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|．【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．【解答】解：|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|＝﹣（a﹣b﹣c）+2（b﹣c﹣a）+（a+b﹣c）＝﹣a+b+c+2b﹣2c﹣2a+a+b﹣c＝﹣2a+4b﹣2c．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．18．已知a、b、c是三角形三边长，化简：|a+b﹣c|+|a﹣c﹣b|﹣|b+c﹣a|．【分析】根据三角形三边关系得到a+b﹣c＞0，a﹣c﹣b＜0，b+c﹣a＞0，再去绝对值，合并同类项即可求解．【解答】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长，∴a+b﹣c＞0，a﹣c﹣b＜0，b+c﹣a＞0，∴|a+b﹣c|+|a﹣c﹣b|﹣|b+c﹣a|＝a+b﹣c﹣a+c+b﹣b﹣c+a＝a+b﹣c．【点评】考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到a+b﹣c＞0，a ﹣c﹣b＜0，b+c﹣a＞0．19．已知△ABC三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当BC为最大边时，求∠A 的度数．【分析】首先设BC、AC、AB边的长度分别是a、b、c，则a+b+c＝12；然后根据△ABC三边长都是整数且互不相等，判断出△ABC三边长分别是5、3、4；最后根据勾股定理，判断出△ABC是直角三角形，即可求出∠A的度数是多少．【解答】解：根据题意，设BC、AC、AB边的长度分别是a、b、c，则a+b+c＝12；∵BC为最大边，∴a最大，又∵b+c＞a，∴a＜6，∵△ABC三边长都是整数，∴a＝5，又∵△ABC三边长互不相等，∴其他两边分别为3，4，∵32+42＝52，∴△ABC是直角三角形，∴∠A＝90°，即∠A的度数是90°．【点评】此题主要考查了三角形三边的关系，以及勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．20．在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分别24和18两部分，求三角形三边的长．【分析】结合题意画出图形，利用三角形的中线的定义，以及三角形的周长和三角形的三边关系求三角形三边的长．【解答】解：如图，设AB＝AC＝a，BC＝b，则有a+a＝24且a+b＝18；或a+a＝18且a+b＝24，得到a＝16，b＝10或a＝12，b＝18，这时三角形的三边长分别为16，16，10和12，12，18．它们都能构成三角形．【点评】三角形的中线即三角形一个顶点与对边中点所连接的线段．21．已知△ABC三边长是a、b、c，试化简代数式|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|．【分析】根据三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．【解答】解：|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|＝a+b﹣c﹣（﹣b+c+a）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2b﹣2c．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，以及绝对值的计算，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．22．将长度为24的一根铝丝折成各边均为正整数的三角形，这个三角形的三边分别记为a、b、c，且a≤b≤c，请尽可能地写出满足题意的a、b、c．【分析】三角形的分类标准有2种，一种是按角来分，一种是按边来分，列举出所有符合条件的三角形，即可解答．【解答】解：∵a+b+c＝24，且a+b＞c，a≤b≤c，∴8≤c≤11，即c＝8，9，10，11，故可得（a，b，c）共12组：A（2，11，11），B（3，10，11），C（4，9，11），D（5，8，11），E（6，7，11），F（4，10，10），G（5，9，10），H（6，8，10），I（7，7，10），J（6，9，9），K（7，8，9），L（8，8，8）．【点评】本题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数，难度适中．23．已知△ABC的三边长均为整数，△ABC的周长为奇数．（1）若AC＝8，BC＝2，求AB的长；（2）若AC﹣BC＝5，求AB的最小值．【分析】（1）根据三角形的三边关系求出AB的取值范围，再由AB为奇数即可得出结论；（2）根据AC﹣BC＝5可知AC、BC中一个奇数、一个偶数，再由△ABC的周长为奇数，可知AB为偶数，再根据AB＞AC﹣BC即可得出AB的最小值．【解答】解：（1）∵由三角形的三边关系知，AC﹣BC＜AB＜AC+BC，即：8﹣2＜AB＜8+2，∴6＜AB＜10，又∵△ABC的周长为奇数，而AC、BC为偶数，∴AB为奇数，故AB＝7或9；（2）∵AC﹣BC＝5，∴AC、BC中一个奇数、一个偶数，又∵△ABC的周长为奇数，故AB为偶数，∴AB＞AC﹣BC＝5，得AB的最小值为6．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．24．一个不等边三角形的边长都是整数，且周长是12，这样的三角形共有多少个？【分析】题设中已知数较少，只知道周长为12，应抓住不等边三角形的边长都是整数这一条件，依据三角形三边关系先确定出最大边的取值范围，则问题迎刃而解．【解答】解：设a＜b＜c，则a+b+c＞2c，即2c＜12，所以c＜6．因为a，b，c都是正整数，所以若c＝3，则其他两边必然为a＝1，b＝2．由于1+2＝3，即a+b＝c，故线段a，b，c不可能组成三角形．当然c更不可能为1或2，因而有4≤c＜6．当c＝4时，a＝2，b＝3，不符合条件；当c＝5时，a＝3，b＝4，符合条件．于是符合条件的三角形共有1个．【点评】点拨：本题考查了三角形的三边关系，关键是根据三角形三边关系确定出最大边的取值范围．25．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m和5m的木棒．如果要求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；再结合整数这一条件进行分析．【解答】解：设第三根的长是xm．根据三角形的三边关系，则3＜x＜13．因为x是整数，因而第三根的长度是大于3m且小于13m的所有整数，共有9个数．答：小颖有9种选法．第三根木棒的长度可以是4m，5m，6m，7m，8m，9m，10m，11m，12m．【点评】本题就是利用三角形的三边关系定理解决实际问题．26．已知三角形的三边长分别是x，x﹣1，x+1．求x的取值范围．【分析】根据三角形的三边关系列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可；【解答】解：∵三角形的三边长分别是x，x﹣1，x+1，∴x+1﹣（x﹣1）＜x＜x+1+（x﹣1），解得：x＞2，∴x的取值范围是x＞2．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键．27．设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|a﹣c﹣b|+|b﹣c+a|．【分析】首先根据三角形的三边关系可得a+b﹣c＞0，a﹣c﹣b＜0，b﹣c+a＞0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后合并同类项即可．【解答】解：|a+b﹣c|+|a﹣c﹣b|+|b﹣c+a|＝a+b﹣c+（﹣a+c+b）+（b﹣c+a）＝a+b﹣c﹣a+c+b+b﹣c+a＝a+3b﹣c．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，以及绝对值和整式的加减，关键是掌握三角形的三边关系．28．若三个互不相等的数：5、3、a能作为一个三角形的三边长，求a的取值范围．【分析】根据三角形的三边关系列出不等式即可求出a的取值范围．【解答】解：∵三个互不相等的数：5、3、a能作为一个三角形的三边长，∴5﹣3＜a＜5+3，且a≠3，a≠5，即2＜a＜8且a≠3，a≠5．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．29．如图所示，已知O是△ABC内的一点，是说明OA+OB+OC与AB+BC+CA之间的大小关系．【分析】直接根据三角形的三边关系进行解答即可．【解答】解：∵在△ABO中，OA+OB＞AB；同理可得，OA+OC＞CA；OB+OC＞BC，∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+CA．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．30．已知a、b、c分别为△ABC的三边长，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a+b|．【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边可得a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a+b＞0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解．【解答】解：∵a、b、c分别为△ABC的三边长，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a+b＞0，∴|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a+b|＝a+b﹣c+b﹣c﹣a﹣c+a﹣b＝a+b﹣3c．【点评】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算，熟记性质并去掉绝对值符号是解题的关键．31．如图所示，P是△ABC内一点，连接PB、PC，试比较PB+PC与AB+AC的大小．【分析】首先需要作辅助线（延长BP交AC于点D），根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：在△ABD中，AB+AD＞PB+PD；在△PCD中，PD+DC ＞PC，即可得：AB+AC＞PB+PC．【解答】解：如图，延长BP交AC于点D，。
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4.1.2 三角形的三边关系
基础训练
1.一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为( )
A.12 B.16
C.20 D.16或20
2.如图,在△ABC中,BC=BA,点D在AB上,且AC=CD=DB,则图中的等腰三
角形有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.△ABC的三边长a,b,c满足关系式(a-b)(b-c)(c-a)=0,则这个三角
形一定是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.无法确定
4.已知△ABC的三条边长分别为3,4,6,在△ABC所在平面内画一条直
线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样
的直线最多可画( )
A.6条 B.7条 C.8条 D.9条
5.三角形的三边长分别为a,b,c,它们满足(a-b)2+|b-c|=0,则该三角
形是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
6.三角形按边可分为( )
A.等腰三角形、直角三角形、锐角三角形
B.直角三角形、不等边三角形
C.等腰三角形、不等边三角形
D.等腰三角形、等边三角形
7.下列说法:①等边三角形是等腰三角形;②等腰三角形也可能是直角
三角形;③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不
相等的三角形;④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝
角三角形.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是( )
A.6 B.3 C.2 D.11
9.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )
A.2 cm,3 cm,5 cm B.7 cm,4 cm,2 cm
C.3 cm,4 cm,8 cm D.3 cm,3 cm,4cm
10.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A.5,6,10
B.5,6,11
C.3,4,8
D.4a,4a,8a(a>0)
11.长为9,6,5,4的四根木条,选其中三根组成三角形,选法有( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
12.已知三角形的三边长分别为4,5,x,则x不可能是( )
A.3 B.5 C.7 D.9
13.已知三角形的三边长为连续整数,且周长为12 cm,则它的最短边长
为( )
A.2 cm B.3 cm
C.4 cm D.5 cm
14.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20 cm,则AB边的取值范围
是( )
A.1 cm
A.17 B.15
C.13 D.13或17
提升训练
16.已知△ABC的两边长分别为3和7,第三边的长是关于x的方程
=x+1的解,求a的取值范围.
17.把一条长为18米的细绳围成一个三角形,其中两边长分别为x米和
4米.
(1)求x的取值范围;
(2)若围成的三角形是等腰三角形,求x的值.
18.如图,已知P是△ABC内部的一点.
(1)度量AB,AC,PB,PC的长,根据度量结果比较AB+AC与PB+PC的大小.
(2)改变点P的位置,上述结论还成立吗?请说明理由.
19.在平面内,分别用3根、5根、6根……火柴棒首尾依次相接,能搭
成什么形状的三角形呢?通过尝试,列表如下.
火柴棒数 3 5 6 …
示意图 …
形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 …
问:(1)4根火柴棒能搭成三角形吗?
(2)8根、12根火柴棒分别能搭成几种不同形状的三角形?并画出它们
的示意图.
参考答案
1.【答案】C
解：①当4为腰长时,4+4=8,故此种情况不存在;
②当8为腰长时,8-4<8<8+4,符合题意.
故此三角形的周长=8+8+4=20.
故选C.
2.【答案】C 3.【答案】A
4.【答案】B
解：如图,
当BC1=AC1,AC=CC2,AB=BC3,AC4=CC4,AB=AC5,AB=AC6,BC7=CC7时,
都能得到符合题意的等腰三角形.
5.【答案】C 6.【答案】C 7.【答案】C
8.【答案】A 9.【答案】D 10.【答案】A 11.【答案】C
12.【答案】D
解：5-4
15.错解:D
诊断:此题出错的原因在于只注意分类讨论而忽视三角形三边关系,当
腰长为3时,则三角形三边长分别为3,3,7,3+3<7,不符合三边关系,不能
组成三角形;当3为底边长时,此时三角形三边长分别为3,7,7,能组成三
角形.故此三角形的周长为17.
正解:A
16.解:解关于x的方程=x+1,得x=a-2.
由题意得7-3
解得x=10(不合题意,舍去);
当x为腰长时,则有x+x+4=18,
解得x=7.
此时三角形的三边长为4,7,7,符合题意.
18.解:(1)度量结果略.
AB+AC>PB+PC.
(2)成立.
理由:如图,延长BP交AC于点D.
在△ABD中,AB+AD>BP+PD,①
在△PDC中,PD+DC>PC.②
①+②,得AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC,
即AB+AC>PB+PC.
19.解:(1)4根火柴棒不能搭成三角形.
(2)8根火柴棒能搭成一种三角形,示意图为;
12根火柴棒能搭成三种不同的三角形:(4,4,4),(5,5,2),(3,4,5),示意图如
图.