可逆矩阵的求法
求解逆矩阵的常用三种方法
求解逆矩阵的常用三种方法逆矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，它在解线性方程组、求解矩阵方程等问题中具有重要作用。
本文将介绍解逆矩阵的三种常用方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
方法一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种直接求解逆矩阵的方法。
对于一个n阶方阵A，它的伴随矩阵记为adj(A)。
首先，计算矩阵A的代数余子式构成的余子式矩阵A*，即A* = [Cij]，其中Cij是A的元素a_ij的代数余子式。
然后，将A*的转置矩阵记为adj(A)。
最后，计算逆矩阵A^-1 = adj(A) /det(A)，其中det(A)是矩阵A的行列式。
方法二：初等变换法初等变换法是通过一系列的初等行变换将矩阵A变为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同的变换，得到的矩阵就是原矩阵A的逆矩阵。
初等变换包括以下三种操作：1.对其中一行(列)乘以非零常数；2.交换两行(列)；3.其中一行(列)乘以非零常数加到另一行(列)上。
具体步骤如下：1.构造增广矩阵[A，I]，其中A是待求逆矩阵，I是单位矩阵；2.对增广矩阵进行初等行变换，使左侧的矩阵部分变为单位矩阵，右侧的部分就是待求的逆矩阵；3.如果左侧的矩阵部分无法变为单位矩阵，则矩阵A没有逆矩阵。
方法三：分块矩阵法当矩阵A有一些特殊的结构时，可以使用分块矩阵法来求解逆矩阵。
例如，当A是一个分块对角矩阵时，可以按照分块的大小和位置将其分解为几个小矩阵，然后利用分块矩阵的性质求解逆矩阵。
具体步骤如下：1.将方阵A进行分块，例如，将A分为4个分块：A=[A11A12;A21A22]；2.根据分块矩阵的性质，逆矩阵也是可以分块的，即A的逆矩阵为A^-1=[B11B12;B21B22]；3.通过求解分块矩阵的逆矩阵，可以得到原矩阵的逆矩阵。
以上就是解逆矩阵的常用三种方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
无论是在理论研究还是在实际应用中，这些方法都具有重要的作用。
在求逆矩阵时，我们可以根据具体的情况选择合适的方法，以获得高效、准确的计算结果。
高等代数3-3矩阵的逆
... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2
求矩阵的逆矩阵的方法
求矩阵的逆矩阵的方法矩阵的逆矩阵是线性代数中的重要概念，它在解线性方程组、计算行列式和求解线性变换等问题中具有重要的应用价值。
在实际问题中，我们经常需要求解矩阵的逆矩阵，因此掌握求解逆矩阵的方法对于深入理解线性代数具有重要意义。
本文将介绍几种常用的求解矩阵逆的方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
方法一，代数余子式法。
对于一个n阶矩阵A，如果它的行列式|A|不等于0，则矩阵A是可逆的，即存在逆矩阵A^(-1)。
我们可以通过代数余子式的方法来求解矩阵的逆矩阵。
首先，我们需要计算矩阵A的伴随矩阵adj(A)，然后利用公式A^(-1) = adj(A)/|A|来求解逆矩阵。
这种方法在理论上是可行的，但在实际计算中可能会比较复杂，尤其是对于高阶矩阵来说，计算量会非常大。
方法二，初等变换法。
初等变换法是一种比较直观和简单的方法，它通过一系列的初等行变换将原矩阵变换为单位矩阵，然后将单位矩阵通过相同的初等行变换变换为逆矩阵。
这种方法在实际计算中比较方便，并且适用于各种情况，但是需要进行大量的计算，对于高阶矩阵来说，计算量也会比较大。
方法三，矩阵分块法。
矩阵分块法是一种比较灵活和高效的方法，它将原矩阵分解为若干个子矩阵，然后通过一定的变换将原矩阵变换为单位矩阵，再将单位矩阵变换为逆矩阵。
这种方法在理论上和实际计算中都比较方便，尤其适用于特殊结构的矩阵，如对称矩阵、三对角矩阵等。
但是对于一般的矩阵来说，可能会比较繁琐。
方法四，Gauss-Jordan消元法。
Gauss-Jordan消元法是一种经典的求解逆矩阵的方法，它通过一系列的行变换将原矩阵变换为单位矩阵，然后将单位矩阵变换为逆矩阵。
这种方法在实际计算中比较高效和方便，尤其适用于计算机程序实现。
但是对于特殊结构的矩阵，可能会存在一些特殊情况需要处理。
综上所述，求解矩阵的逆矩阵有多种方法，每种方法都有其适用的场景和特点。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来求解逆矩阵，以达到高效、准确地计算的目的。
矩阵的乘法及求逆运算 最终版
(1)
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
记
a11
A
a21 a31
a12 a22 a32
a13
a23 a33
,
x1
x
x2 x3
,
b1
b
b2 b3
则方程组(1)可表示为 Ax b.
二.矩阵的求逆
一、逆矩阵的概念 二、方阵可逆的判别定理 三、逆矩阵的基本性质 四、用矩阵的初等变换求逆矩阵
0
1
5
逆矩阵求解方法七——恒等变形
有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出其
逆矩阵之后，才能解决问题。而求其逆矩阵常对所给矩阵进行恒 等变形，且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。
1
3
例 . 已知 A6 I，求 A11，其中 A 2
2
3 1
x1i
Xi
x2i
x3i
解得：
（i 1, 2,3）
1 3 2
A1
X
3
3
5
2
2
0 11 1
逆矩阵求解方法六——准对角矩阵
A11 0 L
定义：形如A
0
A22 L
L L L
0
0L
A称为准对角矩阵
0
0
0
1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0
0
0
1
求解逆矩阵的常用三种方法
求解逆矩阵的常用三种方法逆矩阵是一个矩阵的逆操作，即找到一个矩阵，与原矩阵相乘后得到单位矩阵。
逆矩阵在线性代数中具有重要的应用，比如求解线性方程组、计算矩阵的行列式等。
在实际应用中，常用的求解逆矩阵的方法包括：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
第一种方法是伴随矩阵法。
对于一个n阶矩阵A，如果它的行列式不为0，那么它存在逆矩阵。
首先计算矩阵A的伴随矩阵，记作Adj(A)，然后用伴随矩阵除以原矩阵A的行列式，即可得到逆矩阵。
具体步骤如下：1. 计算矩阵A的行列式det(A)；2. 计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，其中第i行第j列的元素等于原矩阵A的代数余子式Aij的行列式乘以(-1)^(i+j)；3. 将伴随矩阵Adj(A)的每个元素除以原矩阵A的行列式det(A)，得到逆矩阵A^(-1) = Adj(A)/det(A)。
第二种方法是初等变换法。
利用矩阵的初等行变换和初等列变换来求解逆矩阵。
具体步骤如下：1.将原矩阵A和单位矩阵I进行横向拼接，得到一个增广矩阵[A,I]；2.对增广矩阵进行行变换，将矩阵A变为单位矩阵I，同时单位矩阵I经过相同的行变换得到逆矩阵A^(-1)；3.若矩阵A无法通过行变换变为单位矩阵I，则矩阵A不可逆。
第三种方法是分块矩阵法。
将原矩阵A按照其中一种方式进行分块，然后通过对分块矩阵进行运算来求解逆矩阵。
常见的分块矩阵法有Schur补法和Sherman–Morrison公式法，这里以Schur补法为例进行说明。
1.将原矩阵A分解为分块矩阵，例如A=[B,D;E,F]；2.利用矩阵分块的性质求解逆矩阵，A^(-1)=[B^(-1)+B^(-1)D(X-F^(-1)E)B^(-1),-B^(-1)DF^(-1);-F^(-1)EB^(-1),F^(-1)+F^(-1)EHF^(-1)]，其中X=(F-EF^(-1)D)^(-1)；3.若分块矩阵的逆存在，即B可逆、F可逆且B-DF^(-1)E可逆，那么原矩阵A也存在逆矩阵。
可逆矩阵
AB BA E , B是A的一个逆矩阵.
2014-7-18 兰州商学院信息工程学院
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几点注意：
（1）可逆矩阵一定是同阶方阵； （2）可逆矩阵的 逆矩阵一定唯一； （3）并不是一切非零方阵都存在逆矩阵。 例如
1 2 A 0 0
不存在逆矩阵.
2014-7-18
Hale Waihona Puke 兰州商学院信息工程学院2014-7-18
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
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重要性质（结论）
AA A A A E .
证明
2014-7-18
兰州商学院信息工程学院
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定理1
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且
1 A A, A
1
其中A 为矩阵A的伴随矩阵.
证明 若 A可逆，即有A1使AA1 E .
A 3 A 10 E 0
2
证明:A和A-4E都可逆,并求其逆阵.
证明:
依题意有
A 3 A 10 E 0
2
则 A( A 3 E ) 10 E , ( A 4 E )( A E ) 6 E , 1 从而 A 10 ( A 3E ) E , ( A 4E ) 1 6 ( A E) E,
A A1 .
1
1
3 若A, B为同阶方阵且均可逆, 则AB亦可逆, 且
4 若A可逆, 则有 A
2014-7-18
AB
1
B 1 A 1 .
1
A .
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1
兰州商学院信息工程学院
例1
1 2 3 求方阵 A 2 2 1 的逆矩阵. 3 4 3 1 2 3 A2 2 1 3 4 3
矩阵求逆的几种方法
矩阵求逆的几种方法矩阵求逆是线性代数学习的重要内容，给出一个矩阵A，要求求矩阵A的逆矩阵存在时，可以通过几种方法来解决这个问题。
本文对这几种求逆方法进行了总结，一起来学习一下。
一、矩阵求逆的2x2特例2x2矩阵求逆是求矩阵逆最为基础的方法，下面以A为例，计算A的逆矩阵。
A=begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}则A的逆矩阵为：A^{-1}=frac{1}{ad-bc}begin{pmatrix}d&-b-c&aend{pmatrix}二、增广矩阵的方法用增广矩阵的方法，可以求任意阶的方阵的逆矩阵。
由A增广矩阵B：B=begin{pmatrix}a&b&e_1c&d&e_2e_3&e_4&e_5end{pmatrix} 其中，$e_i$是单位矩阵的元素。
用行列式计算法求出$Delta_B$由$Delta_B=ad-bceq 0$可以判断行列式不等于0，即矩阵A可逆。
计算A的逆矩阵：A^{-1}=frac 1{Delta_B}begin{pmatrix}d&-b&e_3-c&a&e_4e_1&e_2&e_5end{pmatr ix}其中，$e_i$为求解此增广矩阵过程中得到的单位矩阵的元素。
三、分块矩阵的求逆分块矩阵的方法是求解大型矩阵的另一种简便方法，假设A为4阶矩阵：A=begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}A_{21}&A_{22}end{pmatrix} 它的逆矩阵为：A^{-1}=begin{pmatrix}A_{11}^{-1}&-A_{11}^{-1}A_{12}-A_{21}A _{11}^{-1}&A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}end{pmatrix} 以上三种矩阵求逆的方法在实际应用中都有不同的作用，但是本质都是同一种方法，以上三种方法矩阵求逆的数学原理是一样的，只不过实现过程和求解结果有所不同而已。
逆矩阵的求法
1 n1 A a1 An2 an1E an
1
因此 A 方法9
1 n 1 A a1 An 2 an 1E an
三角矩阵的一种求逆法：
t11 t12 0 t22 定理：如果n阶矩阵 T 0 0
t1n 1 t2 n 1 0 0
α
n
, 其中α
1
i
= (α
i1
,α
n
i2
, ⋯,α in),(i =1 , 2 , ⋯, n),由定理1 得:α i=Σ aijε j(i = 1 , 2 , ⋯, n) .
解以ε
, ε
2
, ⋯, ε
为未知量的方程组,由于系数行列式D = | A| ≠0 (因为A 可逆),所以, 由克
莱姆法则可得唯一解: ε j=Dj/D= bj1α 1 + bj2α 2 + ⋯+ bjnα n(j = 1 , 2 , ⋯, n) .其中Dj是把行 列式D的第j列的元素换以方程组的常数项α 1 ,α 2,⋯,α n而得到的n阶行列式.由定理2可得: BA = I ( I 为单位矩阵),从而有A- 1 = B.其中B = (bij).下面举例说明这种方法. 方法7 用行列式：定理：若n阶矩阵A = ( Aij) 为满秩矩阵,则A可逆，且
方法 4
13 4 6 3 3 1 2 1 1 6 3
用分块矩阵求逆矩阵：设 A、B 分别为 P、Q 阶可逆矩阵，则：
1
A1 A1CB 1 A O A1 A C 1 1 B 1 D B O B O B DA O O A 1 B O A
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可逆矩阵的求法
怎样求解可逆矩阵是一个很重要的问题，尤其是在线性代数和矩阵分析中，可逆矩阵的求解也可以为当前矩阵求解提供有用的信息。
首先，我们需要知道什么是可逆矩阵。
所谓可逆矩阵，就是指一个方阵，它的逆矩阵存在且唯一。
这意味着，如果我们有一个n行n列的矩阵A，它的逆矩阵为B，
那么AB=BA=I，其中I 为n行n列的单位矩阵。
其次，我们需要明确可逆矩阵的求解方法。
由于可逆矩阵的特殊性，它的求解方法可以分为两种，一种是基于行列式的，另一种是基于矩阵分解的。
首先，基于行列式的求逆法，又称为克莱默法。
该方程允许矩阵A的逆矩阵B可以用以下方式求出：
B = A_0A_1...A_n，
其中A_0为A的代数余子式矩阵，A_1...A_n分别取自A的第i列，i=1...n。
其次是基于矩阵分解的求解方法，最常用的一种是LU分解法，该方法可以通过对
一个矩阵A进行LU分解(即将A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U)，
结合高斯-消去法求解得到其逆矩阵。
最后，我们还要提一下行列式和矩阵分解求逆法的比较，克莱默法求解可逆矩阵不依赖于其本身行列式值，而LU分解法求逆需要基于行列式值确定矩阵逆的存在性，所以通常在长度为n的方阵求解中，使用LU 分解的代价比使用克莱默准许的代价
小得多。
总的来说，可逆矩阵的求解是一个矩阵分析中的重要问题，而求解可逆矩阵的方法有基于行列式的克莱默法和基于矩阵分解的LU分解法，可以根据实际情况选择不
同的求解方法。