全装错信问题即全错位排列问题及拓展

全装错信问题即全错位排列问题及拓展
——龙城老欧全装错信问题又称全错位排列问题，最早由瑞士数学家伯努利提出，最后由伯努利与他的学生欧拉讨论解决，这个问题就是——
我们将编号是1、2、…、n的n封信，装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信都和信封的编号不同，即1不能装进1，2不能装进2，3不能装进3……问有多少种装法？
看到这个问题时，我们的第一反应就是退到简单处入手研究，如果只有一封信，2封信，3封信，4封信，……，然后从中再思考，之间是否有共性，是否有关联，共性用归纳，关联构成递推，或者其他。

〖解法〗
容易知道：a[1]=0,a[2]=1，a[3]=2，a[4]=6;
依我们设a[i]为i封信的全错位排列数据递归推理那么有
a[i]=(a[i-1]+a[i-2])×(i-1)， (i>=3)。

为什么？为什么？为什么？大多数人看不明白。

不急，尽量先自己思考，不行的话，听我来解释：
思考1：对于插入第i个元素，只可能有两种情况：
第一种情况:插入第i个元素时，前i-1个已经错位排好，则选择其中任意一个与第i个互换一定满足要求,选择方法共i-1种，前i-1位错排f[i-1]种，记f[i-1]*(i-1),如下图：
第二种情况:插入第i个元素时，前i-1个中恰有一个元素恰好在自己的位置上，即恰好只有一个元素不满足错位排列，其他i-2个错位排好，则将i与j交换，j在i-2位中的插入共i-1种，前i-2位错排a[i-2]种，记f[i-2]*(i-1)，如下图：
以上两种情况求和可得: a[i]=(a[i-1]+a[i-2])×(i-1) (i>=3)
我们还可以这样思考：
思考2：有(i-1)个人已经都坐在在自己的板凳上了，现在第i个人张三带着自己的板凳来了，下面我们来对这i个人进行全错位排排坐，
方法1：前面(i-1)个人中的某一个带着板凳出来与第i个人张三互换板凳坐（有（i-1）种方法），其它(i-2)个人进行全错位排列（有a[i-2]种方法），这样就整体上都是全错位；
方法2：第i 个人张三走进去与将(i-1)个人中的某一个人换出来（i-1种方法），换出来的人（不妨称是李四）坐张三的板凳，换出来的李四的板凳看作张三的新板凳，这样又面临了(i-1)个元素进行全错位排列问题（a[i-2]种方法），这样就整体上也都是全错位了。

两种方法合起来求和可得i 个元素进行全错位排列数:
a[i]=(a[i-1]+a[i-2])×(i-1) (i>=3) ， a[1]=0,a[2]=1， 这样就可以源源不断地求任意i 个元素的全排列数了。

那么能不能建立a[i]关于i 的函数呢？这有点难，但也是可行的！ 通项公式研究：
这样我们就得到通项公式了！
这个太难了！换个“平易近人”的形式给你：
n （n 至少比1大）个元素全部错位的排列数1111()![(1)]2!3!4!!n f n n n =⨯-+-+-
〖拓展〗 进一步研究一个新问题：
n 封信装入n 个信封，其中恰有m （m 小于n ，比1大）封信装错的情况数为f(n,m) 这样就得到一个部分错位排列问题公式：
1111(,)()![(1)]2!3!4!!m m n n n f n m C f m C m m ==-+-+-
这个很容易理解，先把信全部放对，再分两步思考，第一步，选出m 封信，第二步将这m 封信信全部装错，乘法原理问题得解。

学会了吗？尝试练习一下吧！
练习一
1、将8封信装入8个信封，信全部装错的情况有多少种？
2、编号为1-7的7位同学去抢编号为1-7的7张椅子坐，每个人坐的椅子与自己的编号都不相同的情况有多少种？
3、9对夫妻参加舞会，在跳交谊舞时（男女搭配，全部参加）跳舞双方都不是夫妻档的情况有多少种？
练习二
1、将8封信随机装入8个写好的信封，恰有2封信装对的情况有多少种？
2、编号为1-7的7为同学去抢编号为1-7的7张椅子坐，恰有3个人的编号与椅子的编号相同的情况有多少种？
3、9对夫妻参加舞会，在跳交谊舞时（男女搭配，全部参加），在场恰好有3对夫妻搭档跳舞的情况有多少种？。