北师新七下 两条直线的位置关系1

D 1 3 4 O 2 C
A 图2—2
N 图2-3
B
小组合作交流，解决下列问题：在图2—3中 问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？ 问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？ 问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
巩固练习1
1）若∠1与∠2互余， ∠2与∠3互余，则 ∠1= ∠3 同角的余角相等 ___________，根据___________. 2）若∠1与∠2互补， ∠2与∠3互补， ∠1= ∠3 同角的补角相等 则___________，根据___________.
算一算
(3)如图，已知∠DOE=90°，AB是经过点 O的一条直线。如果∠AOC=700，那么 ∠BOF等于多少度?为什么?
D E A C O
∵∠AOC=70°（已知）
∴∠BOD=70°（对顶角相等）
B ∵∠DOE=90°（已知） F
∴∠DOF=90°（平角定义） ∴∠BOF=∠DOF-∠DOB
=90°- 70°=20°
北师大七年级(下) 《数学》( 北师大.七年级 下册 )
2.1
双杠
扶手
铁轨
一、两直线位置关系
阅读课本38页至“议一议”前，完成以下问题：
1. 在同一个平面内 做相交线。 ， 只有一个交点 的两条直线叫
不相交 的两条直线叫做平行线. 2. 在同一个平面内 ，
平行 相交 3.同一平面内，两条直线的位置关系有____和_____ 两种。
巩固练习2
如图1-2-3，已知∠AOC与∠BOD都是直角， ∠BOC=60°． （1）求∠AOB和∠DOC的度数； （2）∠A OB与∠DOC有何大小关系； （3）若不知道∠BOC的具体度数，其他条件 不变，这种①，△ABC中，∠C=90°.则∠A是∠B的 。
n条直线
说说看，你学到了什么？
还有什么疑问？
那么∠3和∠4 呢？ 也是对顶角！
对顶角
C
如图，直线AB和CD相交 于点O，我们就把其中的
∠1和∠2叫做对顶角。
A
O
）2
B
D
还有没有对顶角？ ∠AOC和∠BOD
试一试！
（1）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（D）
1 2 A 2 1 C 2 1 D B 1 2
（2）如图所示,直AB、CD相 交于O点，OE是射线，则∠4 的对顶角是 ∠AOD ，∠1的 对顶角是 ∠3 。
（3）互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边？
练习1：
∠α
5° 77° 62°23′ x°
∠α的余角
85° 13° 27°37′ 90°-x °
∠α的补角
175° 103°
117°37′ 180°-x °
思考： 1.锐角是否都有余角和补角？钝角呢？ 2.同一个锐角的补角比它的余角大多少？
180 -x - (90 -x
A
1
D
如图所示，三条直线AB、CD、EF相 交于Ｏ点，∠1＝４00,∠2=750,则 ∠3等于多少度?
A 解: ∵ ∠1＝４0° ∠2= 75 °(已知) ∴ ∠AOF= 180 ° － ∠2 － ∠1 C = 180 ° － 75 ° － ４0 ° = 65 ° ∴ ∠3= ∠ AOF= 65 °(对顶角相等) 1 2
D E
2
O4
3
A
C
观察·发现2
请你观察图中∠1和 ∠2这组对顶角，你 发现它们的大小有什 么关系?
探究对顶角性质：
已知：如图，直线AB与CD交于O． 求证：∠1=∠2
A
C
）2
1（
O
B
证明： ∵∠1 +∠AOC =180° (平角定义)
∠2 +∠AOC =180°(平角定义) D ∴∠1 =180°-∠AOC ∴∠2 =180°-∠AOC ∴∠1 = ∠2 (等式性质)
A
F
C
O
D
E
B
如图，三条直线AB、
CD、EF两两相交，在这
6 个图形中有对顶角__对，
C D E B
A
F
若直线AB，CD相交，∠1=400 则∠2 =____ 度，∠3 =____ 度，∠4 =____度 140 40 140
C 2 3 4 B
若把上题中∠1=400 这 个条件换成其他条件， 而结论不变，请自编几 道题。
直线AB与CD相交于点O，∠1与 ∠2有公共顶点O，它们的两边互 为反向延长线，这样的两个角叫 做对顶角。
1
对顶角定义：有公共顶点，并且两边互为反向延长线， 的两个角叫做对顶角。
认一认 （1）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ D ）
1
2 B A 1 2
2
1 C
2 1 D
找一找
B
1
（2）如图所示,直AB、CD相 交于O点，OE是射线，则∠1 的对顶角是 ∠3 ，∠4的 对顶角是 ∠AOD 。
F
O 3
B
D
E
学 以 致 用
要测量两堵墙所成的角的度数，但 人不能进入围墙，如何测量
？
A
B C
O D
发 现 之 旅——
2 两条直线相交有对顶角_______对
6 3条直线相交有对顶角_______对
12 4条直线相交有对顶角_______对
...
n(n-1) n条直线相交有对顶角_______对
三、余角和补角的定义
1、定义：
如果两个角的和等于180º ，那么这两个角叫做 互为补角。简称这两个角互补 。 如果两个角的和等于90º ，那么这两个角叫做 互为余角。简称这两个角互余 。
2、问题：
（1）定义中的“互为”一词如何理解？
（2）∠1 + ∠2 + ∠3
= 180°,能说∠1 、∠2、 ∠3 互补吗？
4.不相交的两条直线一定是平行线吗？
检测
大家来找茬
同一平面内 判断下面说法是否正确:
（1）不相交的两条直线叫做平行线。
直线 （2）在同一平面内，不相交的两条线段
（ ×）
是平行线 。
（ ×）
（3）两条直线，要么平行，要么相交。 （ × ）
二、对顶角
观察·发现1
如图，直线AB、CD相交于O 图中还有没有 ∠1和∠2有什么位置关系？ 其他对顶角？
（2）变式训练：在①的基础上，作∠CDA=900，如图②. 1.则∠A的余角有哪几个？为什么？ 2.请找出图中相等的角，并说明理由。
C C
1
A 图①
B
A
D 图②
B
A
O
B
C
D
A
O
B
C
D
对 顶 角
D 3 2 A
1
O 4
B
C
定义：一个角的两边是另一个角两边的反向 延长线，这两个角叫做对顶角。
D E
2 1
B
O4
3
A
C
对顶角性质：对顶角相等
已知：如图，直线AB与CD交于O． 求证：∠1=∠2
C
）2
A
1（
O
B
D
证明：∵直线AB与CD交于O(已知)， ∴∠1 +∠AOC =180° (平角定义) ∴∠2 +∠AOC =180°(平角定义) ∴∠1 = ∠2 (等式性质)
性质的应用
如图所示，三条 直线AB、CD、EF相交 于一点O,∠AOC的对顶 角是 ∠DOB ，∠COF的 ∠DOE 对顶角是________.
o
o
o
o
)=90°
练习2: 若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个 角的度数。 解：设这个角是x °，则它的补角是(180－x°),
余角是(90°－x°) ,根据题意得：
180－x = 4 (90－x) 解得： x = 60 答：这个角的度数是60 °。
四、余角和补角的性质
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球 会直接入袋，此时∠1=∠2，将图2-2抽象成图2-3，ON与DC交于 点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2。