大学物理实验-不确定度公式的计算
大学物理实验教学中关于实验数据的不确定度的计算和分析
大学物理实验教学中关于实验数据的不确定度的计算和分析作者：孙红章王翚苏向英来源：《教育教学论坛》2015年第35期摘要：本文首先讨论了大学物理实验教学中关于不确定理论中的直接测量量的A类、B类标准不确定度和合成不确定度以及间接测量量的不确定度的通常表示方法，随后推算出了几个基本物理实验中各个测量量不确定度的计算公式，对大学本科学生的物理实验教学具有指导意义。
关键词：大学物理实验教学;不确定度计算;固体密度测量;杨氏弹性模量测量;共轭法测凸透镜焦距中图分类号：G642 ; ; 文献标志码：A ; ; 文章编号：1674-9324（2015）35-0169-02现如今在大学物理实验教学中为了更加准确和精确的表示实验测量结果，常使用不确定度理论来表示实验测量结果。
[1，2]在大学物理实验教学中，不确定度的计算一直是一个难点，也是一个重点，许多本科学生因为不确定度的计算方法非常复杂，而且计算量很大，而放弃对实验数据的科学处理。
这里我们将阐述大学物理实验教学中不确定度的通常表示方法，并结合有关的基本物理实验，在课堂上用多媒体演示，使大学一年级学生很容易掌握不确定度的计算，取得了良好的教学效果。
一、不确定度理论的一般原理和计算方法[3，4]不确定度理论对于直接测量量把数据的不确定度根据数据的性质来分类，把符合正态分布统计规律的称之为A类标准不确定度，而不符合正态分布统计规律的称之为B类标准不确定度。
把两类不确定度的平方和的根称之为测量量的合成标准不确定度，或者简称为不确定度。
大学物理实验中物理量的直接测量量的平均值的标准偏差即为A类标准不确定度，它的计算公式为：t的大小与物理量的测量次数n和置信概率p有关系，置信概率p一般约定取值为68.3%，特殊情况下置信概率p取95.4%。
如果我们测量9次，置信概率取p=68.3%，那么置信因子取t=1.07。
如果我们测量5次，置信概率取p=68.3%，置信因子取t=1.14。
大学物理实验测量不确定度与数据处理方法
合成标准不确定度 ：测量结果由其他
量间接得出时，按其它量的的方差或胁
方差算出的标准不确定度。测量结果y
的合成标准不确定度记为uc ( y)，也可简 写为 uc 或 u( y)。
相对合成标准不确定度 ur ：合成标准
不确定度的相对值。
ur
u(y) y
二、直接测量量不确定度的（简化）评定
对物理量X做n次等精度测量
x x uc (x)（单位） （p=）
单次测量的不确定度用B类标准不
确定度( uB )来评定。
二、间接测量量标准不确定度的 （简化）评定
—— 不确定度的传递与合成
设间接测量y是由各互不相关的直接测
量量 x1, x2, x3,, xm 通过函数关系求得。
y f (x1, x2, x3,, xm)
L=4.253±0.851ｍ
L=4.2±0.8ｍ
m 56000 200(g)
m (5.60 0.02) 104 (g)
数据处理基本方法
列表法 作图法 最小二乘法
列表法
表名
半导体热敏电阻的电阻与温度的关系
温度 t (C )
20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0
电阻R ()
xLeabharlann n• 过失误差由于观测者未正确地使用仪器、观察
错误或记录错数据等不正常情况下
引起的误差。应将其剔除。
实 • 明确测量对象 验 要 • 选择合理的测量方法 求
• 正确地完成测量操作
• 正确处理测量数据
• 给出完整的测量结果
三、测量结果的完整表述
例： 固体密度测量结果
= 2.7271±0.0003（ g/cm） （ｐ=0.683）
大学物理实验_基础(二)
2 2 2
UN 1 ∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 EN = = U x + U y + Uz + L ∂y N N ∂x ∂z
有效数字的运算规则 几个运算原则： 几个运算原则：
有效数字与有效数字运算 = 有效数字 可疑数字与可疑数字运算 = 可疑数字 （进位数可视为可靠数） 进位数可视为可靠数） 可疑数字与可靠数字运算= 可疑数字与可靠数字运算 可疑数字 可靠数字与可靠数字运算 = 可靠数字
四．间接测量结果的有效数字——有效数字的运算 间接测量结果的有效数字 有效数字的运算 规则 减运算——计算结果的小数点后应保 1 ． 加 、 减运算 计算结果的小数点后应保 留的位数与所有参加运算中小数点后位数最少的那 个相同。 15. 372 个相同。例：41.8＋15.41－8.372＝ 41.
2
g = 9.76m/s2 如 g = 9.74500m/s , 取3位有效数字
2
g = 9.74m/s
2
六．测量结果最终由不确定度定位 方法： 方法：
分度值1 分度值1mm
0 1 2 3 4
L=3.25cm 3.25
三位
分度值1 分度值1cm
0 1 2 3 4
L=3.2cm 3.2
二位
5
10
15
20
15.2mm
5
15.0mm
10
15
20
二、关于有效数字的几点说明： 关于有效数字的几点说明：
（1）非测量值（如公式中的常数，实验次 非测量值（如公式中的常数， 数等）不是有效数字， 数等）不是有效数字，如π，e等不是有效 数字。 数字。 在测量数据中， （2）在测量数据中，左边第一位非零数字 之前的零不是有效数字， 之前的零不是有效数字，但数据中间和末 尾的零应算为有效数字。 尾的零应算为有效数字。 ），0.00201（三位）， 例：0.0021（二位）， （二位）， （三位）， 0.002010（四位） （四位）
大学物理实验误差不确定度教材
Δ 30 0.5% 0.2(mA) 仪
偶然误差的处理
偶然误差的特点：统计规律性
①小误差出现的概率大；大误差出现的概率小,具
有单峰性；
②正、负误差对称分布， 具有抵偿性。
0
P(x)
σ小
σ大
x
处理方法： ①取多次测量的平均值为测量结果
的最佳估计值。 ②研究其分布，找出其特
征值，归入A类不确定度，参与对测量结果 的评价。
y f ( x1 , x2 ,, xm )
通过直接测量已得 x1 x1 u x1 , x2 x2 u x 2 , ..., xm xm u xm
则
y f ( x1 , x2 , , xm )
u ( f f f u x1 ) 2 ( ux2 )2 ( u xm ) 2 x1 x2 xm
1 2
uV V EV 9.436 0.008 0.08(cm3 )
（4）环体积的测量结果为
V=9.44±0.08 cm3
9.436应与0.08取齐，故将9.436修约为9.44。
2-2数值的有效位数及其运算规则
有效位数的概念
测量结果用且只用它的有效位数表示。 不确定度决定有效位数。 具体为：不确定度的有效位数取1位，测量结果的末位与 不确定度末位对齐。
(4)合成不确定度
A B 0.002 0.002 0.0028 0.003mm
2 2 2 2
0.003 E 100% 0.03% 8.348
(5)测量结果为
D 8.348 0.003mm E 0.03%
设被测量y可写成m个直接测量量 x1 , x2 ,, xm 的函数
大物实验不确定度
加测量次数，可以
– 很大的误差通常不出现；
减少测量误差
– 随机误差的算术平均值趋 于零；若无系统误差，测 次量数的少平，均乘值t因趋子于。真值。
认识正态分布函数
大物实设验对不物确定理度量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值 xi(i=1,2,…）满足正态分布，则
平均值 等于真值 X 0
来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等
特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化
处理
多次测量减小随机误差，计算标准偏差来估算测量的准确程度
测量值的分布
大物实验不确定度
• 重复测量中各测量值及其出现次数的关系
如：均匀分布、三角分布、正态分布、……
• 任何分布，其统计量的分布都趋于正态分 布
如：x1, x2, …… xn,
实验仪器的最大允许误差(Δ仪)
大物实验不确定度
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准中查到。表 1.3.1（p13)摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表（指针式）的示值误差限：
数字仪表？
Δ仪= 量程×准确度等级/100 如：0.5级电流表，量程3A， Δ仪=3×0.5/100=0.015A
x
1 n
n i 1
xi
还有标准偏差等都是统计量
• 实验采用统计量表示
随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，随机
大物实验不确定度
误差δ趋近如下分布，f (δ)反映误差δ出现的几率。
f ()
1
- 2
e 22
2
0
δ
特点 – 正负测误量差次出数现的较几少率时相等； – 将绝对偏值离较正小态的分误差布出,增现的
物理实验的不确定度表示和计算方法
i2 n →∞ n i = 1物理实验的不确定度表示和计算方法摘 要 本文在 分析物理 实验中引入 不确定度必 要性的 基 础上, 介绍了不确定度的有关概念, 提出了不 确定度的表示 和计算方法。
关键词 物理实验; 不确定度; 置信概率0 引 言在物理实验中总是通过各种测量方法和测量仪 器对各个物理量进行测量, 但如何对测量结果的可 靠性进行评价, 一直是测量和数据处理环节的重要 问题。
过去的传统方法是用测量误差来评定测量结 果的可靠性, 而测量误差定义为测量值与真值之差, 由于真值是永远也测不到的, 所以测量误差也是一 个不可知量, 即用测量误差来评定测量结果的可靠 性是不科学的。
1980 年国际计量局提出了关于实验不确定度表示的建议书 《R ecomm endation INC -1C 19980》[ 1], 1992 年发表了 《测量不确定度表示法指南》, 在世界 范围内开展了用不确定度来评价测量结果的推广和 使用。
在此基础上, 国际理论与应用物理联合会与 国际标准化组织 ( ISO ) 等 7 个国际组织联合颁发了 《国际通用计量学基本术语》) 之后, 对物理教学中 有关 误差分析 和数据处 理方法 提出 了新的 要求。
在于某一个量值范围内的评定, 它反映了可能存在 的误差分布范围, 其大小给出了测量结果可信程度 的高低。
不确定度实际上具有非常明确的含义, 它 具有确定的量值, 其量纲与被测量的量纲相同, 但 通常总是联系于一定的概率。
不确定度一般含有多 个分量, 但按其数值的评定方法可归并成两类: A 类分量: 由测量列的统计分析评定的不确定 度分量, 即随机误差分量, 用△A 表示。
B 类分量: 由非统计方法评定的不确定度分量, 即未定系统误差分量, 用△B 表示。
合成不确定度: 为 A 类分量和 B 类分量按方差 合成原理进行合成, 用 u 表示可写为u =∑△2 + ∑△2( 1)AB总不确定度 ( 展伸不确定度) : 将合成不确定度 u 乘以一个与置信概率有关的包含因子 K p , 则得总 不确定度, 用 U 表示, U = K p u 。
大学物理实验—不确定度
北方民族大学物理实验中心 Fundamental physics experiment
6
1、合成不确定度
u ( x) u u
2 A
2 B
(k 1)
＊各不确定度相互独立 扩展不确定度
U ( x) ku( x)
2、测量结果的不确定度表示
x u ( x) （单位） P …
u ( x) E ( x) 100 % x
在某一数值u范围内，用公式表示为：
N N0 u
（置信概率为P）
其中u值可以通过一定的方法进行估算，称为不 确定度。
北方民族大学物理实验中心 Fundamental physics experiment
3
N N0 u
（置信概率为P）
测量的不确定度也可以理解为测量误差可能出现 的范围，标示着测量结果的可靠程度。如果不确定度 越大，则测量结果可靠性差，应用价值低，反之，则 测量结果的可靠性好，应用价值大。
Uy
Uy yEy
北方民族大学物理实验中心 Fundamental physics experiment
21
1、间接测量量的最佳值
直接测量量
x, y , z , 的 最佳值为 x , y , z ,
N f ( x , y, z ,)
北方民族大学物理实验中心 Fundamental physics experiment
其中：直接测量量x、y、z…的不确定度分别是
：
ux、uy、uz ux、uy、uz
则，间接测量量N的不确定度 量的不确定度
uN 是由直接测量
传递而来。
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大学物理实验系列——分光计的调整与使用参考答案
用分光计测量三棱镜折射率实验数据处理1.顶角及不确定度)(A u 的计算(1)自准法: )(2118021210右右左左θθθθ-+--=A ， θθθ∆==⨯=)()()21(4)(22u u A u (2)反射法： )(412121右右左左θθθθ-+-=A 2.最小偏向角及最小偏向角的不确定度的计算 （1）最小偏向角min δ的计算公式：)(412121min 右右左左θθθθδ-+-= （2）最小偏向角min δ的不确定度计算公式： θθθδ∆==⨯=21)(21)()41(4)(22min u u u 仪器误差Δθ = 2′= ×10-4(rad) u (A ) = 2′= ×10-4(rad) u (δmin ) = 1′= ×10-4(rad)A = ° ′±2′ δmin = ° ′±1′3.折射率n 以及折射率的不确定度)(n u 的计算(1)折射率的计算公式 A A n 21sin )(21sin min +=δ (2)折射率的不确定度计算公式)(2)(222)(min 2min 222min δδδu A ctg A u A ctg A ctg n n u ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= )(2sin 2cos 21)(2sin 2sin 2cos 212cos 2sin 21min 22min 222min min δ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛δ++⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛δ+-δ+=u A A A u A A A A A )()21sin(2)(21cos )()21(sin 2)21sin(min 22min 222min δδδu A A A u A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= 22min 222min )21()21sin(2)(21cos )()21(sin 2)21sin(θδθδ∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A A A式中的角度的不确定度应取弧度为单位n±u (n)= ±思考题及参考答案1.望远镜光轴与分光计的中心轴相垂直，应该在望远镜中看到什么现象利用哪些螺钉调节光学平行平板或三棱镜两个光学面反射的十字像，都能与望远镜分划板叉丝刻线上交点重合。
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大学物理实验-不确定度公式的计算
参数假设
Xi 是每次仪器测量的示值或读数
X上面有一横线（x），是每次测量结果的平均值
n为测量次数
计算方差
对同一量，进行多次计量，然后算出平均值。
对于偏离平均值的正负差值，就是其不确定度。
其差值越大，则计量的不确定度就越大。
在数理统计学上，一般用方差（S）来表示：S^2＝｛(x1－X)^2+(x2-X)^2+(x3-X)^2……＋(xn-X)^2｝/(n-1)。
注：X为平均值，n为测量的次数。
方差越大，其不确定度则越大；方差越小，其不确定度就越小。
启用标准偏
打开计算器> 查看(V) > 选择"科学型" > 单击计算器左边的"Sta"按钮(此时会弹出一个统计框)
数据编辑
(例子:数据[25,34,13])
在统计框内单击"全清(A)"按钮> 返回计算器> 输入数据"25" > 单击计算器左边的"Dat"按钮> 输入数据"34" > 单击计算器左边的"Dat"按钮> 输入数据"13" > 单击计算器左边的"Dat"按钮(此时统计框已记录下数据[25,34,13])
标准偏差计算
平均值-- "Ave" 按钮
总和-- "Sum" 按钮
样本标准差[不是标准差或方差] -- "s" 按钮
方差：先求出样本标准差,然后平方,除以样本数量,再乘以(样本数量减1)，才得出方差
标准差：将方差开方
在测量过程中，各项误差合成后得到的总极限误差称为测量的不确定度，他是表示由于测量过程中各项误差影响而使测量结果不能肯定的误差范围。
测量误差=测量值-真值，测量值>真值，为正差；测量值<真值，为负差。
由于我们习惯了测量误差这个概念，现在提出测量不确定度，确实理解起来比较困难。
测量不确定度目前在各种资料上给出的解释不尽相同，但本质都是相同的。
我们可以这样简单的理解：测量误差为一个确定值（尽管被测量真值是一个未知量），而不确定度是被测量真值所处一个范围的评定或由于测量误差致使测量结果不能肯定的程度。
（这是我个人理解所得，上课的时候也是这样教学生的）
由ISO、IEC、BIPM、IFCC、IUPAC、IUPAP、OIML七个国际组织共同组成国际测量不确定度工作组，在1NC-1（1980）建议书的基础上，起草制定了《测量不确定度表示指南》（GUM）。
1993年，GUM以7个国际组织的名义正式由ISO颁布实施，并在1995年作了修订。
为了贯彻GUM在我国的实施，由全国法制计量委员会委托中国计量科学研究院起草制定了国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》（JJF1059-1999）。
该规范原则上等同GUM的基本内容，作为我国统一准则对测量结果及其质量进行评定、表示和比较。
国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》（JJF1059-1999）中，对测量不确定度定义为：表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。
此参数可以是标准差或其倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度，其值恒为正值。