学年高中数学第一章立体几何初步1.1.4投影与直观图课后作业新人教B版必修2
人教B版高中数学必修二《第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.4 投影与直观图》_1
课题：投影与直观图教学目标1. 知识与技能目标： 会画出和看懂一些几何体的直观图，了解平行投影、正投影和中心投影的概念及主要特征，能够运用斜二测画法的画图规则正确的画图和看图，并可以根据直观图进行简单的计算。
2. 过程与方法目标： 使用现代信息技术展示空间图形，帮助学生利用平行投影和中心投影，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能具有重要的意义。
3. 情感态度与价值观目标： 在学习的过程中体现立体图形和平面图形的转化关系，培养学生认真参与，积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学态度。
教学重点和难点重点： 平行投影的性质与斜二测画法难点： 正确的把握斜二测画法的要点以及 选择放置直观图的角度启发、讨论、探究教学手段利用多媒体辅助教学教学环节一 、平行投影与中心投影1、 平行投影在立体几何中，一般都是根据平行投影的性质，用平面图形来表示空间图形，给出平行投影的概念和性质。
概念：已知图形F ，直线l 与平面α相交，过F 上任意一点M 作直线/MM 平行于l ，交平面α于点/M ，则点/M 叫做M 在平面α内关于直线l 的平行投影（或象），如果图形F 上的所有点在平面α内关于直线l 的平行投影构成图形/F ，则/F 叫做图形F 在α内关于直线l 的平行投影。
平面α叫做投射面，l 叫做投射线。
容易观察到，当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质： ① 直线或线段的平行投影仍是直线或线段；② 平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③ 平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④ 与投射面平行的平面图形，它的平行投影与这个图形全等；⑤ 在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比。
当投射线和投射面成适当的角度或改变图形相对于投诉面的位置时，一个空间图形在投射面上的平行投影可以形象地表示这个空间图形。
2、 中心投影结合图形让学生了解二、直观图1、 直观图定义：用来表示空间图形的平面图形2、 直观图画法：斜二测画法规则（1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox,Oy,再作Oz 轴，使9090o o xOz yOz ∠=∠=，且（2）画直观图时，把Ox Oy Oz ，，，画成对应////O x ,O y ,O z ,使///o o x O y 45135∠=或(），///o ///x O z 90,x O y ∠=所确定的平面表示水平平面。
2019版高中人版B版数学必修二练习：1.1.4 投影与直观图 含答案
1.1.4 投影与直观图1。
利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形;②正方形的直观图一定是菱形;③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是( B )(A）①②(B）①（C）③④(D)①②③④解析:①正确.②正方形的直观图是平行四边形.③等腰梯形的直观图是梯形.④菱形的直观图是平行四边形.选B。
2。
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中两条线段结论错误的是( B )（A)原来相交的仍相交（B)原来垂直的仍垂直(C）原来平行的仍平行 (D)原来共点的仍共点解析：斜二测画法保平行,保相交,保平行线段的比，但不保垂直.选B.3。
如图所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是（ C )解析:由直观图知，平面图形中靠右侧一边与y轴平行,满足这一特征的只有C。
4.△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( D ）（A)AB (B）AD (C)BC （D)AC解析:由于直观图中,∠x′O′y′=45°,所以∠A′B′C′=45°，故∠ABC=90°，所以AC最长.故选D.5.如图,△A′O′B′为水平放置的△AOB的直观图，且O′A′=2，O′B′=3,则△AOB的周长为( A ）（A）12 （B）10 （C）8 (D)7解析:根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长OB=3,高OA=2O′A′=4,AB=5，所以直角三角形OAB的周长为3+4+5=12.6。
如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是一个水平放置的平面图形的直观图,则原图形的周长为.解析：由于平行性不变，O′A′∥B′C′,故在原图形中，OA BC，所以四边形OABC为平行四边形，且对角线OB⊥OA，对角线OB=2,则AB==3。
所以原图形的周长为l=3×2+1×2=8.答案:8 cm7.已知正三角形AOB的边长为a,如图所示,把它放在平面直角坐标系中，则它的水平放置的平面直观图的面积为( B ）（A)a2(B)a2(C）a2（D）a2解析：在直观图△A′B′O′中，O′A′=a,O′A′边上的高为××a=a，故△A′B′O′的面积为S=×a×a=a2。
高中数学 1.1 空间几何体 1.1.4 投影与直观图课后训练
1.1.4 投影与直观图课后训练1．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段( )．A．平行且相等 B．平行不相等C．相等不平行 D．既不平行也不相等2．在灯光下，圆形窗框在与窗框平行的墙面上的影子的形状是( )．A．平行四边形 B．椭圆形C．圆形 D．菱形3．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形是( )．A．正方形 B．矩形C．菱形 D．梯形4．如下图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )．5．甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一张四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“6”，丙说他看到的是“9”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是( )．A．甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边B．丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙C．甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁D．甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度是__________．7．给出下列说法：①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；③不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．写出其中正确说法的序号__________．8．如图所示，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为__________．9．画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高2 cm)．10．在水平放置的平面α内有一边长为2的正方形A′B′C′D′(如图)，其中对角线A′C′位于水平位置．已知该正方形是某个平行四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出原平行四边形，并求其面积．参考答案1. 答案：A2. 答案：C 由点光源的中心投影的性质可知影子应是圆形．3. 答案：C4. 答案：C 根据斜二测画法的规则：平行于x 轴或在x 轴上的线段的长度在新坐标系中不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段的长度在新坐标系中变为原来的12，并注意到∠xOy ＝90°，∠x ′O ′y ′＝45°，因此由直观图还原成原图形为选项C.5. 答案：D 可以从每个人观察的角度进行分析．6. 答案：52在直观图中，∠A ′C ′B ′＝45°，则在原图形中∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则斜边AB ＝5，故斜边上的中线长为52. 7. 答案：④ 对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x 轴、y 轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x 轴、y 轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上或与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则；对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于③，只要坐标系选取的恰当，不等边三角形水平放置的直观图可以是等边三角形．8.答案：22a 过C ′作y ′轴的平行线C ′D ′与x ′轴交于D ′，则2sin 45a C'D'==︒. 又∵C ′D ′是原△ABC 的高CD 的直观图，∴CD =.∴211222ABC S AB CD a ∆=⋅==. 9. 答案：解：(1)画轴，以底面△ABC 的垂心O 为原点，OC 所在直线为y 轴，平行于AB 的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，以上底面△A ′B ′C ′的垂心O ′与O 的连线为z 轴，建立空间坐标系．(2)画下底面，在xOy 平面上画△ABC 的直观图，在y轴上量取OC =cm，OD =cm.过D 作AB ∥x 轴，且AB ＝2 cm ，以D 为中点，则△ABC 为下底面三角形的直观图．(3)画上底面，在z 轴上截取OO ′＝2 cm ，过O ′作x ′轴∥x 轴，y ′轴∥y 轴，在y ′轴上量取6O'C'=，12O'D'=cm ，过D ′作A ′B ′∥x ′轴，A ′B ′＝1 cm ，且以D ′为中点，则△A ′B ′C ′为上底面三角形的直观图．(4)连线成图，连接AA ′，BB ′，CC ′，并擦去辅助线，则三棱台ABC －A ′B ′C ′即为所要画的正三棱台的直观图．10. 答案：解：平行四边形ABCD 如图所示．∵A ′C ′在水平位置，A ′B ′C ′D ′为正方形，∴在四边形ABCD 中，DA ⊥AC ，AC ⊥CB .又∵DA ＝2D ′A ′＝4，AC ＝A ′C ′＝，BC ＝2B ′C ′＝4，∴S 四边形ABCD ＝AC ·AD ＝。
高中数学第一章立体几何初步1.1.4投影与直观图同步练习含解析新人教B版必修2
1．下列关于直观图画法的说法不正确的是( )．A ．原图中平行于x 轴的线段，其对应线段仍平行于x 轴，且长度不变B ．原图中平行于y 轴的线段，其对应线段仍平行于y 轴，且长度不变C ．画与坐标系xOy 对应的坐标系x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′可等于135°D ．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同2．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列说法中正确的是( )．A ．内心的平行投影还是内心B ．重心的平行投影还是重心C ．垂心的平行投影还是垂心D ．外心的平行投影还是外心3．下晚自习后，小华走路回家，在经过一盏路灯时，他发现自己的影子( )．A ．变长B ．变短C ．先变长后变短D ．先变短后变长4．对于一条底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的( )．A ．2倍B ．2倍C ．2倍D ．12倍 5．若线段AB 平行于投射面，O 是AB 上一点，且AO ∶OB ＝m ∶n ，则点O 的平行投影O ′分线段AB 的平行投影A ′B ′的长度之比是______．6．小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1 m 的竹竿影长0.9 m ，但当他马上测树高时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙，如图所示．他测得留在地面部分的影子长2.7 m ，留在墙壁部分的影高1.2 m ，则树的高度为(太阳光线可看作为平行光线)______．7．如图所示，在水平放置的平面α内有一边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′，其中对角线A ′C ′处于水平位置．已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．8．小迪身高1.6 m，一天晚上放学回家，走到两路灯之间，她发现自己的身影的顶部正好在A 路灯的底部，她又向前走了5 m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10 m．(两路灯的高度是一样的)求：(1)路灯的高度；(2)当小迪走到B路灯下，她在A路灯下的身影有多长？9.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成60°角，房屋向南的窗户AB高1．6米，现要在窗子外面的上方安装一个水平遮阳篷AC，如图所示．求：(1)当遮阳篷AC的宽度在什么范围内，太阳光线能直接射入室内？(2)当遮阳篷AC的宽度在什么范围时，太阳光线不能直接射入室内？(精确到0.01米)参考答案1. 答案：B2. 答案：C3. 答案：D4. 答案：B解析：底边上的高变为原来的2倍． 5. 答案：m ∶n6. 答案：4.2 m解析：树高为AB ，影长为BE ，CD 为树留在墙上的影高， ∴ 1.210.9CD CE CE ==，CE ＝1.08 m ，树影长BE ＝2.7＋1.08＝3.78 m ，树高1 4.2m 0.9AB BE ==. 7. 解：四边形ABCD 的图形如图所示．∵A ′C ′在水平位置，A ′B ′C ′D ′为正方形，∴在四边形ABCD 中，DA ⊥AC ．∵DA ＝2D ′A ′＝2，AC A C =''=∴·ABCD S AC AD ==四边形8. 解：如图所示，设A 、B 为两路灯，小迪从MN 移到PQ ，并设C 、D 分别为A 、B 路灯的底部．由题目已知得MN ＝PQ ＝1.6 m ，NQ ＝5 m ，CD ＝10 m.(1)设CN ＝x ，则QD ＝5－x ，路灯高BD 为h .∵△CMN ∽△CBD ， 即 1.610CN MN x CD BD h=⇒=.① 又∵△PQD ∽△ACD ， 即1.6510PQ QD x AC CD h -=⇒=② 由①②式得x ＝2.5 m ，h ＝6.4 m ，即路灯高为6.4 m.(2)当小迪移到BD所在线上(设为DH)时，连接AH交地面于E，则DE长即为所求的影长．∵1.66.410DH DE DE DEH CEAAC CE DE∆∆⇒=⇒=+∽，解得10m3DE=，即影长为10m3.9.解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，AB＝1.6 m，则AC2＝BC2－AB2，BC＝2AC，∴AC2＝4AC2－1.62，∴AC0.92(m)．当0≤A C≤0.92米时，太阳光线可直接射入室内．。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.4 投影与直观图练习(含解析)新人教B版必修2-新人教B版高
1．1．4 投影与直观图对应学生用书P11知识点一平行投影与中心投影1．下列说法正确的是( )A．矩形的平行投影一定是矩形B．正方形的平行投影一定是矩形C．正方形的平行投影一定是菱形D．梯形的平行投影一定是梯形或线段答案 D解析矩形的平行投影可能是矩形，也可能是线段；正方形的平行投影可能是线段，也可能是正方形；梯形的平行投影一定是梯形或线段．2．下列命题：①空间图形在平行投影和中心投影后有不同的图形；②正方形的直观图可能是平行四边形；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行直线有可能变成相交直线；④互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析由平行投影、中心投影的概念与性质知，命题①②③正确；命题④中假设这两条直线为共面垂直，则当投射线平行于这两条直线所确定的平面时，得到的直观图是一条直线，故④错误．知识点二斜二测画法解(1)如图①，画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°．(2)以点O′为EF的中点，在y′轴上截取EF＝1．5 cm，以点E为CD的中点画CD∥O′x′，并使CD＝3 cm；再以点F为AB的中点画AB∥O′x′，并使AB＝3 cm．连接AD，BC．(3)过点A，B，C，D分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长为4 cm的线段AA′，BB′，CC′，DD′．(4)顺次连接A′，B′，C′，D′，A′，并擦去作为辅助线的坐标轴及点E，F，就得到正四棱柱的直观图，如图②所示．知识点三与直观图有关的问题4．如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图形中△ABC是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案 C解析本题主要考查由直观图还原为原图，将斜二测画法逆用，即与x′O′y′坐标轴平行的线在xOy 系中与坐标轴垂直，且AB ＝2A′B′，AC ＝A′C′．如图．故选C ．5．已知正△ABC 的边长为a ，以它的一边为x 轴，对应的高线为y 轴，画出它的水平放置的直观图△A′B′C′，则△A′B′C′的面积是( )A ．34a 2 B ．38a 2 C ．68a 2 D ．616a 2 答案 D解析 本题考查水平放置的平面图形的直观图，因此要正确作出直观图，如图．则有A′B′＝AB ＝a ，O′C′＝12OC ＝12·32a ＝34a ，∠B′O′C′＝45°，∴S △A′B′C′＝12A′B′·O′C′·sin45°＝12a×34a×22＝616a 2，故选D ．对应学生用书P11一、选择题1．当图形中的直线或线段不平行于投影线时，关于平行投影的性质，下列说法中不正确的是( )A ．直线或线段的平行投影仍是直线或线段B．平行直线的平行投影仍是平行的直线C．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等D．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比答案 B解析根据平行投影的意义可知，平行直线的平行投影是平行或重合的直线，故选B．2．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正△A1B1C1，则△ABC是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．任意三角形答案 C解析如图，原图中∠BAC>90°，故选C．3．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论正确的是( )A．内心的平行投影还是内心B．重心的平行投影还是重心C．垂心的平行投影还是垂心D．外心的平行投影还是外心答案 B解析三角形的重心是三条中线的交点，三角形平行投影后各边的中点位置不会变，故其中线的交点，即重心仍是三角形的重心．4．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)是( )答案 A解析 过△DMN 三个顶点D ，M ，N 分别在投影面ADD 1A 1上作正投影即得．故选A ． 5．已知两个圆锥底面重合在一起(底面平行于水平面)，若其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2．5 cmD ．5 cm 答案 D解析 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间的距离为2＋3＝5(cm)，因为在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，所以仍为5 cm ．二、填空题6．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．答案 52解析 原图是AC ＝3，BC ＝4的直角三角形，故斜边上的中线长为1232＋42＝52．7．如图所示为一个水平放置的正方形ABCO ，在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．答案22解析 点B′到x′轴的距离等于点A′到x′轴的距离d ，而O′A′＝12OA ＝1，∠C′O′A′＝45°(或135°)，所以d ＝22O′A′＝22． 8．在等腰梯形ABCD 中，上底边CD ＝1，AD ＝CB ＝2，下底边AB ＝3，按平行于上、下底边取x 轴，则直观图A′B′C′D′的面积为________．答案22解析 等腰梯形ABCD 的高为1，而直观图A′B′C′D′仍为梯形，其高为12sin45°＝24，故面积为12×(1＋3)×24＝22．三、解答题9．用斜二测画法画边长为4 cm 的水平放置的正三角形的直观图．解 解法一：(1)如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°． 在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm ， 在y′轴上截取O′A′＝12OA ＝ 3 cm ，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示． 解法二：(1)如图③所示，以BC 边所在的直线为y 轴，以BC 边上的高AO 所在的直线为x 轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°． 在x′轴上截取O′A′＝OA ，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝12OC ＝1 cm ，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC 的直观图，如图④所示．10．水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图所示，其中对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是一个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形，并求出其面积．解四边形ABCD的真实图形如图．因为A′C′在水平位置，且四边形A′B′C′D′ 为正方形，所以四边形ABCD中，DA⊥AC，BC⊥AC．由DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，得S四边形ABCD＝AC·AD＝22．。
人教B版数学必修二讲义：第1章 1.1 1.1.4 投影与直观图 Word版含答案
1.1.4投影与直观图1．平行投影(1)投影①定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．②投射线：光线．③投射面：留下影子的屏幕．(2)平行投影当投射光线为一束平行线时，该投影称为平行投影．(3)平行投影的性质①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．2．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．3．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x′轴、y′轴的线段．(3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半．4．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()C[正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3 cm，平行于y 轴的边长为1.5 cm.]2.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC 是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形B[由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC＝2AB.]3．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是________．①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．②⑤[线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．]【例1】按图的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．[思路探究]按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图．[解]画法：(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝12OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝12GA，H′D′＝12HD.(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．1．用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图所示．[解]画法：(1)如图①所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(如图②)．①(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.②(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．【例2】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[思路探究]画轴→画底面→画顶点→成图[解]画法：(1)画轴：①②画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底面：以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.(3)画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图：顺次连接P A、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.1．画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．2．直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”2．用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．[解](1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x ′O ′z ′＝90°.(2)画底面：在面x ′O ′y ′内，画出正六边形的直观图ABCDEF .(3)画侧棱：过A 、B 、C 、D 、E 、F 分别作z ′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA ′、BB ′、CC ′、DD ′、EE ′、FF ′都等于侧棱长．(4)成图：顺次连线A ′、B ′、C ′、D ′、E ′、F ′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图所示．1．如图，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 斜二测画法的直观图，能否判断△ABC 的形状？[提示] 根据斜二测画法规则知：∠ACB ＝90°，故△ABC 为直角三角形．2．若探究1中△A ′B ′C ′的A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是多少？ [提示] 由已知得△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，故AB ＝AC 2＋BC 2＝10.3．若已知一个三角形的面积为S ，它的直观图面积是多少？[提示] 原三角形面积为S ＝12a ·h (a 为三角形的底，h 为三角形的高)，画直观图后，a ′＝a ，h ′＝12h ·sin 45°＝24h ，S ′＝12a ′·h ′＝12a ·24h ＝24×12a ·h ＝24S .【例3】如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．[思路探究]由直观图还原平面图形的关键(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．[解]①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；③连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形的形状是________．菱形[如图所示，在原图形OABC中，应有OA BC，OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．]1．由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．2．若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝2 4S.1．本节课的重点是了解中心投影与平行投影，难点是画几何体的直观图．2．本节课掌握的规律方法(1)判断几何体投影形状及画投影的方法．(2)画出空间几何体的直观图．(3)直观图的还原与计算．3．本节课的易错点是混淆中心投影和平行投影.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．()(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴．()(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变．()(4)斜二测坐标系取的角可能是135°. ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√[提示]平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确．2．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是()A．直角三角形的直观图仍是直角三角形B．梯形的直观图是平行四边形C．正方形的直观图是菱形D．平行四边形的直观图仍是平行四边形D[由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．]3．如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．22[画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为2 2.]4．画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．[解](1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，在y′轴上截取O′A′＝12AO＝34cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．。
人教新课标版数学高一B版必修2课时作业 1.1.4 投影与直观图
一、选择题1．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是()A．直角三角形的直观图仍是直角三角形B．梯形的直观图是平行四边形C．正方形的直观图是菱形D．平行四边形的直观图仍是平行四边形【解析】由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．【答案】 D图1－1－382．(2013·泉州高一检测)利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形(如图1－1－38所示)，则原图形的形状是()【解析】直观图中正方形的对角线为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有A项满足条件，故A正确．【答案】 A3．已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后得到的△A′B′C′与△ABC()A．全等B．相似C．不相似D．以上都不对【解析】本题主要考查对中心投影的理解，根据题意画出图形如图所示．由图易得ABA′B′＝OBOB′＝BCB′C′＝OCOC′＝ACA′C′，则△ABC∽△A′B′C′.故正确答案为B.【答案】 B4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为()A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．2 cm,0.25 cm,1 cm,0.8 cm【解析】由比例尺可知长方体的长、宽、高和锥高分别为2 cm,0.5 cm,1 cm 和0.8 cm，再结合直观图的画法可知，直观图中相应尺寸分别为2 cm,0.25 cm,1 cm和0.8 cm.【答案】 D5．(2013·威海高一检测)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个边长为2的正三角形，那么原平面图形的面积是()A.3B．26C.64D．2 3【解析】如图所示，过△O′B′C′的顶点C′，作C′D′∥y′轴，C′A′⊥x′轴，在△O′C′B′中易知C′A′＝ 3.又在Rt△C′D′B′中，C′D′＝2C′A′＝ 6.故原平面图形的面积S＝12O′B′×2C′D′＝2×6＝2 6.【答案】 B二、填空题图1－1－396．如图1－1－39所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长线段是________．【解析】画出原图形如图，△ABC为直角三角形，显然，AC边为最长．【答案】AC图1－1－407．如图1－1－40所示为一个水平放置的矩形ABCO，在直角坐标系xOy 中，点B的坐标为(4,2)，则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中，顶点B′到x ′轴的距离为________．【解析】 直观图如图所示，则O ′A ′＝B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，故B ′到x ′轴的距离为22.【答案】 228．(2013·信阳高一检测)已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为182，则原正方形的面积为________．【解析】 如图所示，正方形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′的面积为18 2.S 直观图＝O ′A ′×C ′D ′.又S 正方形＝OC ×OA .∴S 正方形S 直观图＝OC ×OA O ′A ′×C ′D ′. 又在Rt △O ′D ′C ′中O ′C ′＝2C ′D ′，即C ′D ′＝22O ′C ′，结合平面图与直观图间的关系可知OA ＝O ′A ′，OC ＝2O ′C ′，∴S 正方形S 直观图＝OC ×OA OA ×22O ′C ′＝2O ′C ′22O ′C ′＝2 2. 又S 直观图＝182，∴S 正方形＝22×182＝72.【答案】 72三、解答题9．画出水平放置的四边形OBCD(如图1－1－41)的直观图．图1－1－41【解】(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D，使得O′D′＝12OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝12EC.(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．10．用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF 为正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定) 【解】(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面．如图①所示，在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于O.(2)画相应的x′轴、y′轴和z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°；在图②中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，以O′为中点，在y′轴上取M′N′＝12MN，以N′点为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF；连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.(3)画正六棱锥P－ABCDEF的顶点．在O′z′轴上取点P′，使P′O′＝PO.(4)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并进行整理，便得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′—A′B′C′D′E′F′.如图③所示．图1－1－4211．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图1－1－42所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原平面图形的面积．【解】过A作AE⊥BC，垂足为E，又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴四边形ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝2，2，高为2，∴原平面∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋22图形的面积为12×(1＋1＋22)×2＝2＋22.。
2019版高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.4投影与直观图练习新人教B版必修2
1.1.4 投影与直观图1.利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形;②正方形的直观图一定是菱形;③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是( B )(A)①② (B)①(C)③④ (D)①②③④解析:①正确.②正方形的直观图是平行四边形.③等腰梯形的直观图是梯形.④菱形的直观图是平行四边形.选B.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中两条线段结论错误的是( B )(A)原来相交的仍相交 (B)原来垂直的仍垂直(C)原来平行的仍平行 (D)原来共点的仍共点解析:斜二测画法保平行,保相交,保平行线段的比,但不保垂直.选B.3.如图所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是( C )解析:由直观图知,平面图形中靠右侧一边与y轴平行,满足这一特征的只有 C.4.△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( D )(A)AB (B)AD (C)BC (D)AC解析:由于直观图中,∠x′O′y′=45°,所以∠A′B′C′=45°,故∠ABC=90°,所以AC最长.故选D.5.如图,△A′O′B′为水平放置的△AOB的直观图,且O′A′=2,O′B′=3,则△AOB的周长为( A )(A)12 (B)10 (C)8 (D)7解析:根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形,底面边长OB=3,高OA=2O′A′=4,AB=5, 所以直角三角形OAB的周长为3+4+5=12.6.如图所示,正方形O′A′B′C′的边长为 1 cm,它是一个水平放置的平面图形的直观图,则原图形的周长为.解析:由于平行性不变,O′A′∥B′C′,故在原图形中,OABC,所以四边形OABC为平行四边形,且对角线OB⊥OA,对角线OB=2,则AB==3.所以原图形的周长为l=3×2+1×2=8.答案:8 cm7.已知正三角形AOB的边长为a,如图所示,把它放在平面直角坐标系中,则它的水平放置的平面直观图的面积为( B )(A)a2 (B)a2 (C)a2 (D)a2解析:在直观图△A′B′O′中,O′A′=a,O′A′边上的高为××a=a,故△A′B′O′的面积为S=×a×a=a2.8.如图所示是水平放置的正方形ABCO,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则由斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为( A )(A)(B)1 (C) (D)2解析:由斜二测画法规则画出直观图如图所示,作B′E⊥x′轴于点E,在Rt△B′EC′中,B′C′=1,∠B′C′E=45°,B′E=B′C′sin 45°=1×=.9.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积为.解析:由图形知,原图形是一个直角梯形,上底BC=1,下底OA=×2+1=1+,高h=OC=2,故S=×(1+1+)×2=2+.答案:2+10.如图,画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.解:画法:如图.(1)在等腰梯形ABCD中,以AB所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系xOy,并画相应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′=OE,以E′为中点,过E′作D′C′平行于x′轴,并使D′C′=DC,连接A′D′,B′C′,所得梯形A′B′C′D′即为水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.11.已知△ABC的面积为a2,它的水平放置的直观图为△A′B′C′是一个正三角形,根据给定的条件作出△A′B′C′的原图形,并计算△A′B′C′的面积.解:(1)取B′C′所在的直线为x′轴,过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴,建立坐标系x′O′y′;(2)过A′点作A′M′∥y′轴交x′轴于M′点.在△A′B′C′中,设它的边长为x,因为O′A′=x,∠A′M′O′=45°,所以O′A′=O′M′=x,故A′M′=x;(3)在直角坐标系xOy中,在x轴上O点左右两侧,取到点O距离为的点B,C,在x轴O点左侧取到原点O距离为x的点M,过M在x轴上方作y轴的平行线并截取MA=x,连接AB,AC,则△ABC为△A′B′C′的原图形,由S△ABC=a2,得x×x=a2,所以x=a,故△A′B′C′的面积为a2.。
2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步1.1.4投影与直观图应用案巩固提升课件新人教B版必修2
第一章 立体几何初步
2．下列说法正确的是( ) A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 C．两个全等三角形的直观图一定也全等 D．两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定 是全等三角形 解析：选 B．直角坐标系的选取不同时，图形的直观图也会 不同，所以选项 A，C，D 错误，但平行关系不会发生变化．
第一章 立体几何初步
解析：对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为 x 轴、 y 轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直 线为 x 轴、y 轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上 或与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横 不变，纵减半”的规则；对于②，水平放置的正三角形的直 观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三 角形；对于③，只要坐标系选取的恰当，不等边三角形的水 平放置的直观图可以是等边三角形． 答案：④
第一章 立体几何初步
8．如图所示的是一个水平放置的正方形 ABCO， 它在直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为(2，2)， 则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶 点 B′到 x′轴的距离为________．
第一章 立体几何初步
解析：在直观图中四边形 A′B′C′O′是有一个角为 45°且长边
第一章 立体几何初步
法二：梯形 ABCD 的面积 S＝12(DC＋AB)×OD ＝12(1＋2)×1＝32． 所以梯形 ABCD 直观图的面积为 S′＝ 42S＝ 42×32＝382．
第一章 立体几何初步
[B 能力提升]
11．已知一水平放置的三角形的平面直观图是边长为 1 的正
三角形，那么原三角形的面积为( )
第一章 立体几何初步
高中数学第一章立体几何初步1.1.4投影与直观图学案新人教B版必修2(2021学年)
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1。
1．４投影与直观图[学习目标] 1。
了解中心投影与平行投影.2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.3.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.[知识链接]1。
三角形的面积S＝1２aｈ（其中ａ为底边长，h为底边上的高）。
2。
梯形的面积S=12（ａ＋b)h(其中a、b为两底长，h为高）．［预习导引]1。
平行投影已知图形F,直线l与平面α相交。
过F上任意一点Ｍ作直线ＭＭ′平行于l,交平面α于点M′,则点Ｍ′叫做点M在平面α内关于直线ｌ的平行投影(或象）。
如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F′,则F′叫做图形Ｆ在α内关于直线ｌ的平行投影. 2.平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时,平行投影都具有下述性质:(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段;（２）平行直线的平行投影是平行或重合的直线;（３)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长;(４)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等;（５）在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比。
3.中心投影一个点光源把一个图形照射到一个平面上,这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影。
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1.1.4 投影与直观图
一、非标准
1.晚上放学后,当你走路回家经过一盏路灯时,你会发现自己的身影是( )
A.变长
B.变短
C.先变长再变短
D.先变短再变长
解析:由中心投影的性质知,身影先变短后变长.
答案:D
2.如果图形所在的平面不平行于投射线,那么下列说法正确的是( )
A.矩形的平行投影一定是矩形
B.梯形的平行投影一定是梯形
C.正方形的平行投影一定是矩形
D.正方形的平行投影一定是菱形
解析:结合平行投影的性质去判断.
答案:B
3.如图所示,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形,则原来图形的形状是( )
答案:A
4.利用斜二测画法,作出直线AB的直观图如图所示,若O'A'=O'B'=1,则直线AB在平面直角坐标系中对应的函数表达式是( )
A.y=-x+1
B.y=x-1
C.y=-2x+2
D.y=2x-2
解析:由直观图还原规律可得A,B在平面直角坐标系中的位置如图所示.
令函数表达式为y=kx+b,
将A(1,0),B(0,-2)代入上式得解得
故函数表达式为y=2x-2.
答案:D
5.如图所示,是水平放置的三角形的直观图,D为△ABC中BC边上的中点,则AB,AD,AC三条线段中( )
A.最长的是AB,最短的是AC
B.最长的是AC,最短的是AB
C.最长的是AB,最短的是AD
D.最长的是AC,最短的是AD
解析:逆用斜二测画法把直观图还原,原图还原后为∠B是直角的直角三角形,如图,则AB为一条直角边,从图上可以看出,AC>AD>AB.
答案:B
6.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则该平面图形的面积等于( )
A. B.1+
C.1+
D.2+
解析:建立如图所示的坐标系x'O'y',梯形为A'B'C'D'.
所以梯形A'B'C'D'的底A'B'=1+,
对应还原到xOy中图形为下图.
梯形为直角梯形ABCD,
所以AB=A'B'=1+,AD=2A'D'=2,DC=D'C'=1.
所以S=(CD+AB)×AD=(1+1+)×2=2+,故选D.
答案:D
7.如图所示,矩形A'B'C'D'是水平放置的图形ABCD的直观图,其中A'B'=6,A'D'=2,则图形ABCD的形状为.
答案:菱形
8.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图的面积为.
解法一:实际图形和直观图如图所示,
根据斜二测画法规则可知,
A'B'=AB=a,O'C'=OC=a,
作C'D'⊥A'B'于点D',
则C'D'=O'C'=a.
所以△A'B'C'的面积=A'B'·C'D'=×a×a=a2.
解法二:由于该正三角形面积为S=a2,
所以由公式S'=S可得其平面直观图面积S'=a2·a2.
答案:a2
9.给出下列说法:
①正方形的直观图是一个平行四边形,其相邻两边长的比为1∶2,有一内角为45°;
②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变,高为原三角形高的一半的三角形;
③水平放置的不等边三角形的直观图是不等边三角形;
④水平放置的平面图形的直观图是平面图形.
写出其中正确说法的序号.
解析:对于①,若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴,则结论正确;但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴,由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上且不与坐标轴平行,则其直观图中相邻两边长的比不为1∶2;对于②,水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变,高比原三角形高的一半还要短的三角形;对于③,只要坐标系选取的恰当,水平放置的不等边三角形的直观图可以是等边三角形.
答案:④
10.用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图.
解:如图所示.(1)画x'轴,y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°,x'轴,y'轴与xOy坐标系中对应轴的单位长度相同.
(2)在x'轴上取点H,使O'H=3,作HA'∥y'轴,并取A'H=1,在y'轴上取C',使O'C'=1,在x'轴上取B',使O'B'=4.
(3)顺次连接O',A',B',C',便得到四边形OABC的直观图O'A'B'C'.
11.用斜二测画法画出底面边长为4cm,高为3cm的正四棱锥(底面是正方形,并且顶点在底面的正投影是底面中心的棱锥)的直观图.
解:(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD,使∠BAD=45°,AB=4cm,AD=2cm.
(2)过O'作z'轴,使∠x'O'z'=90°,在z'轴上截取O'S=3cm.
(3)连接SA,SB,SC,SD,得到如图②的图形就是所求的正四棱锥的直观图.
12.如图所示,在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A'B'C'D',其中对角线A'C'在水平位置.已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积.
解:四边形A'B'C'D'的真实图形如图所示,
因为A'C'在水平位置,A'B'C'D'为正方形,
所以在四边形ABCD中,DA⊥AC.
因为DA=2D'A'=2,AC=A'C'=,
所以S四边形ABCD=AC·AD=2.。