错位排列和禁位排列

错位排列和禁位排列

1.问题提出

（1）某省决定对所辖8个城市的党政一把手进行任职交流，要求把每个干部都调到另一个城市去担任相应的职务，问共有多少种不同的干部调配方案？

（2）有5个客人参加宴会，他们把衣帽寄放在室内，宴会后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现，他们戴了别人的帽子，问5个客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？

上述两个问题，实质上是同一种类型的问题，被著名数学家欧拉（LeonardEuler ，1707—1783）称为“组合数论”的一个妙题的“装错信封问题”的两个特例。“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰•伯努利（JohnBernoulli ，1667—1748）的儿子丹尼尔•伯努利（DanidBernoulli ，1700—1782）提出来的，大意如下：一个人写了n 封不同的信及相应的n 个不同的信封，他把这n 封信都装错了信封。问全部装错了信封的装法有几种？

2.错位排列和禁位排列

1）错位排列：n 个相异元素中()m m n ≤个元素12,,,m i i i a a a ⋅⋅⋅，其中()1,2,,k i a k m =⋅⋅⋅不在第

()1,2,,k i k m =⋅⋅⋅个位置（一下简称其为k i a 的本位），而其他n m -个元素中的任何一个都在原来的位置（本

位）的排列。如果n 个元素都不在本位，称为全错位排列。

2）禁位排列（一个元素禁止排在一个位置）：n 个相异元素中()m m n ≤个元素12,,,m i i i a a a ⋅⋅⋅，其中

()1,2,,k i a k m =⋅⋅⋅不能排在第()1,2,,k j k m =⋅⋅⋅个位置的排列。

3）两者的区别在于：错位排列中除这m 个元素之外的其他n m -个元素都在本位，即这m 个元素只能在m 个位置12,,,m i i i ⋅⋅⋅中排列，且不出现()1,2,,k i a k m =⋅⋅⋅在k i 位的情况；而禁位排列中只限制m 个元素不在本位，因此()1,2,,k i a k m =⋅⋅⋅可以排在1,2,,n ⋅⋅⋅中除k i 之外的任何位置。

3.禁位排列与全错位排列的种数

1）禁位排列数：

求禁位排列数，只需从n 个元素的全排列中除去指定元素占本位的排列即可，其中有1个元素占本位的排列数是1

1

1n m n C P --，有两个元素占本位的排列数是2

1

1n m n C P --，……，n 个元素占本位的排列数是m

n m

m n m C P --. 记错位排列和禁位排列的排列数分别为,m

m

n n D E ，用n D 表示n 个元素全错位排列。则由容斥原理有：

【禁位排列公式】()()()()0

1

2

121m

m

m

n m m m m E C n C n C n C n m =--+--⋅⋅⋅+--！！！！

【证明】①当0m =时，等式左边为0n E ，表示n 个元素没有限制，所以有n

n P n =！，

等式右边本应该有1m +项，当0m =时，只有1项，就是0

0C n n =！！.等式成立；

②假设()0

1k

i

k

i n i n

k n i i E C P --==

-∑；

③那么当1m k =+时，设第1k +个元素为a ，则前k 个元素不占本位而a 占本位的排列数为：

11

k k k n

n n E

E E

+-=-()()1

10

11k

k

i

i

i n i i n i k

n i

k n i i i C P

C P ------===---∑∑， ()(

)()

()(

)

1

011220112

1

12121

111k

k k

n n n k n k n n k n k k n k k n k n k n k n k k n k n k n k k n k C P C P C P C P C P C P C P C P -----------------=-+-⋅⋅⋅+---+⋅⋅⋅+-+-()()()1

011

11

11k

i

k n

i i n i

k n k k n

k k n i k n k i C P C C P C P +-------==+-++-∑

()()1

01111111

11k

i k n

i n i

k n k k n

k n i k n k i C P C P C P +-+--++-+--==+-+-∑

()1

10

1k i

i n i k n i i C P +-+-==-∑

因此对于0m n ≤≤时，公式1均成立。

【例1】5个人站成一排，其中甲不站排头，乙不站排尾，共有多少种不同的站法。 【解】由公式得：2

5

1

4

2

3

525242378E C P C P C P =-+=

【例2】6个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法。 【解】由公式得：3

6

1

5

2

4

3

3

636353433426E C P C P C P C P =-+-=

【变式1】用0,1,2,3,4这5个数字，组成没有重复数字的5位数，百位上不排3，一共有多少种排法？ 【变式2】在由1,2,3,5,9组成的没有重复数字的五位数中，共有多少个小于60000的奇数？

2）全错为排列数：

全错为排列就是n 个元素，全不排在本位，实际上就是禁位排列中，当m n =的情况，因此：

【全错位排列公式】()()()0

1

2

1210n

n

n

n n n n n n D E C n C n C n C ==--+--⋅⋅⋅+-！！！！.

另一种写法：()()01111111123i

n

n

n i D n n n i =-⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⋅=⋅⎢⎥⎣⎦

∑！！！！！！！. 【例3】寝室四个人每人写一张贺卡，然后互相交换，每个人不拿到自己的卡片，一共有多少种可能？ 【解】由公式得：0

4

1

3

2

2

3

1

4

444434241409D C P C P C P C P C P =-+-+=；

用另外一个公式得：411114191234D ⎡⎤

=-

+-+=⎢⎥⎣⎦

！！！！！. 【例4】有来自,,,,A B C D E 五国的乒乓球裁判员各两名，执行某国际大赛的1,2,3,4,5号场地的乒乓球

裁判工作，每个场地由2个来自不同国家的裁判组成，不同的安排方案共有多少种？

【解】相当于把10个人分成两组，每组5人，但是这5个人必须是分别来自,,,,A B C D E 五国，由于是平