高等数学上册知识点总结

高等数学上册知识点总结————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：三角函数公式同角三角函数的基本关系式：倒数关系：商的关系： 平方关系：tan x =1cot xsin x cos x =tan x =sec xcsc x sin 2x +cos 2x =1csc x =1sin xcos x sin x =cot x =csc xsec x1+tan 2x =sec 2xsec x =1cos x1+cot 2x =csc 2x二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式sin (2α)=2sin αcos α=2tan α+cot αsin 3x =3sin x −4sin 3xcos (2α)=(cos α)2−(sin α)2=2(cos α)2−1=1−2(sin α)2cos 3x =4cos 3x −3cos x =3tan x −tan 3xtan (2α)=2tan α1−tan 2αtan 3x =3tan x −tan 3x1−3tan 2xtan 2α=sec 2α−1a sin x ±b cos x =√a 2+b 2sin (x ±ϕ)(其中ϕ角所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ba确定)两角和与差的三角函数：万能公式：cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβsin x=2tanx2 1+tan2x2cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβcos x=1−tan2x2 1+tan2x2sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβtan x=2tanx2 1−tan2x2tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβtan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ和差化积公式：积化和差公式：sinα+sinβ=2sin α+β2cosα−β2sinα∙cosβ=12[sin(α+β)+sin(α−β)]sinα−sinβ=2cos α+β2sinα−β2cosα∙sinβ=12[sin(α+β)−sin(α−β)]cosα+cosβ=2cos α+β2cosα−β2cosα∙cosβ=12[cos(α+β)+cos(α−β)]cosα−cosβ=−2sin α+β2sinα−β2sinα∙sinβ=−12[cos(α+β)−cos(α−β)]等比数列的求和公式：S n=a1−a n q1−q=a1(1−q n)1−q等差数列求和公式：S n=n(a1−a n)2=na1+n(n−1)2d立方和差公式：x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)x n−a n=(x−a)[x n−1+ax n−2+⋯+xa n−2+a n−1]对数的概念：如果a（a>0，且a≠1）的b次幂等于N，即a b=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：log a N=b.由定义知：（1）负数和零没有对数；（2）a>0，且a≠1，N>0；（3）log a1=0，log a a=1，log a a N=N，a log a N=N.对数函数的运算法则：（）log a(M∙N)=log a M+log a N（）log a(M÷N)=log a M−log a N（）log a M n=n log a M（）log b N=log a Nlog a b（）log a m N n=nmlog a N三角函数值角度α0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°sinα0 12√22√32 1√32√22120 -1 0cosα 1 √32√22120−12−√22−√32-1 0 1tanα0 √33 1√3/ −√3-1 −√330 / 0导数公式：（1）(C)′=0（2）(xμ)′=μxμ−1（3）(sin x)′=cos x（4）(cos x)′=−sin x （5）(tan x)′=sec2x（6）(cot x)′=−csc2x （7）(sec x)′=sec x tan x（8）(csc x)′=−csc x cot x （9）(a x)′=a x ln a（10）(e x)′=e x（11）(log a x)′=1x ln a （12）(ln x)′=1x（13）(arc sin x)′=1√1−x2（14）(arc cos x)′=−1√1−x2（15）(arc tan x)′=11+x2（16）(arc cot x)′=−11+x2基本积分表：（1）∫kdx=kx+C（k是常数），（2）∫xμdx=xμ+1μ+1+C(μ≠1)（3）∫dxx=ln|x|+C（4）∫dx1+x2=arc tan x+C（5）∫tan x dx=−ln|cos x|+C （6）∫cot x dx=ln|sin x|+C（7）∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C（8）∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C（9）∫dxa2+x2=1aarctan xa+C（10）∫dxx2−a2=12aln|x−ax+a|+C（11）∫dx√a2−x2=arcsin xa+C（12）∫dx√x2+a2=ln(x+√x2+a2)+C（13）∫dx√x2−a2=ln|x+√x2−a2|+C第一章函数与极限第一节映射与函数一、集合如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a ∈ A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a ∉A.全体非负整数即自然数的集合记作N，即N={0，1，2，…，n，…}；全体正整数的集合为N+={1，2，…，n，…}；全体整数的集合记作Z，即Z={…，−n，…，−2，−1，0，1，2，…，n，…}；全体有理数的集合记作Q，即Q={pq| p∈Z，q∈N+且p与q互质}；全体实数的集合记作R.如果集合A与集合B互为子集，即A ⊂ B且B ⊂A，则称集合A与集合B相等，记作A= B.例如，设A={1，2}，B={x | x2−3x+2=0}.则A=B若A ⊂ B且A ≠ B，则称A是B的真子集，记作A⊊B.不含任何元素的集合称为空集，规定空集Φ是任何集合A的子集，即Φ⊂ A.设A、D、C为任意三个集合，则有下列法则成立:（1）交换律A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A;（2）结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)（3）分配律(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)（4）对偶律(A∪B)C=A C∩B C，(A∩B)C=A C∪B C二、映射定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f：X → Y其中y称为元素x（在映射f下）的像，并记作了f(x)，即y=f(x)而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作D f，即D f=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作R f或f(X)，即R f=f(X)={f(x)|x∈X}三、函数定义设数集D⊂R，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，通常简记为y=f(x)，x∈D其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作D f，即D f=D.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数.函数的几种特性：（1）函数的有界性如果存在正数M，使得|f(x)|≤M对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界·如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界;这就是说，如果对于任何正数M，总存在x1∈X，使|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界.容易证明，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.（2）函数的单调性（3）函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称.如果对干任一x∈D，f(−x)=f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数. 如果对干任一x∈D，f(−x)=−f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数.偶函数的图形关于y轴是对称的，奇函数的图形关于原点是对称的，反函数的图形关于y = x对称.函数y=sin x是奇函数.函数y=cos x是偶函数.函数y=sin x+cos x既非奇函数，也非偶函数.（4）函数的周期性设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有(x±l)∈D且f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数, l称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期.初等函数：幂函数：y=xμ（μ∈R是常数）指数函数：y=a x(a>0且a≠1)对数函数：y=log a x(a>0且a≠1，特别当a=e时，记为y=ln x)三角函数：y=sin x反三角函数：y=arcsin x以上这五类函数统称为基本初等函数.由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.对数函数与指数函数当a>0且a≠1，N=a x等价于x=log a N，对数函数是指数函数的反函数.第二节数列的极限定义设{x n}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ϵ（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n > N时，不等式|x n−a|<ϵ都成立，那么就称常数a是数列{x n}的极限，或者称数列{x n}收敛于a，，记为limx n=an→∞x n不如果不存在这样的常数a，就说数列{x n}没有极限，或者说数列{x n}是发散的，习惯上也说limn→∞存在.定理1（极限的唯一性）如果数列{x n}收效，那么它的极限唯一.定理2（收敛数列的有界性）如果数列{x n}收效，那么数列{x n}一定有界.根据上述定理，如果数列{x n}无界，那么数列{x n}一定发散，但是，如果数列{x n}有界。

却不能断定数列{x n}一定收敛，所以数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.x n=a，且a>0(或a<0)，那么存在正整数N > 0，当n >定理3（收敛数列的保号性）如果limn→∞N时，都要x n>0(或x n<0).定理4（收效数列与其子数列间的关系）如果数列{x n}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.第三节函数的极限定义1 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x−x0|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)−A|<ε那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作f(x)=A或f(x)→A(当x→x0)limx→x0我们指出，定义中0<|x−x0|表示 x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0是否有定义并无关系.定义2 设函数f(x)在当|x|大于某一正数时有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式|x|>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)−A|<ε那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限，记作limf(x)=A或f(x)→A(当x→∞)x→∞f(x)存在，那么这极限唯一.定理1（函数极限的唯一性）如果limx→x0f(x)=A，那么存在常数M > 0和δ> 0，使得当0<定理2（函数极限的局部有界性）如果limx→x0|x−x0|<δ时，有|f(x)|≤M.f(x)=A，且A > 0（或A < 0），,那么存在常数δ> 0，定理3（函数极限的局部保号性）如果limx→x0使得当0<|x−x0|<δ时，有f(x)>0（或f(x)<0）.第四节无穷小与无穷大定义1如果函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限为零，那么称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷小特别地，以零为极限的数列{x n}称为 n→∞时的无穷小.定理1在自变量的同一变化过程x→x0（或x→∞）中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是了f(x)=A+α，其中α是无穷小.定义2设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义），如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x−x0|<δ（或|x|>X），对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M 则称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷大.定理2在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则1f(x)为无穷小;反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则1f(x)为无穷大.第五节极限运算法则定理1有限个无穷小的和也是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理3如果limf(x)=A，limg(x)=B，那么（1）lim[f(x)±g(x)]= limf(x)±limg(x)=A±B （2）lim[f(x)∙g(x)]= limf(x)∙limg(x)=A∙B（3）若又有B ≠ 0，则lim f(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB推论1如果limf(x)存在，而c为常数，则lim[cf(x)]=climf(x).推论2如果limf(x)存在，而n是正整数，则lim[f(x)]n=[limf(x)]n定理6（复合函数的极限运算法则）设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义，若limx→x0g(x)=u0，limu→u0f(u)=A，且存在δ0>0，当x∈U(x0，δ0)时，有g(x)≠u0，则limx→x0f[g(x)]=limu→u0f(u)=A第六节极限存在准则两个重要极限两个重要极限：lim x→0sin xx=1lim x→∞(1+1x)x=e准则Ⅰ如果数列{x n}、{y n}及{z n}满足下列条件：（1）从某项起，即∃ n0∈N，当n >n0时，有y n≤ x n≤z n（2）limn→∞y n=a，limn→∞z n=a那么数列{x n}的极限存在，且limn→∞x n=a（称为：夹逼准则）准则Ⅱ单调有界数列必有极限柯西极限存在准则数列{x n}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m >N，n >N时，就有|x n−x m|<ϵ这准则的几何意义表示，数列{x n}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，在数轴上一切具有足够大号码的点x n中，任意两点间的距离小于ε.柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理.第七节无穷小的比较定义:如果limβα=0，就说β是比α高阶的无穷小，记作β = o（α）如果limβα=∞，就说β是比α低阶的无穷小.如果limβα=c≠0，就说β是比α同阶的无穷小.如果limβαk=c≠0，k>0，就说β是关于α的k阶无穷小.如果limβα=1，就说β与α是等价的无穷小，记作α ~ β.等价无穷小：(1+x)1n−1~1nx，x~sin x，x~tan x，x~arc sin x，1−cos x~12x2，ln(x+1)~x，e x~1+x定理1β与α是等价无穷小的充分必要条件为：β=α+o(α)定理2 设α ~ α′，β ~ β′，且lim β′α′存在，则lim βα= limβ′α′第八节函数的连续性与间断点定义设函数y=f(x)在点x0的某一领域内有定义，如果lim ∆x→0∆y=lim∆x→0[f(x0+∆x)−f(x0)]=0那么就称函数y=f(x)在点x0连续.所以，函数y=f(x)在点x0连续的定义又可叙述如下：设函数y=f(x)在点x0的某一领域内有定义，如果：limx→x0f(x)=f(x0)那么就称函数f(x)在点x0连续.设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义.在此前提下，如果函数f(x)有下列三种情形之一：（1）在x=x0没有定义；（2）虽在x=x0有定义，但limx→x0f(x)不存在；（3）虽在x=x0有定义，且limx→x0f(x)存在，但limx→x0f(x)≠f(x0)，则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点.函数间断点的几种常见类型：（1）无穷间断点（2）震荡间断点（3）可去间断点（4）跳跃间断点通常把间断点分成两类：如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限f(x0−)及右极限f(x0+)都存在，那么x0称为函数f(x)的第一类间断点.不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.可去间断点和跳跃间断点为第一类间断点.无穷间断点和震荡间断点显然是第二类间断点.第九节连续函数的运算与初等函数的连续性定理1设函数f(x)和g(x)在点x0连续，则它们的和（差）、积及商都在点x0连续.定理2如果函数y=f(x)在区间I x上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数x=f−1(x)也在对应的区间I x={y | y=f(x)，x∈I x}上单调增加（或单调减少）且连续.一般的，对于形如u(x)v(x)（u(x)>0，u(x)≢1）的函数（通常称为幂指函数），如果limu(x)=a>0，limv(x)=b那么limu(x)v(x)=a b第十节闭区间上连续函数的性质定理1（有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.定理2（零点定理）设函数f(x)在闭区间[ a，b ]上连续，且f(a)与f(b)异号，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使f(ξ)=0定理3（介值定理）设函数f(x)在闭区间[ a，b ]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C (a<ξ<b)推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.第二章导数与微分第一节导数概念定义设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量∆x（点x0+∆x仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量∆y=f(x0+∆x)−f(x0)；如果∆y与∆x之比当∆x→0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为f′(x0)，即f′(x0)=lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆xf′(x0)=limℎ→0f(x0+ℎ)−f(x0)ℎf′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0也可记作y′ | x= x0，dy dx | x= x0，df(x)dx | x= x常数和基本初等函数的导数公式：（1）(C)′=0（2）(xμ)′=μxμ−1（3）(sin x)′=cos x（4）(cos x)′=−sin x （5）(tan x)′=sec2x（6）(cot x)′=−csc2x （7）(sec x)′=sec x tan x（8）(csc x)′=−csc x cot x （9）(a x)′=a x ln a（10）(e x)′=e x（11）(log a x)′=1x ln a （12）(ln x)′=1x（13）(arc sin x)′=1√1−x2（14）(arc cos x)′=−1√1−x2（15）(arc tan x)′=11+x2（16）(arc cot x)′=−11+x2函数的和、差、积、商的求导法则：(u±v)′=u′±v′(Cu)′=Cu′(uv)′=u′v+uv′(uv)′=u′v−uv′v2极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等。