对数函数及其运算

2.2对数函数

（1）对数的定义

①若(0,1)x

a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x

a x N a N a a N =⇔=>≠>．

（2）几个重要的对数恒等式

log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质

如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a

M

M N N

-= ③数乘：log log ()n

a a n M M n R =∈

④log a N

a

N =

⑤log log (0,)b n

a a n

M M b n R b

=

≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N

N b b a

=>≠且

（5）对数函数

设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作

1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式()y f x =中反解出1

()x f y -=；

③将1

()x f

y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质

①原函数()y f x =与反函数1

()y f

x -=的图象关于直线y x =对称．

②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1

()y f

x -=的值域、定义域．

③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'

(,)P b a 在反函数1

()y f x -=的图象上．

④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．

课堂练习

对数函数与指数函数的混合运算： 1、若log 2,log 3,a a m n ==则32m n

a

-=_________

2、若1a >且01b <<，则不等式log (3)

1b x a ->的解集为________

3、已知35,a

b

A ==且

11

2a b

+=，则A 的值是________ 4、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是( )

A 、2a -

B 、52a -

C 、2

3(1)a a -+ D 、 2

3a a -

对数函数的定义域与解析式

注意复合函数的定义域的求法，形如[])(x g f y =的复合函数可分解为基本初等函数

)(),(x g u u f y ==，分别确定这两个函数的定义域。

函数y =

的定义域是____________

已知2

35

(log ())22x f x ++=，则(0)f =___________

已知6

2()log f x x =，那么(8)f =____________

对数函数的值域

注意复合函数的值域的求法，形如[])(x g f y =的复合函数可分解为基本初等函数

)(),(x g u u f y ==，分别确定这两个函数的定义域和值域。

1. 函数

212

log (617)

y x x =-+的值域是________

2. 设1a >，函数()log a f x x

=在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为1

2，则

a =___________

3. 函数

()log (1)x

a f x a x =++在[0,1]上最大值和最小值之和为a ，则a 的值为

对数函数的单调性、奇偶性

1、设函数(2)log a y x

-=在(0,)+∞上是减函数，则a 的取值范围是________

2、函数

lg y x

=的单调递增区间是_______

3、下列各函数中在（0，1）上为增函数的是( )

A.

12

log (1)

y x =+

B.

2log y = C.

3

1log y x = D.213log (43)

y x x =-+

4、函数

212

log (32)

y x x =-+的递增区间是_______________

5、函数

2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪

+⎝⎭的图像关于( ) A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称

6、函数

)()lg

f x x

=是 （奇、偶）函数。

7、已知函数

1010()1010x x x

x f x ---=+，判断()f x 的奇偶性和单调性。 对数中的不等关系

比较同底数的两个对数值的大小；比较两个同真数的对数值的大小 1、设

0.724log 0.8log 0.9log 5

a b c ===，则,,a b c 的大小关系是_______

2、设

2

lg ,(lg ),a e b e c ===,,a b c 的大小关系是_______ 3、如果3

log

15m <，那么m 的取值范围是______

4、如果

log 3log 30

a b >>，那么,a b 的关系是( )

A. 01a b <<<

B. 1a b <<

C. 01b a <<<

D. 1b a << 5、已知2log (1)log (24)0

a a x x +<+<，则不等式解集为_______

6、若

()log a f x x

=在[2,)+∞上恒有()1f x >，则实数a 的取值范围是________

课堂练习

1. 指数函数必过定点_____________，对数函数必过定点___________.

2. 函数)2lg()(-=x x f 的定义域是___________________.

3. 函数

)2lg()(2x x f -=的定义域是___________________. 4. 函数x y 2=图像关于x y =对称的函数是__________；他们图像的共性是_________.

5. 函数x

y a log =，当1>a 时它是单调________；当10<

6. 若

)

1(log )2(log +>+a a a a ，那么a 的取值范围是_____________.

7. 不等式1)3(log ≤-x ２的解集是___________________.