全错位排列递推公式的简易推导(齐麟-晋级)

关于全错位问题的结论

关于“全错位问题”的一个重要结论一般地，我们把“1”不放在第一位，“2”不放在第二位，“3”不放在第三位……。

“n ”不放在第n 位，称为“全错位问题”。

在全错位问题中，如果一共有n 个元素，我们用f(n)表示全错位问题的排法种数。

则可得一个重要结论：f(n)=nf(n-1)+(-1)n ,(n ≧2) * 例如：n=1时，显然f(1)=0 n=2时共1种情况而f(2)=2f(1)+(-1)2=1 符合*式 n=3时或共2种情况而f(3)=3f(2)+(-1)3 =3×1-1=2 符合*式n=4时，举例：用1、2、3、4这四个数字组成无重复数字的四位数，1不在个位，2不在十位，3不在百位，4不在千位，共有多少种排法？列举如下：共9种排法而f(4)=4f(3)+(-1)4=4×2+1=9符合*式同理可验证：F(5)=5f(4)+(-1)5=44成立……下面给予一般性证明f(n)=nf(n-1)+(-1)n ,(n≧2)1.当n=2时，f(3)=1，f(3)=3f(2)-1=2，等式成立，当n=3时，f(3)=2，f(4)=4f(3)+1=9，等式成立；2.假设n≤k （k≧3）等式成立，即k个元素a1、a2、a3……a k全错位排序的方法数的递推关系为f(k)=kf(k-1)+(-1)k，则当n=k+1时，设全错位排序的元素为a1、a2、a3……a k、a k+1。

在k个元素全错位排序的基础上，k+1个元素全错位排序后，它们全错位排序的方法分为两类，（1）a k+1与a i（i=1、2、……k）互调位置，其余元素全错位排列，方法数为kf(k-1)；（2）a k+1在a i的位置上，但a i（i=1、2、……k）不在a k+1的位置上，相当于a k+1将的每一个全错位排列的元素置换一遍，由假设知a1、a2、a3……a k全错位排序的方法数为f(k)，得该类全错位排序的方法数为k f(k).故f(k+1)=k f(k)+kf(k-1),由假设f(k)=kf(k-1)+(-1)k，∴f(k+1)=k f(k)+kf(k-1)=k f(k)+f(k)-(-1)k=（k+1）f(k)+(-1)k+1.即当n=k+1时，等式也成立.所以，n个元素全错位排列的方法数的递推关系为f(n)=nf(n-1)+(-1)n (n≧2).下面举例说明*式的应用例1.同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则4张贺卡不同的分配方式有______种?[解]此题属于4个元素的全错位问题由f(n)=nf(n-1)+（-1）3得f(4)=9故分配方式有9种例2．设编号为1、2、3、4、5的五个球及编号为1、2、3、4、5的五个盒子，一盒内放一球，恰有两个球的编号与盒子编号相同，则投放总数有多少？[解]“恰有两个球的编号与盒子编号相同”，等价于“恰有三个球的编号与盒子编号不同”。

公考行测全错位排列真题解析

公考行测：数量关系之“全错位排列”真题剖析作为排列组合试题的一种特殊类型，全错位排列在公考中也偶有出现。

因为较之其他题型来说，全错位排列的原理需要结合举例子递推出来，故考生朋友们理解起来有一定的困难。

在此京佳崔熙琳老师将考试中出现过的该类题型进行汇总，希望给各位考生提供一些帮助。

公考行测：数量关系之“全错位排列”经典真题剖析一、全错位排列递推公式的推导把编号从1到n的n个小球放到编号为从1到n的n个盒子里，假定每个盒子中的小球编号与盒子的编号不得一样(即：1号球不在1号盒，2号球不在2号盒，依次类推)，请问共有几种放法？用列举法进行公式的推导：图1通过图1可以发现，An与n存在如下的递推关系：An＝(An-2＋A n-1)×(n-1)(其中，n≥3，且A 1＝0，A 2＝1) 此递推公式可以产生一个全错位排列的结果数列：A1＝0；A2＝1；A3＝(A1＋A2)×(3-1)＝2；A4＝(A2＋A3)×(4-1)＝9；A5＝(A3＋A4)×(5-1)＝44；A6＝(A4＋A5)×(6-1)＝265..................。

.考生在遇到全错位排列试题时候只需要按照上述递推公式进行简单推导即可求出结果。

二、真题解析例1：(2011年浙江省考真题55题)四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。

现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜。

问共有几种不同的尝法？A.6种B.9种C.12种D.15种【答案与解析】B。

此题为全错位排列试题。

根据全错位排列公式“An＝(An-2＋A n-1)×(n-1)(其中，n≥3，且A 1＝0，A 2＝1)”，可知，当n＝4时，共有9种尝法。

例2：(2010年某省考试真题)五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？A.5B. 10C. 15D. 20【答案与解析】D。

做此类题目时通常分为两步：第一步，从五个瓶子中选出三个，共有C(3，5)＝10种选法；第二步，将三个瓶子全部贴错，根据上表有2种贴法。

全错位排列公式

全错位排列先看下面例子：例1． 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。

这个问题在高中很多参考书上都有，有几种解法，其中一种解法是用排除法：先考虑5个全排列，有55A 种不同的排法，然后除去甲排在第一（有44A 种）与乙排第二（也有44A 种），但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部分，这样得到共有：543543278A A A -+=种。

现在考虑：例2．5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法。

仿上分析可得：543254323364A A A A -+-=种这与全错位排列很相似。

全错位排列——即n 个元素全部都不在相应位置的排列。

看下面的问题例3．5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法。

解析：上面例1，例2实际上可以看成n 个不同元素中有()m m n ≤不排在相应位置。

公式一：n 个不同元素排成一排，有m 个元素()m n ≤不排在相应位置的排列种数共有：()1122121mn n n m n m n m n m n m n m A C A C A C A -------+++-种这个公式在n m =时亦成立，从而这个问题可能用上面的公式得出：514233241505545352515044A C A C A C A C A C A -+-+-=种（注意0000!1n C A ===）（1993年高考）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来。

然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。

则四张贺年卡不同的分配方式有(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种解析：由上面公式得： 4132231404434241409A C A C A C A C A -+-+=种，∴选择B 答案因此可得到全错位排列的公式：n 个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n 个元素不在第n 位的排列数为： ()1122121nn n n n n n n n n n n n n n A C A C A C A -------+++- 这实际上是公式一的特殊情况。

关于全错位问题的结论

关于“全错位问题”的一个重要结论一般地，我们把“1”不放在第一位，“2”不放在第二位，“3”不放在第三位……。

“n ”不放在第n 位，称为“全错位问题”。

在全错位问题中，如果一共有n 个元素，我们用f(n)表示全错位问题的排法种数。

则可得一个重要结论：f(n)=nf(n-1)+(-1)n ,(n ≧2) * 例如：n=1时，显然f(1)=0 n=2时共1种情况而f(2)=2f(1)+(-1)2=1 符合*式 n=3时或共2种情况而f(3)=3f(2)+(-1)3 =3×1-1=2 符合*式n=4时，举例：用1、2、3、4这四个数字组成无重复数字的四位数，1不在个位，2不在十位，3不在百位，4不在千位，共有多少种排法？列举如下：共9种排法而f(4)=4f(3)+(-1)4=4×2+1=9符合*式同理可验证：F(5)=5f(4)+(-1)5=44成立……下面给予一般性证明f(n)=nf(n-1)+(-1)n ,(n≧2)1.当n=2时，f(3)=1，f(3)=3f(2)-1=2，等式成立，当n=3时，f(3)=2，f(4)=4f(3)+1=9，等式成立；2.假设n≤k （k≧3）等式成立，即k个元素a1、a2、a3……a k全错位排序的方法数的递推关系为f(k)=kf(k-1)+(-1)k，则当n=k+1时，设全错位排序的元素为a1、a2、a3……a k、a k+1。

在k个元素全错位排序的基础上，k+1个元素全错位排序后，它们全错位排序的方法分为两类，（1）a k+1与a i（i=1、2、……k）互调位置，其余元素全错位排列，方法数为kf(k-1)；（2）a k+1在a i的位置上，但a i（i=1、2、……k）不在a k+1的位置上，相当于a k+1将的每一个全错位排列的元素置换一遍，由假设知a1、a2、a3……a k全错位排序的方法数为f(k)，得该类全错位排序的方法数为k f(k).故f(k+1)=k f(k)+kf(k-1),由假设f(k)=kf(k-1)+(-1)k，∴f(k+1)=k f(k)+kf(k-1)=k f(k)+f(k)-(-1)k=（k+1）f(k)+(-1)k+1.即当n=k+1时，等式也成立.所以，n个元素全错位排列的方法数的递推关系为f(n)=nf(n-1)+(-1)n (n≧2).下面举例说明*式的应用例1.同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则4张贺卡不同的分配方式有______种?[解]此题属于4个元素的全错位问题由f(n)=nf(n-1)+（-1）3得f(4)=9故分配方式有9种例2．设编号为1、2、3、4、5的五个球及编号为1、2、3、4、5的五个盒子，一盒内放一球，恰有两个球的编号与盒子编号相同，则投放总数有多少？[解]“恰有两个球的编号与盒子编号相同”，等价于“恰有三个球的编号与盒子编号不同”。

组合数学-全错位排序公式

组合数学-全错位排序公式不容易系列之⼀Problem Description⼤家常常感慨，要做好⼀件事情真的不容易，确实，失败⽐成功容易多了！做好“⼀件”事情尚且不易，若想永远成功⽽总从不失败，那更是难上加难了，就像花钱总是⽐挣钱容易的道理⼀样。

话虽这样说，我还是要告诉⼤家，要想失败到⼀定程度也是不容易的。

⽐如，我⾼中的时候，就有⼀个神奇的⼥⽣，在英语考试的时候，竟然把40个单项选择题全部做错了！⼤家都学过概率论，应该知道出现这种情况的概率，所以⾄今我都觉得这是⼀件神奇的事情。

如果套⽤⼀句经典的评语，我们可以这样总结：⼀个⼈做错⼀道选择题并不难，难的是全部做错，⼀个不对。

不幸的是，这种⼩概率事件⼜发⽣了，⽽且就在我们⾝边：事情是这样的——HDU有个⽹名叫做8006的男性同学，结交⽹友⽆数，最近该同学玩起了浪漫，同时给n个⽹友每⼈写了⼀封信，这都没什么，要命的是，他竟然把所有的信都装错了信封！注意了，是全部装错哟！现在的问题是：请⼤家帮可怜的8006同学计算⼀下，⼀共有多少种可能的错误⽅式呢？Input输⼊数据包含多个多个测试实例，每个测试实例占⽤⼀⾏，每⾏包含⼀个正整数n（1<n<=20），n表⽰8006的⽹友的⼈数。

Output对于每⾏输⼊请输出可能的错误⽅式的数量，每个实例的输出占⽤⼀⾏。

Sample Input2 3Sample Output1 2AuthorlcyMean:略analyse:就是错排公式的简单运⽤。

下⾯来了解⼀下错排公式。

所谓错排就是全错位排序公式，即被著名数学家欧拉(Leonhard Euler，1707－1783)称为组合数论的⼀个妙题的“装错信封问题”，他求解这样的问题:⼀个⼈写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？递推公式：f(n)=(n-1) * {f(n-1)+f(n-2)}Time complexity：O(n)Source code：// Memory Time// 1347K 0MS// by : Snarl_jsb// 2014-09-15-21.27#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<iostream>#include<vector>#include<queue>#include<stack>#include<map>#include<string>#include<climits>#include<cmath>#define N 1000010#define LL long longusing namespace std;long long a[N];void cuopai(long long n) //// Formula : f(n)=(n-1)*{f(n-1)+f(n-2)} ;{a[1]=0,a[2]=1;for(long long i=3;i<=n;i++){a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);}}int main(){// freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cin.cpp","r",stdin);// freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cout.cpp","w",stdout); cuopai(30);int n;while(cin>>n){cout<<a[n]<<endl;}return 0;}。

全错位排列公式

全错位排列先看下面例子：例1． 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。

这个问题在高中很多参考书上都有，有几种解法，其中一种解法是用排除法：先考虑5个全排列，有55A 种不同的排法，然后除去甲排在第一（有44A 种）与乙排第二（也有44A 种），但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部分，这样得到共有：543543278A A A -+=种。

现在考虑：例2．5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法。

仿上分析可得：543254323364A A A A -+-=种这与全错位排列很相似。

全错位排列——即n 个元素全部都不在相应位置的排列。

看下面的问题例3．5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法。

解析：上面例1，例2实际上可以看成n 个不同元素中有()m m n ≤不排在相应位置。

公式一：n 个不同元素排成一排，有m 个元素()m n ≤不排在相应位置的排列种数共有：()1122121mn n n m n m n m n m n m n m A C A C A C A -------+++-种这个公式在n m =时亦成立，从而这个问题可能用上面的公式得出：514233241505545352515044A C A C A C A C A C A -+-+-=种（注意0000!1n C A ===）（1993年高考）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来。

然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。

则四张贺年卡不同的分配方式有(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种解析：由上面公式得： 4132231404434241409A C A C A C A C A -+-+=种，∴选择B 答案因此可得到全错位排列的公式：n 个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n 个元素不在第n 位的排列数为： ()1122121nn n n n n n n n n n n n n n A C A C A C A -------+++- 这实际上是公式一的特殊情况。

全错位排列数的求法

其对立事件“没有一个人抽到自己的礼物”的概率为
1 P( B1 B2 ... Bn ) 1 1
根据题意可以知道全错位的排列数为
1 1 1 1 ... (1) n 2! 3! 4! n!
n Dn An 1 P( B1 B2 ... Bn )
证明完毕。
参考文献
[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计.北京：高等教育出版社，2004 [2]曹汝成.组合数学.广州：华南理工大学出版社，2000 [3]张禾瑞，郝鈵新.高等代数.北京：高等教育出版社，1999
5
n 1 Ann11 Ann12 Ann13 ... (1)n1 An01 Ann22 Ann23 Ann24 ... (1)n2 An02
化简上式，我们可以得到：
4
1 1 1 1 n 1 上式 n 1 n 1 ! 2! 3! 4! ... (1) n 1! 1 1 1 1 n2 n 2 ! ... ( 1) 2! 3! 4! n 2 ! 1 1 1 1 n 1 n 1 ! n 1 2! 3! 4! ... (1) n 1! 1 1 1 1 n2 ... ( 1) 2! 3! 4! n 2 ! 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 n 1 n 1 !n 2! 3! 4! ... (1) n 1! 2! 3! 4! ... (1) n 1! 1 1 1 1 n2 ... ( 1) 2! 3! 4! n 2 ! 1 1 1 1 1 n 1 n 1 n 1 !n 2! 3! 4! ... (1) n 1! (1) n 1! 1 1 1 1 1 1 n n 1 ! ... (1) n 1 (1) n 2! 3! 4! n 1 ! n 1 ! n 1 1 1 1 n ! ... (1) n n ! 2! 3! 4! n n 1 n2 n 3 n4 0 An An An An An ... (1) n An

全错位排列

全错位排列先看下面例子：例15个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。

这个问题在高中很多参考书上都有，有几种解法，其中一解法是用排除法：先考虑5个有的全排列，有 A55种不同的排法，然后除去甲排第一(有 A44种)与乙排第二(也有A44种)，但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部分，这样得到共有：A55 — 2A44 + A33 = 78 种。

现在考虑：例2 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法。

仿上分析可得： A55 — 3A44 + 3A33 — A22 = 64种这与全错位排列很相似。

全错位排列一一即n 个元素全部都不在相应位置的排列。

看下面的问题例3 5个人站成一排，其中 A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位, E 不站第五位，共有多少种不同的站法。

解析：上面例1,例2实际上可以看成n 个不同元素中有 m ( men)不排在相应位置。

公式一：n 个不同元素排成一排，有m 个元素(m en)不排在相应位置的排列种数共有：从而这个问题可能用上面的公式得出：n 1n 2 n _2 A n -C m 入」C m 入之这个公式在n = m 时亦成立A55 — C(5,1)?A44 + C(5,2)?A33 — C(5,3)?A22 + C(5,4)?A11 — C(5,5)?A00 = 44 种(注意 A00 = 0! = 1)再看1993年高考题：同室四人各写一张贺年卡，先集中起来。

然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。

则四张贺年卡不同的分配方式有(A)6 种(B)9 种 (C)11 种 (D)23 种解析：由上面公式得：A44 — C(4,1)?A33 + C(4,2)?A22 — C(4,3)?A11 + C(4,4)?A00 = 9 种，.••选择 B 答案因此可得到全错位排列的公式：n 个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n 个元素不在第n 位的排列数为： n 1 n 4 2 A n -C^A n. C n *A 这个公式很有用，只要有特殊元素不站特殊位置的问题, 可以用这个公式很快得到解决，希望这个公式对大家有所帮助将n 个编号为1、2、3...n 的小球投入到编号为1、2、3...n 的n 个盒子中，其中第i 号球不投到第i 号盒子中(i = 1,2,3,...n )的投法数为全错排列问题.这个问题是由瑞士的数学家欧拉解决的，公式为：其中n >2on•C^A 这实际上是公式一的特殊情况。