模糊数学 (第一讲)
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工程应用软计算课件第1章 模糊数学1.4-1.5-PPT课件
.2 0 .7 0 .1 0 0 0 0 .2 0 .3 0 .5 .1 ,0 .2 ,0 .4 ,0 .3 ) 于是 A R(0 0 .8 0 .2 0 0 0 1 0 0 (0 .4 ,0 .3 ,0 .2 ,0 .2 ) B 评价结果：该件衣服被评为“满意”的程度最大(0.4) ，故可以认为该件衣服综合评价的结论是趋向于满意 。
ai 1 a 0 a u 其中 i 是因素 i 的评价权重，有 i 且 i 1 .
R B b ,, b b 由复合运算得到模糊综合评价 A 1 2 , m
n
工程应用软计算——模糊数学
例：电脑评判。某同学想购买一台电脑，他关心电 脑的以下几个指标：“运算功能（数值、图形等）”； “存储容量（内、外存）”；“运行速度（CPU、主 板等）”；“外设配置（网卡、调制调解器、多媒体 部件等）”；价格”。为了数学处理简单，令
据调查，近来用户对微机的要求是：工作速度快， 外设配置较齐全，价格便宜，而对运算和存储量则要 求不高。于是得各因素的权重分配向量：
A ( 0 . 1 , 0 . 1 , 0 . 3 , 0 . 1 5 , 0 . 3 5 )
作模糊变换： B A R
A ( a , a , a , a ) , a ( u ) , k 1 , 2 , 3 , 4 1 2 3 4 k A k
隶属度 A ( u k ) 叫做因素 u k 的评价权重。
工程应用软计算——模糊数学
综合评判的初始模型
( 0 . 1 , 0 . 2 , 0 . 4 , 0 . 3 ) 假设 A
工程应用软计算——模糊数学
单因素评价矩阵只能反映出人们对该件衣服每个因 素的评价结果。 综合评价：将所有因素的评价结果进行综合，给出
ai 1 a 0 a u 其中 i 是因素 i 的评价权重，有 i 且 i 1 .
R B b ,, b b 由复合运算得到模糊综合评价 A 1 2 , m
n
工程应用软计算——模糊数学
例：电脑评判。某同学想购买一台电脑，他关心电 脑的以下几个指标：“运算功能（数值、图形等）”； “存储容量（内、外存）”；“运行速度（CPU、主 板等）”；“外设配置（网卡、调制调解器、多媒体 部件等）”；价格”。为了数学处理简单，令
据调查，近来用户对微机的要求是：工作速度快， 外设配置较齐全，价格便宜，而对运算和存储量则要 求不高。于是得各因素的权重分配向量：
A ( 0 . 1 , 0 . 1 , 0 . 3 , 0 . 1 5 , 0 . 3 5 )
作模糊变换： B A R
A ( a , a , a , a ) , a ( u ) , k 1 , 2 , 3 , 4 1 2 3 4 k A k
隶属度 A ( u k ) 叫做因素 u k 的评价权重。
工程应用软计算——模糊数学
综合评判的初始模型
( 0 . 1 , 0 . 2 , 0 . 4 , 0 . 3 ) 假设 A
工程应用软计算——模糊数学
单因素评价矩阵只能反映出人们对该件衣服每个因 素的评价结果。 综合评价：将所有因素的评价结果进行综合，给出
模糊数学
2 ,则1
A
~
2
A.
~
性质2 若 A B,则 A B .
~
~
~
~
第一章 模糊集合的基本概念
2. 分解定理
定理1 （分解定理I） 设 A F ( X ),则 ~
A
~
(A
[0,1]
)
证明
A P( X ), [0，1],
A
(
x)
1, 0,
x x
A A
(A
)(
x)
A
(
x)
,
0,
x x
A A
~
max{A( x),0} A( x)
~
~
第一章 模糊集合的基本概念
定理2 （分解定理II）
证明
对x
设
X,有
A F ( X ),则 A
~
~
(
[0,1]
A
•
)
( A )( x)
( A )( x)
[0,1]
•
[0,1]
•
max ( A ( x)), ( A ( x))
[0, A( x )) ~
•
来确定，而且还可以由 更一般的集合族
{H ( )}[0,1]来确定，即H ( )不一定是A
或者A，还可以介于它们之间 .
•
第一章 模糊集合的基本概念
三、 表现定理
定义1 令H :[0,1] P( X )
若H满足
H()
1 2 H (2 ) H (1 )
则称 H 为X上的集合套. X上的全体集合套记作 U(X).
~
A.
~
称A0
•
A1为
A的边界.
模糊数学-模糊数学基本知识
隶属函数参数化
1. 三角形隶属函数
0
trig ( x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
trig(x; a,b, c) max(min( x a , c x), 0) ba cb
参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。
2. 梯形隶属函数
0
xa
trap(x, a, b, c, d )
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
❖ (2)模糊子集运算的基本性质
模糊集合间的并、交、补（余）运算 具有如下的性质.
1)幂等律 A~ A~ A~, A~ A~ A~
2)交换律 A~ B~ B~ A~; A~ B~ B~ A~
3)结合律 ( A~ B~) C~ A~ (B~ C~),
论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征， uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。 模糊子集完全由隶属函数来描述。
❖ 模糊子集的表示方法 （1）向量法
（2）查德表示法 有限集 无限集
模糊集举例 例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则 AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
( A~ B~) C~ A~ (B~ C~).
《模糊数学教案》PPT课件
(3) 0≤E(A,B,C)≤1.
因此，不妨定义E(A,B,C ) = 1 – (A –
C)/180.则E(x0) =0.677.
或者
E(A,B,C) 则E(x0)=0.02.
111p,801p,
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其中 p = A – C p0,
p0.
12
等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足下列约 束条件：
判别规则往往通过的某个函数来表达, 我们 把它称为判别函数, 记作W(i; x).
一旦知道了判别函数并确定了判别规则，最
好将已知类别的对象代入检验，这一过程称为回
代检验，以便检验你的判别函数和判别规则是否
正确.
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3
§3.2 最大隶属原则
模糊向量的内积与外积
定义 称向量a = (a1, a2, …, an)是模糊向量, 其 中0≤ai≤1. 若ai 只取0或1, 则称a = (a1, a2, …, an)是 Boole向量.
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10
先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数.
直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足下列 约束条件：
(1) 当A=90时, R(A,B,C)=1;
(2) 当A=180时, R(A,B,C)=0;
(3) 0≤R(A,B,C)≤1.
因此，不妨定义R(A,B,C ) = 1 - |A - 90|/90.
于A,即为“优”.
例2 论域 X = {x1(71), x2(74), x3(78)}表示三 个学生的成绩,那一位学生的成绩最差？
C(71) =0.9, C(74) =0.6, C(78) =0.2,
根据最大隶属原则Ⅱ， x1(71)最差.
模糊数学方法_数学建模ppt课件
相同 • 传递性：如果a和b的关系隶属度大于等于ⅰ，b和
c的关系隶属度大于等于ⅰ，那么a 和c的关系隶属度也大于等于ⅰ
传递性的判断
模糊数学应用
• 模糊聚类 • 模糊综合评判 • 模糊预测 • 模糊层次分析法 • 模糊推理 • 模糊控制 • 模糊约束
模糊聚类
模糊聚类
模糊综合评判
模糊预测
• 元素指标评价向量的距离或相似度
模糊关系
• 定义5 从集合A到集合B的一个模糊关系是指AXB 的一个模糊子集. 特别地
• 定义6 AXA的一个模糊子集称为A上的一个二元模 糊关系.
模糊关系的运算
模糊关系的运算
模糊关系的截集
• 模糊关系的a截集为一个经典关系. • 将模糊关系当成模糊子集来理解，其截集定义可
由模糊子集的定义来刻画. • 通过矩阵理解，a截集表示将矩阵中元素大于等于
n
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
运算，取大，取小，加法运算与1的取小复合： Min（a+b，1）. • 重要的有两类：三角模，像乘法运算，取小运算； • 三角余模：像取大， Min（a+b，1）等. • 同学们可以查其它的算子
a的数变为1，其余的变为0.
模糊关系的合成
• 一个从X到Y的模糊关系R和一个从Y到Z的关系Q 合成为一个从X到Z的模糊关系Q.R，合成规则为 将常规矩阵乘法运算中的加法用取大，乘法用取 小代替.
论域X上的模糊关系的三大性质
• 自反性：自身和自身的关系隶属度为1 • 对称性： a和b的关系隶属度与b 和a的关系隶属度
c的关系隶属度大于等于ⅰ，那么a 和c的关系隶属度也大于等于ⅰ
传递性的判断
模糊数学应用
• 模糊聚类 • 模糊综合评判 • 模糊预测 • 模糊层次分析法 • 模糊推理 • 模糊控制 • 模糊约束
模糊聚类
模糊聚类
模糊综合评判
模糊预测
• 元素指标评价向量的距离或相似度
模糊关系
• 定义5 从集合A到集合B的一个模糊关系是指AXB 的一个模糊子集. 特别地
• 定义6 AXA的一个模糊子集称为A上的一个二元模 糊关系.
模糊关系的运算
模糊关系的运算
模糊关系的截集
• 模糊关系的a截集为一个经典关系. • 将模糊关系当成模糊子集来理解，其截集定义可
由模糊子集的定义来刻画. • 通过矩阵理解，a截集表示将矩阵中元素大于等于
n
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
运算，取大，取小，加法运算与1的取小复合： Min（a+b，1）. • 重要的有两类：三角模，像乘法运算，取小运算； • 三角余模：像取大， Min（a+b，1）等. • 同学们可以查其它的算子
a的数变为1，其余的变为0.
模糊关系的合成
• 一个从X到Y的模糊关系R和一个从Y到Z的关系Q 合成为一个从X到Z的模糊关系Q.R，合成规则为 将常规矩阵乘法运算中的加法用取大，乘法用取 小代替.
论域X上的模糊关系的三大性质
• 自反性：自身和自身的关系隶属度为1 • 对称性： a和b的关系隶属度与b 和a的关系隶属度
第一章 模糊数学引 言
我国的模糊技术研究
1) 70年代后期传到我国，起步晚，但发展快
2) 理论研究居世界领先地位，但应用与发达国家有差距
3）“模糊技术产业化”
3) 近几年国内掀起了模糊控制技术的研究与开发热，成绩喜人
- 企业：大型加电集团已成功开发了国产模糊控制洗衣机 如： “小天鹅”，“海尔”，“小鸭”，“金羚”
等名牌智能洗衣机
“模糊逻辑与神经网络---理论研究与探索”刘增良，北京航空航天大学出版社
“模糊技术与神经网络选编”，北京航空航天大学出版社
第十三页，共14页
杂志
1.模糊数学与系统 2.控制与决策 3.系统工程理论与实践 4.计算机学报 5.人工智能与模式识别 6.Fuzzy Sets And Systems
rmation Science 8.IEEE Tran.on Fuzzy Systems
如：“人”的内涵=所有人具有的共同属性 如：有语言、会思考、发明创造等
“人”的外延=世界上所有人组成的集合（康托集）
注：康托 集合论是现代数学的基础，康托（德国数学家，1845-1918）
第二页，共14页
Cantor Set:“把一些明确的，彼此有区别的对象的全体”
（康托）
A a p(a)
如：N 1,2,3,... 实数集R r r是实数
第三页，共14页
二.模糊与精确的关系
模糊性与精确性： 对立统一，相互依存，可互相转化。
- 精确的概念可表达模糊的意思： 如“望庐山瀑布”
“飞流直下三千尺，凝是银河落九天” - Fuzzy的概念也能表达精确的意思：
模糊数学不是让数学变成模模糊糊的东西，
而是让数学进入模糊现象这个禁区，即用 精确的数学方法去研究处理模糊现象
模糊数学第一章汇总
一、经典集合
概念、内涵、外延
概念：青菜 内涵：
一种植物，绿色，一般叶子直立，可食用
外延：
韭菜、芹菜、芥兰、白菜、葱等等
一、经典集合
概念与集合
概念可以用集合来表示 我们讨论具体问题时，要有论域（议题限制在一定范 围内） 例如： – 在论域“人”上，讨论概念“男子”
一、经典集合
从集合“人”中挑出所有男子，构成一个子集A A是概念“男子”的外延，是概念“男子”的集 合表现 概念可以用集合来表示
模糊数学所研究的模糊现象，事物的概念本身是模 糊的，因此一个对象是否符合这个概念难以确定， 称这种不确定性为模糊性
模糊理论的数学基础
一、经典集合 二、映射与扩张 三、二元关系
第二节 模糊理论的数学基础
一、经典集合 二、映射与扩张 三、二元关系
一、经典集合
概念、内涵、外延
每一个概念都有一定的外延和内涵 概念的外延就是适合这个概念的一切对象的范围 概念的内涵就是这个概念所反映的对象的本质属性 的总和
基本思想，基础理 论；从而进一步了解 模糊理论的基本应用，能够应用模糊理 论解决信息领域与工程技术中的实际问 题。
3
二、课程认识
用数学的眼光看世界，可把我们身边 的现象划分为：
数学
确定性 不确定性
经典（精确）数学
随机性 模糊性
随机数学 模糊数学4模糊数学与概率论的不同
概率论所研究的随机现象，事件本身含义明确，只 是事件的发生与否存在不确定性，这种不确定性称 为随机性
4
二、课程认识
➢ 在日常生活中，我们遇到的概念不外乎 两类。
➢ 一类是清晰的概念，对象是否属于这个概念 ➢是明确的。例如： 人、自然数、正方形等。
模糊数学方法_数学建模ppt课件
；
eA,B n AxiBxi2
i1
• 相对欧几里得距离：
A,B 1 eA,B
n
-
12
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
-
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【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
• 设以人的岁数作为论域U＝[0,120]，单位是“岁”， 那么“年轻”，“年老”，都是U上的模糊子集。 隶属函数如下：
• “年轻”（u）＝ 1
1u52521
0u25 25u120
• “年老”（u）＝ 1 1u52521
0u50 50u120
-
8
模糊集合与经典集合的联系
• 一就般叫λ地截，集用或Aλλ表 水示平集. Ax的x的集合，这个集合
• 支撑集，即所有λ>0的λ截集的并集 .
-
9
模糊集合的一个实际例子
• 假定有甲乙两个顾客商 场买衣服，他们主要考
虑三个因素：
• 花色式样（x1）； • 耐穿程度（x2）； • 价格（x3）；
顾客甲 确定的 隶属度
顾客乙 确定的 隶属度
花色 式样 x1 0.8
0.6
耐穿 程度 x2 0.4
0.6
价格 x3 0.7
模糊数学方法
理学院 韩邦合
-
1
模糊数学：程度化 思想解决模糊概念
• 一个人有了10万根头发，当然不能算秃头。不是秃头的人， 掉了一根头发，仍然不是秃头。按照这个道理，让一个不 是秃头的人一根一根地减少头发，就得出一条结论：没有 一根头发的光头也不是秃头！
第1章 模糊数学1-2
具有自反性（rij 1 ）和对称性（rij rji）,但不具有传递 性，故 R 为模糊相容关系，而经过“自乘”
模糊数学—模糊聚类分析
1 0.5 R 2 0.8 0.5 0.5
0.3 0.8 0.5 0.5 1 0.2 0.4 0.4 0.2 1 0.5 0.5 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
模糊数学—模糊综合评判
但是，每种牌子的商品可能在上述指标中各有所长。 因此，采购者必须根据自己的实际需要和对各指标的 不同要求，对所有同类商品进行综合评判，以选择比 较满意的商品。 下面，以一个服装评价为例介绍一下初始模型。 比如，我们要评价一件衣服的好坏，通常要考虑 到衣服的面料、样式、价格和耐穿程度等因素。记 U {面料，样式，价格，耐穿程度} {u1 , u2 , u3 , u4 } 称 U 为评价的因素集。 人们习惯用自然语言“满意”、“较满意”、“不满意 ”来评价一件衣服某项指标。记
模糊数学—模糊聚类分析
决不了的困难。模糊数学的产生为上述软分类提供 了数学基础，由此产生了模糊聚类分析。我们把应 用普通数学方法进行分类的聚类方法称为普通聚类 分析，而把应用模糊数学方法进行分类的聚类分析 方法称为模糊聚类分析。 模糊聚类分析法大致可以分为两类：一类是基 于模糊等价关系的聚类方法；另一类称为基于软划 分的迭代自组 织分析法，也称逐步聚类法。这里我 们仅介绍基于模糊等价关系的聚类方法。
模糊数学—模糊聚类分析
例1.23 设 X {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 }
1 0.4 R 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
模糊数学第一章
具有某种特定属性的，彼此可以区别的对象的全体，叫做 集合。 每个集合里通常包含有若干个体，集合里的每个个体，成 为集合中的一个元素。 同一集合中的元素都具有某种共性，该集合被讨论的全体对 象，称为论域。
一、集合 1. 集合的有关概念
论域:讨论范围U称为论域(universe )或全集
空集: 不含任何元素的集合,记为 子集: 若x A x B, 则称A是B的子集，或A包含
则
1, x [2,8], max{xA ( x), xB ( x)} 0, x [2,8],
1, x [2,8] A B [2,8], xA B ( x) 0, x [2,8]
则
xA B ( x) max{xA ( x), xB ( x)}
类似可得：
辽宁大学信息学院研究生课程
模糊数学及其应用
主 讲: 尹凤杰
什么是模糊数学？
模糊数学概念
Fuzzy Mathematics
研究和处理模糊概念的数学方法。 模糊概念：难以精确表达的概念。 例：高个子长头发戴宽边 眼镜的中年男人
1
模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n 若n=k 为秃子 n=1 显然 n=k+1 亦为秃子
1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )
• 基本思想
用属于程度代替属于或不属于。描述差异的中间 过渡。是精确性对模糊性的一种逼近。 某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于 秃子的程度为0.3等. 首次成功的用数学方法描述了模糊概念。
读作f映X入Y（映入），y称为x在影射f下的像，x称为原像。
一、集合 1. 集合的有关概念
论域:讨论范围U称为论域(universe )或全集
空集: 不含任何元素的集合,记为 子集: 若x A x B, 则称A是B的子集，或A包含
则
1, x [2,8], max{xA ( x), xB ( x)} 0, x [2,8],
1, x [2,8] A B [2,8], xA B ( x) 0, x [2,8]
则
xA B ( x) max{xA ( x), xB ( x)}
类似可得：
辽宁大学信息学院研究生课程
模糊数学及其应用
主 讲: 尹凤杰
什么是模糊数学？
模糊数学概念
Fuzzy Mathematics
研究和处理模糊概念的数学方法。 模糊概念：难以精确表达的概念。 例：高个子长头发戴宽边 眼镜的中年男人
1
模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n 若n=k 为秃子 n=1 显然 n=k+1 亦为秃子
1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )
• 基本思想
用属于程度代替属于或不属于。描述差异的中间 过渡。是精确性对模糊性的一种逼近。 某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于 秃子的程度为0.3等. 首次成功的用数学方法描述了模糊概念。
读作f映X入Y（映入），y称为x在影射f下的像，x称为原像。