2017年高考数学分类题库49
一、选择题
1.(2017·全国丙卷·理科·T11)同(2017·全国丙卷·文科·T12)已知函数f(x)=x 2-2x+a(e x-1+e -x+1)有唯一零点,则a= ( )
A.-错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.1
【命题意图】本题考查函数的零点,考查学生的运算求解和分析转化能力.
【解析】选C.令f(x)=0,则
x 2-2x=-a(e x-1+e -x+1),
设g(x)=e x-1+e -x+1,
则g'(x)=e x-1-e -x+1=e x-1-
11x e =错误!未找到引用源。,
当g'(x)=0时,x=1,
当x<1时,g'(x)<0,函数g(x)在(-∞,1)上单调递减,
当x>1时,g'(x)>0,函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,
当x=1时,函数g(x)取得最小值2,
设h(x)=x 2-2x,当x=1时,函数h(x)取得最小值-1,
若-a<0,h(1)=-ag(1)时,此时函数h(x)和-ag(x)有一个交点,即-a ×2=-1?a=错误!未找到引用源。.
【反思总结】函数的零点也是对应方程的根,也是对应函数图象的交点,通过转化求解是常用的方法.
2.(2017·山东高考理科·T10)已知当x ∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与+m 的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是 ( )
A.(0,1]∪[2错误!未找到引用源。,+∞)
B.(0,1]∪[3,+∞)
C.(0,错误!未找到引用源。]∪[2错误!未找到引用源。,+∞)
D.(0,错误!未找到引用源。 ]∪[3,+∞)
【命题意图】本题考查函数与方程、以及函数的图象,意在考查学生分析问题、解决问题的能力,及数形结合的数学思想的运用.
【解析】选B.函数y=(mx-1)2的图象的对称轴为x=错误!未找到引用源。,当错误!未找到引用源。≥1,即0 当错误!未找到引用源。<1,即m>1时,作出函数y=(mx-1)2与y=错误!未找到引用源。+m 的图象,如图所示, 要使二者只有一个交点,则需y=错误!未找到引用源。+m在x=1时的值小于等于y=(mx-1)2值,即m+1≤(m-1)2,解得m≥3,综上正实数m的取值范围是(0,1]∪[3,+∞). 【方法点拨】已知函数图象的交点、零点或方程根的情况,求参数问题的常用的三种方法 (1)直接法:直接根据条件构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解. 二、填空题 3.(2017·全国丙卷·理科·T15)设函数f(x)=错误!未找到引用源。则满足f(x)+f错误!未找到 引用源。>1的x的取值范围是. 【命题意图】本题考查分段函数及其不等式,考查学生分类讨论的思想. 【解析】由题意:令 g(x)=f(x)+f错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。函数g(x)在区间(-∞,0],错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。三段区间内均单调递增, 且:g错误!未找到引用源。=1,20+0+1 2 >1,错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。>1, 因此x的取值范围是:错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。 4.(2017·江苏高考·T14)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=错误!未找到引用源。其中集合D=错误!未找到引用源。,则方程f(x)-lgx=0的解的个数是. 【命题意图】考查函数与方程问题,利用数形结合思想判断方程的零点个数,突出考查考生分析问题和解决问题的能力. 【解析】由于f(x)∈[0,1),则需考虑1≤x<10的情况, 在此范围内,x∈Q且x Z时,设x=错误!未找到引用源。,p,q∈N*,p≥2,且p,q互质, 若lgx∈Q,则由lgx∈(0,1),可设lgx=错误!未找到引用源。,m,n∈N*,m≥2,且m,n互质,因此错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,则10n=错误!未找到引用源。,此时左边为整数,右边不是整数矛盾,因为lgx∈Q,因此lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等,只需考虑lgx与每个周期x?D的部分的交点, 画出函数图象,图中交点除(1,0) 外,其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期x?D的部分, 且x=1处(lgx)'=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。<1,则在x=1附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8个. 答案:8 【反思总结】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等. 关闭Word文档返回原板块