现代控制理论 6-3 李雅普诺夫第二法(直接法)
现代控制理论 6-1 概念 6-2 李雅普诺夫第一法(间接法)
渐近稳定
收敛至 平衡状态
y 一致稳定
对定常系统
tc 与初始时刻
无差别
李雅普诺夫稳定 （稳定）
无关
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cae 渐近稳定 tcy 小球
李雅普诺夫 意义下稳定
/ 稳定
cn = 2 x − xe = (x1 − x1e )2 + (x2 ) − x2e 2 = c 表示状态空间中，以xe为圆心，半径为c的圆
y n = 3 x − xe = (x1 − x1e )2 + (x2 ) − x2e 2 + (x3 ) − x3e 2 = c
tc 表示状态空间中，以xe为圆心，半径为c的球
前页
返回
12
例：⎩⎨⎧xx&&12
= =
x2 −x1
平衡状态
xe
=
⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦
cae tcy前页
返回
设系统初始状态位于以平衡状态 xe 为球心，δ 为半径的闭球域 S(δ)内，即
ex0 − xe ≤ δ t = t0
a若系统的平衡状态 xe不仅具有李雅普诺夫意义
下的稳定性，且有
c lim t→∞
定，不一定大范围渐进稳定。
δ → ∞ S(δ ) → ∞
x2
x0
xe x0
x1
前页 返回
例：机械位移系统
aex(t), x&(t) cm
k
tcy前页 返回 18
内部稳定/状态稳定
初始状态 任意
大范围一致渐近稳定
大范围渐近稳定
e 对线性系统 无差别
对定常系统 无差别
对线性系统 无差别
a一致渐近稳定 c 对定常系统
现代控制理论(II)-讲稿课件ppt
03
通过具体例子说明最小值原理在最优控制问题中的应
用方法。
06 现代控制理论应用案例
倒立摆系统稳定控制
倒立摆系统模型建立
分析倒立摆系统的物理特性，建立数学模型，包括运动方程和状态 空间表达式。
控制器设计
基于现代控制理论，设计状态反馈控制器，使倒立摆系统实现稳定 控制。
系统仿真与实验
利用MATLAB/Simulink等工具进行系统仿真，验证控制器的有效性； 搭建实际实验平台，进行实时控制实验。
最优控制方法分类
根据性能指标的类型和求解方法， 最优控制可分为线性二次型最优控 制、最小时间控制、最小能量控制 等。
最优控制应用举例
介绍最优控制在航空航天、机器人、 经济管理等领域的应用实例。
05 最优控制理论与方法
最优控制问题描述
控制系统的性能指标
定义控制系统的性能评价标准，如时间最短、能量最小等。
随着网络技术的发展，分布式控制系统逐渐 成为现代控制理论的研究热点，如多智能体 系统、协同控制等。
下一步学习建议
01
02
03
04
深入学习现代控制理论相关知 识，掌握更多先进的控制方法
和技术。
关注现代控制理论在实际系统 中的应用，了解不同领域控制
系统的设计和实现方法。
加强实践环节，通过仿真或实 验验证所学理论知识的正确性
机器人运动学建模
分析机器人的运动学特性， 建立机器人运动学模型， 描述机器人末端执行器的 位置和姿态。
运动规划算法设计
基于现代控制理论，设计 运动规划算法，生成机器 人从起始点到目标点的平 滑运动轨迹。
控制器设计与实现
设计机器人运动控制器， 实现机器人对规划轨迹的 精确跟踪；在实际机器人 平台上进行实验验证。
李雅普诺夫第二方法简介
正定函数 V(x) = Ci > 0 的等值线示意图：这是 一族闭的、层层相套的、当C趋向于零时向原点退 缩的曲线。C 1 ＜ C 2 ＜ C 3 ＜ C 4 ＜ C 5 ＜ C 6 ＜ C 7
C7
C6
C5
C2 C1
C4
C3
一些记号： 0 :正 定 0： 半 正 定 0 :负 定 0： 半 负 定
李雅普诺夫第二方法简介
为了分析运动的稳定性,李雅普诺夫提出了两 种方法:
第一方法包含许多步骤，包括最终用微分方程 的显式解来对稳定性近行分析，是一个间接的方法。
第二方法不是求解微分方程组，而是通过构造 所谓李雅普诺夫函数（标量函数）来直接判断运动 的稳定性，因此又称为直接法。
李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时 变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的 基本工具。
0
0
则 易 于 验 证 它 是 正 定 对 称 阵 。 首 先 ，
P T P； 其次，注意到
xT P xxTeA T tQ eA td tx(eA tx)T Q (eA tx)d t
0
0
且 (eAtx)TQ(eAtx)0x0。 又 由 于 A阵 均 具 负 实 部 ， 故 积 分 有 界 ， P必 正 定 。 因 此 方 程 (?)成 立 。
x 1 2(t) x2 2(t) x 1 2(t0) x2 2(t0)。
例：考虑小阻尼线性振动系统：
x1 x 2 x 2 x1 x 2
研 究 其 平 衡 状 态 x 1 0 , x 2 0 的 稳 定 性 。 若 取 v(x)x1 2x2 2,则 有
v x v 1 x 1 x v 2 x 2 2 x 1 x 2 2 x 2 ( x 1 x 2 ) 2 x 2 2 0
李雅普诺夫第二法
12/23/2012
2 V ( x) ( x1 x2 )( x1 x2 ) 2x1x1 x2 x2 ( x12 x2 )
当 x 时， ( x) ，所以系统在其原点处大范围 V 渐近稳定。
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4.3 李雅普诺夫第二法
x1 x1 x2 例4-8 系统的状态方程为 x2 x1 x2
,
,
可见此二次型函数是正定的，即
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.2 几个稳定性判据 定理 设系统的状态方程为
x f ( x),
如果平衡状态 xe 0, 即， f ( xe ) 0 如果存在标量函数V(x) 满足：
1） V ( x) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） V ( x) 是正定的；
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4.3 李雅普诺夫第二法
例 设 x x1
x2
x3
T
2 1) V ( x) ( x1 x2 )2 x3
因为V（0） 0，而且对非零向量 ，有x a，a， T 0, x （ - 0） 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
2 2) V ( x) x12 x2因为V（0） 0，而且对非零向量 ，有x 0， a） 0, x （ 0， T 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
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4.3 李雅普诺夫第二法
2. 二次型标量函数
设 x1，x2 ，xn为n个变量， 二次型标量函数可写为
p11 p V ( x) xT Px x1 x2 xn 21 pn1 其中，P为实对称矩阵。 p12 p22 p1n x1 x2 pnn xn
现代控制理论试题(详细答案)
现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。
状态变量个数是2。
…..（4分）2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）12233131835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分）写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分）[]100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。
（3分）2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。
若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。
…..….…….（3分） 2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分）[][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为2122211(),()3232s s g s g s s s s s -+==++-+求两系统串联后系统的最小实现。
李雅普诺夫第二法
李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法又称直接法，它是从能量观点进行稳定性分析的，它的基本思想是建立在这样一个物理事实基础之上，即：由经典力学理论可知，对于一个振动系统，如果系统的总能量随时间增长而连续减少，直到平衡状态为止，那么振动系统是稳定的。
1）渐进稳定的判据定理1设系统的状态方程为(,)x f x t =其中平衡状态为0e x =，满足(0,)0f t =，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数(,)v x t ，且满足以下条件：（1）(,)v x t 是正定的；（2）(,)vx t 是负定的。
则系统在原点处的平衡状态是一致渐进稳定的。
此外，如果当||||x →∞,有(,)v x t →∞，则在原点处的平衡状态是大范围一致渐进稳定的。
2）渐进稳定的判据定理1设系统的状态方程为(,)x f x t =其中平衡状态为(0,)0f t =，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数(,)v x t ，且满足以下条件：（1）(,)v x t 是正定的；（2）(,)vx t 是负定的。
（3）(,)v x t 在0x ≠时不恒等于零，则系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。
3）李雅普诺夫意义下稳定的判别定理设系统的状态方程为=x f x t(,)其中平衡状态为(0,)0f t=，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v x t，且满足以下条件：(,)（1）(,)v x t是正定的；（2）(,)是负定的。
v x t（3）则系统在原点处的平衡状态在李雅普诺夫意义下是一致稳定的。
4）不稳定的判别定理设系统的状态方程为=x f x t(,)其中平衡状态为(0,)0f t=，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v x t，且满足以下条件：(,)（1）(,)v x t是正定的；（2）(,)是正定的。
v x t则系统在原点处的平衡状态是不稳定。
现代控制讲义8
Modern Control Theory
4.3 李雅普诺夫第二法(直接法)
基本思想
不是通过求解系统的运动方程，而是借助于 一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状 态的稳定性作出判断。
*它是从能量观点进行稳定性分析的。
1、如果一个系统被激励后，其储存的能量随 着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时， 能量将达到最小值，那么这个平衡状态就是 渐近稳定的。
4)
V (x) 0 V (0) 0 （或非正定）的。
x0 时， V ( x )为半负定 x0
例如： V ( x ) ( x 1 x 2 )
2
5)
x0 V ( x ) 0或 V ( x ) 0 时， V ( x )为不定的。 V (0) 0 x0
令
V ( x , t ). 0 若 x 0, V ( x , t ) 0 成立
.
李氏意义 下稳定 渐进稳定
若仅x 0, V ( x , t ) 0 成立
.
例1：已知非线性系统的状态方程为： . 2 2 x 1 x 2 x1 ( x1 x 2 ) . 2 2 x 2 x1 x 2 ( x1 x 2 ) 试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。 解：
.
. 则： . x1 0 , x 2 0 V ( x ) 0 . V ( x ) 负半定 其它 V (x) 0 . x1 0 令 V ( x) 0 只有全零解 x2 0
x0
非零状态时 V ( x ) 0
.
原点 x e 0 是渐进稳定，且是大范围 一致渐进稳定。 定理2
说明：x 0 V ( x , t ) 0 系统维持等 能量水平运动，使 x ( t ; x 0 , t 0 ) 维持在非零 状态而不运行至原点。 定理4：若(1) V ( x , t ) 正定； . (2) V ( x , t ) 正定 则原点是不稳定的。 . 说明：V ( x , t ) 正定 能量函数随时间增 大， ( t ; x 0 , t 0 ) 在x e 处发散。 x
现代控制理论2
0 xe1 0
4.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
一. 系统状态的运动及平衡状态
几点说明:
对于非零平衡状态，总可以经过适当的坐 标变换，把它变换到状态空间的原点。
稳定性是相对具体的平衡状态讨论的,指受到 扰动后,系统具有恢复到原来平衡状态的能力
不同平衡状态的稳定性可能不同
平衡状态与时间无关、可能不存在平衡状态
1. 分析系统稳定性
2. 研究使系统稳定的方法
经典控制理论稳定性判别方法：代数判据， 奈魁斯特判据，根轨迹判据等
李雅普诺夫稳定性理论
1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定 理采用了状态向量来描述，适用于线性，非线 性，定常，时变，多变量等系统。 李氏第一法（间接法）：根据特征值判断稳定性 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构 造李氏函数, 根据李氏函数的特性判断稳定性
二、李雅普诺夫意义下的稳定性
1.李氏意义下的稳定
x f ( x, t )
xR
n
f ( xe , t ) 0
如果对 0 , 对应存在另一个实数 ( , t0 ) 0
当初态 x0满足:
x0 xe ( , t0 )
时,系统的运动轨迹 x(t; x0 , t0 ) 在t 都满足:
4.2 李雅普诺夫第一法（间接法） 一. 线性定常系统稳定性
x Ax Bu y Cx
系统传递函数:
x(0) x0
t0
W(S)=C(SI-A)-1B n 1 n 2 n1s n2 s ... 1s 0 n n 1 s an1s ... a1s a0 传递函数的极点是A特征值的一部分 仅依据传函极点来判断稳定性是不够全面的!
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李雅普诺夫第二法的基本思想
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x 返回前页定理3
渐近稳定
c
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y ()00≠=但x V
&返回前页定理3
⎪⎩
⎪⎨⎧−−==21221x m x m k x x x
μ&&⎥⎦
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⎢⎣⎡=00e x 渐近稳定
e
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1 x
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a e t
c
y ⎪⎩
⎪⎨⎧−==1221x m k x x x &&⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=00e x 返回前页定理4
李雅普诺夫意
义下稳定
c
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1
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返回
前页定理3不稳定
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y ()00≡=但x V
&返回前页定理3
⎪⎩
⎪⎨⎧+−==21221x m x m k x x x μ&&⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=00e x 不稳定
状态平面图
状态仿真曲线
注意
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李氏函数选择不当！
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虚构
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y 返回前页定理4
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⎦⎤⎢⎣⎡=0n πe x ⎪⎩
⎪⎨⎧−== x L g
x x x
1221sin &&状态仿真曲线
李雅普诺夫意义下稳定
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y 0≡返回前页定理3
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y 状态平面图
状态仿真曲线
()00≡=但x V
&⎪⎩
⎪⎨⎧−== x L g x x x
1221sin &&2Dx −()
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⎢⎣⎡=x 垂直向下渐近稳定
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