不等式知识点归纳(供参考)
第三章 不等式
3.1、不等关系与不等式
1、不等式的基本性质
①(对称性)a b b a >?>
②(传递性),a b b c a c >>?>
③(可加性)a b a c b c >?+>+
(同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>,
(异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>,
④(可积性)bc ac c b a >?>>0,
⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?>
(异向正数可除性)0,0a b a b c d c d
>><>
⑥(平方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)
0,1)a b n N n >>∈>且
⑧(倒数法则)b
a b a b a b a 110;110>?<<
>> 2、几个重要不等式 ①()22
2a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22
.2a b ab +≤
②(基本不等式) 2
a b +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号).
变形公式: a b +≥ 2.2a b ab +??≤ ???
(也可用柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+)
用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
③(三个正数的算术—几何平均不等式)3
a b c ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号).
④()222
a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号).
⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>
(当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b
>+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b
<+≤-若则(当仅当a=b 时取等号)
⑦b
a n
b n a m a m b a b <++<<++<1 其中(000)a b m n >>>>,,
规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式
①平均不等式:1122a b a b --+≤≤≤+()a b R +
∈,,(当且仅当a b =时取""=号). (即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均).
变形公式: ②幂平均不等式:
③二维形式的三角不等式:
④二维形式的柯西不等式: 22222
()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时,等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式:
⑥一般形式的柯西不等式:2222221212(...)(...)
n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++
⑦向量形式的柯西不等式: 设,αβ是两个向量,则,αβαβ?≤当且仅当β是零向量,或存在实数k ,使k αβ=时,等号成立.
⑧排序不等式(排序原理):设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列,则12111122......n n n n n
a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++(反序和≤乱序和≤顺序和)
当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时,反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数)
若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有
则称f(x)为凸(或凹)函数.
4、不等式证明的几种常用方法