对数的运算及对数函数

§2.2.1 对数与对数运算（一）

¤知识要点：

1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数

2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在

科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N

3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=.

4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a = ，log a a N N = ¤例题精讲：

【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

（1）71

2128

-=

； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12

log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.

【例2】计算下列各式的值：（1）lg0.001； （2）4log 8； （3）.

第14练 §2.2.1 对数与对数运算（一）

※基础达标

1．log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是（ ）. A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）. A. 0

1ln10e ==与 B. 1()3

81118

log 223

-==-与 C. 12

3log 9293==与 D. 17log 7177==与 3．设lg 525x =，则x 的值等于（ ）.

A. 10

B. 0.01

C. 100

D. 1000

4．设13

log 82

x

=，则底数x 的值等于（ ）. A. 2 B. 12 C. 4 D. 1

4

5．已知432log [log (log )]0x =，那么1

2

x -等于（ ）.

A.

1

3 B. C. D. 6．若21

log 3

x =，则x = ； 若log 32x =-，则x = .

7．计算：

= ； 6lg 0.1= .

※能力提高

8．求下列各式的值：（1）

8； （2）9log

9．求下列各式中x 的取值范围：（1）1log (3)x x -+； （2）12log (32)x x -+.

※探究创新

10．（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.

（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.

第15讲 §2.2.1 对数与对数运算（二）

¤知识要点：

1. 对数的运算法则：log ()log log a a a M N M N =+，log log log a

a a M

M N N

=-，log log n a a M n M =，其中0,1a a >≠且，0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.

2. 对数的换底公式log log log b a b N N a =

. 如果令b =N ，则得到了对数的倒数公式1

log log a b b a

=. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如log log n n a a N N =，log log m n a a n

N N m

=

，log log log 1a b c b c a =等. ¤例题精讲：

【例2】若2510a b ==，则11

a b

+= .

【例4】（1）化简：

532111

log 7log 7log 7

++

； （2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=，求实数m 的值.

第15练 §2.2.1 对数与对数运算（二）

※基础达标 1

．

）. A. 1

B. －1

C. 2

D. －2 2

．2

5log ()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）.

A. －a

B. a 2

C. ｜a ｜

D. a

3

．化简3log 1的结果是（ ）. A.

1

2

B. 1

C. 2

4．已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）. A. 1 B. 2 C. 8 D. 12

5．化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 （ ）.

A .1 B.

3

2

C. 2

D.3 6．计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .

7．若3a ＝2，则log 38－2log 36＝ .

第16讲 §2.2.2 对数函数及其性质（一）

¤知识要点：

1. 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）.

2. 由2log y x =与12

log y x =的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)+∞，值域为R ；当1

x =时，0y =，即图象过定点(1,0)；当01a <<时，在(0,)+∞上递减，当1a >时，在(0,)+∞上递增.

¤例题精讲：

【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9； （2）3log 2，2log 3，41log 3

.

【例2】求下列函数的定义域：（1

）y =（2

）y =

【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.

第16练 §2.2.2 对数函数及其性质（一）

※基础达标

1．下列各式错误的是（ ）.

A. 0.80.733>

B. 0.10.10.750.75-<

C. 0..50..5log 0.4log 0.6>

D. lg1.6lg1.4>.

2．当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）.

A

C