第4章 李亚普诺夫稳定性分析
系统稳定性及其李雅普诺夫稳定
第四章系统稳定性及其李雅普诺夫稳定4－1 稳定性一般概念对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地发挥作用的。
从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会回到原来的平衡位置。
系统的稳定一般有外部稳定和内部稳定两种。
外部稳定又称作输出稳定，也就是当系统在干扰取消后，在一定时间内，其输出会恢复到原来的稳态输出。
输出稳定有时描述为系统的BIBO稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。
系统内部稳定主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响。
当扰动信号取消后，系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。
在经典控制论中，研究对象都是用高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO）系统，反映的仅是输入输出的关系，不会涉及系统内部的状态。
因此经典控制论中只讨论系统的输出稳定问题。
系统的稳定性是系统本身的特性，与系统的外部输入（控制）无关。
在经典控制论中，我们通过研究线性定常系统的特征根的情况来判断系统的输出稳定性：如果系统的特征根都有负的实部（即都在复平面的左部），则系统输出稳定。
对于n阶线性连续系统，其特征方程为：…………………………（4－1）当n≥4时，要求出其所有特征根是非常困难的，从而要想通过解出高阶系统的特征根来判别系统稳定性也是不现实的。
所以1877年劳斯（Routh）和1895年霍尔维茨（Hurwitz）分别提出了有名的劳斯－霍尔维茨稳定判据，它可以通过线性定常系统特征方程的系数的简单代数运算来判别系统输出稳定性，而不必求出各个特征根。
有关Routh-Hurwitz判据的详细内容请参阅有关经典控制论教材。
当系统不是线性定常系统时，或者对于系统内部状态稳定问题，经典控制论中的方法就不好解决了，这就需要下面介绍的李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性的理论。
第四章(稳定性与李雅普诺夫方法)
1、构造Liaponov 函数没有确定的方法，要求一定的技巧，一般 用于非线性系统或时变系统； 2、必须是稳定性判据的标量函数，且有一阶连续偏导； 3、非唯一但不影响结论的正确性； 4、最简单的形式为二次型。
§4.4 Liaponov 方法在系统中的应用
一、线性定常连续系统渐近稳定判据 1、判据 的平衡状态xe =0 大范围渐进稳定充要条件是： 对于任意给定的正定实对称矩阵Q,存在正定的实对称矩阵P，满足 Liaponov方程： T
1、 Liyaponov意义下的稳定
0, ( , t 0 ) 0, s.t. if || x 0 x e || ( , t 0 ) || (t , x 0 , t 0 ) x e || then其解 (t 0 t )
称平衡状态xe为 Liyaponov意义下的稳定，简称稳定。
V (x) x T Px [ x1
x2
如果 pij =
p ji ，则称P
为实对称阵。例如
1 1 0 P 1 1 0 0 0 1
P为实对称阵，存在正交阵T，使当
V ( x) x Px x T PTx x T
T T T T 1
X T X
___
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2
2
1
2
［例４-３］
判别下列各函数的符号性质．
（１）设 x x1
x2
x3
T
标量函数为
2 V ( x) ( x1 x2 )2 x3
因为有Ｖ（0）＝０，而且对非零x，例如 x 所以Ｖ（x）为半正定（或非负定）的． （２）设
a a 0
设Ｖ（x）为由n维矢量x所定义的标量函数，x∈Ω，且x＝０处，恒有 Ｖ（x）＝０。对所有在域Ω中的任何非零矢量x，如果成立 ①Ｖ（x）＞０，则称Ｖ（x）为正定的．例如，V (x) x 2x V ( x) ( x x ) ②Ｖ（x）≥０，则称Ｖ（x）为半正定（或非负定）的．例如， ③Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为负定的．例如，V (x) (x 2x ) ④Ｖ（x）≤０，则称Ｖ（x）为半负定的．例如，V ( x) ( x x ) ⑤Ｖ（x）＞０或Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为不定的．例如， V ( x) x x
04第四章-李雅普诺夫稳定性理论
几何意义：
当t t0时,系统受扰动,平衡状态受破坏,产生对应初始状态 x0,当t t0后, 运动状态x(t)会发生变化。
若无论多么小球域S( ),总存在一个球域S( ),当
x0 S( )时, x(t)轨线不会超出S( ),则平衡点xe为
Lyapunov意义下稳定。 实际上，工程中的李氏 稳定是临界不稳定
说明：
J P1AP A~J 考察eJt即可看出 e At的有界性
例：
0 0 J1 0 -1
李氏稳定
0 1 J2 0 0
不稳定
0 0 J3 0 0
李氏稳定
0 0 A J1 0 -1
e At
1
0
0
e-t
x(t)
e At x0
1 0
0 e-t
x10
x20
x10
e-t x20
f1
xn
令
x x xe ,
A
f xT
f 2
xe
x1
f2 x2
f2
xn
xe
f
n
fn
fn
x1 x2 xn
则
.
x
x
( xe常数)
判定法：
.
x Ax
(1) A的所有特征值均有负实部,则xe是渐近稳定的, 与R(x)无关. (2) A的特征值至少有一个有正实部,则xe是不稳定的, 与R(x)无关. (3) A的特征值至少有一个实部为0,则xe的稳定性 与R( x)有关, 不能由A来决定.
P为实对称矩阵 , pij p ji
第二节 李雅普诺夫间接法
李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 1, 2,, n 或者说系统极点来判断系统稳定性。
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
S ( ) x0
xe
xe
xe
x1
x1
x1
(a) 李雅普诺夫意义下的稳定性
(b) 渐近稳定性
(c) 不稳定性
4.2 李雅普诺夫第一法(间接法)
间 接 法：利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。 适应范围：线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统。
定理4-9 对于线性定常系统
f ( x, t ) x
(4 382)
式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t；f(x，t)为线性或非线性、定常或 时变的n维函数，其展开式为
i x
f
i
( x1 , x2 ,...,xn , t ); i 1,2,...,n
(4 383)
假定方程的解为x(t；x0，t0)，式中x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻， 则初始条件x0必满足 x(t0 ；x0，t0) = x0 。 1 平衡状态 李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于所有t，满足
t e
i
Hale Waihona Puke i t j i tˆ ) A , i ji i ( A i
(4 394)
2）结论2）证明
由式(4-390)可知，当且仅当‖eAt‖ 对一切 t≥0为有界，且当t→0时 ‖eAt‖ →0，零平衡状态 xe= 0 为渐近稳定。如上所证，当且仅当 A 的所有特征 值均具有负或零实部时，‖eÂt‖有界。又根据式(4-393)和式(4-394)可知 当且 t j t 0 t→0时‖eAt‖→0，这就等价于A的特征值均具 仅当t→∞时 t e ，可保证 有负实部。结论2）证毕。
现代控制第四章
试确定系统平衡状态，以及在平衡状态附近的稳定性。
x1 x2 0 x1 0 解： 1)找xe点 2 x2 a(1 x1 )x2 x1 0 x2 0 则xe 0 0
T
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
x1 x2 2) 线性化 x2 x1 ax2 0 1 则 A 1 a
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
4. 不稳定
如果对于某个实数ε 0和任一实数δ 0, 不管δ这个实数多么小，由S(δ)内出发的状态 轨线，至少有一个轨线超过S(ε)，则称这种平 衡状态xe不稳定． 几何意义：（P160,fig.4 3)
练习：
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
2. 渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且当t无限增长时， 轨迹不仅不超出S(ε)，而且最终收敛于xe，则称这 种平衡状态xe渐近稳定． 几何意义：（P160,fig.4 2)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
3. 大范围渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且从状态空间中 所有初始状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则称 这种平衡状态xe大范围渐近稳定．
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第四章
稳定性与李氏方法
§4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
一. 平衡状态(xe )
设所研究系统的齐次状态方程为 X(t) f(x, t) 若对所有t,状态x满足X(t) 0，则称该状态x 为平衡状态，记为xe．故有下式成立： f(xe , 0 t)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第4章李雅普诺夫稳定性分析
第4章李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析是数学分析中的一个重要概念，它用于判断非线性系统在其中一点附近的稳定性。
李雅普诺夫稳定性分析方法最初由俄国数学家李雅普诺夫提出，广泛应用于控制论、微分方程和动力系统等领域。
在进行李雅普诺夫稳定性分析时，首先需要确定非线性系统的平衡点。
平衡点是指系统在其中一时刻的状态不再发生变化，即各个状态变量的导数为零。
在平衡点附近，可以通过线性化的方法来近似非线性系统，即将非线性系统转化为线性系统进行分析。
接下来，利用李雅普诺夫稳定性定理可以判断线性化系统的稳定性。
根据定理的不同形式，可以分为不动点稳定性定理和周期解稳定性定理。
不动点稳定性定理是指当线性化系统的特征根都具有负的实部时，非线性系统在平衡点附近是稳定的；而当至少存在一个特征根具有正的实部时，非线性系统在平衡点附近是不稳定的。
这个定理对于线性化系统为一阶系统或者线性化系统的特征根为复数的情况适用。
周期解稳定性定理是指当线性化系统的所有特征根满足一定条件时，非线性系统在周期解附近是稳定的。
这个定理对于封闭曲线解以及周期解的情况适用。
当线性化系统无法满足上述定理时，可以使用李雅普诺夫直接法来判断非线性系统的稳定性。
李雅普诺夫直接法是基于李雅普诺夫函数的概念，通过构造合适的李雅普诺夫函数来判断非线性系统的稳定性。
李雅普诺夫函数是满足以下条件的函数：1）李雅普诺夫函数的导数在其中一区域内是负定的，即导数的每个分量都小于或等于零；2）在平衡点附近，李雅普诺夫函数取得最小值。
通过构造合适的李雅普诺夫函数，并验证满足上述条件，就可以判断非线性系统的稳定性。
如果李雅普诺夫函数的导数在整个状态空间都是负定的，则非线性系统是全局稳定的；如果李雅普诺夫函数的导数在一些有限的状态空间内是负定的，则非线性系统是局部稳定的。
总之，李雅普诺夫稳定性分析是一种有力的工具，可以用于判断非线性系统的稳定性。
不过需要注意的是，李雅普诺夫稳定性分析方法仅适用于平衡点附近的稳定性分析，对于非线性系统的全局稳定性分析还需要其他的方法。
第4章 系统稳定性
4.1 稳定性一般概念 4.1 Concept of the System Stability
对于一个实际的控制系统， 对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其 重要的问题， 重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地 发挥作用的。从直观上看， 发挥作用的。从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系 在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置， 统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内， 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定， 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会 回到原来的平衡位置。 回到原来的平衡位置。
(4 − 2)
式中X(t)为n维状态向量，f(X,t)是状态向量 和显式时间 的n 为 维状态向量 维状态向量， 是状态向量X和显式时间 式中 是状态向量 和显式时间t的 维向量函数。 不一定是线性定常的。 维向量函数。 f(X,t)不一定是线性定常的。如果对于 ，状态 e总 不一定是线性定常的 如果对于t，状态X 满足： 满足：
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 李雅普诺夫第一法（间接法） 4.3 First Method of the Lyapunov (Indirect Method)
李雅普诺夫第一法通过分析系统微分方程的显式解来分析系 统的稳定性，对线性定常系统， 统的稳定性，对线性定常系统，它可以直接通过系统的特征根情 况来分析。 况来分析。李雅普诺夫第一法的基本思路与经典控制论中的稳定 性判别思路基本一致。 性判别思路基本一致。 设线性定常系统的动态方程为： 设线性定常系统的动态方程为：
第四章稳定性与李雅普诺夫方法
第四章稳定性与李雅普诺夫方法稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中的两个重要概念。
稳定性是控制系统分析中的基本问题之一，它描述了系统在受到干扰后能否回到平衡状态的能力。
李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
稳定性是控制系统设计中最基本的要求之一、一个稳定的系统能够在受到干扰后迅速恢复到平衡状态，而不会发生不可控制的震荡或不稳定的行为。
稳定性可以分为两种类型：渐近稳定性和有界稳定性。
渐近稳定性要求系统的状态能够收敛到一个稳定的平衡点，而有界稳定性要求系统的状态能够保持在一个有限范围内。
李雅普诺夫方法是一种通过构造李雅普诺夫函数来判断系统稳定性的方法。
李雅普诺夫函数是一个标量函数，它满足以下条件：1)对于任意非零的向量，李雅普诺夫函数的导数都是负的或零；2)当且仅当系统达到稳定时，李雅普诺夫函数的导数为零。
通过构造李雅普诺夫函数并分析其导数的符号，可以判断系统的稳定性。
在实际应用中，人们通常使用李雅普诺夫直接法、李雅普诺夫间接法和李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理等方法来进行稳定性分析。
其中，李雅普诺夫直接法是最常用的方法之一，它通过选择一个合适的李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
如果可以找到一个李雅普诺夫函数，使得该函数的导数对于所有非零的初始条件都是负的，则系统是渐近稳定的。
李雅普诺夫间接法是通过构造一个李雅普诺夫方程来判断系统的稳定性。
李雅普诺夫方程是一个微分方程，其中包含系统的状态向量和一个非负标量函数，满足一定的条件。
如果可以找到一个满足李雅普诺夫方程的解，并且该解是有界的，则系统是有界稳定的。
李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理是李雅普诺夫方法的重要理论基础。
该定理表明，如果系统的李雅普诺夫函数存在并且连续可导，并且李雅普诺夫函数的导数满足一定的条件，则系统是渐近稳定的。
这个定理为李雅普诺夫方法的应用提供了重要的理论依据。
总之，稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中基础且重要的概念。
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第4章 李亚普诺夫稳定性分析 引言 李亚普诺夫稳定性的基本概念 李亚普诺夫稳定性定理 线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析 线性时变系统李亚普诺夫函数的求法 非线性系统李亚普诺夫稳定性分析 李亚普诺夫直接法应用举例
4.1 引言
稳定性和能控性、能观测性一样,均是系统的结 构性质。稳定性是自动控制系统能否正常工作的先 决条件,因此判别系统的稳定性及如何改善其稳定性 是系统分析和综合的首要问题。一个动态系统的稳 定性,通常指系统的平衡状态是否稳定。简单地说, 稳 定性是指系统在扰动消失后,由初始偏差状态恢复到 原平衡状态的性能,其是系统的一个自身动态属性。
若二次型函数的权矩阵P为n阶实对角矩阵，则对应 的二次型只含平方项，称为二次型的标准型，即
V ( x ) aii xi x1
n 2 i 1
x2
a11 0 0 a 22 x n 0 0
0 x1 x 0 2 a nn x n
（4-15）
式中，P为二次型各项的系数构成的 n n 实对称矩 阵，称为二次型式（4-15）的权矩阵，即
a11 a12 a1n a a a 22 2n P 21 a n1 a n 2 a nn
(4-16)
式中, a ij 为实数,且 aij a ji , i, j 1,2,, n 。 式（4-15）表明，二次型函数 V ( x )和其权矩阵P 一一对应，可将二次型函数的定号性扩展到其对应权 矩阵的定号性。
在二维状态空间中, 李亚普诺夫意义下稳定的 几何解释如图4-1所示。 图4-1李亚普诺夫意义下稳定
ε
2．渐近稳定 设 x e 为动力学系统式(4-1)的平衡状态,若对任意 实数 0 ,对应存在另一实数 δ (ε, t 0 ) 0 ，使当 x0 xe δ(ε, t 0 ) 时，从任意初始状态 x(t 0 ) x 0 出发 的解都满足 Φ(t; x0 , t0 ) xe ε , t t0 且对于任意小量 μ 0 总有
【例4-1】设系统的状态方程为
1 x1 x 3 x x x x 1 2 2 2
解
,求其平衡状态。
其平衡状态应满足平衡方程式(4-4)，即
1 x1 0 x x1 0 , 即, 3 3 x x x x 0 x x x 1 2 2 2 2 2 0 1
解之,得系统存在3个孤立的平衡状态 0 0 0 x e1 , x e2 , x e1 3 0 1 1
4.2.2 范数
n维状态空间中，向量x的长度(即x到坐标原点的 距离)称为向量x的范数，并用 x 表示，即
2 2 x x12 x2 xn ( x T x)
Δ1 a11 0
;
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n
a11 a12 2 0; ; n det P 0 a21 a22 an1 an 2 ann
(4-18)
(2)实对称矩阵P为负定的充要条件是矩阵P的各阶 主子行列式满足
(1) i Δ i 0 , i 1,2,, n
x x e ( x1 xe1 ) 2 ( x2 xe2 ) 2 ( xn xen ) 2 ε
(4-8)
4.2.3 李亚普诺夫稳定性定义
1．李亚普诺夫意义下稳定 设 x e 为动力学系统式(4-1)的平衡状态,若对任意 实数 ε 0 ,都对应存在另一实数 δ (ε, t 0 ) 0 ,使当
Φ(t; x0 , t 0 ) x e ε , t t 0
(4-14)
则称平衡状态 x e 是不稳定的。
不稳定的几何意义可理解为，对于某个给定 的球域 S (ε ) ，无论球域 S (δ ) 取得多么小，内部总 存在一个初始状态 x (t 0 ) x 0 ，使得从这一状态出 发的轨迹最终会超出球域 S (ε ) 。在二维状态空间 中, 不稳定的几何解释如图4-3所示。
i f i ( x1 , x2 ,, xn , t ) , i 1,2,, n x
式(4-1)的解为
(4-2) (4-3)
x (t ) Φ(t; x0 , t 0 )
式中, t 0 为初始时刻, x (t 0 ) x 0 为状态向量的初始值 式(4-3)描述了系统式（4-1）在n维状态空间的状 态轨线。若在式（4-1）所描述的系统中，存在状态
x e ，当系统运动到达该点时，系统状态各分量维 持平衡，不再随时间变化，即 x | ，该类状态 0 x xe 点 x e 即为系统的平衡状态,即
点
若系统式（4-1）存在状态向量 x e ,对所有时间t,都使
f ( xe , t ) 0
(4-4)
成立,则称 x e 为系统的平衡状态。由平衡状态在状态 空间中所确定的点，称为平衡点。 式(4-4)为确定式（4-1）所描述系统平衡状态的 方程。
二次型函数 V ( x) x T Px 的定号性与其对应的权 矩阵P的定号性一致,判别 V ( x) x T Px 的符号只要判别 实对称矩阵P的符号即可。 3．塞尔维斯特(Sylvester)准则
(1)实对称矩阵P为正定的充要条件是矩阵P的各 阶主子行列式均大于零,即在式(4-16)中,有
t
lim Φ (t ; x0 , t 0 ) x e μ
(4-13)
则称平衡状态 x e 是渐近稳定的。若 δ 与 t 0 无关,则称 这种平衡状态 x e 是一致渐近稳定的。
渐近稳定的几何意义可理解为,如果平衡状态 x e 为李亚普诺夫意义稳定，且从球域S (δ ) 内发出的状态 轨迹（即式(4-1)的解），当 t 时，不仅不超出 球域 S (ε ) 之外，而且最终收敛于 x e ，则平衡状态 xe 为渐近稳定。在二维状态空间中, 渐近稳定的几何解 释如图4-2所示。
1892年，俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文 “运动稳定性的一般问题”中借助平衡状态稳定与否 的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义,提 出了解决稳定性问题的一般理论,即李亚普诺夫稳定 性理论。该理论基于系统的状态空间描述法,是对单 变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定 性分析皆适用的通用方法,是现代稳定性理论的重要 基础和现代控制理论的重要组成部分。 基于输入-输出描述法描述的是系统的外部特性, 因此,经典控制理论中的稳定性一般指输出(外部)稳定 性; 状态空间描述法不仅描述了系统的外部特性,且全 面揭示了系统的内部特性,因此, 借助平衡状态稳定与 否的特征所研究的系统稳定性指状态(内部)稳定性。
4.2 李亚普诺夫稳定性的基本概念
4.2.1 平衡状态
稳定性是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自 由运动的性质，与外部输入无关。对于系统自由运动， 令输入u=0，系统的齐次状态方程为
f ( x, t ) x
式中, x为n维状态向量，且显含时间变量t；
（4-1）
f ( x, t ) 为线性或非线性，定常或时变的n维向 量函数，其展开式为
V ( x) 0 ，即 V ( x ) 为正定的,则称V(x)为负定的。 （3 ）
V ( x) 0 ，即 V ( x)为半正定的,则称V(x)为半负定的。 （4）
V ( x ) 既可为正值也可为负值,则称 V ( x ) 为不定的。 （5 ）
在式（4-15）中，若V(x)正定,则称权矩阵P是正 定的,且记为 P 0 。以此类推,可定义二次型权矩 阵P的负定、半正定、半负定,并分别记为 P 0 、 P 0 、P 0 。
图4-3 不稳定
4．3 李亚普诺夫稳定性定理
4.3.1 二次型函数及其定号性
1. 二次型函数及二次型的矩阵表达
二次型函数是一类特殊的标量函数，其可表 示为
V ( x ) aij xi x j x1
n i 1 x1 a x a a 22 2n 2 x n 21 x T Px a a a n2 nn x n n1
李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种 方法,即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。 李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是 通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断 系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理 论一致。对线性定常系统,只需解出全部特征根即可 判断稳定性;对非线性系统,则采用微偏线性化的方法 处理,即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方 程来判断稳定性,故只能判断在平衡状态附近很小范 围的稳定性。
（4-17）
2．标量函数 V ( x )的符号和性质
设V(x)为由n维状态向量x所定义的标量函数， x Ω ，且在 x 0 处，恒有V(x)=0。对所有在域 Ω 中的任何非零向量x，如果
(1) V(x)>0，则称V(x)为正定的。 (2) V ( x ) 0 ，则称V(x)为半正定的。
即
(4-19)
0, i为偶数 Δi 0, i为奇数
(i 1,2,, n)
(3) 实对称矩阵P为半正定的充要条件是矩阵P的前n-1 阶主子行列式非负,且矩阵P的行列式为零,即
1 2
(4-6)
而向量 ( x x e ) 的长度(即x到 x e 的距离)称为 ( x x e ) 的范数,并用 x x e 表示，即
x x e ( x1 xe1 ) 2 ( x2 xe2 ) 2 ( xn xen ) 2
(4-7)
在n维状态空间中,若用点集 S (ε ) 表示以 x e 为 中心、ε为半径的超球域,那么, x S (ε ) ,则表示
李亚普诺夫第二法（简称李氏第二法或直接法） 的特点是不必求解系统的微分方程式，就可以对系统 的稳定性进行分析判断。该方法建立在能量观点的基 础上：若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则随着 系统的运动,其储存的能量将随时间增长而不断衰减, 直至 t 时系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小 值。由此，李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的 “广义能量” 函数，根据这个标量函数的性质来判断 系统的稳定性。由于该方法不必求解系统的微分方程 就能直接判断其稳定性，故又称为直接法,其最大优 点在于对任何复杂系统都适用,而对于运动方程求解 困难的高阶系统、非线性系统以及时变系统的稳定性 分析,则更能显示出优越性。