偏导数存在与函数连续的关系
二元函数连续可微偏导之间的关系解读
一、引言对于一元函数而言,函数y=f(x在点x0处连续、导数存在、可微这三个概念的关系是很清楚的,即可微一定连续,但连续不一定可微,可微和导数存在是等价的。
对多元函数而言,由于偏导数的出现,使得他们之间的关系要复杂的多。
下面以二元函数为例,探讨其在点(x0,y0处连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系。
二、二元函数连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系1.可微与连续的关系假设函数f(x,y在点(x0,y0处可微,那么在该点连续,但反之不成立(同一元函数。
证明:因为f(x,y在点(x0,y0处可微,因此有0≤f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0≤A△x+B△y+O(O→(△x→0,△y→0,所以lim(△x,△y→(0,0f(x0+△x,y0+△y=f(x0,y0,故f(x,y在点(x0,y0处连续。
反之不成立。
例1.f(x,y=x2yx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=$在点(0,0处连续,但在该点不可微。
2.偏导数存在与可微的关系由定理17.1[1](可微的必要条件,函数f(x,y在点(x0,y0处可微,那么f(x,y在点(x0,y0的偏导数一定存在;但反之不成立,如例1中函数f(x,y在点(0,0处偏导数存在,但在此点不可微。
3.偏导数连续与可微的关系由定理17.2[2](可微的充分条件知,函数f(x,y在点(x0,y0处偏导数连续,那么f(x,y 在点(x0,y0处可微;但反之不成立,例2.f(x,y=(x2+y2sin1x2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=%’’’&’’(0在点(0,0处可微,但偏导数在点(0,0不连续。
4.连续与偏导数存在之间的关系二元函数连续与偏导数存在之间没有必然的联系。
例3f(x,y=x2+y2(圆锥在点(0,0连续但在该点不存在偏导数。
更值得注意的是,即使函数在某点存在对所有自变量的偏导数,也不能保证函数在该点连续。
例4.f(x,yxyx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=$在点(0,0不连续,但f y(0,0=lim△y→∞0-0=0,f y(0,0=lim△y→∞0-0△y=0。
二元函数连续、偏导数和全微分之间的关系
二元函数连续、偏导数和全微分之间的关系通过证明或反例说明二元函数连续、偏导数，全微分之间的关系。
标签：二元函数；连续；偏导数；全微分对于一元函数来讲，连续、导数和微分之间的关系比较简单：可导与可微是等价的，可导一定连续，但连续不一定可导。
但对于二元函数来讲，连续、偏导数和全微分之间的关系要相对复杂一些，本文通过证明或反例来说明三者之间的关系。
1 连续和偏导数之间的关系1.1 已知偏导数存在，但不一定连续例1 函数在点处的两个偏导数都存在：但是在点却不连续，事实上，令点沿趋向点，有：1.2 已知连续，但偏导数不一定存在例2 函数，显然：故在点处连续，而由：知不存在，所以在点处不是可偏导的。
2 偏导数和全微分之间的关系2.1 若可微，则偏导数一定存在证明：由于在点处可微，于是在点的某一邻域内有：其中。
特别地，当时，上式变为：在该式两端各除以，再令，则得：从而偏导数存在，且；同样可证存在，且。
2.2 已知偏导数存在，但不一定可微例3 函数在点处的两个偏导数都存在：但是在点却不可微，事实上：令沿趋向，则：这说明当时，并不是的高阶无穷小，所以在点处不可微。
3 连续和全微分之间的关系3.1 若可微，则一定连续证明：由于在點处可微，即有：其中。
于是，即有，从而，即在点处连续。
3.2 已知连续，但不一定可微在例2中，函数在点处连续，在点处不是可偏导的。
由偏导和可微之间的关系，知在点处不可微。
综上，二元函数连续、偏导数和全微分之间的关系：函数在一点的连续性和函数在该点的偏导数的存在性之间没有任何关系；函数在一点的偏导数存在是函数在该点可微的一个必要非充分条件，函数在一点可微是函数在该点的偏导数存在的一个充分非必要条件；函数在一点连续是函数在该点可微的一个必要非充分条件，函数在一点可微是函数在该点连续的一个充分非必要条件。
参考文献：[1]大连理工大学城市学院基础教学部.应用微积分（下册）[M].大连理工大学出版社，2013.[2]大连理工大学城市学院基础教学部.应用微积分同步辅导[M].大连理工大学出版社，2013.[3]同济大学数学教研室.高等数学（下册）[M].高等教育出版社，1998.作者简介：张宇红（1979-），女，辽宁锦州人，硕士研究生，教授，研究方向：数学。
二元函数连续偏导数的关系
二元函数连续偏导数的关系设二元函数 z=f(x,y) 为定义在点集 D\subset R^{2} 上的函数。
二元函数连续性的定义：设 p_{0}\in D （它或者是 D 的聚点，或者是 D 的孤立点）。
对于任给的正数 \varepsilon ，总存在相应的正数 \delta ，只要 p\inU(p_{0},\delta)\cap D ，就有 |f(p)-f(p_{0})|<\varepsilon 则称 f 关于集合 D 在点 p_{0} 连续。
简称 f 在点 p_{0} 处连续。
注：二元函数连续性的定义与一元函数连续性的定义有所不同，在一元函数的连续性的定义中，要求函数 f(x) 必须在x_{0} 的某一邻域 U(x_{0}) 上有定义，并且要求的是\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0 ,当 |x-x_{0}|<\delta 时， |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon ,则称函数 f(x) 在 x=x_{0} 处连续。
注意到二元函数在定义连续的概念的时候并不是要求函数必须在连续点 x_{0} 的某一邻域U(x_0) 上有定义，只要保证该点是函数的聚点即可，并且对于不是聚点的孤立点仍然可以定义其为连续点（只需要将孤立点带入二元函数连续性的定义加以验证即可发现孤立点也满足该连续性的定义）。
因此在二元函数中，聚点和孤立点是连续点的必要条件，即二元函数的连续点必是该函数的聚点或孤立点中的一种。
二元函数可微的定义：设 p_{0}\in D ,二元函数 z=f(x,y) 在 p_{0} 的某邻域 U(p_{0}) 上有定义，对于 U(p_{0}) 中的点 P(x,y)=(x_0+\triangle x,y_{0}+\triangle y) ,若函数 f 在点 p_{0} 处的全增量 \Delta z 可表示为 \Deltaz=f(x_0+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho) ，其中 A,B 是仅与点 p_{0} 有关的常数， \rho=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} , o(\rho) 是较 \rho 高阶的无穷小量,则称函数 f 在点 P_{0} 处可微,并称 A\Delta x+B\Delta y 为函数 f 在点 P_{0} 的全微分，记作dz|_{p_{0}}=df(x_{0},y_{0})=A\Delta x+B\Delta y 。
可微偏导连续之间的关系
可微偏导连续之间的关系以可微偏导连续之间的关系为标题，可以从以下几个方面展开论述。
我们需要了解可微偏导的概念。
可微偏导是指一个多元函数在某一点处的偏导数存在且连续。
在数学中，我们常常使用偏导数来描述函数在某一点处的变化率。
而可微偏导的连续性则表明函数在该点附近的所有偏导数都存在且保持一定的关系，这为我们研究函数的性质提供了很大的便利。
可微偏导连续之间的关系可以通过数学表达式来描述。
假设一个函数f(x,y)是定义在一个开区域D上的二元函数，若函数f在D上的所有偏导数都存在且连续，那么我们可以得到以下结论：可微偏导连续。
这个结论是数学分析中的一个重要定理，也是我们研究函数性质的基础。
接下来，我们来探讨可微偏导连续之间的实际意义。
可微偏导连续的条件保证了函数在某一点处的变化率是连续的，这在实际问题中具有很重要的意义。
例如，在经济学中，我们常常使用边际效用来描述某种商品对消费者满足程度的变化。
而可微偏导连续的条件则保证了边际效用的变化是连续的，使得我们能够更好地研究消费者的行为。
可微偏导连续还与极值问题有着密切的关系。
在求解极值问题时，我们往往需要通过求取函数的偏导数来确定极值点。
而可微偏导连续的条件可以保证函数在极值点附近的局部性质，从而为我们找到极值点提供了依据。
这在优化问题中具有很大的应用价值。
我们还可以将可微偏导连续与其他数学概念进行关联。
例如，可微偏导连续与连续函数之间存在一定的关系。
连续函数是指函数在定义域上的每一个点都满足极限存在的条件。
而可微偏导连续的条件则保证了函数在某一点处的偏导数的极限存在。
因此，可微偏导连续的函数在定义域上一定是连续的。
这种关联可以帮助我们更好地理解函数的性质。
可微偏导连续之间存在着紧密的关系。
可微偏导连续的条件保证了函数在某一点处的变化率连续，具有实际意义，并且与极值问题、连续函数等数学概念有着密切的关联。
通过研究可微偏导连续之间的关系，我们可以更深入地理解和应用数学分析中的相关概念，为问题的求解提供更有效的方法和思路。
多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在的关系
多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限
存在的关系
多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在的关系
在高等数学中，我们熟悉的多元函数可微性是指函数在某一点处沿着任意方向的增量与对应的线性主部之比存在极限，而偏导数是指函数在某一点关于某一变量的导数，即在其他变量不变的情况下，该变量的导数存在极限。
那么多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在之间存在着怎样的关系呢？
首先，多元函数在某一点处可微，则必然在该点处连续，并且在该点处偏导数存在，反之亦然。
这可以从定义出发进行证明。
其次，多元函数在某一点处连续，则必然在该点处偏导数都存在，但不一定可微。
这是因为连续性只能保证存在单向导数，而可微性需要同时满足双向导数都存在且相等。
第三，偏导数在某一点处存在，但不一定连续。
例如函数
$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy^2}{x^2+y^4},&(x,y)\neq(0,0) \\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$在$(0,0)$处$x$和$y$的偏导数都存在，但不连续。
综上所述，多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在之间存在着一定的关系，但彼此之间并不完全等价。
在实际问题中，我们
需要根据具体情况选择适合的理论工具来研究多元函数的性质，以解决相应的问题。
一阶偏导数存在不能推连续例子
一阶偏导数存在不能推连续例子【实用版】目录1.导言2.一阶偏导数的概念3.一阶偏导数存在的条件4.不能推导连续的例子5.结论正文1.导言在多元函数的微分学中，偏导数是一种重要的概念。
偏导数可以用来描述多元函数在某一点的变化率，是函数微分学的基础。
然而，一阶偏导数的存在并不能保证函数的连续性。
本文将从一阶偏导数的概念入手，通过具体的例子，来说明一阶偏导数存在并不能推导出连续性。
2.一阶偏导数的概念一阶偏导数是指多元函数在某一点的部分导数。
设函数 f(x,y) 在点(x0,y0) 处可偏导，则称 f(x,y) 在点 (x0,y0) 处存在一阶偏导数。
通常情况下，一阶偏导数的存在是函数可微的必要条件，但不是充分条件。
3.一阶偏导数存在的条件多元函数在某一点存在一阶偏导数，需要满足以下条件：首先，函数在该点处连续；其次，函数在该点处可微分，即函数在该点处的偏导数存在。
只有同时满足这两个条件，函数在该点处才存在一阶偏导数。
4.不能推导连续的例子我们可以通过一个具体的例子来说明，一阶偏导数的存在并不能保证函数的连续性。
假设函数 f(x,y)=|x-y|，在点 (0,0) 处，该函数是连续的。
但是，如果我们对函数进行偏导，会发现在点 (0,0) 处，函数的一阶偏导数不存在。
这是因为在该点处，函数的极限不存在，导致函数在该点处不可微。
这个例子说明，一阶偏导数的存在并不能保证函数的连续性。
即使函数在某一点存在一阶偏导数，但如果该点处函数的极限不存在，函数仍然是不连续的。
5.结论通过以上分析，我们可以得出结论：一阶偏导数的存在是函数可微的必要条件，但不是充分条件。
即使函数在某一点存在一阶偏导数，但如果该点处函数的极限不存在，函数仍然是不连续的。
二元函数连续可微偏导之间的关系解读
1.如果f在点(x0,y0处不连续或偏导数不存在,则f在点(x0,y0处不可微。
2.如果f在点(x0,y0处连续,存在f x(x0,y0、fy(x0,y0,则f在点(x0,y0处可微的充分必要条件是满足下列等价的任一式:
(1△z=f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0
=f x(x0,y0△x+f y(x0,y0△y+o((△x2+(△y2
4.连续与偏导数存在之间的关系
二元函数连续与偏导数存在之间没有必然的联系。
例3f(x,y=x2+y2
(圆锥在点(0,0连续但在该点不存在偏导数。更值得注意的是,即使函数在某点存在对所有自变量的偏导数,也不能保证函数在该点连续。
例4.f(x,y
xy
x2+y2
,x2+y2≠0
0,x2+y2=
$
在点(0,0不连续,但
三、巧妙设计变式训练,促进灵活迁移
所谓“变式”,是指在教学中变化引用的材料内容和形式,从不同角度、用不同方法进行教学,使思维的“触须”伸向不同方位和不向领域。因此,通过变式训练可以实现知识的有效迁移。教师要充分运用“变式”教学,通过“一题多变”、“一图多问”、“多题重组”等形式从多个方面构造问
题,使学生养成多角度、多方位处理问题的习惯。教师提出的问题越多,学生思维越发散,理解越深刻,并通过对所提问题的解答而达到灵活迁移的目的。例如,函数与方程、不等式的结合向来是中考或高考的热点,教师可以通过设计变式训练把三者结合的恰到好处:
(2△z=f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0
=f x(x0,y0△x+f y(x0,y0△y+ε((△x2+(△y2
偏导数及其在经济分析中的应用和计算方法
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )存在，则称
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 x 的
偏导数(partial derivative)，记为
z x
，f x x0 x
原 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
偏 导
导二 函阶
函
数混
数
图合
图 形
形偏
例 6 设u eax cosby ，求二阶偏导数.
解 u aeax cos by, x
f y ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
如果函数z f ( x, y)在区域D 内任一点
( x, y)处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数
就是x 、y 的函数，它就称为函数z f ( x, y)对
自变量x 的偏导数，
记作z x
，f x
，z
x
或
f
x
(
x
,
y
)
.
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量y 的偏导
斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面x x0 所截得的曲线在点M0 处的切线M0Ty对y 轴的
斜率.
图示
设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点,
2.偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
x2 y2
y2
| y|
( x2 y2 )3
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偏导数存在与函数连续的关系
偏导数的存在与函数的连续性有以下关系：
1. 如果函数在某一点上的偏导数存在，那么函数在该点处连续。
如果函数在某一点上的偏导数存在，则说明该点的函数在该
点处沿着该方向的变化率存在，即函数在该点上的导数存在。
而导数的存在意味着函数在该点处的极限存在，因此函数在该点处连续。
2. 如果函数在某一点上的偏导数不存在，那么函数在该点处不连续。
如果函数在某一点上的偏导数不存在，则说明该点的函数在
该方向上的变化率不存在，即函数在该点上的导数不存在。
由于导数的存在与函数的连续性有关，因此函数在该点上不连续。
需要注意的是，偏导数的存在与函数的连续性只是一种充分条件，并非必要条件。
即函数在某一点处的偏导数存在并不意味着函数在该点处一定连续，反之亦然。
这是因为函数的连续性还受其他因素的影响，比如函数在该点处的极限是否存在等。