第十六讲--图形的平移和旋转讲义

第十六讲图形的平移和旋转

一、课标下复习指南

(一)平移变换

1．平移的概念

平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移．

注：平移变换的两个要素：移动的方向和距离．

2．平移的性质

(1)平移前后的图形全等；

(2)对应线段平行(或共线)且相等；

(3)对应点所连的线段平行(或共线)且相等．

3．平移变换的作图

如图16－1所示，将△ABC平移至△A′B′C′，则有AA′∥BB′，且AA′＝BB′；BB′与CC′共线，且BB′＝CC′．

图16－1

说明我们可以根据平移的方向和距离作出平移后的图形；反之，可以根据平移前后的图形，得知平移的方向和距离．

4．用坐标表示平移

(1)点(x，y)点(x＋a，y)或(x－a，y)；

(2)点(x，y)(x，y＋b)或(x，y－b)．

(二)轴对称变换

1．轴对称的概念

把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称或轴对称．这条直线就是对称轴．两个图形中的对应点(即两图形重合时互相重合的点)叫做对称点．

2．轴对称的性质

(1)关于某条直线对称的两个图形全等；

(2)对称点所连的线段被对称轴垂直平分；

(3)对应线段所在直线若相交，则交点在对称轴上．

3．轴对称变换的作图

如图16－2，若△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则有△ABC≌△A′B′C′；AA′，BB′，CC′都被直线l垂直平分．

图16－2

说明我们可以根据对称轴作出一个图形的轴对称图形；反之，可以根据两个成轴对称关系的图形，得出对称轴．

4．轴对称图形

如果把一个图形沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴．

注：一个图形的对称轴可以有1条，也可以有多条．

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6．用坐标表示轴对称

点(x，y)关于x轴对称的点为(x，－y)；

点(x，y)关于y轴对称的点为(－x，y)；

点(x，y)关于直线y＝x对称的点为(y，x)；

点(x，y)关于直线y＝－x对称的点为(－y，－x)；

*点(x，y)关于直线x＝m对称的点为(2m－x，y)；

*点(x，y)关于直线y＝n对称的点为(x，2n－y)．

(三)旋转变换

1．旋转的概念

在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向(逆时针或顺时针)转动一定的角度，这样的图形变换叫做旋转．这个定点O叫做旋转中心，转动的角称为旋转角．注：旋转变换的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角．

2．旋转的性质

(1)旋转前后的图形全等；

(2)对应点到旋转中心的距离相等(意味着：即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上)；

(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

*(4)对应线段所在直线的夹角等于旋转角．

3．旋转变换的作图

(1)明确旋转中心、旋转方向和旋转角，找出能确定原图形的关键点；

(2)将能确定原图形的关键点(多边形一般为每个顶点)与旋转中心连接，并将线段按要求进行旋转，得到这些关键点的对应点；

(3)按原图形顶点的顺序顺次连接这些对应点，得到旋转后的图形．

说明根据旋转前后的图形可以确定旋转中心、旋转方向和旋转角．

*4．旋转对称图形

如果某图形绕着某一定点转动一定角度(小于360°)后能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形．

5．中心对称

把一个图形绕着某个定点旋转180°，如果它能和另一个图形重合，那么这两个图形关于这个定点对称或中心对称．这个定点叫做对称中心，两个图形中对应点叫做关于对称中心的对称点．

6．中心对称的性质

中心对称是一种特殊的旋转，因此它具有旋转的一切性质．另外，它还有自己特殊的性质：

(1)对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，即对称中心是两个对称点所连线段的中点；

(2)对应线段平行或共线．

7．中心对称的作图

如图16－3，若△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，则对称中心O是线段AA′、BB′、CC′共同的中点，且AB∥A′B′，AB＝A′B′，BC∥B′C′，BC＝B′C′，CA∥C′A′，CA＝C′A′．

图16－3

说明我们可以根据对称中心作出一个图形的中心对称图形；反之，可以根据两个成中心对称关系的图形，得出对称中心．

8．中心对称图形

一个图形绕着一个定点旋转180°后能与自身重合，这种图形称为中心对称图形．这个定点叫做该图形的对称中心．

*中心对称图形是一个特殊的旋转对称图形(旋转角等于180°)．

9．中心对称与中心对称图形的区别与联系

区别联系

中心对称

中心对称

是指两个图形

的对称关系

把中心对称的两个

图形看成一个(整体)图

形，则称为中心对称图

形；把中心对称图形的

互相对称的两个部分看

成两个图形，则它们成

中心对称

中心对称图形

中心对称图形是指具有某种对称特性的一个图形

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点(x，y)关于原点对称的点的坐标为(－x，－y)．

二、例题分析

例1 在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴的负半轴，y轴的负半轴上，且OA＝2，OB＝1．将△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的图形沿x轴正方向平移1个单位长度，得到△CDO．

(1)在坐标系中，分别画出△AOB和△COD，并写出点A，C的坐标；

(2)求点A和点C之间的距离；

(3)求点A到点C所经过的路线的长度．

解(1)所画出的△AOB和△COD如图16－4所示，点A的坐标是(－2，0)，点C的坐标