偏导数连续证明可微过程
二元函数连续、偏导数与可微的关系
二元函数连续、偏导数与可微的关系二元函数是数学中常见的一种函数形式，它由两个变量组成，通常表示为f(x, y)。
在研究二元函数时，我们常常关注它的连续性、偏导数和可微性。
我们来了解一下二元函数的连续性。
一个二元函数在某一点(x0, y0)处连续，意味着当自变量的值在无限接近(x0, y0)时，函数值也会无限接近于f(x0, y0)。
换句话说，如果(x, y)接近于(x0, y0)，那么f(x, y)就会接近于f(x0, y0)。
这种连续性的定义可以推广到整个定义域上，即函数在定义域内的每个点都连续。
我们来看二元函数的偏导数。
对于一个二元函数f(x, y)，它的偏导数表示了函数在某一点(x0, y0)处对于其中一个变量的变化率。
具体来说，偏导数可以分为对x的偏导数和对y的偏导数。
对x的偏导数表示了当y固定时，函数在x方向上的变化率；对y的偏导数表示了当x固定时，函数在y方向上的变化率。
我们来讨论二元函数的可微性。
一个二元函数在某一点(x0, y0)处可微，意味着在该点附近可以用一个线性函数来近似表示原函数的变化。
具体来说，如果一个函数在某一点(x0, y0)处可微，那么它在该点的偏导数存在且连续，并且满足以下条件：f(x, y)≈f(x0, y0)+∂f/∂x(x0, y0)(x-x0)+∂f/∂y(x0, y0)(y-y0)。
二元函数的连续性、偏导数和可微性是密切相关的。
连续性是函数的基本性质，偏导数则描述了函数在不同方向上的变化率，可微性则表示了函数在某一点附近的近似性质。
这些概念在数学和物理学等领域中有着广泛的应用，对于理解和解决实际问题非常重要。
总结一下，二元函数的连续性、偏导数和可微性是相互关联的。
连续性描述了函数在定义域内的整体行为，偏导数表示了函数在某一点的变化率，而可微性则表示了函数在某一点附近的近似性质。
通过研究这些概念，我们可以更好地理解二元函数的性质和行为，为实际问题的解决提供有力的工具。
偏导和连续和可微的关系
偏导和连续和可微的关系偏导数是微积分中的一个概念，它用于描述一个函数在某个特定点上对于某个变量的变化率。
而连续和可微则是函数的性质，它们与函数的光滑程度和变化趋势有关。
接下来我将分段回答你的问题。
1. 什么是偏导数偏导数是多元函数中的一种导数，用于描述函数在某个点上对于某个变量的变化率。
对于一个多变量函数，偏导数表示在其他变量固定的情况下，函数沿着特定变量的变化率。
偏导数通常用∂表示，比如∂f/∂x表示函数f对变量x的偏导数。
2. 什么是连续函数连续函数是指在定义域内的每个点都有定义，并且函数在这些点都没有跳跃或间断。
换句话说，连续函数的图像可以一笔画出，没有断裂或跳跃。
如果一个函数在某个点上连续，那么它在该点的极限值等于函数在该点的函数值。
3. 什么是可微函数可微函数是指在定义域内的每个点都有定义，并且在这些点都有切线。
换句话说，可微函数在每个点上都有切线，并且在该点附近可以用线性逼近来近似描述。
对于可微函数，它在某一点上的导数等于该点处的切线斜率。
4. 偏导和连续的关系是什么在多变量函数中，如果函数的所有偏导数都存在且连续，那么这个函数被称为偏导数可微函数。
这意味着函数在每个方向上的斜率都存在且连续，函数的变化趋势在每个方向上都是平滑的。
偏导数的连续性是可微函数的一个重要性质，它保证了函数在某个点附近的局部性质和全局性质是一致的。
总结起来，偏导数是用于描述多变量函数的变化率的概念，连续函数是指函数在定义域内没有断裂或跳跃，可微函数是指函数在每个点上都有切线。
偏导和连续的关系是在多变量函数中，如果函数的所有偏导数都存在且连续，那么这个函数被称为偏导数可微函数。
这些概念和性质在微积分中有着广泛的应用，并且相互之间有着密切的联系。
二元函数连续偏导可微之间的关系
二元函数连续偏导可微之间的关系在数学中，连续偏导和可微是函数的重要性质。
它们描述了函数在不同变量方向上的变化规律，并为我们研究函数的性质提供了有力工具。
本文将探讨二元函数连续偏导和可微之间的关系，帮助读者更好地理解这两个概念的内涵。
我们来了解一下连续偏导的概念。
对于二元函数$f(x,y)$，如果它的每一个偏导数都存在且在定义域内连续，那么就称该函数在定义域内具有连续偏导。
也就是说，对于函数$f(x,y)$而言，它在每个变量方向上的偏导数都是存在的，并且这些偏导数在整个定义域内都是连续的。
而可微则是连续偏导的更高级的性质。
对于二元函数$f(x,y)$，如果它在某一点$(a,b)$处的偏导数存在且连续，那么就称该函数在该点可微。
可微性是连续偏导的一种强化，它要求函数在某一点处的偏导数不仅存在，而且还要连续。
接下来，我们来探讨连续偏导和可微之间的关系。
首先要明确的是，连续偏导是可微的充分条件，但不是必要条件。
也就是说，如果一个函数在某一点处可微，那么它在该点处一定具有连续偏导。
但是，具有连续偏导的函数未必在某一点可微。
简单来说，连续偏导是可微性的一种弱化形式。
连续偏导要求函数在整个定义域内偏导数连续，而可微则只要求函数在某一点处偏导数存在且连续。
因此，连续偏导是可微的充分条件，但不是必要条件。
举个例子来说明这个关系。
考虑函数$f(x,y)=|x|+|y|$，它在原点$(0,0)$处的偏导数不存在，因为在原点处函数不可导。
所以，这个函数在原点处不可微。
但是，这个函数在整个定义域内的偏导数都存在且连续，因此具有连续偏导。
在实际应用中，连续偏导和可微性经常用于优化问题的求解。
对于优化问题而言，我们希望找到函数的极值点。
而连续偏导和可微性可以帮助我们判断一个点是否为极值点。
如果一个函数在某一点处可微，那么在该点处的梯度为零。
而连续偏导则可以帮助我们确定该点是否为极值点。
总结起来，二元函数的连续偏导和可微是两个重要的概念。
连续可微偏导数
连续可微偏导数
在数学领域，连续可微偏导数是指一个函数具有在其定义域内连续且可微的所有偏导数。
这意味着函数在其定义域内的每个点处都具有偏导数，并且这些偏导数在整个定义域内都是连续的。
假设有一个函数 f(x₁, x₂, ..., xn)，定义域为一个 n 维欧几里德空间。
如果对于每个变量 xi，其中 i=1, 2, ..., n，都存在该变量的偏导函数∂f/∂xi，且这些偏导函数在整个定义域内都连续存在，那么函数 f(x₁, x₂, ..., xn)就被称为具有连续可微的偏导数。
连续可微偏导数在数学和科学研究中具有广泛的应用。
它们用于计算物理量之间的关系，例如速度、加速度和力之间的关系。
连续可微偏导数也可以用于求解各种优化问题，例如最小化或最大化函数在给定约束条件下的值。
需要注意的是，在具体的问题中，具有连续可微偏导数的函数可能存在一些附加的条件，例如函数的定义域必须是一个开集，或者函数必须满足某些约束方程。
由于这些条件的存在，连续可微偏导数可能并非所有函数都具备，而只是针对满足特定条件的函数。
二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系
摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 (1)2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 (2)二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2)二元函数连续与可微之间的关系 (3)二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3)二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4)二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6)参考文献 (7)致谢 (8)二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性.关键词 二元函数 连续 偏导数 可微The Relationship among Continuation, Partial Derivativesand Differentiability in Binary FunctionAbstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common..Key words binary function continuation partial derivatives differentiability引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系.1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义定义1 设f 为定义在点集2D R ⊂上的二元函数，0D P ∈（0P 或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0,)(D P U P δ⋂∈，就有0)||()(f P f P ε<-，则称f 关于集合D 在点0P 连续.定义2 设函数(,),(,)z f x y x y D =∈，若00,)(y D x ∈且0,)(y f x 在0x 的某一邻域内有定义，则当极限00000000(,))(,)(,limlimx x x f x y f x y f x x y x x∆→∆→+-=∆∆∆∆存在时，则称这个极限为函数f 在点00,)(y x 关于x 的偏导数，记作0(,)|x y fx∂∂.定义3 设函数(,)z f x y =在点000,)(y P x 某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点00,)(,)(y P x y x x y ++=∆∆，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+，其中A 、B 是仅与点0P 有关的常数，()ορρ=是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微.2 二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系二元函数连续与偏导数存在之间的关系例[1]122,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在(0,0)偏导数存在但不连续. 证明 因为 00(,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→--===， 同理可知 (0,0)0y f =. 所以 (,)f x y 在(0,0)偏导数存在. 因为220,0limx y xyx y →→+ 极限不存在，所以 (,)f x y 在(0,0)不连续.例2[2](,)f x y =在(0,0)点连续，但不存在偏导数. 证明 因为0,00,lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→→→===，所以(,)f x y =在(0,0)点连续，因为00(,0)(0,0)(0,0)lim x x x f x f f x →→-== ,该极限不存在，同理 (0,0)y f 也不存在.所以(,)f x y =在点(0,0)连续，但不存在偏导数.此二例说明: 二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导. 二元函数连续与可微之间的关系定理1[3] 若(,)z f x y =在点(,)x y 可微，则(,)z f x y =在点(,)x y 一定连续. 证明 (,)z f x y =在点(,)x y 可微，0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+ (1)所以 当0,0x y ∆→∆→时，有0z ∆→，即 (,)z f x y =在该点连续.例3[4]证明(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩在(0,0)点连续，但在(0,0)点不可微.证明 令cos ,sin x r y r θθ==，则(,)00x y r →⇔→.因为2cos sin |||cos sin |0(0)r r r r r θθθθ==≤→→,所以(,)f x y 在(0,0)点连续.按偏导数定义00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx ∆→∆→∆-===∆∆, 同理 (0,0)0y f = .若(,)f x y 在点(0,0)可微，则(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y z dz f x y f f x f y ∆-=+∆+∆--∆-∆=应是ρ=较高阶的无穷小量. 因为220limlimz dzx yx y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆ 该极限不存在,所以(,)f x y 在点(0,0)不可微.此例说明: 二元函数在某点连续，不一定可微，但可微一定连续.这与一元函数有相同的结论.二元函数可微与偏导数存在之间的关系定理2[5] 若二元函数f 在其定义域内一点00,)(y x 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且(1)式中的0000,),,)((x y A f y B f y x x ==.证明 因为 (,)z f x y =在点(,)x y 可微，则0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+.若令上式中0y ∆= ,则0000(,)(,)(||)z f x x y f x y A x x ο=+∆∆-=∆+∆, 所以 000000(,)(,)(||)lim lim x x A xf x x y f x y x A x ο∆→∆→=∆+∆-∆+=∆. 即A zx=∂∂.类似可证B z y =∂∂. 例4[6]设2222222,0(,)0,0x y x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则(,)f x y 在点(0,0)偏导数存在，但在该点不可微.解 事实上（1）0(,0)(0,0)(0,0)lim0x x f x f f x →-==，(0,)(0,0)(0,0)lim0y y f y f f y→-==,故 (,)f x y 在点(0,0)偏导数存在. （2）因为200,limlimx y f dfρρ→∆→∆→∆-=，此时若令y k x ∆=∆，则230,0,lim limx y x y ∆→∆→∆→∆→=此极限显然不存在，所以0limf dfρρ→∆-不存在，所以 (,)f x y 在点(0,0)不可微.此例说明: 二元函数中，偏导数存在不一定可微；可微则偏导数存在.这与一元函数中，可微与可导等价有区别. 函数可微与偏导数连续之间的关系定理3[7] 若二元函数(,)z f x y =的偏导数在点00(,)x y 的某邻域内存在，且x f 与yf 在点00(,)x y 处连续，则函数f 在点00(,)x y 处可微.证明 我们把全增量0000,)(,)(y f x y z f x x y ++-∆=∆∆00000000[,),)][,)(,)](((y y y f x y f x x y f x y f x y =++-+++-∆∆∆∆在第一个括号里，它是函数0,)(y f x y +∆关于x 的偏增量;在第二个括号里，则是函数0(,)f x y 关于y 的偏增量.对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理，得 010002,),(()x y y y z f x x y x f x y y θθ++++∆=∆∆∆∆∆ 12,10θθ<< （2） 由于x f 与y f 在点00(,)x y 处连续，因此有 01000,)(,)(x x y x y f x x y f θα++=+∆∆， （3）00200,(,)()y y y x y f x y f θβ++∆= ,（4）其中 当0,0x y ∆→∆→时，有0,0αβ→→. 将（3） ，（4）代入（2）式，则得0000(,)(,)x y x y x y z f x f y x y αβ=+∆∆∆+∆+∆. 所以 函数f 在点00(,)x y 处可微.例5[8]22()sin (,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩在(0,0)处可微，但(,)x f x y 与(,)y f x y 均在(0,0)处不连续.解因为220,0lim ()sin0(0,0)x y x y f →→+==,所以 (,)f x y 在(0,0)处连续.00(,0)(0,0)(0,0)lim 0x x x f x f f x→→-===,同理 (0,0)0y f =.当220x y +≠时，0,0lim 2sinx x y f x →→=极限不存在,故(,)x f x y 在点(0,0)不连续. 同理可证(,)y f x y 在(0,0)处不连续.lim0f dfρρρ→→∆-==,所以(,)f x y 在(0,0)处可微.此例说明 二元函数偏导数连续并不是可微的必要条件.由此可知定理3是可微的充分条件.由此引出定理4，降低函数可微的条件.定理4[9] 若(,)f x y 在0()U P 内(,)x f x y 存在，且(,)x f x y 在00(,)o P x y 连续，(,)y f x y 在0P 存在，证明：f 在0P 可微.证明 0000(,)(,)f f x x y y f x y ∆=+∆+∆-00000000[(,)(,)][(,)(,)]f x x y y f x y y f x y y f x y =+∆+∆-+∆++∆- 由已知 (,)x f x y 存在，且在0(,)o x y 连续,有0000010(,)(,)(,)x f x x y y f x y y f x x y y xθ+∆+∆-+∆=+∆+∆∆11(,)(0)xf x y x x αα=∆+∆→,因为 0000000(,)(,)lim(,)y y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆，所以 00000022(,)(,)(,)(0)y f x y y f x y f x y y y αα+∆-=∆+∆→ ， 又因 1212||||||0x yααααρ∆+∆≤+→，所以 f 在点0P 可微. 注 此定理中(,)x f x y 与(,)y f x y 互换，结论仍然成立. 二元函数连续、偏导数、可微的关系如图二元函数连续二元函数偏导数存在二元函数可微二元函数偏导数连续参考文献[1]常庚哲，史济怀，数学分析[M].北京：高等教育出版社，：97[2]刘文灿，刘夜英，数学分析[M].西安：陕西人民出版社，：116[3]朱正佑，数学分析[M].上海：上海大学出版社，：188[4]黄玉民，李成章，数学分析[M].北京：科学出版社，：61-62[5]华东师范大学数学系. 数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，110[6]周良金，王爱国，函数连续及可微的关系[J].高等函授学报，19（5）：35[7]陈纪修，於崇华，金路，数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，：142-143[8]刘新波，数学分析选讲[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，：151[9]《大学数学名师导学丛书》编写组，数学分析名师导学[M].北京：中国水利水电出版社，2004：147-148致谢感谢老师对本论文从选题、构思、资料收集到最后定稿的各个环节给予的指引和教导，使我对分段函数的分析性质有了更深刻的认识，并最终得以完成毕业论文，对此我表示衷心的感谢，老师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度、积极进取的科研精神以及诲人不倦的师者风范是我毕生的学习楷模.通过这一阶段的努力，我的毕业论文已接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有老师的亲切关怀和悉心指导，完成本次毕业论文将变得十分困难.老师平日工作繁多，但在这篇论文的写作过程中，老师不辞辛劳，多次就论文中许多核心的问题做深入细致的探讨并给我提出切实可行的指导性建议，才最终得以完成本次毕业论文.老师的这种一丝不苟的负责精神，使我深受感动.在此，请允许我向尊敬的老师表示真挚的谢意.最后，还要感谢我的辅导员在这四年来对我的帮助与鼓励，以及院系的所有领导对我的栽培与支持.并向在百忙中抽出时间对本论文进行评审，并提出宝贵意见的各位老师表示衷心的感谢，致以最崇高的敬意.。
偏导数连续的定义公式
偏导数连续的定义公式偏导数是微积分中的一个重要概念，它在多元函数的求导中起着重要的作用。
在讨论偏导数连续的定义公式之前，我们需要先了解一些基本概念。
在一元函数中，我们可以通过求导来计算函数的斜率，而在多元函数中，每个自变量的变化都会对函数的值产生影响。
这就引出了偏导数的概念。
偏导数可以理解为多元函数在某个自变量上的变化率。
偏导数的定义公式如下：设函数z=f(x1,x2,...,xn)是定义在某个区域D上的多元函数，其中x1,x2,...,xn为自变量，z为因变量。
对于函数f而言，如果存在极限∂f/∂xi = lim(h→0) [f(x1,x2,...,xi+h,...,xn)-f(x1,x2,...,xi,...,xn)]/h则称f对于xi在点(x1,x2,...,xn)处可偏导，并称这个极限值为函数f对于xi在点(x1,x2,...,xn)处的偏导数。
其中h为自变量xi的增量。
从上述定义可以看出，偏导数的计算方式与一元函数的导数类似。
只不过在多元函数中，我们只关心某个自变量的变化对函数值的影响，而将其他自变量视为常数。
需要注意的是，在计算偏导数时，我们将其他自变量视为常数，并不意味着它们在计算过程中保持不变。
实际上，它们可能随着自变量xi的变化而发生变化。
只是在计算偏导数时，我们将它们视为常数来进行计算。
偏导数可以帮助我们研究多元函数的性质和特点。
通过计算偏导数，我们可以确定函数在某个点处的变化趋势，进而研究函数在整个定义域上的性质。
当然，偏导数并不是任意函数都存在的。
有些函数在某些点处的偏导数不存在或者无法计算。
这通常发生在函数在某些点上不连续或者不可微的情况下。
对于偏导数连续的定义公式，我们可以通过以下方式来表示：设函数z=f(x1,x2,...,xn)是定义在某个区域D上的多元函数，其中x1,x2,...,xn为自变量，z为因变量。
如果对于任意一个自变量xi，在D内均存在偏导数∂f/∂xi，并且这些偏导数都是连续的，则称函数f在D内具有连续的偏导数。
多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在的关系
多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限
存在的关系
多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在的关系
在高等数学中，我们熟悉的多元函数可微性是指函数在某一点处沿着任意方向的增量与对应的线性主部之比存在极限，而偏导数是指函数在某一点关于某一变量的导数，即在其他变量不变的情况下，该变量的导数存在极限。
那么多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在之间存在着怎样的关系呢？
首先，多元函数在某一点处可微，则必然在该点处连续，并且在该点处偏导数存在，反之亦然。
这可以从定义出发进行证明。
其次，多元函数在某一点处连续，则必然在该点处偏导数都存在，但不一定可微。
这是因为连续性只能保证存在单向导数，而可微性需要同时满足双向导数都存在且相等。
第三，偏导数在某一点处存在，但不一定连续。
例如函数
$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy^2}{x^2+y^4},&(x,y)\neq(0,0) \\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$在$(0,0)$处$x$和$y$的偏导数都存在，但不连续。
综上所述，多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在之间存在着一定的关系，但彼此之间并不完全等价。
在实际问题中，我们
需要根据具体情况选择适合的理论工具来研究多元函数的性质，以解决相应的问题。
一阶偏导连续和可微的关系
一阶偏导连续和可微的关系以二元函数为代表解释他们之间的关系。
1、可导不一定连续，连续不一定可导。
对于二元函数而言：可导是指的是两个偏导数存在，偏导数是把某一自变量看作一个常数时的导数。
偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限值等于函数值（仅仅是坐标轴平行的方向），但是连续是指函数以任何方向趋近于某一定点，二元函数本身是一个平面型的，趋于某一定点是从四面八方的，而平行于坐标轴仅仅是其中的一种情况，所以可导不一定连续，同时也不能保证函数在这一点有极限，因为可以想象一下某一立体三维图形平行于坐标轴的切线上的极限值并不能代表整个图形的极值。
至于连续不一定可导可以借鉴一元函数，如若平行于坐标轴方向的函数导数不存在（二元函数连续），也就是偏导数不存在。
2、可微必连续，可微必可导。
反之不成立。
可微的性质最强，若二元函数的某一点可微，说明过该点任意垂直于XY平面的切平面与该二元曲平面的交线函数在该点连续且在该点的导函数存在，全微分是二元函数所有性质的综合，所以可微必连续，也必可导，但反之，连续与偏导数存在仅仅是可微的部分条件，所以不能通过连续与可导来断定可微。
f(x,y)于x=0,及y=0的切平面的交线都是坐标轴，这两条直线在（0，0）点满足连续可导。
但是f(x,y)与y=x的切平面的交线是一个像y=|x|的函数图像，连续但是在（0，0）点不可导。
所以在（0，0）点不可微。
3、一阶偏导数连续是可微的充分条件至于为什么可微不一定连续可以稍微借鉴以下一元函数中的存在含有第二类间断点（震荡间断点）的导函数。
震荡虽然是间断的但是我们可以把他考虑成一种特殊的连续，当函数具有这种“连续”的极限情况，我们就可以得到可微但是偏导不连续的曲面。
例如函数f(x,y)=x^2sin(1/x)+y^2sin(1/y)个人感觉了解即可，没必要深究。
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偏导数连续证明可微过程
偏导数连续是在多元函数中经常使用的一个概念，而可微性则是更高层次的要求。
本文将介绍偏导数连续证明可微的过程。
首先，我们需要明确可微性的定义，即函数在某一点处可微，当且仅当它在该点的存在一个线性变换可以近似描述函数的变化。
在多元函数中，这个线性变换就是雅可比矩阵。
接下来，我们来证明偏导数连续可以推出可微性。
假设函数f(x,y)在点(a,b)处偏导数连续，即：
f/x 和 f/y 在点(a,b)处连续
我们可以使用泰勒公式来近似描述f(x,y)在点(a,b)处的变化： f(x,y) = f(a,b) + (f/x)(x-a) + (f/y)(y-b) + R 其中，R为余项，当(x,y)趋近于(a,b)时，R趋近于0。
我们可以将R写成以下形式：
R = o(√((x-a)+(y-b)))
其中，o表示小于等于，且趋近于0的函数。
我们将上式代入泰勒公式中，得到：
f(x,y) = f(a,b) + (f/x)(x-a) + (f/y)(y-b) + o(√
((x-a)+(y-b)))
我们现在需要证明的是，存在一个线性变换可以近似描述这个式子。
我们不妨设这个线性变换为L(x,y)，即：
f(x,y) ≈ f(a,b) + L(x-a,y-b)
我们将上式展开，得到：
f(x,y) ≈ f(a,b) + (f/x)(x-a) + (f/y)(y-b)
这个式子与泰勒公式中的式子相同，说明L(x,y)就是雅可比矩阵，因此函数在点(a,b)处可微。
综上所述，偏导数连续可以推出可微性，因此在多元函数中，偏导数连续是一个非常重要的概念。