李雅普诺夫函数的构造
常微分方程中李雅普诺夫函数构造方法
武夷学院学报JOURNAL OF WUYI UNIVERSITY第40卷第3期2021年3月Vol.40 No.3Mar. 2021常微分方程中李雅普诺夫函数构造方法陆求赐】，张宋传2,王学彬2(1.武夷学院人文与教师教育学院，福建武夷山354300； 2.武夷学院数计学院，福建武夷山354300)扌商 要：李雅普诺夫直接法,就是在不求方程组解的情况下，构造一个李雅普诺夫函数,通过微分方程组所计算岀来的全导数的符号性质，来判断微分方程组零解的稳定性，但至今仍没有一种统一的方法来构造李雅普诺夫函数。
通过 对一个含参数例子的分析,介绍几种常见且适用的李雅普诺夫函数的构造方法:首次积分法、能量函数法、分离变量法、待定系数法和二次型矩阵法等。
关键词：常微分方程;李雅普诺夫函数;零解的稳定性;构造方法中图分类号：O175.26 文献标识码:A 考虑如下自治的微分方程组牯(x )(1)这里X =(x 1,x 2，…x ”)表示n ("逸2)维向量,i =1,2，…,n ,假设f (0)=0(0表示向量),且f (x )在某邻域G ：||x ||臆A (A 为正常数)内有连续的偏导数，从而方程组(1)的由其初值条件x (t °)=x 。
所决定的解在邻域G 内存在且唯一°李雅普诺夫第二方法:通过方程组(1)来构造一个特殊的函数V (x ),并假设V (x )关于所有变元的偏导数存在且连续，将V (x )对变量t 求导，并将方程组(1)代入得：d V § dV dx , § 坠卩 f(2)dt =移 dx, dt=移 dx ,)这个式(2)就是函数V (x )沿方程组(1)求得的全导数，现通过式(2)的符号来判定方程组(1)零解的稳定 性,这就是李雅普诺夫第二方法的思路,这个函数收稿日期：2020-07-21基金项目：武夷学院校科研基金项目(XL201408)；福建省教育厅科技项目(JA15512、JAT160519)；福建省自然科学基金(2016J01682)；高级引进人才 科研启动基金(YJ201802)资助°作者简介:陆求赐(1975-)，男,汉族,副教授，主要从事基础数学教学和微分方程的研究°文章编号：1674-2109(2021)03-0016-05V (x )就称为李雅普诺夫函数，简称V 函数［1-2］°李雅普诺夫函数作为常微分方程的重要内容之一,学好它可以为进入常微分方程领域的研究打好基础。
李雅普诺夫能量函数
李雅普诺夫能量函数
李雅普诺夫能量函数是控制系统理论中的一种重要方法，可以用于描述非线性系统的稳定性。
该函数的名称来源于19世纪俄罗斯数学家亚历山大·米哈伊洛维奇·李雅普诺夫。
在控制系统中，我们经常需要研究一些非线性系统，例如非线性电路、非线性机械系统等。
这些系统具有复杂的特性，很难通过直接的方法来分析其稳定性。
因此，我们需要一些更为有效的方法来描述这些系统的稳定性和动态特性。
李雅普诺夫能量函数就是这样一种方法。
李雅普诺夫能量函数是指一个非负的、可微的函数，通常用V(x)表示，其中x表示系统状态。
该函数可以描述系统的能量状态，通过分析它的变化情况，我们可以判断系统的稳定性。
具体来说，李雅普诺夫函数可归纳为如下几种类型：
指数型李雅普诺夫函数的形式为：
V(x) = e^(αx)
其中α是一个正实数。
指数函数具有单调递增的性质，因此V(x)也是单调递增的。
当系统状态x趋近于无穷大时，函数值也会趋近于无穷大，表示系统不稳定。
反之，当系统状态x趋近于零时，函数值也会趋近于零，表示系统稳定。
在使用李雅普诺夫能量函数进行稳定性分析时，我们通常会采用李雅普诺夫定理，它可以判断系统的稳定性。
具体来说，李雅普诺夫定理有如下几个方面：
1. 如果李雅普诺夫函数是严格单调递减的，那么系统是渐近稳定的。
需要注意的是，使用李雅普诺夫能量函数进行稳定性分析还需要满足一些前提条件，例如系统需要是局部可观测和可控的。
此外，我们还需要选择合适的李雅普诺夫函数，以便更准确地描述系统的稳定性。
带系数的李雅普诺夫函数
带系数的李雅普诺夫函数带系数的李雅普诺夫函数在动力系统理论中扮演着重要的角色。
它是一种能够刻画动力系统稳定性与不稳定性的函数，可以用来分析非线性系统的演化行为。
本文将详细介绍带系数的李雅普诺夫函数的概念、性质和应用，以及它在实际问题中的指导意义。
首先，我们来了解一下李雅普诺夫函数的基本概念。
带系数的李雅普诺夫函数是对一般形式的李雅普诺夫函数进行了扩展，引入了系数的概念。
它的定义形式如下：$$V(x,t)=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i(t)v_i(x)$$其中，$x$是系统状态，$t$是时间，$\alpha_i(t)$是随时间变化的系数，$v_i(x)$是一组与状态变量$x$有关的函数。
带系数的李雅普诺夫函数可以用来描述系统在不同状态下的稳定性。
带系数的李雅普诺夫函数具有一些重要的性质。
首先，它是非负的，即$V(x,t)\geq0$，且仅在$x$达到系统平衡点时取到零值。
其次，它的导数对时间的变化是非正的，即$\frac{dV(x,t)}{dt}\leq0$，这意味着李雅普诺夫函数的值在系统演化过程中会趋于稳定。
最后，带系数的李雅普诺夫函数还满足一个重要的性质，即对于任意非负的常数$\kappa$，存在一个常数$\tau$使得$\frac{dV(x,t)}{dt}\leq-\kappa V(x,t)$，这意味着系统在某个时间尺度上会以指数速度趋于稳定。
带系数的李雅普诺夫函数在实际问题中具有广泛的应用。
首先，它可以用来判断系统的稳定性。
通过计算带系数的李雅普诺夫函数及其导数，可以判断系统是否会收敛到某个平衡点或周期轨道。
其次，带系数的李雅普诺夫函数还可以用来设计稳定控制策略。
通过调整系数$\alpha_i(t)$，可以使系统的稳定性得到改善，从而实现对非线性系统的控制。
此外，带系数的李雅普诺夫函数还可以应用于信号处理、机器学习等领域，用于分析和识别复杂的动态模式。
总之，带系数的李雅普诺夫函数是一种重要的非线性分析工具，它能够深入理解系统的演化行为和稳定性特性。
李雅普诺夫第二法
12/23/2012
2 V ( x) ( x1 x2 )( x1 x2 ) 2x1x1 x2 x2 ( x12 x2 )
当 x 时， ( x) ，所以系统在其原点处大范围 V 渐近稳定。
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
x1 x1 x2 例4-8 系统的状态方程为 x2 x1 x2
,
,
可见此二次型函数是正定的，即
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.2 几个稳定性判据 定理 设系统的状态方程为
x f ( x),
如果平衡状态 xe 0, 即， f ( xe ) 0 如果存在标量函数V(x) 满足：
1） V ( x) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） V ( x) 是正定的；
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
例 设 x x1
x2
x3
T
2 1) V ( x) ( x1 x2 )2 x3
因为V（0） 0，而且对非零向量 ，有x a，a， T 0, x （ - 0） 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
2 2) V ( x) x12 x2因为V（0） 0，而且对非零向量 ，有x 0， a） 0, x （ 0， T 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
2. 二次型标量函数
设 x1，x2 ，xn为n个变量， 二次型标量函数可写为
p11 p V ( x) xT Px x1 x2 xn 21 pn1 其中，P为实对称矩阵。 p12 p22 p1n x1 x2 pnn xn
李李雅普诺夫函数
1 李雅普诺夫稳定性系统的李雅普诺夫稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动时，经过“足够长”的时间以后，系统恢复到平衡状态的能力。
因此，系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。
自治系统的静止状态就是系统的平衡状态。
无外部输入作用时的系统称为自治系统。
设系统状态方程为),(t x f x= ，若对所有t ，状态x 满足0=x ，则称该状态x 为平衡状态，记为e x 。
故有下式成立0),(=t x f e 。
由此式在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
线性定常系统的平衡点：将方程),(t x f x= 化成Ax x = ，其平衡状态e x 应满足代数方程0=Ax 。
解此方程，当A 是非奇异时，则系统存在惟一的一个平衡点0=e x 。
当A 是奇异时，则系统的平衡点可能不止一个。
如果A 的行列式值为0，则A 为奇异矩阵；行列式值不为0，则A 为非奇异矩阵。
换言之，能求逆的矩阵为非奇异矩阵。
大范围渐近稳定性的理解： 系统不管在什么样的初始状态下，经过足够长的时间总能回到平衡点附近且不断的向平衡点靠拢，则系统就是大范围渐近稳定。
对于线性系统，由于其满足叠加原理，所以系统若是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。
在此验证了线性系统稳定性与初始条件大小无关的特性。
对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上一定趋向于无穷远。
2. 李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫第一法又称间接法。
它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。
对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断。
对于非线性不很严重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。
线性定常系统Ax x≡ ，渐近稳定的充要条件是系统矩阵A 的特征值λ均具有负实部，即()n i i ,2,1,0Re =<λ李雅普诺夫第二法又称直接法。
运用此法可以在不求出状态方程解的条件下，直接确定系统的稳定性。
李雅普诺夫第二方法简介
V (x1,x2)3 x1 22 x1 x22 x2 2
易于验证，这是一个正定函数。
求出 V 沿微分方程解的导数：
V x v 1 x 1 x v 2 x 2 ( 6 x 1 2 x 2 ) x 2 ( 2 x 1 4 x 2 ) ( x 1 x 2 ) 2 ( x 1 2 x 2 2 )
V(x, y) x y2 y2.
正定
V(x, y) 1 y2 g (1 cos x). 2l
正定
V(x, y) ax2 bxy cy2
a 0, 4ac b2 0.
a 0,
4ac b2 0.
V(x, y) 1 y2 x g(s)ds,
2
0
xg(x) 0.
正定 负定
eA Tt(P 1P 2)eA tC t
t 0P1P2C
又
lim t eA Tt(P 1P 2)eA t0
P 1 P 2 。
证 完 。
几点说明： 1. 矩阵方程（7—44）给出了构造这个二次型v函数的
具体途径，在指定正定对称的Q阵后可求解（7-44） 所定义的(1/2)n(n+1)个未知量的代数方程组。定 理的结论表明A若是渐近稳定时，这个代数方程组 有唯一解存在;
及 d et(M )(a 1 1 4 ( a 1 a 1 2 2 )a 22 2)(2 a 1 d 2 et (A a 2 )1)20（ 2 ） 由（ 2）：必须
d e tA a 1 1 a 2 2 a 1 2 a 2 1 0（ 3 ） 由 （ 1 ） ， 并 考 虑 到 （ 3 ） ， 应 有
x2
u2
u1
v0
ε x1
u3
例:考虑如下系统关于零解的稳定性： x 5x
常微分方程的李雅普诺夫函数
常微分方程的李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数（Lyapunov function）是研究常微分方程稳定性的重要工具。
它能够通过引入一个函数来刻画系统稳定性的特点，对于分析系统的稳定性和发展趋势具有重要意义。
本文将介绍李雅普诺夫函数的定义、性质及应用，以及在常微分方程中的具体应用案例。
一、李雅普诺夫函数的定义李雅普诺夫函数是一个实数函数V(x)，其中x表示系统的状态变量。
若对于任意一个系统状态x(t)，满足以下条件，那么函数V(x)称为李雅普诺夫函数：1. V(x)是正定函数：对于所有的x≠0，V(x)>0；对于x=0，V(x)=0。
2. V(x)是可微函数：V(x)在定义域内可导。
3. V(x)是递减函数：对于系统状态的演化轨迹x(t)，有dV(x(t))/dt ≤ 0。
二、李雅普诺夫函数的性质1. 李雅普诺夫函数的存在性：对于一类稳定系统，通常可以找到一个李雅普诺夫函数来描述其稳定性。
2. 李雅普诺夫函数的唯一性：对于稳定系统，可能存在多个满足条件的李雅普诺夫函数，但它们在系统稳定性的刻画上是等价的。
3. 李雅普诺夫函数的偏导数性质：对于李雅普诺夫函数V(x)，其偏导数∂V/∂x的性质与系统的稳定性密切相关。
- 若∂V/∂x < 0，则系统是渐进稳定的。
- 若∂V/∂x > 0，则系统是不稳定的。
- 若∂V/∂x = 0，则系统的稳定性无法确定。
三、李雅普诺夫函数的应用李雅普诺夫函数在常微分方程的研究中具有广泛应用，下面介绍几个常见的应用案例。
1. 稳定性分析：李雅普诺夫函数可以用于判断系统状态的稳定性。
通过构造合适的李雅普诺夫函数，可以确定系统的稳定性以及稳定点的性质（渐进稳定、有界稳定等）。
2. 极限周期分析：对于周期系统，李雅普诺夫函数可以用于分析系统周期解的性质。
通过求解李雅普诺夫方程，可以判断周期解的稳定性以及极限周期的存在性。
3. 可解性判定：对于非线性系统，通过构造适当的李雅普诺夫函数，可以从数学上证明系统的可解性，为求解提供理论基础。
李雅普诺夫函数的构造及应用
榆 林 学 院 学 报
Ｊ０ＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＹＵＬＩＮ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
ＮＯＶ．２Ｏｌ１ Ｖ０Ｌ２１ Ｎｏ．６
李雅 普诺夫 函数的构造及应用
张永华 ，苑文法
（西安建 筑科技 大 学 理 学 院，陕西 西安 ７１００５５）
摘 要 ：运用李雅普诺夫稳定性理论对系统零解稳定性判断分析，介绍 了函数的构造方法和形式，并举
（Ｘ） （Ｘ）＞０），则 方程 的定点 是不稳 定 的。
定 理 ４ 函数 Ｖ（ｘ，Ｙ）＝Ｏｔ．Ｘ ＋ｂｘｙ＋ｃｙ 是 正 定
的 当且仅 当 ａ＞０和 ４ａｃ—ｂ ＞０同时 成 立 ，是 负 定
的 当且 仅 当 ａ＜０和 ４ａｃ—ｂ ＞０同时成立 。
定理 ５ 设在 原点 的邻 ｕ域 内有 函数 Ｖ（Ｘ），它
１定义 和定理 为了讨论的方便我们只讨论 函数不含的，即，自 治的动力学方程。首先介绍李雅 普诺夫 函数 的概 念 ，以及 李雅 普诺 夫 判 断非 线 性 自治 系 统零 解 的稳 定性 态 的几个 定 理 。 定 义 １ 设 函数 Ｖ（Ｘ）为 在 相 空 间坐 标 原 点 的 邻 域 Ｄ（Ｄ：ｌＩ ｘｉ ｌ１）＜Ｈ，Ｈ 为 大 于零 的小 数 中 的连 续 函数 ，而 Ｖ（ｘ）且 是 正定 的 ，即除 了 Ｖ（Ｏ）＝０外 ， 对 于 Ｄ 中所 有 别 的 点 均 Ｖ（Ｘ）＞０。这 样 的 函数 称 为李 雅普诺 夫 函数 。 下 面给 出几 个 函数 ： 函数 Ｖ＝ｘ ＋Ｘ 在 Ｘ１Ｘ：平 面 上 为 正 定 的 ；函数 Ｖ＝一（Ｘ ＋Ｘ ）在 ｘ，ｘ 平 面上 为 负定 的 ；函数 Ｖ＝ｘ
得 到零 解稳 定 ，而一得不． 例 Ｕ到 渐 近稳 定 性 。所 以构 造 出 ｖ， ｃ、＇ｌ
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李雅普诺夫函数的构造
李雅普诺夫函数是一类重要的科学函数，在许多科学领域中得到了广泛的应用。
李雅普诺夫函数的构造是一个复杂的过程，很难有一个统一的标准。
本文将从几个方面来讨论李雅普诺夫函数的构造，以期更好地了解它的构造原理。
一、李雅普诺夫函数的基本定义
李雅普诺夫函数是一类重要的科学函数，它具有单调性和可导性。
一般来说，李雅普诺夫函数可以用一个多项式的形式来表示，它可以用来描述一类特定的物理系统的性质。
二、李雅普诺夫函数的构造
李雅普诺夫函数的构造包括三个步骤：确定函数的参数，构造函数，以及函数的求解。
首先，要确定李雅普诺夫函数的参数，这些参数包括函数的维数、函数的拟合精度和函数的最大值。
其次，通过这些参数，可以使用数学工具，如微积分和多项式来构造李雅普诺夫函数。
最后，可以使用数值计算方法来求解李雅普诺夫函数。
三、李雅普诺夫函数的应用
李雅普诺夫函数在许多科学领域中得到了广泛的应用，如物理学、数学以及工程领域。
在物理学中，李雅普诺夫函数可以用来模拟复杂的物理现象，如重力场、磁场和电场等。
在数学中，李雅普诺夫函数可以用来求解复杂的微分方程，以及计算多元函数的极值。
在工程领域，李雅普诺夫函数可以用来求解复杂的工程问题，如机械制造、汽车制造和建筑设计等。
四、李雅普诺夫函数的研究
由于李雅普诺夫函数在许多科学领域中得到了广泛的应用，因此研究李雅普诺夫函数也受到了越来越多的关注。
目前，研究的重点主要集中在函数的构造、函数的求解和函数的应用等方面。
在函数的构造方面，研究者们正在努力探索更加简单、高效的构造方法。
在函数的求解方面，研究者们正在开发更加高效的求解方法，以满足不同应用场景的需求。
在函数的应用方面，研究者们正在研究如何应用李雅普诺夫函数来解决更加复杂的问题。
五、结论
李雅普诺夫函数是一类重要的科学函数，它具有单调性和可导性。
李雅普诺夫函数的构造是一个复杂的过程，它包括确定函数的参数、构造函数和函数的求解三个步骤。
李雅普诺夫函数在许多科学领域中得到了广泛的应用，因此研究李雅普诺夫函数也受到了越来越多的关注。
未来，研究者们将会继续努力，探索更加简单、高效的构造方法，开发更加高效的求解方法，以及应用李雅普诺夫函数来解决更加复杂
的问题。