基于连续动态控制进给速度的智能NURBS插补

NURBS曲线插补进给速度的自适应调整张得礼周来水(南京航空航天大学机电学院CAD/CAM工程研究中心，南京210016)[摘要]介绍了NURBS曲线的特点，并根据此特点对NURBS曲线的参数值用泰勒展开式进行求取，通过对曲线的曲率、进给离心力和凹、凸曲面材料去除率的研究，提出了基于可控弓高误差和可控切削载荷的进给速度自适应调整的智能NUBRS 曲线插补方法。

用该方法不但提高了加工零件的表面质量还能延长刀具的使用寿命，最后给出了快速求取插补点的NUBRS 曲线动态矩阵表示和曲线曲率的快速计算方法和可控切削载荷NURBS曲线智能插补的实现。

关键词：数控，NURBS曲线，插补中图分类号：TG659；TH123Intelligent NURBS interpolator based on the adaptive feed rate controlZhang Deli Zhou Laishui Shen Huicun(college of mechanical and electrical engineering , Nanjing University of Aeronautic And Astronautic, Nanjing 210016 ,China) abstract：Firstly analyzed the form of NURBS curve and used Talor’s expansion of the parameter u with respect to time t to obtain the first order approximation interpolation algorithm ,based on the research on the centrifugal force and curvature of the NURBS curve and material removal rate of the concave / convex surface, proposed an intelligent NURBS curve interpolator based on the adaptive feed rate control for controlling chord error and controlling material removal rate, not only part accuracy can be enhanced but also the life-span of cutting tool can be prolonged with the proposed method. Finally , presented the dynamic matrix representation of NURBS curve to accelerate the interpolation and efficient algorithm of curvature computation of the NURBS curve.Keywords: cnc ,NURBS curve, interpolation具有复杂型面的高精度的整体构件在航空航天设备中得到了越来越多的使用，而这些高精度整体构件的复杂型面往往采用数控铣削来加工，如整体叶轮、径向阔压器等的加工，对数控系统的性能要求很高。

常规的用微段直线逼近加工曲面的轮廓曲线的加工方法加工效率低、加工表面质量差。

随着计算机计算速度的提高和开放式CNC系统的发展，可以直接用CAD/CAM模型中的自由曲面生成的NURBS轮廓曲线来进行直接加工，从而解决了（1）用微段直线逼近的方法来满足加工精度带来的巨大的NC代码文件的传输和存储的效率问题；（2）加工工件的表面质量差等问题[1-3]。

常用的NURBS插补方法是除了加减速区外，沿曲线切向进给速度恒定[4]，这样存在两个问题，一是在曲率大的曲线段处弓高误差大，加工精度低；二是在加工凸曲面和凹曲面时材料的去除率不同[5]，本文通过曲线的曲率、进给离心力和凹、凸曲面材料去除率的的研究提出了基于可控弓高误差和可控切削载荷的进给速度动态调整的智能NUBRS插补方法。

用该方法不但提高了加工零件的表面质量还能延长刀具的使用寿命。

1．实时3-D NUBRS 曲线插补1.1NUBRS 曲线的表示一条K次NUBRS 曲线可以表示为一分段有理多项式矢函数()()∑∑===nikiinikiiiuNwuNdw,,C(u)（1）其中w i , i=0,1,…,n 为权因子（weights），d i , i=0,1,…,n 为控制顶点, w0 , w n>0,其余w i >0, N i,k(u)是由节点矢量U=[ u0 , u1,…, u n+k+1]决定的k次规范B样条基函数，采用次数给出如下()()()()()⎝⎛=--+--=⎩⎨⎧≤≤=-++++++-++2uuu11,11111,,1ii0,规定其它若uNuuuuuNuuuuuNuNkiikikikiikiikii1．2 可控弓高误差NURBS曲线智能插补设参数u对时间t 的函数为u（t i）=u i，u（t i+1）=u i+1，利用泰勒展开式[6]展开得21221i1)()(uiittiittitttdudttdtduuii-+-+=+=+=++高次项（3）因为 ()dtdu duds dtds u V ⋅==所以dudsu V dtdu )(=（4）其中()()()222'''z y x duds ++=（5）dudz z dudy y dudx x ===';';' （6）把式（4）带入式（3）并省去高次项进行一次逼近得()is i u u duds T u V =⋅+=+i1i uu（7）其中T s =t i+1-t i 为插补周期，设对()1,+∈i i u u u 曲线段，用圆弧逼近曲线[7-9]，如图1所示，半径r 为C （u i ）点的曲率半径，ε为弓高误差，弦长为L ，在u i 点的速度定义为()siT L u V =（8），弓高误差为()222L r r --=ε（9），对应弓高误差ε的速度可表示为()())10(222ε--⋅=rrT u Vsi设定弓高误差ε不变，则速度V （u i ）随着曲率半径的变化而变。

但是受到机床自身机械特性的约束，机床的最大允许进给法向加速度是有限的，因此在加工曲率半径较大的曲线段，实际所需要的机床进给法向加速度有可能超过机床的最大允许进给法向加速度a max ，所以在自适应速度调整中，就要考虑机床的机械特性。

进给法向加速度a 的大小和进给速度、加工段曲线的曲率半径有如下关系：ru Va i )(2=,则最大允许速度ra V ⋅=max max（11）由式（10）和式（11）可得自适应速度调整：()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--⋅--⋅>--⋅=max2222max22max 222)(V r r T r r T V r r T V u V sssεεε若若（12）2 提高NURBS 曲线插补实时性的快速算法2.1 NURBS 曲线的矩阵表示设ii i iu u -=∇=∇+11，i i i u u -=∇+22，i i i u u -=∇+33，……,特别地00=∇i ，对于节点矢量U ，可生成Du={▽0，▽1，……，▽n+k }对于u ∈[u i ,u i+1],令t=(u-u i )/u i+1-u i )=(u-ui)/ ▽i,则t∈[0,1].如曲线采用三次NURBS 表示，即K=3，则第i 段曲线可以用下面矩阵形式表示[][]123321122333211)(---------=i i i ii i i i i i ii w w w Mttt d w d w d w Mttt t p ，0≤t≤1,i=3,4,…,n其中，44434241343332312423222114131211m m m m m m m m m m m m m m m m M i==()()()()()()()iii i i i i i i i i i i i i i i i i m m m m m m m m m m m m m m 3221322443344431111131223311111312123111113122113112312230333033301∇∇∇⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∇∇∇++----∇∇∇+-∇∇∇∇--∇∇∇--∇∇∇-----------展开上式，整理并令a= m 11w i-3d i-3+ m 12w i-2d i-2+ m 13w i-1d i-1+ m 14w i d ii ) 图1 下一插补点的计算b= m 21w i-3d i-3+ m 22w i-2d i-2+ m 23w i-1d i-1+ m 24w i d i c= m 31w i-3d i-3+ m 32w i-2d i-2+ m 33w i-1d i-1+ m 34w i d i e= m 41w i-3d i-3+ m 42w i-2d i-2+ m 43w i-1d i-1+ m 44w i d i a 1= m 11w i-3+ m 12w i-2+ m 13w i-1+ m 14w i b 1= m 21w i-3+ m 22w i-2+ m 23w i-1+ m 24w i c 1= m 31w i-3+ m 32w i-2+ m 33w i-1+ m 34w i e 1= m 41w i-3+ m 42w i-2+ m 43w i-1+ m 44w i 则()31211321te t c t b a etctbt a t p i ++++++=由于控制点d i 及其权因子w i 均已知，而M i 仅与节点向量有关，也是确定的，故式中的各系数均已知，且与插补点无关，可在插补前一次性求出，插补计算时只须计算插补步长Δt ，从而大大加快了计算速度。

2.2 NURBS 曲线的曲率计算 曲线的曲率半径定义为：3''''C C C k ⨯=其中dudC =C' ，r=1/k 但式中曲率半径计算较繁琐，计算时间长，使得插补周期变长，满足不了高速切削系统对插补周期的要求， 可用下文的近似方法求之。

如图4所示 ，当一个插补微段弦长很小时，可这样来近似：riL 2sin ≈≈θθ（17），θ又可近似为-≈θ（18），其中i i t t 和1+为单位切矢，综合式（17）和式（18）可得r ≈（19）切矢可用一阶差分代替微分求得11)()()(----='i i i i i u u u p u P u P则)()(i i iu P u P t '=这样曲率半径r 就可以快速的求出。