河北省枣强中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学(理)试题

河北省枣强中学【最新】高二下学期期末考试数学（理）试

题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设复数1=

-i z i ，则z 在复平面内对应的点在第（ ）象限. A ．一 B ．二 C ．三 D ．四

2．某工厂生产,,A B C 三咱不同型号的产品，产品数量之比依次为:3:5x ，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号产品有16件，C 型号产品有40件，则( )

A ．2,24x n ==

B ．16,24x n ==

C ．2,80x n ==

D ．16,80x n == 3．用数学归纳法证明不等式“11113(2)12224

n n n n +++>>++”时的过程中，由n k =到1n k =+时，不等式的左边（ ）

A ．增加了一项12(1)k +

B ．增加了两项11212(1)

k k +++ C ．增加了一项12(1)k +，又减少了一项11

k + D ．增加了两项11212(1)k k +++，又减少了一项11k +

4．设集合[]0,1M =，1,N x x i x R i ??=-<∈????

为虚数单位，则M N ?为( ) A ．()0,1 B ．(]0,1 C ．[)0,1 D ．[]0,1

5．“22

2a b ab

+≤-”是“0a >且0b <”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件

C ．充分不必要条件

D ．既不充分也不

必要条件 6．已知双曲线22

221x y a b

-=的一个焦点与圆22100x y x +-=的圆心重合，且双曲线的离

( )

A ．22

1520x y -= B ．2212520x y -= C ．221205x y -= D ．2212025x y -= 7．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）

A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和

B ∠是两条平行线的同旁内角，则180A B ∠+∠=；

B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；

C ．某校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人；

D ．数列{}n a 中，111111,()(2)2n n n a a a n a --==

+≥，由此归纳出{}n a 的通项公式. 8．设函数()2x f x e x =-，则( )

A ．2x e =为()f x 的极小值点

B ．2x e

=为()f x 的极大值点 C ．ln 2x =为()f x 的极小值点 D ．ln 2x =为()f x 的极大值点

9．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根

据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为?y

=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是

A ．y 与x 具有正的线性相关关系

B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）

C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg

D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg

10．已知函数()f x 的导函数为()'f x ,且满足()()2'1ln f x xf x =+,则()'1f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e

11．已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）

A ．25π

B ．43

C ．32

D ．2

π 12．设函数()y f x =在R 上有定义，对于任一给定的正数p

，定义函数

()()()(),,p f x f x p f x p f x p

?≤?=?>??，则称函数()p f x 为()f x 的“p 界函数”，若给定函数()221f x x x =--，2p =，则下列结论不成立的是( )

A ．()()00p p f f f f ????=????

B ．()()11p p f f f f ????=????

C ．()()22p p f f f f ????=????

D ．()()33p p f f f f ????=????

二、填空题

13．若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为11，则M 到y 轴的距离是__________． 14．已知圆22:12,C x y +=直线:4325l x y +=，圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．

15．已知复数112z i =-+，21z i =-，334z i =-，它们在复平面上对应的点分别为,,A B C ，若OC OA OB λμ=+，(,R λμ∈)，则λμ+的值是__________．

16．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214

S S =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则

12V V =____.

三、解答题

17．不等式

1122

x -<的解集为M . (1)求M ； (2)若,a b M ∈，试比较1ab +与+a b 的大小.

18．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝

sin 4πθ?

?+ ???

，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为{

12x t y t ==+(t 为参数)，判断直线l 和圆C 的位置关系．

19．在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥，AD EF ，EF BC ∥，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点.

(1)求证：AB ∥平面DEG ；

(2)求二面角C DF E --的余弦值.

20．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：

已知12,R a a ∈，121a a +=，求证：221212

a a +≥. 证明：构造函数()()22

12()f x x a x a =-+-，

即()222

1212()22f x x a a x a a =-+++ 2221222x x a a =-++. 因为对一切x ∈R ，恒有()0f x ≥，

所以()2212480a a ?=-+≤，从而得221212

a a +≥. （1）若12,,,n a a a ∈R ，121n a a a ++?+=，请写出上述结论的推广式；

（2）参考上述证法，对你推广的结论加以证明.

21．已知长方形EFCD ，2EF =，2FC =

，以EF 的中点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系xOy .

(1)求以,E F 为焦点，且过,C D 两点的椭圆的标准方程；

(2)在(1)的条件下，过点F 作直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，设FA FB λ=，点T 坐标为()2,0，若[]

2,1λ∈--，求TA TB +的取值范围.

22．已知函数()()x f x e ax a R =+∈， ()ln x

g x e x = (e 为自然对数的底数).

(1)设曲线()y f x =在1x =处的切线为l ，若l 与点()1,0的距离为2

，求a 的值；

(2)若对于任意实数0x ≥， ()0f x >恒成立，试确定a 的取值范围；

(3)当1a =-时，函数()()()M x g x f x =-在[]1,e 上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由.

参考答案

1．B

【分析】

由复数除法法则求出z ，可得其对应点坐标，从而可得其对应点所在的象限．

【详解】

(1)11(1)(1)2i i i i z i i i +-+=

==--+，对应点为11(,)22

-，所以z 在复平面内对应的点在第二象限. 故选：B

【点睛】

本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义．属于基础题．

2．C

【解析】 由题意得16

540x =，2x =．再由5235 40n

++=得 80n =，故选 C. 3．C

【解析】 n k =时，左边11112k k k k =

++++++,1n k =+时，左边111(1)1(1)2(1)(1)k k k k =++++++++++, 111111()1212122

k k k k k k k =+++-++++++++ 所以C 选项是正确的

本题考查的知识点是数学归纳法,解决本题的关键是看清项的变化，及项数的变化。观察不

等式11113(2)12224n n n n +++>>++ “左边的各项,他们都是以11n +开始,以12n

项结束,共n 项,当由n k =到1n k =+时,项数也由k 变到1k + 时,但前边少了一项,后面多了两项,分析四个答案,即可求出结论.

4．C

【解析】

∵{{}

212{|11}N x x i x x x x =+<=+<=-<<，则M N ?为[)0,1，故选C.

5．A

【分析】

利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.

【详解】

222a b ab +≤-，可得()22220a b a b ab ab

+++=≤，?0 0a b >???， ∴“22

2a b ab

+≤-”是“0a >且0b <”的必要不充分条件， 故选：A.

【点睛】

本题考查必要不充分条件的判断，此类问题应根据两个条件构造的原命题和逆命题的真假来判断条件关系.

6．A

【解析】

∵圆22100x y x +-=化成标准方程，得22525x y -+=（），∴圆22100x y x +-=的圆

心为50F （，），∵双曲线22

22 1x y a b

-＝的一个焦点为F 50（，）∴

5c =，且c a

=a =，22220b c a =-=，可得该双曲线的标准方程为22

1520

x y -=，故选A. 点睛：本题给出双曲线的离心率，并且一个焦点为已知圆的圆心，求双曲线的标准方程，着重考查了圆的标准方程、双曲线的基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题；将圆化成

标准方程得圆22

100x y x +-=的圆心为F 50（，），可得5c ==，结合双曲线的离心率算出a ，由平方关系得到220b =，由此即可得出该双曲线的标准方程.

7．A

【解析】

解：因为演绎推理就是从一般到特殊的思想．那么B 是类比推理，C 是归纳推理，D 是归纳推理，只有A 符合

8．C

【解析】

由函数()2x f x e x =-，得()20x

f x e '=-=，解得2x ln =，又ln 2x <时，()0f x <′，ln 2x >时，()0f x >′

，∴()f x 在ln2x =时取得极小值，故选C. 9．D

【解析】

根据y 与x 的线性回归方程为 y=0.85x ﹣85.71，则

=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确； 回归直线过样本点的中心（,x y ），B 正确；

该大学某女生身高增加 1cm ，预测其体重约增加 0.85kg ，C 正确；

该大学某女生身高为 170cm ，预测其体重约为0.85×

170﹣85.71=58.79kg ，D 错误． 故选：D ．

10．C

【解析】

试题分析：由()()2'1ln f x xf x =+，得，故，故

，故选项为B.

考点：导数的计算.

11．B

【解析】

设()()()11,0f x a x x a =-+<，又点()0,1在函数()f x 的图象上，则

()21,1a f x x =-∴=-，由定积分几何意义，围成图形的面积为

()

123111141|33S x dx x x --??=-=-= ????，故选B.

12．B

【解析】

根据题意写成()221f x x x =--，2p =的分段函数形式即

222113231

x x x f x x x ?---≤≤=?><-?，（），或，A.2[0]12p f f f （）（）=-=，][2[00

]12p f f f f f ==-=（）（）（），故A 成立；B 2[1]22p f f f =-=（）（），][2[11]27p f f f f f ==-=（）（）（），故B 不成立；C ：][22[22

]2p p f f f f ==（）（），[2]2f f =（），故C 成立；D ][22[33

]1p p f f f f ==-（）（），[3]1f f =-（），故D 成立；所以只有B 结论不正确，故选B.

点睛：本题属创新类型的函数定义题，主要考察学生的理解能力；本题属创新类型的函数定义题．此题的关键在于理解函数()p f x 的定义，则根据给定定义写成()2

21f x x x =--，2p =的分段函数形式即222113231

x x x f x x x ?---≤≤=?><-?，（），或. 13．10

【解析】

抛物线的准线为1x =-，∵点M 到焦点的距离为11，∴点M 到准线1x =-的距离为11，

∴点M 到y 轴的距离为10，故答案为10.

14．16

【解析】

试题分析：圆心(0,0)到直线l

的距离为5d ==，那么与直线l 距离为2且与圆相

交的直线m 的方程为4315x y +=，设m 与圆相交于点,A B ，则

AB OA ===，因此3AOB π∠=，所求概率为1326

r r ππ=. 考点：几何概型.

15．1

【详解】 由题设得三点的坐标分别为()()()1

2,11,34A B C ---，，，，将三向量的坐标代入OC OA OB λμ=+得341211λμ-=-+-（，）（，）（，），因此3 24λμλμ-+=??-=-?，即1 2

λμ=-??=?，所以λμ1+=，故答案为1.

点睛：本题考查复数与向量的对应，以及向量相等的条件，复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上，向量相等则两向量的横纵坐标相等；由题设求出三点A B C ，，的坐标，既得三个向量的坐标将三个向量的坐标代入向量方程，利用向量的相等建立起参数,λμ的方程，求出,λμ的值.

16．127

【解析】

设正四面体ABCD 的棱长为a ，高为h ，四个面的面积为S ，内切球半径为r ，外接球半径为R ，则由1

1433Sr Sh ?=

，得1144r h ===；

由相似三角形的性质，可求得4R a =，所以12V V =3311()().327r R == 考点：类比推理，几何体的体积.

17．（1）{}01x x <<；（2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据绝对值不等式的解法即可得到结论；（2）利用作差比较法即可得到结论. 试题解析：(1)由1122

x -<得211x -<得1211x -<-<，解得01x <<，∴{}01M x x =<<；

(2)由(1)和,a b M ∈可知01a <<，01b <<，∴()()()()1110ab a b a b +-+=-->，故1ab a b +>+.

18．相交

【解析】

试题分析：先利用三角函数正弦的和角公式将圆Ｃ的极坐标方程化为：ρ＝2(sinθ＋cosθ)，再将两边同时乘以ρ得到ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，又因为是以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，所以只须将代入即得圆Ｃ的直角坐标方程，化成标准形式，可写出圆Ｃ的圆心坐标和半径，再将直线的参数方程为{12x t y t

==+，(t 为参数)消去参数t,到直线的普通方程，再由点到直线的距离公式算出圆C 的圆心到直线的距离，与圆C 的半径比较大小：当d>r 时，

直线与圆相离，当d=时，直线与圆相切，当d

试题解析：消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1；

ρ＝

sin 4πθ?

?+ ???

即ρ＝2(sinθ＋cosθ)， 两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，

得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，

圆心C 到直线l 的距离d

， 所以直线l 和⊙C 相交．

考点：１．极坐标方程与直角坐标方程的互化；２．参数方程与普通方程的互化；３．直线与圆的位置关系．

19．（1）见解析；（2

）-

. 【解析】

【详解】

试题分析：（1）由AD EF ，EF BC ∥，知AD BC ∥．由2BC AD =，G 是BC 的中点，知四边形ADGB 是平行四边形，由此能证明线面平行；（2）先证明EB EF EA ，，两

两垂直．以点E 为坐标原点，EB EF EA ，，分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角C DF E --的余弦值.

试题解析：(1)证明：∵AD EF ，EF BC ∥，∴AD BC ∥，又∵2BC AD =，G 是BC 的中点，∴AD BG ，且AD BG =，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴AB DG .∵AB ?平面DEG ，DG ?平面DEG ，∴AB ∥平面DEG .

(2)∵EF ⊥平面AEB ，AE ?平面AEB ，BE ?平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，

又AE EB ⊥，∴,,EB EF EA 两两垂直，以点E 为坐标原点，

,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴，建立如图的空间直角坐标系，由已知得()0,0,2A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()0,3,0F ，()0,2,2D ，()2,2,0G ，由已知得()2,0,0EB =是平面EFDA 的法向量，设平面DCF 的

法向量为(),,n x y z =，

∵()0,1,2FD =-，()2,1,0FC =，∴0{0FD n FC n ?=?=，即20{20

y z x y -+=+=，令1z =，得()1,2,1n =-.设二面角C DF E --的大小为θ.

cos cos ,62n EB θ=??==-，∴二面角C DF E --的余弦值为66-.

20．（1）若1a ，2a ，…n a R ∈，121n a a a ++?+=，则222121n a a a n

+++≥；（2）略. 【解析】

试题分析：（1）根据题干中的式子，类比写出求证： 22221231...n a a a a n

+++≥；（2）构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2，展开后是关于x 的二次函数，函数大于等于0恒成立，即判别式小于等于0，从而得证.

解析：

(1)解：若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1.

求证： 22221231...n a a a a n

+++≥. (2)证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋

2222123...n a a a a +++＝nx 2－2x ＋2222123...n a a a a +++,

因为对一切x ∈R ，都有f (x )≥0，

所以Δ＝4－4n (2222123...n a a a a +++)≤0，

从而证得2222123...n a a a a +++≥.1n

. 21．（1）2

212x y +=；（2

）2,8????

. 【解析】

试题分析：（1）确定E F C ，，的坐标，利用椭圆的定义，求出几何量，即可求椭圆的标准方程；（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，结合配方法，即可求TA TB +的取值范围.

试题解析：(1)由题意可得点,,E F C 的坐标分别为()1,0-，()1,0

，? ??

.设椭圆的标准方程是()22

2210x y a b a b

+=>>

，则22a EC FC =+=>，

∴a =∴222

1b a c =-=，∴椭圆的标准方程为2

212x y +=.

(2)由题意容易验证直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x ky =+.代入2

212

x y +=中，得()

222210k y ky ++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，由根与系数关系，得12222k y y k +=-+①，12212y y k =-+②，∵FA FB λ=，∴12

y y λ=且0λ<

，将上式①

的平方除以②，得212221422y y k y y k ++=-+，即()221221242

y y k y y k +=-+，所以2

21

422k k λλ++=-+，由[]51112,122022λλλλλ∈--?-≤+≤-?-≤++≤ 2221420227

k k k ?-≤-≤?≤+，即2207k ≤≤.∵()112,TA x y =-，()222,TB x y =-，()12124,TA TB x x y y +=+-+，又12222k y y k +=-

+，()()21212241422k x x k y y k ++-=+-=-

+.故()()22212124TA TB x x y y +=+-++ ()()()()(

)()22222222222216116228284222k k k k k k k ++-++=+=+++ ()2222881622k k =-+++.令212t k =+，∵2207k ≤≤，∴27111622k ≤≤+，71162

t ≤≤，22271716288842TA TB t t t ??+=-+=-- ???

，∵71162t ≤≤

，∴21694,32TA TB ??+∈????，2

2,8TA TB ?+∈???. 22．(1) e 1a =-+或e 1.a =-- (2) (),e -+∞ (3)不存在

【解析】

试题分析：

(1)该问切点横坐标已知,则利用切点在曲线上,带入曲线()

f x 即可得到切点的纵坐标,对()f x 进行求导并得到在切点处的导函数值即为切线的斜率,有切线的斜率,切线又过切点,利用直线的点斜式即可求的切线的方程,利用点到直线的距离公式结合条件点()1,0到切线的距离为2

即可求的参数a 的值. (2)该问为恒成立问题可以考虑分离参数法,即把参数a 与x 进行分离得到x

e a x

>-,则

max

x e a x ??>- ???,再利用函数的导函数研究函数x e y x =-在区间()0,+∞的最大值,即可求的a 的取值范围.

(3)根据极值的定义,函数()()()'''M x g x f x =-在区间[]

1,e 有零点且在零点附近的符号不同,求导可得e 1()e ln e 1(ln 1)e 1x x x x M x x x x x

=+-+=+-?+',设1()ln 1h x x x =+-,求()h x 求导可以得到()h x 的导函数在区间[]1,e 恒为正数,则函数()h x 在区间[]1,e 上是单调递增,即可得到函数()()10h x h ≥=进而得到()'0M x >恒成立,即()'M x 在区间[]

1,e 上没有零点,进而函数()M x 没有极值.

试题解析：

（1）()e x f x a =+',(1)e f a =+. ()y f x =在1x =处的切线斜率为(1)e f a '=+， 1分

∴切线l 的方程为(e )(e )(1)y a a x -+=+-，即(e )0a x y +-=. 3分

又切线l 与点(1,0)

距离为2

,

=， 解之得，e 1,a =-+或e 1.a =--5分

（2）∵对于任意实数0,()0x f x ≥>恒成立，

∴若0x =，则a 为任意实数时，()e 0x f x =>恒成立； 6分

若0,x >()e 0x

f x ax =+>恒成立，即e x

a x >-，在0x >上恒成立， 7分 设e (),x

Q x x

=-则22e e (1)e ()x x x x x Q x x x -='-?=-, 8分 当(0,1)x ∈时，()0Q x '>，则()Q x 在(0,1)上单调递增；

当(1,)x ∈+∞时，()0Q x '<，则()Q x 在(1,)+∞上单调递减；

所以当1x =时，()Q x 取得最大值，max ()(1)e Q x Q ==-， 9分

所以a 的取值范围为(e,)-+∞.

综上，对于任意实数0,()0x f x ≥>恒成立的实数a 的取值范围为(e,)-+∞. 10分

（3）依题意,()e ln e x x M x x x =-+， 所以e 1()e ln e 1(ln 1)e 1x x x x M x x x x x

=+-+=+-?+', 2分 设1()ln 1h x x x =+-,则22111()x h x x x x

-=-+=',当[]1,e ,()0x h x '∈≥, 故()h x 在[]1,e 上单调增函数,因此()h x 在[]

1,e 上的最小值为(1)0h =， 即1()ln 1(1)0h x x h x

=

+-≥=， 12分 又e 0,x >所以在[1,e]上，1()(ln 1)e 10x M x x x =-?+'+>， 即()()()M x g x f x =-在[1,e]上不存在极值. 14分

考点：导数极值单调性