全错位排列

全错位排列与多个特殊元素特殊位置

（C ．T ）

T 2=1，T 3=2，T n = (n -1) ( T n -1+T n -2) ，（n ≥3）( T n 为全错位排列数)

错位排列问题

题一 4名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有 种.

题二 将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同，则共有 种不同的放法.

这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题（所有元素均为特殊元素）.

题三 五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不

同的坐法有 种.

题三可以分类解决：第一类，所有同学都不坐自己原来的位置；

第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置； 第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置.

对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题；

对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题， 我们称这种排列问题为部分错位排列问题. (多个特殊元素，多个特殊位置) 部分错位排列(多个特殊元素，多个特殊位置)

例1：5个人站成一排，其中甲不站第一位，共有多少种不同的站法。 解一：（特殊元素特殊位置优先处理）第一步：安排甲这特殊元素，有14C 种；

第二步：安排其他人，其余的四个人（元素），不受限制，故有44A 种站法。由分步乘法原理

得14C 44A =96种站法。

解二：（排除法）先考虑5个人的全排列，有55A 种不同的排法，然后除去甲排第一（有44A 种）

这样得到共有：55A －44A ＝96种。

例2：5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。 解一：（特殊元素特殊位置优先处理） 分析：有两个特殊元素，分类讨论，减少限制条件。 第一类：甲站在第二位，则其他的四人（含乙），不受限制，有44A 种站法。

第二类：第一步安排特殊元素甲，甲不站在第二位，则甲也不能站在第一位，故甲的站法有

13C 种；第二步安排乙，乙不站第二位，也不能选择甲以经站的一个位置，故乙的站法有13C 种；

第三步安排其他人，其余的三个人（元素），不受限制，故有33A 种站法。由分步乘法原理得

13C 13C 33A 种站法。 由分类加法原理得44A +13C 13C 33A =78种。

解二：（排除法）先考虑5个人的全排列，有55A 种不同的排法，然后除去甲排第一（有44A 种）与乙排第二（也有44A 种）

，但两种情况又有重复部分，因此多减了一部分，必须加上多减部分，这样得到共有：55A －244A ＋33A ＝78种。

例3：5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第三位，丙不站第五位，共有多少种不同的站法。

【分析】三个特殊元素，三个特殊位置，还是可以选择分类讨论，减少限制条件，但分类的次数比较多，一不小心，很容易会有遗漏，和重复。当特殊元素多于两个的时候，建议用排除法。

先考虑5个人的全排列，有55A 种不同的排法，然后除去甲排第一位（有44A 种）

，乙排第三为（也有44A 种），丙排第五位（也有44A 种），故55A －344A

但三种情况又有重复部分，重复部分有23

3

3C A ，重复部分为多减了一部分，必须加上多减部分，所以55A －344A +23

33C A ；

又加上多减的部分还有可能是甲排第一位，乙排第三位，丙排第五位这种可能，故还得减去

3232C A ，这样得到共有：55A －344A +2333C A —3232C A =64种。

2.全错位排列（所有元素都是特殊元素）

例4：5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法。

【分析】仿照以上解法，我们有51423324150555453525150D A C A C A C A C A C A 44=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=

故5人的全错位排列方式共有44种。

归纳：n 个元素中有k 个特殊元素，排列数为n T ,有容斥原理的k

m m n m n k n m m 0T (1)C A --==-∑

研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

m 123m i

i j i j k 123m 1i m

1i j m 1i j k m

|A A A A ||A ||A A ||A A A |(1)|A A A A |≤≤≤<≤≤<<≤=

-+

++-∑∑

∑

证明：？

如果 n 个元素中有n 个特殊元素，全错位排列数为n T ,由容斥原理的n

n m n m

n n n m

m 0

T (1)C A --==-∑ 全错位排列数的一个递推关系式:

T 2=1，T 3=2，T n = (n -1) ( T n -1+T n -2) ，（n ≥3）( T n 为全错位排列数)

解析如下：

一般地，设n 个编号为1、2、3、… 、i 、…、j 、…、n 的不同元素a 1、a 2、a 3、…、a i 、…、a j 、…、a n ，排在一排，且每个元素均不排在与其编号相同的位置.

显然对于n =1，2时有T 1=0，T 2=1.

当n ≥3时，在n 个不同元素中任取一个元素a i 不排在与其编号相对应的i 位，必排在剩下n -1 个位置之一，所以a i 有n -1 种排法.

对a i 每一种排法，如a i 排在 j 位，对应j 位的元素a j 的排位总有两种情况： 第一种情况：a j 恰好排在i 位上，如表（1）

表（1）

此时，a i 排在j 位，a j 排在i 位，元素a i ，a j 排位已定，还剩 n -2个元素，每个元素均有一个不能排的位置，它们的排位问题就转化为n -2 个元素全错位排列数，应有 T n -2种；

第二种情况：a j 不排在i 位上，如表（2）

表（2）

此时，a i 仍排在j 位，a j 不排在i 位，则a j 有n -1个位置可排，除a i 外，还有n -1个元素，每个元素均有一个不能排的位置，问题就转化为n -1个元素全错位排列，排列数为T n -1，由乘法原理和加法原理可得：T n =(n -1)(T n -1+T n -2) ，（n ≥3）.

题三：五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有 种.

题三可以分类解决：

第一类，所有同学都不坐自己原来的位置； 第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置； 第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置.

对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题；对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题，我们称这种排列问题为部分错位排列问题.

设n 个元素全错位排列的排列数为T n ，则对于题三，第一类排列数为T 5，第二类先确定一个排原来位置的同学有5种可能，其余四个同学全错位排列，所以第二类的排列数为

5T 4，第三类先确定两个排原位的同学，有2

5C =10种，所以第三类的排列数为10T 3，因此题

三的答案为：T 5+5T 4+10T 3.