李雅普诺夫第二法
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李雅普诺夫第一方法和第二方法
李雅普诺夫第一方法和第二方法刘慈欣是中国著名的科学小说家。
他的作品《三体》引起了中外读者的热烈讨论。
他的作品也越来越深入人心并受到广泛的认可。
2012年，他凭借作品《三体》荣获第五届中国科幻小说银奖。
以刘慈欣名义，俄罗斯分析学家李雅普诺夫为预测未来事件制定了两种方法：第一种是李雅普诺夫第一方法，也被称为“加法法则”，它的基本思想是：以当前的社会形势为基础，根据以往的发展经验以及客观情况的变化，分析未来可能出现的新的社会现象和潮流，并预测未来可能出现的情况；第二种方法叫做“乘法法则”，该方法强调以社会时代和社会结构为基础，根据社会形势和社会变迁为基础，把具体的历史背景和文化氛围紧密结合起来，从总体上认识和理解未来可能出现的事件或现象。
1. 李雅普诺夫第一方法：加法法则第一种方法是李雅普诺夫第一方法，也被称为“加法法则”，它的基本思想是：以当前的社会形势为基础，根据以往的发展经验以及客观情况的变化，分析未来可能出现的新的社会现象和潮流，并预测未来可能出现的情况。
李雅普诺夫加法法则认为，当前也许存在各种模糊不清的社会现象，将其加以分析、剖析，深入了解它们的特性和内涵，再去看它们是否会影响未来，经过精心筛选、综合考量之后，利用科学的手段来预测未来可能发生的一些新的社会概念。
2. 李雅普诺夫第二方法：乘法法则第二种方法叫做“乘法法则”，该方法强调以社会时代和社会结构为基础，根据社会形势和社会变迁为基础，把具体的历史背景和文化氛围紧密结合起来，从总体上认识和理解未来可能出现的事件或现象。
李雅普诺夫乘法法则认为，在社会发展的历史进程中，人类的实际行为会受到多种因素的影响，必须从过去对社会发展的分析中总结出不同的历史规律，从而建立一个社会新状态，并能够准确预测未来的变化情况。
5.2李亚普诺夫稳定性分析
由于该方法不必求解系统的微分方程就能 直接判断其稳定性,故又称为直接法, 直接判断其稳定性,故又称为直接法,其最大优 对任何复杂系统都适用, 点在于对任何复杂系统都适用 点在于对任何复杂系统都适用,而对于运动方 程求解困难的高阶系统、 程求解困难的高阶系统、非线性系统以及时变 系统的稳定性分析,则更能显示出优越性。 系统的稳定性分析,则更能显示出优越性。
试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。 试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。 解: 系统具有唯一的平衡点 xe = 0 取 V ( x) = x12 + x2 2 > 0 则 V ( x) = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = −2( x12 + x2 2 ) 2 ≤ 0
V 因为除原点处外， 不会恒等于零。 因为除原点处外， ( x) 不会恒等于零。 V 当 x → ∞ 时， ( x) → ∞ 所以系统在其原点
定理5.2.2 定理5.2.2 假设系统的状态方程为
& x = f ( x, t ), f (0, t ) = 0 ∀t
如果存在一个具有连续偏导数的标量函数 V ( x, t ) 并且满足条件： 并且满足条件： 1）V ( x, t ) 是正定的； 正定的
& 负定的 2）V ( x, t ) 是负定的。
一致渐近稳定的 那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定 那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。 如果随着 x → ∞, 有 V ( x, t ) → ∞ 则在原点处的平衡 状态是大范围渐近稳定的。 状态是大范围渐近稳定的。
定理5.2.2 定理5.2.2 假设系统的状态方程为
& x = f ( x, t ), f (0, t ) = 0 ∀t
非线性地流-2-李雅普诺夫第二法(直接法)
问题：1、 v(x) 应具有什么性质。（如何才能构造） 2、怎样用 v(x) 判别稳定性。
问题1：V(x)应具有什么性质。（如何才能构造）
二、李雅普诺夫函数性质： （1）是以状态向量 x(t)为自变量的标量函数。
（∵能量只能有数量的概念）
（2）若 x e 0 是系统平衡状态，则 V(xe ) V(0) 0 ，
系统在xe = 0处是不稳定的。
例1-4 设系统的状态方程为
x1 x2 x2 x1 x2
试确定其平衡状态的稳定性。
v(x) = x12 + x22 > 0
v( x) 2x1x12 2x2 x2 2x22 0
当 v( x)0时，x2 = 0， x1 = 0。 当x1=任意值，x2 = 0时，v( x)=0，但不会恒等于零。按 照定理，系统在xe=0处是渐近稳定的。又当‖x‖时， v(x)，故xe=0也是大范围渐近稳定的。
稳定性定理小结
• 下V面(x)将前面讨论的V李’(x雅) 普诺夫稳定性的结论判定
方正定法(>作0) 一小结 负定(<0)
该平衡态渐近稳定
正定(>0)
半负定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解)
该平衡态渐近稳定
正定(>0)
半负定(0)且恒为0 (对某一非零的初始状态的解)
该平衡态稳定 但非渐近稳定
dx dx
(0.5x
2x x
x2
)
令 dx ，0则求得系统的两个奇点
dx 0
x1 x1
0 0
x x
2 2
2 0
为确定奇点类型，需计算各奇点处的一个阶偏导数及增量
线性化方程。
奇点（0，0）处
f (x, x) 2
问题1：V(x)应具有什么性质。（如何才能构造）
二、李雅普诺夫函数性质： （1）是以状态向量 x(t)为自变量的标量函数。
（∵能量只能有数量的概念）
（2）若 x e 0 是系统平衡状态，则 V(xe ) V(0) 0 ，
系统在xe = 0处是不稳定的。
例1-4 设系统的状态方程为
x1 x2 x2 x1 x2
试确定其平衡状态的稳定性。
v(x) = x12 + x22 > 0
v( x) 2x1x12 2x2 x2 2x22 0
当 v( x)0时，x2 = 0， x1 = 0。 当x1=任意值，x2 = 0时，v( x)=0，但不会恒等于零。按 照定理，系统在xe=0处是渐近稳定的。又当‖x‖时， v(x)，故xe=0也是大范围渐近稳定的。
稳定性定理小结
• 下V面(x)将前面讨论的V李’(x雅) 普诺夫稳定性的结论判定
方正定法(>作0) 一小结 负定(<0)
该平衡态渐近稳定
正定(>0)
半负定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解)
该平衡态渐近稳定
正定(>0)
半负定(0)且恒为0 (对某一非零的初始状态的解)
该平衡态稳定 但非渐近稳定
dx dx
(0.5x
2x x
x2
)
令 dx ，0则求得系统的两个奇点
dx 0
x1 x1
0 0
x x
2 2
2 0
为确定奇点类型，需计算各奇点处的一个阶偏导数及增量
线性化方程。
奇点（0，0）处
f (x, x) 2
李雅普诺夫稳定性的基本定理
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(2/5)
右图所示动力学系统的平衡态在 一定范围内为渐近稳定的平衡态。
对该平衡态的邻域,可定义其
能量(动能+势能)函数如下:
h
f
x
v
mg
V 1 mv2 mgh 2
1 mx2 mg(x cos ) 0
2
渐近稳定 平衡态
其中x为位移, x’为速度,两者且选为状态变量。
其中P称为二次型函数V(x)的权矩阵,它为如下nn维实对称矩阵:
a11 P a12/2
...
a12 / 2 a22 ...
... a1n/2 ... a2n/2 ... ...
a1n/2 a2n/2 ... ann
二次型函数和对称矩阵的正定性(3/4)
二次型函数与一般函数一样,具有正定、负定、非负定、非 正定和不定等定号性概念。 二次型函数V(x)和它的对称权矩阵P是一一对应的。 因此,由二次型函数的正定性同样可定义对称矩阵P的正 定性。
矩阵正定性的判别方法(4/5)—例5-2
例3-2 试用合同变换法判别下列实对称矩阵P的定号性:
1 -1 -1
P -1 3
2
-1 2 5
解 先对对称矩阵P作合同变换如下
矩阵正定性的判别方法(5/5)—例5-2
1 -1 -1
1 0 -1
P -1 3
矩阵正定性的判别方法(1/5)
(3) 矩阵正定性的判别方法
判别矩阵的正定性(定号性)的方法主要有 塞尔维斯特判别法、 矩阵特征值判别法和 合同变换法。
下面分别介绍。
矩阵正定性的判别方法(2/5)--塞尔维斯特定理
现代控制理论 6-3 李雅普诺夫第二法(直接法)
1 2 1 2 kx1 + mx2 2 2
⎡x ⎤ x= ⎢ 1⎥ ≠0 ⎣ x2 ⎦ ⎡x ⎤ x= ⎢ 1⎥ =0 ⎣ x2 ⎦
V (x ) > 0 V (x ) = 0
前页
3
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
m
& ⎡ x1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎧ x1 = x2 ⎪ x=⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎨ k μ & & ⎣ x2 ⎦ ⎣ x ⎦ ⎪ x2 = − x1 − x2 m m ⎩
在零平衡状态 xe=0 的邻域内
5,
x ≠ 0,
V (x ) > 0 V (x ) = 0 V (x ) < 0
⇒ V (x ) 不定
前页
10
5
例：已知 x = [x1 x2 x3 ]，确定标量函数的定号性
T
2 2 (1) V (x ) = x14 + 2 x2 + x3
解： x = 0, V (x ) = 0
下页
2 返回
1
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
m
& m&& = −kx − μx x
1 选取 x = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ & ⎣ x2 ⎦ ⎣ x ⎦
返回
⎡x ⎤
⎡ x⎤
k
& ⎧ x1 = x2 ⎪ 状态方程 ⎨ k μ & ⎪ x2 = − m x1 − m x2 ⎩
系统能量
V (x ) =
⇔ λp < 0 ⇔ λp ≤ 0
17
例：确定下列二次型的定号性。
2 2 V (x ) = x12 + 2 x2 − x3
李雅普诺夫第二法
12/23/2012
2 V ( x) ( x1 x2 )( x1 x2 ) 2x1x1 x2 x2 ( x12 x2 )
当 x 时， ( x) ，所以系统在其原点处大范围 V 渐近稳定。
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
x1 x1 x2 例4-8 系统的状态方程为 x2 x1 x2
,
,
可见此二次型函数是正定的，即
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.2 几个稳定性判据 定理 设系统的状态方程为
x f ( x),
如果平衡状态 xe 0, 即， f ( xe ) 0 如果存在标量函数V(x) 满足：
1） V ( x) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） V ( x) 是正定的；
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
例 设 x x1
x2
x3
T
2 1) V ( x) ( x1 x2 )2 x3
因为V（0） 0，而且对非零向量 ，有x a，a， T 0, x （ - 0） 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
2 2) V ( x) x12 x2因为V（0） 0，而且对非零向量 ，有x 0， a） 0, x （ 0， T 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
2. 二次型标量函数
设 x1，x2 ，xn为n个变量， 二次型标量函数可写为
p11 p V ( x) xT Px x1 x2 xn 21 pn1 其中，P为实对称矩阵。 p12 p22 p1n x1 x2 pnn xn
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
李雅普诺夫第二法稳定性判据
① 若 V( x ) 为半负定，那么平衡状态xe为李雅普诺夫 意义下稳定。稳定判据
② 若 V( x )为负定，或者虽然V( x ) 为半负定，但对任
意初始状态 x(t0)0 来说，除去x=0外，对 x0 ，V( x )
不恒为零。原点平衡状态为渐近稳定。如果有 x 时，V(x) 则系统是大范围渐近稳定。
2）对一个给定的系统，V(x)是可以找到的，通常是 非唯一的，但不影响结论的一致性。
3）V(x)的最简单形式是二次型函数，但不一定都是 简单的二次型。
对李雅普诺夫函数的讨论
4）如果V(x)的二次型可以表示成标准二次型，V(x) 就表示从原点到到x点的距离。V(x)的导数表征了系 统相对原点的速度。
渐近稳定
如果平衡状态xe是稳定的，而且当t无限增长时，轨
线不仅不超出 s( ) ，而且最终收敛于xe，则称平衡
状态xe是渐近稳定的。
大范围渐近稳定
如果平衡状态xe是稳定的，并且从状态空间中所有初 始状态出发的轨线都是具有渐近稳定性，则称平衡状 态xe是大范围渐近稳定的。
不稳定
如果对于某个实数 0和任一实数 0，不管 这个实数多么小，由 s( ) 内出发的状态轨线， 至少有一个轨线越过 ，s(则)称平衡状态xe不 稳定。
2）若
0
i
0
i为偶数 i为奇数
则P（或V(x)）为负定的。
3）若 i00,,ii1n,2,n1则P（或V(x)）为半正定的。
0 i为偶数
4）若
i
0
i为奇数
则P（或V(x)）为半负定的。
0 i=n
李雅普诺夫第二法稳定性判据
设系统的状态方程为
x f (x)
ch4李亚普诺夫稳定性分析
说明： 说明
& e = f ( xe ) = Ax = 0 x 1 、对于线性定常系统：
A 为非奇异阵时，x = 0 是其唯一的平衡状态。 A 为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。 2 、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。 3 、对任意 xe ≠ 0 ，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标 原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。 4 、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这 样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态
p11 如果 ∆1 = p11 > 0, ∆2 = p21
p12 > 0, L , ∆n = P > 0 p22
则P 为正定，即V ( x ) 正定。 2 ）二次型 V ( x ) = xT Px 为负定，或实对称阵P 为负定的充要 条件是P 的主子行列式满足
∆i > 0（ i 为偶数）i = 1 ，2 ，3 ，…, n 。
2 0 1 1 1 1 7 1 0
1 ）二次型 V ( x ) = x Px 为正定，或实对称矩阵P 为正定的充要 条件是P 的所有主子行列式均为正，即：
T
p11 p P = 21 M pn1
p12 L p1 n p22 L p2 n M O L pn 2 L pnn
2 2
[
1 2 2
]
− 范数
ε
表示平衡状态偏差都在以 x − xe ≤ ε 为半径，以平 衡状态 X e 为中心的球域 S (ε ) 里
说明2 ：李氏稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状态临 域的局部稳定性，即小范围稳定性。 说明3 ：系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要 不超过 S (ε ) ，就是李氏稳定的，而古典则认为不稳定。
李雅普诺夫稳定性分析的方法
f ( x, t ), 且f (0, t ) 0 • 定理一.设系统的状态方程: x (坐标原点为平衡状态)如果上述给定系统 存在一个有连续偏导数的标量函数V(x)并 满足下列条件：
1).对所有 x 0 时V(x)>0 ( x) 0 ,则平衡点x=0是渐 2).对所有 x 0 时V 近稳定的. 3).除满足1),2)外,如果 x ,V ( x) 则x=0是大范围渐近稳定的.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变 系统一般稳定性是会失效的.
1 e 2 t x x 0 1
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
et x(t ) 0 (e t e t ) / 2 x(0) t e
• 当 x(0) 0时,若 t 则必有 x • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现 是不收敛和发散的.从而采用特征值判断失 效.
一.系统运动稳定性的性质.
• 运动稳定性的实质,归结为系统平衡状态的 稳定性. • 平衡状态的稳定性问题实际就是:偏离平衡 状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结 构因素,或者使之限制在平衡状态的有限临 域内,或者使之同时返回平衡状态.
1.预备知识
1).标量函数V(x)性质意义: 令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
(2).如果V(x)除原点以及某些状态等于零 外,在域Ω内其余状态处都是正的,则V(x)称
• 定理二
前提如定理一. 1).对所有 x 0 时V(x)>0
( x) 0 ,但不恒等于零,则 2).对所有 x 0 时 V
1).对所有 x 0 时V(x)>0 ( x) 0 ,则平衡点x=0是渐 2).对所有 x 0 时V 近稳定的. 3).除满足1),2)外,如果 x ,V ( x) 则x=0是大范围渐近稳定的.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变 系统一般稳定性是会失效的.
1 e 2 t x x 0 1
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
et x(t ) 0 (e t e t ) / 2 x(0) t e
• 当 x(0) 0时,若 t 则必有 x • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现 是不收敛和发散的.从而采用特征值判断失 效.
一.系统运动稳定性的性质.
• 运动稳定性的实质,归结为系统平衡状态的 稳定性. • 平衡状态的稳定性问题实际就是:偏离平衡 状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结 构因素,或者使之限制在平衡状态的有限临 域内,或者使之同时返回平衡状态.
1.预备知识
1).标量函数V(x)性质意义: 令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
(2).如果V(x)除原点以及某些状态等于零 外,在域Ω内其余状态处都是正的,则V(x)称
• 定理二
前提如定理一. 1).对所有 x 0 时V(x)>0
( x) 0 ,但不恒等于零,则 2).对所有 x 0 时 V
李雅普诺夫判据
设 为由 维矢量 所定义的标量函数，，且在 处，恒有 。所有在域 中的任何矢量 ，如果：
1） ，则称 为正定的。
2） ，则称 为半正定。
3） ，则称 为负定的。
4） ，则称 为半负定的。
5） 或 ，则称 为不定的。
二、问题
用李雅普诺夫第二法来研究下面的系统是否稳定
，其中取A= ，B=
输出：
判断系统的稳定性，若系统不稳定试设计稳定器U优化。
五、参考文献
[1]刘豹唐万生.现代控制理论[M].北京.机械工业出版社
[2]胡寿松自动控制原理[M].北京.科学出版社
பைடு நூலகம்[3]网络文献
[4]网络文献https://
P=lyap(A',Q)
P=
由于 ，由希尔维斯特判据可知，P（即 ）不是正定的，所以原系统不是渐近稳定，只在李亚普诺夫意义下稳定。
2、设计稳定器U
正定标量函数为： ，
沿任意轨迹求 的对时间的导数为： ，
其中将系统方程改写为 ，
得到: ，
要使得系统是稳定的，则必须要使 恒小于0（为负定），
取 ，
可得 ，满足条件。
代入原系统状态方程，则A=
将上式带入 中可以求出P。
P= , ,则 为正定。
通过以上的计算可知施加控制器 后，经校正后的系统是稳定的。
3、结构图
在Matlab中利用simulink搭建框图进行仿真。
图1
输入输出波形如下：
图2
波形如下：
图3
控制器U波形如下：
图4
误差曲线如下：
图5
四、结论
由希尔维斯特判据可判定原系统是不稳定的，施加控制器后，由希尔维斯特判据可判定经校正后的系统是稳定的，由仿真结果可以证实。不稳定的系统可以通过加控制器U，使系统最终趋向渐近稳定，成为稳定的系统。由上可知，李雅普诺夫第二法的关键在于寻找一个满足判据条件的李雅普诺夫函数 。
1） ，则称 为正定的。
2） ，则称 为半正定。
3） ，则称 为负定的。
4） ，则称 为半负定的。
5） 或 ，则称 为不定的。
二、问题
用李雅普诺夫第二法来研究下面的系统是否稳定
，其中取A= ，B=
输出：
判断系统的稳定性，若系统不稳定试设计稳定器U优化。
五、参考文献
[1]刘豹唐万生.现代控制理论[M].北京.机械工业出版社
[2]胡寿松自动控制原理[M].北京.科学出版社
பைடு நூலகம்[3]网络文献
[4]网络文献https://
P=lyap(A',Q)
P=
由于 ，由希尔维斯特判据可知，P（即 ）不是正定的，所以原系统不是渐近稳定，只在李亚普诺夫意义下稳定。
2、设计稳定器U
正定标量函数为： ，
沿任意轨迹求 的对时间的导数为： ，
其中将系统方程改写为 ，
得到: ，
要使得系统是稳定的，则必须要使 恒小于0（为负定），
取 ，
可得 ，满足条件。
代入原系统状态方程，则A=
将上式带入 中可以求出P。
P= , ,则 为正定。
通过以上的计算可知施加控制器 后，经校正后的系统是稳定的。
3、结构图
在Matlab中利用simulink搭建框图进行仿真。
图1
输入输出波形如下：
图2
波形如下：
图3
控制器U波形如下：
图4
误差曲线如下：
图5
四、结论
由希尔维斯特判据可判定原系统是不稳定的，施加控制器后，由希尔维斯特判据可判定经校正后的系统是稳定的，由仿真结果可以证实。不稳定的系统可以通过加控制器U，使系统最终趋向渐近稳定，成为稳定的系统。由上可知，李雅普诺夫第二法的关键在于寻找一个满足判据条件的李雅普诺夫函数 。
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4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法
2. 二次型标量函数
设 x1，x2 ，xn为n个变量，二次型标量函数可写为
V (x) xT Px x1 x2 L
其中，P为实对称矩阵。
p11
xn
p21 M
pn1
p12 L p22 L MO LL
p1n x1
M
x2
M M
pnn
xn
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.2 几个稳定性判据 定理 设系统的状态方程为 x& f (x), 如果平衡状态 xe 0, 即，f (xe ) 0 如果存在标量函数V(x) 满足： 1） V (x) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） V (x) 是正定的； 3）若 V&(x)是正定的。
第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
4.3 李雅普诺夫第二法
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法
李氏第二法（直接法）：通过构造李氏函数，从能量的角 度直接判断系统稳定性。
系统被激励 储能随时间
逐渐衰减至最小值
渐近稳定
储能不变
李氏稳定
储能越来越大
不稳定
思路：对于一个给定的系统，如果能够找到一个正定的标量
设实对称阵
p11
P
p21
M
pn1
p12 L p22 L MO LL
p1n
M , M
pij
p ji
pnn
i 为其各阶顺序主子式，即
1 p11 ,
2
p11 p21
p12 p22
,L
, n
P
矩阵P或V(x)定号性的充要条件是：
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法
(1)若 i 0 (i 1, 2,L , n)， 则 P 正定；
则平衡状态 xe 为在李亚普诺夫意义下的稳定。
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.2 几个稳定性判据
定理 设系统的状态方程为 x& f (x), 如果平衡状态 xe 0, 即，f (xe ) 0 如果存在标量函数V(x) 满足： 1） V (x) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） V (x) 是正定的； 3）若 V&(x)是负定的；或者 V&(x)为半负定，对任意初始状 态 x(t0 ) 0 ，除去x=0外，有 V&(x)不恒为0。 则平衡状态 xe 是渐近稳定的。 进一步当 x ，有 V (x) ，则在原点处的平衡状态 是大范围渐近稳定的。
解：二次型 可以写为
,
,
可见此二次型函数是正定的，即
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.2 几个稳定性判据 定理 设系统的状态方程为 x& f (x), 如果平衡状态 xe 0, 即，f (xe ) 0 如果存在标量函数V(x) 满足： 1） V (x) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） V (x) 是正定的； 3）若V&(x) 是半负定的。
设 是向量 x 的标量函数，且在 x=0 处，恒有 对所有在定义域中的任何非零向量 x，如果成立：
（1） （2） （3） （4） （5）
，则称 ，则称 ，则称 ，则称 ，或
是正定的。 是半正定(非负定)的。 是负定的。 是半负定(非正定)的。
则称 是不定的。
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法
(2)若
0(i为偶数) i 0(i为奇数)
，则 P 负定；
(3)若
0(i=1,2,L i 0(i=n)
,n-1) ，则 P 半正定；
0(i为偶数) (4)若 i 0(i为奇数)
0(i=n)
，则 P 半负定；
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法
例 证明如下二次型函数是正定的。 V (x) 10x12 4x22 x32 2x1x2 2x2 x3 4x1x3
函数V(x)（广义能量函数）,显然可以根据该函数的导数V&(x)
来确定能量随着时间的推移是减小的，还是增加的，或者是 保持不变的。
李 氏 直 接 法 ： 利 用V(x)及V(x)的 符 号 性 质 来 直 接 判 断系 统 在 平衡处是否稳定。
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.1 预备知识 1. 标量函数符号性质
x2
x0
x2
x0
V ( x )C
V ( x )C
xe
x1
xe
x1
（3）稳定判据只是充分条件而非必要条件！
4/23/2020
4.3 李雅Leabharlann 诺夫第二法例4-4 已知系统 x&1 x2 x1(x12 x22 )
数，则 （1）V (x)正定，则 P 正定矩阵，记为 P>0; （2）V (x)负定，则 P 负定矩阵，记为 P<0; （3）V (x) 半正定，则 P 半正定矩阵，记为 P≥0; （4）V (x) 半负定，则 P 半负定矩阵，记为 P≤0;
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法 3、希尔维斯特判据
则平衡状态 xe 是不稳定的。
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法
说明：
（1） V&(x) 0 ，则此时 V (x) C ，系统轨迹将在某个曲面上， 而不能收敛于原点，因此不是渐近稳定。
（2）V&(x)不恒等于0，说明轨迹在某个时刻与曲面 V (x) C相交， 但仍会收敛于原点，所以是渐近稳定。
例如：
1 1 0 x1
V (x) x12 2x1x2 x22 x32 x1
x2
x3 1
1
0
x2
0 0 1 x3
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法
二次型函数，若P为实对称阵，则必存在正交矩阵T，
通过变换 x Tx ，使之化为：
V (x) xT Px xTT T PTx xT (T T PT )x x T Px
例 设 x x1 x2 x3 T
1) V (x) (x1 x2 )2 x32 因为V（0） 0，而且对非零向量x，有x （a，- a，0）T 0, 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
2) V (x) x12 x22
因为V（0） 0，而且对非零向量x，有x （0，0，a）T 0, 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
1
xT
0
2
O
0
n
x
i 1
i xi2
n
此称为二次型函数的标准型，i 为P的特征值，则 V (x) 正定的充要条件是P的特征值 i 均大于0。
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法 矩阵P的符号性质定义如下：
设 P 为n×n实对称阵，V (x) xT Px 为由 P 决定的二次型函
4.3 李雅普诺夫第二法
2. 二次型标量函数
设 x1，x2 ，xn为n个变量，二次型标量函数可写为
V (x) xT Px x1 x2 L
其中，P为实对称矩阵。
p11
xn
p21 M
pn1
p12 L p22 L MO LL
p1n x1
M
x2
M M
pnn
xn
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.2 几个稳定性判据 定理 设系统的状态方程为 x& f (x), 如果平衡状态 xe 0, 即，f (xe ) 0 如果存在标量函数V(x) 满足： 1） V (x) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） V (x) 是正定的； 3）若 V&(x)是正定的。
第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
4.3 李雅普诺夫第二法
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法
李氏第二法（直接法）：通过构造李氏函数，从能量的角 度直接判断系统稳定性。
系统被激励 储能随时间
逐渐衰减至最小值
渐近稳定
储能不变
李氏稳定
储能越来越大
不稳定
思路：对于一个给定的系统，如果能够找到一个正定的标量
设实对称阵
p11
P
p21
M
pn1
p12 L p22 L MO LL
p1n
M , M
pij
p ji
pnn
i 为其各阶顺序主子式，即
1 p11 ,
2
p11 p21
p12 p22
,L
, n
P
矩阵P或V(x)定号性的充要条件是：
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法
(1)若 i 0 (i 1, 2,L , n)， 则 P 正定；
则平衡状态 xe 为在李亚普诺夫意义下的稳定。
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.2 几个稳定性判据
定理 设系统的状态方程为 x& f (x), 如果平衡状态 xe 0, 即，f (xe ) 0 如果存在标量函数V(x) 满足： 1） V (x) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） V (x) 是正定的； 3）若 V&(x)是负定的；或者 V&(x)为半负定，对任意初始状 态 x(t0 ) 0 ，除去x=0外，有 V&(x)不恒为0。 则平衡状态 xe 是渐近稳定的。 进一步当 x ，有 V (x) ，则在原点处的平衡状态 是大范围渐近稳定的。
解：二次型 可以写为
,
,
可见此二次型函数是正定的，即
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4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.2 几个稳定性判据 定理 设系统的状态方程为 x& f (x), 如果平衡状态 xe 0, 即，f (xe ) 0 如果存在标量函数V(x) 满足： 1） V (x) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） V (x) 是正定的； 3）若V&(x) 是半负定的。
设 是向量 x 的标量函数，且在 x=0 处，恒有 对所有在定义域中的任何非零向量 x，如果成立：
（1） （2） （3） （4） （5）
，则称 ，则称 ，则称 ，则称 ，或
是正定的。 是半正定(非负定)的。 是负定的。 是半负定(非正定)的。
则称 是不定的。
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4.3 李雅普诺夫第二法
(2)若
0(i为偶数) i 0(i为奇数)
，则 P 负定；
(3)若
0(i=1,2,L i 0(i=n)
,n-1) ，则 P 半正定；
0(i为偶数) (4)若 i 0(i为奇数)
0(i=n)
，则 P 半负定；
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4.3 李雅普诺夫第二法
例 证明如下二次型函数是正定的。 V (x) 10x12 4x22 x32 2x1x2 2x2 x3 4x1x3
函数V(x)（广义能量函数）,显然可以根据该函数的导数V&(x)
来确定能量随着时间的推移是减小的，还是增加的，或者是 保持不变的。
李 氏 直 接 法 ： 利 用V(x)及V(x)的 符 号 性 质 来 直 接 判 断系 统 在 平衡处是否稳定。
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.1 预备知识 1. 标量函数符号性质
x2
x0
x2
x0
V ( x )C
V ( x )C
xe
x1
xe
x1
（3）稳定判据只是充分条件而非必要条件！
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4.3 李雅Leabharlann 诺夫第二法例4-4 已知系统 x&1 x2 x1(x12 x22 )
数，则 （1）V (x)正定，则 P 正定矩阵，记为 P>0; （2）V (x)负定，则 P 负定矩阵，记为 P<0; （3）V (x) 半正定，则 P 半正定矩阵，记为 P≥0; （4）V (x) 半负定，则 P 半负定矩阵，记为 P≤0;
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法 3、希尔维斯特判据
则平衡状态 xe 是不稳定的。
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法
说明：
（1） V&(x) 0 ，则此时 V (x) C ，系统轨迹将在某个曲面上， 而不能收敛于原点，因此不是渐近稳定。
（2）V&(x)不恒等于0，说明轨迹在某个时刻与曲面 V (x) C相交， 但仍会收敛于原点，所以是渐近稳定。
例如：
1 1 0 x1
V (x) x12 2x1x2 x22 x32 x1
x2
x3 1
1
0
x2
0 0 1 x3
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法
二次型函数，若P为实对称阵，则必存在正交矩阵T，
通过变换 x Tx ，使之化为：
V (x) xT Px xTT T PTx xT (T T PT )x x T Px
例 设 x x1 x2 x3 T
1) V (x) (x1 x2 )2 x32 因为V（0） 0，而且对非零向量x，有x （a，- a，0）T 0, 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
2) V (x) x12 x22
因为V（0） 0，而且对非零向量x，有x （0，0，a）T 0, 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
1
xT
0
2
O
0
n
x
i 1
i xi2
n
此称为二次型函数的标准型，i 为P的特征值，则 V (x) 正定的充要条件是P的特征值 i 均大于0。
4/23/2020
4.3 李雅普诺夫第二法 矩阵P的符号性质定义如下：
设 P 为n×n实对称阵，V (x) xT Px 为由 P 决定的二次型函