九年级数学下册 26.2二次函数知识点总结 人教新课标版

1 人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结  相关概念及定义  二次函数的概念：一般地，形如

2

yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，

叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，

可以为零．二次函数的定义域是全体实数．  二次函数

2

yaxbxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．  二次函数各种形式之间的变换

 二次函数cbxaxy

2

用配方法可化成：khxay2的形式，其中

abackabh4422

，.

 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；

③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.  二次函数解析式的表示方法  一般式：2

yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；

 顶点式：2

()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；

 两根式：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.  二次函数2

yaxbxc图象的画法

 五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2

()yaxhk，

确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称

的点2hc，、与x轴的交点10x，，20x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.  画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交

点.  二次函数2axy的性质

 二次函数2

yaxc的性质

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 00， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．

0a 向下 00， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0． 2

 二次函数

2

yaxh的性质：

 二次函数

2

yaxhk的性质

 抛物线2yaxbxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

 a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下； a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

 对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作2bxa.特别地，y轴记作直线0x.

 顶点坐标：），（

abacab442

2



 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.  抛物线cbxaxy

2

中，cba,,与函数图像的关系

 二次项系数a 二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a． ⑴ 当0a时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当0a时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大． 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．  一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a的前提下，

当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；

当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0c， y

轴

0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随

x的增大而减小；0x时，y有最小值c．

0a 向下 0c， y

轴

0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随

x的增大而增大；0x时，y有最大值c．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0h， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y

随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．

0a 向下 0h， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y

随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 hk， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y

随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．

0a 向下 hk， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y

随x的增大而增大；xh时，y有最大值k． 3

当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧． ⑵ 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；

当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴； 当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置． 总结：  常数项c ⑴ 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置． 总之，只要abc，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．  求抛物线的顶点、对称轴的方法

 公式法：abacabxacbxaxy442

222

，∴顶点是

），（abacab4422，对称轴是直线abx2.  配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2

的形式，得

到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.  运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.  用待定系数法求二次函数的解析式

 一般式：cbxaxy

2

.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

 顶点式：khxay2

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

 交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：

21xxxxay.

 直线与抛物线的交点  y轴与抛物线cbxaxy

2

得交点为(0, c).

 与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy

2

有且只有一个交点

(h,cbhah2).  抛物线与x轴的交点:二次函数cbxaxy

2

的图像与x轴的两个交点的横坐

标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点0抛物线与x轴相交； ②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切； ③没有交点0抛物线与x轴相离.  平行于x轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.