2017_18版高中数学第二章平面向量2.1向量的加法学案北师大必修

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北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件第2章平面向量及其应用 2.1 向量的加法——分层作业

5.化简:
(1) + ;
(2) + + ;
(3) + + + + .
解(1) + = + = ;
(2) + + = + + =0;
(3) + + + + = + + + + =0.
( B )
C.12
D.6
解析因为 + = ,
所以 + + 的模为的模的 2 倍.
又| |= 42 + 22 =2 5,
所以向量 + + 的长度为 4 5.
故选 B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
4.化简:
(1)( + )+ + =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
B级
关键能力提升练
6.(多选)下列说法中正确的是(ACD)
A.△ABC 中,必有 + + =0
B.若 + + =0,则 A,B,C 为一个三角形的三个顶点
C. + + + + =
D.|a|=5,|b|=3 且 c=a+b,则 2≤|c|≤8
PA=PB=PC,所以四边形 ACBP 为菱形,所以 PA=PC=AC,所以∠ACP=60°,∠
ACB=120°.
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5 + 5 6 + 7 = 3 + 7 + 6 = 6 =b6.
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北师版高中数学必修第二册精品课件第2章平面向量及其应用 §2 2.1 向量的加法

解析:如题图,由已知得四边形DFCB为平行四边形,由向量加
法的运算法则可知,
(1) + = + = .
(2) + = + = .
(3) + + = + + = .
答案:(1)
(2)
(3)
1.在本例条件下,求 + .
解:因为BC∥DF,BD∥CF,所以四边形BCFD是平行四边形,
所以 + = .
2.在本例图形中求作向量 + + .
解:过点 A 作 AG∥DF 交 CF 的延长线于
点 G,则 + = .作 = ,
连接,则 = + + ,
如答图 2-2-6.
答案:B
).
3.下列各式不一定成立的是(
).
A.a+b=b+a
B.0+a=a
C. + =
D.|a+b|=|a|+|b|
解析:A,B,C项满足运算律,而D项向量和的模不一定与向量模
的和相等,满足三角形法则.
答案:D
4. + + 等于(
A.
B.
C.
D.
).
A. = , =
B. + =
C. + = +
D. + + =
图2-2-11
解析:选项 A:因为平行四边形 ABCD,所以 = , = ,故
选项 A 正确;选项 B:因为 = + , 与不是相等向量,
).
解析: + + = + + = .

[最新学习]2018_2019学年高中数学第二章平面向量2.1向量的加法学案北师大版必修4

2．1 向量的加法内容要求 1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量(重点).2.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算(难点)．知识点1 向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算． (2)三角形法则：①作图：已知向量a ，b ，在平面上任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫作a 与b 的和，记作a ＋b ；②几何意义：从第一个向量的起点到第二个向量终点的向量． (3)平行四边形法则：①作图：已知向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则向量AC →叫作a 与b 的和，表示为a ＋b ＝AC →； ②几何意义：平行四边形对角线所在的向量．【预习评价】1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．ABCD 一定是矩形 B ．ABCD 一定是菱形 C ．ABCD 一定是正方形 D ．ABCD 一定是平行四边形答案 D2．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝( ) A.BC → B.DA → C.AB → D.AC →答案 A知识点2 向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．特别地：对于零向量与任一向量a 的和有0＋a ＝a ＋0＝a . 【预习评价】1．下列等式不成立的是( ) A ．0＋a ＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2AB → D.AB →＋BC →＝AC →答案 C2.AO →＋BD →＋OB →等于________．答案 AD →题型一向量加法法则的应用【例1】 (1)如图(1)，用向量加法的三角形法则作出a ＋b ； (2)如图(2)，用向量加法的平行四边形法则作出a ＋b .解 (1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，再作向量OB →，则OB →＝a ＋b .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，再作平行OB →的AC →＝b ，连接BC ，则四边形OACB 为平行四边形，OC →＝a ＋b .规律方法用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．【训练1】已知向量a ，b ，c ，如图，求作a ＋b ＋c .解在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，如图，则由向量加法的三角形法则，得OB →＝a ＋b ，OC →＝a ＋b ＋c .题型二向量加法及其运算律【例2】化简：(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →. 解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝AC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝AD →＋DF →＋FA → ＝AF →＋FA →＝0.规律方法向量加法运算律的应用原则及注意点(1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． (2)注意点：①三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”； ②向量的和仍是向量；③利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的．【训练2】如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点． (1)AB →＋AD →＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →＝________；(3)AB →＋AD →＋CD →＝________； (4)AC →＋BA →＋DA →＝________.答案 (1)AC → (2)AO → (3)AD →(4)0方向1 向量加法在平面几何中的应用【例3－1】已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →. 求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明 AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →. ∴AB ＝CD 且AB ∥DC .∴四边形ABCD 为平行四边形．方向2 向量加法在物理中的应用【例3－2】在长江某渡口上，江水以2 km/h 的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为23km/h ，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．解要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v 1，水流速度为v 2，船实际航行的速度为v ，则v ＝v 1＋v 2，依题意作出平行四边形，如图．在Rt △ABC 中，|BC →|＝| v 1|＝2 3. |AB →|＝|v 2|＝2， ∴|AC →|＝|v |＝|AB →|2＋|BC →|2＝22＋232＝4.tan θ＝|BC →||AB →|＝232＝ 3.∴θ＝60°.∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h ，方向为东偏北60°. 方向3 向量加法在实际问题中的应用【例3－3】如图所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°，所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是 1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.规律方法应用向量加法解决平面几何与物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示相关的量，将所有解决的问题转化为向量的加法问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，进行相关运算． (3)还原：根据向量运算的结果，结合向量共线、相等概念回答原问题．易错警示利用向量解决实际问题时容易出现向量关系转化错误.课堂达标1．作用在同一物体上的两个力F 1＝60 N ，F 2＝60 N ，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为( )A ．30 NB ．60 NC ．90 ND ．120 N答案 B2．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中错误的是( )A.FD →＋DA →＋DE →＝0B.AD →＋BE →＋CF →＝0C.FD →＋DE →＋AD →＝AB →D.AD →＋EC →＋FD →＝BD →解析 FD →＋DA →＋DE →＝FA →＋DE →＝0， AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋FA →＝0， FD →＋DE →＋AD →＝FE →＋AD →＝AD →＋DB →＝AB →， AD →＋EC →＋FD →＝AD →＋0＝AD →＝DB →≠BD →. 故选D. 答案 D3．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →的模等于________．解析 |AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝213. 答案 2134．在正六边形ABCDEF 中，AC →＋BD →＋CE →＋DF →＋EA →＋FB →＝________.解析 AC →＋BD →＋CE →＋DF →＋EA →＋FB →＝(AB →＋BC →)＋(BC →＋CD →)＋(CD →＋DE →)＋(DE →＋EF →)＋(EF →＋FA →)＋(FA →＋AB →) ＝(AB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FA →)＋(BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FA →＋AB →)＝0＋0＝0. 答案 05.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明 ∵AP →＝AB →＋BP →，AQ →＝AC →＋CQ →， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →. 又∵BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反， ∴BP →＋CQ →＝0， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →，即AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.课堂小结1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.基础过关1．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同D ．不确定解析如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；如果它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同．答案 A2．下列等式错误的是( ) A ．a ＋0＝0＋a ＝a B.AB →＋BC →＋AC →＝0 C.AB →＋BA →＝0D.CA →＋AC →＝MN →＋NP →＋PM →解析 AB →＋BC →＋AC →＝AC →＋AC →＝2AC →≠0，故B 错．答案 B3．若a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可答案 A4．根据图示填空，其中a ＝DC →，b ＝CO →，c ＝OB →，d ＝BA →.(1)a ＋b ＋c ＝________； (2)b ＋d ＋c ＝________.解析 (1)a ＋b ＋c ＝DC →＋CO →＋OB →＝DB →. (2)b ＋d ＋c ＝CO →＋BA →＋OB →＝CA →. 答案 (1)DB → (2)CA →5．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是____．解析 ∵|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8. ∴|a ＋b |的最大值为8. 答案 86.如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：(1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →； (3)OA →＋FE →.解 (1)由题图知，四边形OABC 为平行四边形，∴OA →＋OC →＝OB →. (2)由图知BC →＝FE →＝OD →＝AO →， ∴BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →. (3)∵OD →＝FE →， ∴OA →＋FE →＝OA →＋OD →＝0.7.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任意一点．求证：PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →. 证明 ∵PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD → ＝4PO →＋(OA →＋OB →＋OC →＋OD →) ＝4PO →＋(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →) ＝4PO →＋0＋0＝4PO →. ∴PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.能力提升8.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 3解析 |AB →＋FE →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2. 答案 B9．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则下列结论中正确的是( ) ①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＝|a |－|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．①② B ．①③ C ．①③⑤ D ．③④⑤解析 a ＝0，∴a ∥b ，a ＋b ＝b ，|a ＋b |＝|a |＋|b |，故选C. 答案 C10．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______.解析如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0. 答案 011．已知△ABC 是直角三角形，且∠A ＝90°，则在下列结论中，正确的有________． ①|AB →＋AC →|＝|BC →|；②|AB →＋BC →|＝|CA →|； ③|AB →＋CA →|＝|BC →|；④|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. 解析如图，以AB →、AC →为邻边作平行四边形ABCD ，由于∠BAC ＝90°，则ABCD 为矩形． |AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|，故①正确． |AB →＋BC →|＝|AC →|＝|CA →|，故②正确． |AB →＋CA →|＝|AB →－AC →|＝|CB →|＝|BC →|.故③正确．又|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，故④正确．答案 ①②③④12．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |. 解如图，∵|OA →|＝|OB →|＝3，试卷+教案+习题试卷+教案+习题∴四边形OACB 为菱形．连接OC 、AB ，则OC ⊥AB ，设垂足为D .∵∠AOB ＝60°，∴AB ＝|OA →|＝3.∴在Rt △BDC 中，CD ＝332. ∴|OC →|＝|a ＋b |＝332×2＝3 3. 13．(选做题)如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.证明由题意知：AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →.由平面几何可知：EF →＝CD →，BF →＝FA →.所以AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →)＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →)＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋FA →＝0.。

新教材高中数学第2章平面向量及其应用平面向量及运算的坐标表示学案含解析北师大版必修第二册

新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：4．2 平面向量及运算的坐标表示学习任务核心素养1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(重点)2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．(重点)1．通过向量的坐标表示的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量和、差及数乘向量的坐标运算法则的应用，培养数学运算素养．卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向，为了便于分析，需要将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度．问题1：如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度呢？问题2：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数对(即它的坐标)表示，那么如何表示坐标平面内的一个向量呢？知识点1 平面向量的坐标表示如图在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a ，以坐标原点O 为起点作OP →＝a (通常称OP →为位置向量).由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x ，y ，使OP →＝x i ＋y j .因此，a ＝x i ＋y j .我们把(x ，y )称为向量a 在标准正交基{i ，j }下的坐标，向量a 可以表示为a ＝(x ，y )．1.若i ，j 分别是与x 轴，y 轴同方向的单位向量，则i ，j 的坐标分别是什么？ [提示] 在平面直角坐标平面中，i ＝(1，0)，j ＝(0，1).2.相等向量的坐标相同吗？[提示] 相等向量经过平移可以具有共同的始点O (O 为坐标原点)，这时其终点相同，而终点的坐标即是这些向量的坐标，所以相同．知识点2 平面向量的坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).数学公式文字语言表述向量加、减法 a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差向量数乘 λa ＝(λx 1，λy 1)λ∈R 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积向量坐标AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)相等向量的坐标相等．( )(2)在平面直角坐标系内，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则向量AB →＝(x 1－x 2，y 1－y 2).( )(3)与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量分别为：i ＝(1，0)，j ＝(0，1).( )[答案] (1)√ (2)× (3)√2.设平面向量a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，则a －2b 等于( ) A ．(7，3) B ．(7，7) C ．(1，7) D ．(1，3) [答案] A知识点3 中点坐标公式若点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)，线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22．此公式为线段AB 的中点坐标公式．知识点4 平面向量平行的坐标表示(1)设a ，b 是非零向量，且a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，b ≠0.若a ∥b ，则存在实数λ，使得a ＝λb ，用坐标表示为x 1y 2－x 2y 1＝0．若y 1≠0且y 2≠0，则上式可变形为x 1y 1＝x 2y 2.(2)文字语言描述向量平行的坐标表示定理1：若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例．定理2：若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．3.已知a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝______．－3 [因为a ∥b ，所以2λ－6×(－1)＝0，即λ＝－3.]类型1 平面向量的坐标表示【例1】 (教材北师版P 96例3改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形．(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标．[解] (1)作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45°＝4× 22＝22，AM ＝OA ·sin 45°＝4× 22＝2 2.∴A (22，22)，故a ＝(22，22).∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°.又∵OC ＝AB ＝3，∴C ⎝⎛⎭⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－332.(3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝⎛⎭⎫－32，332＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标．一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围．[跟进训练]1.在直角坐标系xOy 中，向量a ，b 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，分别求出它们的坐标．[解] 设点A (x ，y )，B (x 0，y 0)， ∵|a |＝2，且∠AOx ＝45°.∴x ＝2cos 45°＝2，且y ＝2sin 45°＝ 2. 又∵|b |＝3，∠xOB ＝90°＋30°＝120°. ∴x 0＝3cos 120°＝－32，y 0＝3sin 120°＝332.故a ＝OA →＝(2，2)， b ＝OB →＝⎝⎛⎭⎫－32，332.类型2 平面向量线性运算的坐标表示【例2】 (教材北师版P 98例5改编)已知点A 、B 、C 的坐标分别为A (2，－4)，B (0，6)，C (－8，10).求向量AB →＋2BC →－12AC →的坐标．由A 、B 、C 三点的坐标，求出AB →、BC →、AC →的坐标，再利用向量的加法，减法，数乘的坐标运算求解．[解] 由A (2，－4)，B (0，6)，C (－8，10)得， AB →＝(－2，10)，BC →＝(－8，4)，AC →＝(－10，14)，∴AB →＋2BC →－12AC →＝(－2，10)＋2(－8，4)－12(－10，14)＝(－2，10)＋(－16，8)－(－5，7)＝(－18，18)－(－5，7)＝(－13，11).向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[跟进训练]2．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4).设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8).(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42). (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝a ＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. 类型3 平面向量共线的坐标表示及应用【例3】 (1)下列各组向量中，共线的是( ) A ．a ＝(－2，3)，b ＝(4，6) B ．a ＝(2，3)，b ＝(3，2) C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7，14) D ．a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)(2)已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？ (1)D [A 选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a 与b 不共线； B 选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a 与b 不共线； C 选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a 与b 不共线； D 选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0， ∴a ∥b ，故选D.](2)[解] k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)， a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.1．(变设问)本例(2)条件不变，当k ＝－13时，试判断向量k a ＋b 与a －3b 是同向还是反向．[解] 当k ＝－13时，k a ＋b ＝(－13－3，－23＋2)＝－13(a －3b )，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．2．(变条件)若本例中的条件“a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)”换为“a ＝(－1，0)，b ＝(0，1)”，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行，并判断它们是同向还是反向．[解] k a ＋b ＝(－k ，0)＋(0，1)＝(－k ，1)， a －3b ＝(－1，0)－(0，3)＝(－1，－3)， ∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴3k ＋1×1＝0，解得k ＝－13，此时，k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∴k a ＋b 与a －3b 反向．解决向量共线问题时，常常根据向量平行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解．[跟进训练]3．平面内给定三个向量a ＝(1，3)，b ＝(2，－1)，c ＝(2，4)，若(a －k c )∥(2b －a )，求实数k .[解] ∵a －k c ＝(1－2k ，3－4k )，2b －a ＝(3，－5)，(a －k c )∥(2b －a )， ∴(－5)·(1－2k )－3(3－4k )＝0， ∴k ＝711.1．若向量AB →＝(1，2)，BC →＝(3，4)，则AC →＝( ) A ．(4，6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2)D ．(2，2)A [AC →＝AB →＋BC →＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6).]2．(多选题)以A (0，1)，B (1，0)，C (3，2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D 的坐标是( )A ．(2，3)B ．(2，－1)C ．(4，1)D ．(－2，－1)ACD [设D (x ，y )，若AB →＝CD →，则(1，－1)＝(x －3，y －2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝1，y －2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1，即D (4，1)；若AB →＝DC →，则(1，－1)＝(3－x ，2－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－1，y －2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即D (2，3)；若AD →＝CB →，则(－2，－2)＝(x ，y －1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y －1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1，即D (－2，－1).故选ACD.] 3．如果向量a ＝(k ，－4)，b ＝(－1，k )共线且方向相同，则k ＝________．－2 [∵a ∥b ，∴k 2－4＝0，即k ＝±2，又∵两个向量方向相同，∴k ＝－2.]4．已知A (1，2)，B (4，5).若AP →＝2PB →，则点P 的坐标为________.(3，4) [设P (x ，y )，所以AP →＝(x －1，y －2)，PB →＝(4－x ，5－y )，又AP →＝2PB →，所以(x －1，y －2)＝2(4－x ，5－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2（4－x ），y －2＝2（5－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.]5．如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________．197[建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则可得a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)，c ＝(3，4).∵c ＝x a ＋y b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝x ＋2y ，4＝2x －3y ，解得⎩⎨⎧x ＝177，y ＝27．因此x ＋y ＝197.]回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.点的坐标与向量的坐标有什么联系与区别？[提示] (1)区别：①表达形式：向量a ＝(x ，y )，点A (x ，y )；②意义不同：点A (x ，y )表示点A 在平面直角坐标系中的位置；向量a ＝(x ，y )表示向量的大小、方向．(2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同． 2.如何判断两个向量共线？ [提示] 向量共线的判定方法(1)利用共线(平行)向量基本定理，由a ＝λb (b ≠0)推出a ∥b ； (2)利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．。

2016-2017学年高中数学第二章平面向量 2.2.1 向量的加法课件北师大版必修4

所以|��|= |��|2 + |��|2 =4.
因为
tan∠CAB=2√3
2
=
√3,所以∠CAB=60°.
所以船实际航行的速度的大小为 4 km/h,方向是与水流的方向
成 60°角.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
误.
(2)�� + �� + �� = �� + �� = ��,所以|�� + �� +
�� |=|�� |=1.
思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”.
(1)对任意不共线向量a,b总有|a+b|<|a|+|b|成立. ( ) (2)当a与b共线且反向时|a+b|=|a|+|b|. ( ) (3)若a与b共线且同向时|a+b|=|a|+|b|. ( ) (4)若|a|=100,|b|=90,则|a+b|的范围为[10,190]. ( )
(1)(�� + ��)+�� + ��=
;
(2)�� + �� + �� + �� + ��=

北师大高中数学必修第二册2.2.1向量的加法【课件】

解析：(1)B→C＋A→B＝A→B＋B→C＝A→C. (2)D→B＋C→D＋B→C＝(D→B＋B→C)＋C→D＝D→C＋C→D＝0 或D→B＋C→D＋B→C＝ (D→B＋C→D)＋B→C＝(C→D＋D→B)＋B→C＝C→B＋B→C＝0. (3)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A ＝A→C＋C→D＋D→F＋F→A ＝A→D＋D→F＋F→A ＝A→F＋F→A ＝0.
则|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 当 a，b 共线时等号成立．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个向量的和可能是数量．( × ) (2)两个向量相加就是它们的模相加．( × ) (3)M→N＋N→P＝M→P.( √ ) (4)向量加法的平行四边形法则适合任意两个向量．( × )
3．多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如 (→a ＋→b )＋(→c ＋→d )＝(→b ＋→d )＋(→a ＋→c )；→a ＋→b ＋→c ＋→d ＋→e ＝[→d ＋(→a ＋→c )]＋(→b ＋→e )．
[教材答疑] [教材 P81 思考交流] 矩形 ABCD 中，记A→B＝a，|A→B|＝3，A→D＝b，|A→D|＝1，
2．三角形法则与平行四边形法则的适用条件
法则适用条件
两向量位置关系
两向量起点、终点的特点
三角形法则
两向量共线或不共线均可一个向量的终点为另一个
向量的起点
平行四边形法则
只适用于两向量不共线的情况
两向量起点相同
要点二向量加法的运算律 1．交换律：a＋b＝__b_＋__a___ 2．结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(b_＋__c_)

高中数学新北师大版精品教案《向量加法》

通过训练各种情况的作图，以加深对向量的加法的定义的理解。
学生理解后，自主尝试剖析
学情分析
高一学生具有一定直观感知能力，也具备物理学习中位移合成的基础；具有一定的数形结合和类比思想的基础．学生的理解能力比较强．虽然初中已经经历了有理数加法的学习，但是对向量的学习还处于初期阶段，一些数学方法和数学思想的掌握还有待进一步加强。
归纳作法和特点，并指出位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型
针对练习：跟踪训练1
引导
小组讨论，并在教师引导下归纳出三角形法则的作法及其作图特点。
使学生亲身参与探究过程，通过图形观察概括总结定义，能够激发学生的求知欲，有利于学生对知识的建构。通过问题讨论使学生深入思考，并且会用类比的思想来提出定义
教学目标
1.知识与技能：（1）理解向量加法的定义。
（2）熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则。（3）会利用向量分析求解实际应用问题。
2过程与方法
从学生身边熟悉的实例出发，学生经过观察、分析、归纳等方法概括出向量加法的概念，理解和体会实际问题抽象为数学概念的过程和思想,培养类比、分类、归纳、数形结合等能力。
3.情感、态度与价值观：从物理知识的引入到数学知识的形成过程，使学生体会到知识之间的相互联系，建立全面、科学的价值观。
教学重点和难点
项目
内容
解决措施
教学重点
向量加法的概念、
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
推导：自主思考、小组讨论、教师引导；
练习：各部分安排针对性的练习题
教学难点
对向量加法定义的理解
课堂教学设计表
章节名称
§向量的加法
学科
数学
授课时数
1课时
设计者

北师大版高中数学必修四平面向量的加法运算课时学案

OAa aa bbb《§2.2.1 向量加法运算及其几何意义》学案学习目标：1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；3、掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算。

学习重难点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

学习过程【自主学习】1、复习：向量的定义以及有关概念。

2、情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：。

（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：。

（3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：。

（4）船速为AB ，水速为BC ，则两速度和：_____________。

【重难点探究】1、向量加法的两个法则：（1）“三角形法则” 物理模型：位移的合成（2）“平行四边形法则” 物理模型：力的合成例1：已知向量a 、b ，求作向量a +b .C A B A B C A BCA B C2、a b +与a b +的大小关系：一般地，有a b a b +≤+（1）当a 、b 不共线时，______a b a b ++；（2）当a 、b ___________________时，=a b a b ++；当a 、b ___________________时，=a b a b b a +-（或-）. 3、向量加法的运算律：（1）交换律：____________________________________ （2）结合律：____________________________________。

北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件第2章平面向量及其应用 2.1 向量的加法

(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.( × )
2.[人教A版教材习题]
如图,四边形ABCD是平行四边形,点P在CD上,判断下列各式是否正确(正
确的在括号内打“√”,错误的打“×”).
(1)DA + DP = PA.
( × )
(2)DA + AB + BP = DP.
( √ )
(3)AB + BC + CP = PA.
0
.
解析 + + + + + = + + +( + + )
= + +( + )=0.
1 2 3 4 5
5.若a表示“向东走8 km”,b表示“向北走8 km”,则|a+b|=
a+b的方向为东北
.
解析如图所示,作=a, =b,
(3)当a与b反向时,若|a|>|b|,则a+b与a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|.若|a|<|b|,
则a+b与b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)任何两个向量的和仍然是一个向量.( √ )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.( × )
1.化简 + + 等于( D )
A.
B.
C.0
D.
解析 + + = + = .故选 D.
1 2 3 4 5
2.正方形 ABCD 的边长为 1,则| + |为( B )

2017-2018学年高中数学北师大版必修四教学案：第二章 §2 第1课时向量的加法

第1课时向量的加法[核心必知] 1．向量的加法法则2．向量求和的多边形法则向量求和的三角形法则，可推广至多个向量求和的多边形法则，n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量，即3．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c．[问题思考]1．三角形法则与平行四边形法则对两向量的起点有什么要求？提示：三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”．2．当首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，各向量的和等于什么向量？提示：零向量．讲一讲1．(1)如图已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点，求作：(2)如图，已知向量a ，b ，c ，求作a ＋b ＋c .[尝试解答] (1)①延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF 即为所求． ②在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ，则向量BG 即为所求．(2)在平面内任取一点O ，作向量OA ＝a ，再作AB ＝c ，则OB ＝a ＋c ，然后再作BC ＝b ，连接DC ，于是向量OC ＝a ＋b ＋c 即为所求(如图所示)．1．用三角形法则作两向量的和时，要注意两向量“首尾相接”；用平行四边形法则作两向量的和时，要注意保持两向量有公共起点．2．求作共线向量或多个向量的和向量时，应首选三角形法则，注意和向量的方向是从起始向量的起点指向末尾向量的终点．练一练1．如图，已知向量a ，b ，c ，d ，求作a ＋b ＋c ＋d .解：(1)在平面内任取一点O，作OA＝a，以A为起点，作向量AB＝b，则OB＝a＋b；(2)以B为起点作向量BC＝c，再作CD＝d，连接OD.则向量OD＝a＋b＋c＋d即为所求(如图)．讲一讲2．化简下列各式：.化简含有向量的关系式一般有两种方法：利用几何方法通过作图实现化简；利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．练一练2. 下列向量的运算结果一定是零向量的是( )讲一讲3．一条小船要渡过一条两岸平行的小河，河的宽度d＝100 m，船的航行速度为v1＝4 m/s，水流的速度为v2＝2 m/s，试问当船头与水流方向的夹角θ为多大时，小船行驶到对岸所用的时间最少？此时小船的实际航行速度与水流方向的夹角的正切值是多大？[尝试解答] 设小船行驶到对岸所用的时间为t(s)，如图，设AB表示水流的速度，AD 表示船的航行速度，以AD、AB为邻边作▱ABCD，则AC就是船实际航行的速度．设∠BAC＝α，∠BAD＝θ，则AC相对于垂直对岸的速度为v＝AD sin θ，小船行驶到对岸所用的时间为t＝d|v|＝d|v1|sin θ＝1004sin θ＝25sin θ，θ∈(0，π)．故当sin θ＝1，即θ＝90°时，小船行驶到对岸所用的时间最少，最少值为25 s.在Rt△ABC中，|AB|＝2，|BC|＝|AD|＝4，tan α＝2.故当船头与水流方向的夹角为90°时，小船行驶到对岸所用的时间最少为25 s，此时小船的实际航行速度与水流方向的夹角的正切值为2.用向量解决实际应用问题，关键是把实际问题转化为向量模型，本题中小船过河所用的时间取决于合速度沿垂直于河岸的分速度，也就是船的航行速度沿垂直于沙岸的分速度，其解答思路可归结为：练一练3．如图所示，两条细绳拉一个物体，两条细绳分别用力F1，F2，且|F1|＝3 N和|F2|＝4 N，夹角为90 °.(1)作出这两条细绳的合力；(2)求合力的大小．解：(1)作OA＝F1，OB＝F2以OA、OB为邻边作▱OACB连接OC，则OC＝F1＋F2即为所求．(2)在Rt△OAC中，OA＝3，AC＝|F2|＝4，∴|F1＋F2|＝|OC|＝OA2＋AC2＝5.故合力的大小为5 N.已知向量a，b的长度分别为8，2，试求|a＋b|的取值范围．[巧思] 向量a，b可能共线，也可能不共线，于是可考虑利用向量加法的三角形法则，数形结合求解．[妙解] (1)若a，b共线，即a∥b，当a与b同向时，则|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋2＝10；当a与b反向时，则|a＋b|＝|a|－|b|＝8－2＝6.(如图所示)．(2)若a，b不共线，则向量a，b，a＋b对应的有向线段围成一个三角形，如图：由三角形的性质知，|a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|，即8－2<|a|＋|b|<8＋2，∴6<|a|＋|b|＝10.故|a＋b|的取值范围为[6，10]．1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( )4．设a表示向东走4 km，b表示向南走3 km，则|a＋b|＝________ km.＝42＋32＝5.答案：56．如图，D、E、F分别为△ABC三边的中点，试画出BC+.一、选择题1．如图，在▱ABCD中，下列结论错误的是( ).4．下列命题①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；②在△ABC中，必有＝0；③若＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；④若a、b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中真命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B 对于①②③④，若a与b方向相反，且|a|＝|b|，则a＋b＝0，零向量的方向是任意的，所以①不正确；②正确；对于③，若＝0，则A、B、C可能共线，所以③不正确；对于④，当a，b不共线或反向时，|a＋b|<|a|＋|b|，④不正确．二、填空题5．若正方形ABCD的边长为1，AB＝a，BC＝b，则|a＋b|＝________.解析：|a＋b|＝|AB＋BC|＝|AC|＝ 2.答案： 26．如图，已知△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，给出下列结论：其中结论正确的是________(填所有正确结论的序号)．＝|BC|，所以③正确；显然，④正确．答案：①②③④7．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h，渡船要垂直渡过长江，则航向为________．解析：如图，渡船速度为OB，水流速度为OA，船实际垂直过江的速度为OA＋OB＝OD，依题意，|OA|＝12.5，|OB|＝25，△BDO为直角三角形，所以sin∠BOD＝＝＝1.2∴∠BOD＝30°，∴航向为北偏西30°.答案：北偏西30°8．已知a、b、c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的个数为________个．解析：根据向量加法的运算律，题中5个式子与a＋b＋c均相等．答案：5三、解答题9．如图所示，O是四边形ABCD内任意一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使a＋b＝AB，c＋d＝DC，并画出b＋c和a＋d.解：(1)∵，∴a，b，c，d的方向如图所示．(2)根据平行四边形法则，以OB、OC为邻边作平行四边形OBEC，以OA、OD为邻边作平行四边形OAFD，连接OE、OF，则OE＝b＋c，FO＝a＋d，如图所示．10．在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°(如图)，当重物平衡时，求两根绳子拉力的大小．解：如图所示，作平行四边形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，∴|OA |＝|OC |cos 30°＝32×300＝1503(N)． |AC |＝|OC |sin 30°＝12×300＝150(N)．∴|OB |＝|AC |＝150(N)，即与铅垂线的夹角为30°的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线的夹角为60°的绳子的拉力是150 N.。

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2．1 向量的加法
学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．
知识点一向量加法的定义及其运算法则
分析下列实例：
(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，
这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．
(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000 N，
F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条
拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．
思考1 从物理学的角度来讲，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？
思考2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用了什么法则？
梳理(1)向量加法的定义
求________________的运算，叫作向量的加法．
(2)向量加法的法则
三角形法则已知向量a，b，在平面上任取一点A，作AB
→
＝a，BC→＝b，再作向量AC→，则向量AC→叫作向量a与b的和，记作________，即a＋b＝AB→＋BC→＝________
平行
四边形法则已知向量a，b，在平面内任取一点A，作AB
→
＝a，AD→＝b，再作平行于AD→的BC→
＝b
，连接DC，
则四边形ABCD为平行四边形．向量AC
→
叫作向
量a与b的和，表示为______＝a＋b
向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义．
知识点二向量加法的运算律
思考1 实数加法有哪些运算律？
思考2 根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律．(注：AB
→
＝a，AD
→
＝b) 思考3 根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律．(注：AB
→
＝a，BC
→
＝b，CD
→
＝c)
梳理向量加法的运算律
交换律a＋b＝________
结合律(________)＋c＝a＋(________)
类型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则
例1 如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.
(1) (2)
反思与感悟向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”． (2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的． (2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．跟踪训练1 如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量． (1)OA →＋OC →＝________；(2)BC →＋FE →
＝________； (3)OA →＋FE →
＝________.
类型二向量加法运算律的应用例2 化简：
(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →.
反思与感悟 (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．
(2)向量求和的多边形法则：A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特別地，当A n 和A 1重合时，A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→
＋…＋A n －1A 1＝0.
跟踪训练2 已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →
|＝________. 类型三向量加法的实际应用
例3 在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
引申探究
1．若本例中条件不变，则经过1 h ，该船的实际航程是多少？
2．若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值．
反思与感悟向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图像是解题关键．
跟踪训练3 如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)
1.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →
等于( ) A ．0 B.BE → C.AD →
D.CF →
2.如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中错误的是( ) A.FD →＋DA →＋DE →＝0 B.AD →＋BE →＋CF →＝0
C.FD →＋DE →＋AD →＝AB →
D.AD →＋EC →＋FD →＝BD →
3．(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →
等于( ) A.BC → B.AB → C.AC →
D.AM →
4.如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →
，则四边形为( ) A ．矩形 B ．正方形 C ．平行四边形 D ．菱形
5．小船以10 3 km/h 的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h ，则小船的实际航行速度的大小为________km/h.
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
3．在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.
答案精析
问题导学知识点一
思考1 后面的一次位移叫作前面两次位移的合位移，四边形OACB 的对角线OC → 表示的力是OA →
与OB →
表示的力的合力．体现了向量的加法运算．思考2 三角形法则和平行四边形法则．梳理 (1)两个向量和 (2)a ＋b AC → AC →
知识点二
思考1 交换律和结合律．
思考2 ∵AC →＝AB →＋BC →，∴AC →
＝a ＋b . ∵AC →＝AD →＋DC →，∴AC →
＝b ＋a . ∴a ＋b ＝b ＋a . 思考3 ∵AD →＝AC →＋CD →
＝(AB →＋BC →)＋CD →， ∴AD →
＝(a ＋b )＋c ，
又∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋(BC →＋CD →)， ∴AD →
＝a ＋(b ＋c )， ∴(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．梳理 b ＋a a ＋b b ＋c 题型探究
例1 解 (1)作法：在平面内任意取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →
＝a ＋b .
(2)在平面内任意取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，则OC →
＝a ＋b ＋c .
跟踪训练1 (1)OB → (2)AD →
(3)0 例2 解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →
. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →
＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝AC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝AD →＋DF →＋FA → ＝AF →＋FA →
＝0. 跟踪训练2 2 2
例3 解作出图形，如图所示．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形．在Rt△ACD 中，
|CD →|＝|AB →
|＝|v 水|＝10 m/min ， |AD →
|＝|v 船|＝20 m/min ， ∴cos α＝|CD →|
|A D →|
＝1020＝1
2，
∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． ∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进．引申探究
1．解由例3知v 船＝20 m/min ，
v 实际＝20×sin 60°＝103(m/min)，
故该船1 h 行驶的航程为103×60 ＝6003(m)＝33
5
(km)．
2．解如图，作平行四边形ABDC ，
则AD →
＝v 实际，设船实际航向与岸方向的夹角为α，则tan α＝|BD →
||AB →|
＝20
10＝2.
即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.
跟踪训练3 解如图所示，设CE →，CF →
分别表示A ，B 所受的力，10
N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →
. 易得∠ECG ＝180°－150°＝30°， ∠FCG ＝180°－120°＝60°， ∴|CE →|＝|CG →
|cos 30° ＝10×
3
2
＝53(N)， |CF →|＝|CG →
|cos 60°＝10×12
＝5(N)．
∴A 处所受的力为5 3 N ，B 处所受的力为5 N. 当堂训练
1．D 2.D 3.C 4.C 5.20。