北京卷2022高考数学试题及答案(文字版)
2022年新高考北京数学高考真题
一、单选题二、多选题1. 在复平面内，设，则复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知，且，则α=（ ）A．B．C．D．3. 已知正方形的边长为1，点满足，设与交于点，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44. 已知数列为等差数列，是其前项和，，.数列的前项和为，若对一切都有恒成立，则能取到的最小整数为（ ）A．B ．0C ．1D ．25. 已知复数满足，且有，求（ ）A．B．C．D ．都不对6. 正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它侧面积为（ ）A．B．C．D．7.的展开式中常数项为（ ）A．B ．1C．D．8. 锐角三角形的内角､满足：，则有（ ）A．B．C．D．9. 在数列中，和是关于的一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（ ）A ．实数的取值范围是或B ．若数列为等差数列，则数列的前7项和为C．若数列为等比数列且，则D．若数列为等比数列且，则的最小值为410. 记考试成绩的均值为，方差为，若满足，则认为考试试卷设置合理.在某次考试后，从20000名考生中随机抽取1000名考生的成绩进行统计，得到成绩的均值为66，方差为196，将数据分成7组，得到如图所示的频率分布直方图.用样本估计总体，下列说法正确的是（）A ．本次考试成绩不低于80分的考生约为4000人B ．本次考试成绩的25%分位数约为47.5C．2022年新高考北京数学高考真题2022年新高考北京数学高考真题三、填空题四、解答题D ．本次考试试卷设置合理11.已知正方体的棱长为1，则下列说法正确的有（ ）A．从该正方体的所有棱中任选两条，则这两条棱所在的直线异面的概率为B ．将直线以直线BD 为轴旋转任意角度得到直线DE ，若直线DE 与直线所成的角为，，则C ．将正方体绕直线旋转一周所得的旋转体的体积为D ．将正方体绕直线BD 旋转一周所得的旋转体的体积为（已知若两个几何体的高度相同，在任一相同高度处的截面积均相等，则这两个几何体的体积相等）12. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列的前项和为，其通项公式.则（ ）参考公式：A． 是数列中的项B．C．D．13. 下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，则的值为__________．14. 已知抛物线的焦点为，点，为抛物线上一动点，则周长的最小值为______.15.如图，矩形中，，为边的中点，将沿翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是______．①翻折到某个位置，使得②翻折到某个位置，使得平面③四棱锥体积的最大值为④点M在某个球面上运动16. 已知，，分别为三个内角 ，，的对边，且.(1)证明：；(2)若为的中点，且，，求的周长.17. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点，，直线l过坐标原点O交椭圆C于P，Q两点（点A，B位于直线l的两侧）．设直线AP，AQ，BP，BQ的斜率分别为，，，，求证：为定值．18. 为了增强学生的身体素质，我校已经将冬天长跑作为一项制度固定下来，每天大课间例行跑操.为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的列联表：喜欢跑步不喜欢跑步合计男生80女生20合计已知在这200名学生中随机抽取人抽到喜欢跑步的概率为0.6.(1)判断是否有的把握认为喜欢跑步与性别有关？(2)从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望参考公式及数据：，其中.0.500.250.150.100.050.0250.010.0050.0010.460.71 1.32 2.07 2.71 3.84 5.024 6.6357.87910.82819.如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．(1)求证：//平面；(2)若，求三棱锥的体积．20. 已知数列的前项和为，数列是首项为1，公差为2的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.21. 已知数列满足，数列首项为2，且满足.(1)求和的通项公式(2)记集合，若集合的元素个数为，求实数的取值范围.。
2022北京卷高考文科数学试题及答案解析
2022北京卷高考文科数学试题及答案解析2022高考数学大题题型一、三角函数或数列数列是高考必考的内容之一。
高考对这个知识点的考查非常全面。
每年都会有等差数列，等比数列的考题，而且经常以综合题出现，也就是说把数列知识和指数函数、对数函数和不等式等其他知识点综合起来。
近几年来，关于数列方面的考题题主要包含以下几个方面：(1)数列基本知识考查，主要包括基本的等差数列和等比数列概念以及通项公式和求和公式。
(2)把数列知识和其他知识点相结合，主要包括数列知识和函数、方程、不等式、三角、几何等其他知识相结合。
(3)应用题中的数列问题，一般是以增长率问题出现。
二、立体几何高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。
选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。
随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着多一点思考，少一点计算的发展。
从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。
三、统计与概率1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
2.理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。
3.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。
4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。
5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。
6.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。
7.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。
8.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.四、解析几何(圆锥曲线)高考解析几何剖析：1、很多高考问题都是以平面上的点、直线、曲线(如圆、椭圆、抛物线、双曲线)这三大类几何元素为基础构成的图形的问题;2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方程、解方程的规则。
2022年高考真题及答案解析《数学》(北京卷、浙江卷共2套)
绝密★本科目考试启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（）A.(2,1]- B.(3,2)[1,3)-- C.[2,1)- D.(3,2](1,3)-- 2.若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A.1B.5C.7D.253.若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A.12B.12-C.1D.1-4.已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（）A.()()0f x f x -+=B.()()0f x f x --=C.()()1f x f x -+= D.1()()3f x f x --=5.已知函数22()cos sin f x x x =-，则（）A.()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 B.()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C.()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增6.设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（）A.当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B .当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C.当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D.当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态8.若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A.40B.41C.40- D.41-9.已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（）A.34π B.πC.2πD.3π10.在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A.[5,3]- B.[3,5]- C.[6,4]- D.[4,6]-第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数1()f x x=+的定义域是_________．12.已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为33y x =±，则m =__________．13.若函数()sin f x A x x =-的一个零点为3π，则A =________；12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．14.设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．15.已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3；②{}n a 为等比数列；③{}n a 为递减数列；④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题共6小愿，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在ABC中，sin 2C C =．（1）求C ∠；（2）若6b =，且ABC的面积为ABC 的周长．17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC的中点．（1）求证：MN ∥平面11BCC B ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19.已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A ，焦距为（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．20.已知函数()e ln(1)xf x x =+．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；（3）证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．21.已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．（1）判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；（2）若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；（3）若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．绝密★本科目考试启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（答案解析）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（）A.(2,1]- B.(3,2)[1,3)-- C.[2,1)- D.(3,2](1,3)-- 【答案】D 【解析】【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-ð或13}x <<，即(3,2](1,3)U A =-- ð，故选：D ．2.若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A.1B.5C.7D.25【答案】B 【解析】【分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．3.若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A.12B.12-C.1D.1-【答案】A 【解析】【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【详解】由题可知圆心为(),0a ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2010a +-=，解得12a =．故选：A ．4.已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（）A.()()0f x f x -+=B.()()0f x f x --=C.()()1f x f x -+=D.1()()3f x f x --=【答案】C 【解析】【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】()()1121112121212x x x x xf x f x --+=+=+=++++，故A 错误，C 正确；()()11212121121212122121x x x x x x x xf x f x ----=-=-==-++++++，不是常数，故BD 错误；故选：C ．5.已知函数22()cos sin f x x =-，则（）A.()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 B.()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C.()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】C 【解析】【分析】化简得出()cos 2f x x =，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为()22cos sin cos 2f x x x x =-=.对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错；对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错；对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错.故选：C.6.设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数.若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=，由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”；若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >，假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->，当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件.故选：C.7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（）A.当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B.当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C.当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D.当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D 【解析】【分析】根据T 与lg P 的关系图可得正确的选项.【详解】当220T =，1026P =时，lg 3P >，此时二氧化碳处于固态，故A 错误.当270T =，128P =时，2lg 3P <<，此时二氧化碳处于液态，故B 错误.当300T =，9987P =时，lg P 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C 错误.当360T =，729P =时，因2lg 3P <<,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确.故选：D8.若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A.40B.41C.40- D.41-【答案】B 【解析】【分析】利用赋值法可求024a a a ++的值.【详解】令1x =，则432101a a a a a ++++=，令1x =-，则()443210381a a a a a -+-+=-=，故420181412a a a +++==，故选：B.9.已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（）A.34π B.πC.2πD.3π【答案】B 【解析】【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且23632BO =⨯⨯=，故PO ==因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，而三角形ABC 内切圆的圆心为O，半径为2364136=>⨯，故S 的轨迹圆在三角形ABC 内部，故其面积为π故选：B10.在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A.[5,3]- B.[3,5]- C.[6,4]- D.[4,6]-【答案】D 【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=--，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯-22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-；故选：D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数1()f x x=+的定义域是_________．【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为()1f x x =+100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃12.已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为33y x =±，则m =__________．【答案】3-【解析】【分析】首先可得0m <，即可得到双曲线的标准方程，从而得到a 、b ，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；【详解】解：对于双曲线221x y m +=，所以0m <，即双曲线的标准方程为221x y m -=-，则1a =，b =221x y m +=的渐近线方程为33y x =±，所以3a b =33=，解得3m =-；故答案为：3-13.若函数()sin f x A x x =-的一个零点为3π，则A =________；12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案】①.1②.【解析】【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为π()2sin()3f x x =-，代入自变量π12x =，计算即可.【详解】∵π()0322f A =-=，∴1A =∴π()sin 2sin()3f x x x x ==-ππππ()2sin()2sin 121234f =-=-=故答案为：1，14.设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．【答案】①.0（答案不唯一）②.1【解析】【分析】根据分段函数中的函数1y ax =-+的单调性进行分类讨论，可知，0a =符合条件，0a <不符合条件，0a >时函数1y ax =-+没有最小值，故()f x 的最小值只能取2(2)y x =-的最小值，根据定义域讨论可知210a -+≥或()2212a a -+≥-，解得01a <≤.【详解】解：若0a =时，21,0(){(2),0x f x x x <=-≥，∴min ()0f x =；若0a <时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，故()f x 没有最小值，不符合题目要求；若0a >时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递减，2()()1f x f a a >=-+，当x a >时，min 20(02)(){(2)(2)a f x a a <<=-≥∴210a -+≥或2212a a -+≥-（），解得01a <≤，综上可得01a ≤≤；故答案为：0（答案不唯一），115.已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3；②{}n a 为等比数列；③{}n a 为递减数列；④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】推导出199n n n a a a -=-，求出1a 、2a 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【详解】由题意可知，N n *∀∈，0n a >，当1n =时，219a =，可得13a =；当2n ≥时，由9n n S a =可得119n n S a --=，两式作差可得199n n n a a a -=-，所以，199n n n a a a -=-，则2293a a -=，整理可得222390a a +-=，因为20a >，解得235332a -=<，①对；假设数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则2213a a a =，即2213981S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，2213S S S =，可得()()22221111a q a q q +=++，解得0q =，不合乎题意，故数列{}n a 不是等比数列，②错；当2n ≥时，()1119990n n n n n n n a a a a a a a ----=-=>，可得1n n a a -<，所以，数列{}n a 为递减数列，③对；假设对任意的N n *∈，1100n a ≥，则10000011000001000100S ≥⨯=，所以，1000001000009911000100a S =≤<，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.三、解答题共6小愿，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在ABC中，sin 2C C =．（1）求C ∠；（2）若6b =，且ABC的面积为ABC 的周长．【答案】（1）6π（2）6+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.【小问1详解】解：因为()0,C π∈，则sin 0C >，由已知可得2sin cos C C C =，可得3cos 2C =，因此，6C π=.【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a === ，解得a =.由余弦定理可得22232cos 483626122c a b ab C =+-=+-⨯⨯=，c ∴=，所以，ABC 的周长为6a b c ++=+.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．（1）求证：MN ∥平面11BCC B ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，可证平面//MKN 平面11BCC B ，从而可证//MN 平面11BCC B .（2）选①②均可证明1BB ⊥平面ABC ，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.【小问1详解】取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，由三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形，而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ，而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11BCC B ，而,,NK MK K NK MK =⊂ 平面MKN ，故平面//MKN 平面11BCC B ，而MN ⊂平面MKN ，故//MN 平面11BCC B ，【小问2详解】因为侧面11BCC B 为正方形，故1CB BB ⊥，而CB ⊂平面11BCC B ，平面11C ⊥平面11ABB A ，平面11CBB C ⋂平面111ABB A BB =，故CB ⊥平面11ABB A ，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，因为AB Ì平面11ABB A ，故NK AB ⊥，若选①，则AB MN ⊥，而NK AB ⊥，NK MN N = ，故AB ⊥平面MNK ，而MK ⊂平面MNK ，故AB MK ⊥，所以1AB BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM === ，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z = ，则00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()2,2,1n =-- ，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯ .若选②，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，而KM ⊂平面MKN ，故NK KM ⊥，而11,1B M BK NK ===，故1B M NK =，而12B B MK ==，MB MN =，故1BB M MKN ≅ ，所以190BB M MKN ∠=∠=︒，故111A B BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM === ，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z = ，则00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()2,2,1n =-- ，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯.18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【答案】（1）0.4（2）75（3）丙【解析】【分析】(1)由频率估计概率即可(2)求解得X 的分布列，即可计算出X 的数学期望.(3)计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.【小问1详解】由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4【小问2详解】设甲获得优秀为事件A 1，乙获得优秀为事件A 2，丙获得优秀为事件A 31233(0)()0.60.50.520P X P A A A ===⨯⨯=，123123123(1)()()()P X P A A A P A A A P A A ==++80.40.50.50.60.50.50.60.50.520=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，123123123(2)()()()P X P A A A P A A A P A A A ==++70.40.50.50.40.50.50.60.50.520=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，1232(3)()0.40.50.520P X P A A A ===⨯⨯=.∴X 的分布列为X0123P 320820720220∴38727()0123202020205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=【小问3详解】丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为14，甲获得9.80的概率为110，乙获得9.78的概率为16.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.19.已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A ，焦距为（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．【答案】（1）2214x y +=（2）4k =-【解析】【分析】（1）依题意可得22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设()11,B x y 、()22,C x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB 、AC 的方程，表示出M x 、Nx ，根据N M MN x x =-得到方程，解得即可；【小问1详解】解：依题意可得1b =，2c =222c a b =-，所以2a =，所以椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】解：依题意过点()2,1P -的直线为()12y k x -=+，设()11,B x y 、()22,C x y ，不妨令1222x x -≤<≤，由()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()22221416816160k x k k x k k +++++=，所以()()()222216841416160k k k k k ∆=+-++>，解得0k <，所以212216814k k x x k ++=-+，2122161614k k x x k +⋅=+，直线AB 的方程为1111y y x x --=，令0y =，解得111M x x y =-，直线AC 的方程为2211y y x x --=，令0y =，解得221N x x y =-，所以212111N M x x MN x x y y =-=---()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212122x x k x k x =+-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++()()12212222x x k x x -==++，所以()()122122x x k x x -=++，()212124k x x x x =+++⎡⎤⎣⎦22221616168241414k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫++=+-+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦即()()22221616216841414kk k k k k k ⎡⎤+-+++⎣⎦+整理得4k =，解得4k =-20.已知函数()e ln(1)x f x x =+．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；（3）证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．【答案】（1）y x=（2）()g x 在[0,)+∞上单调递增.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，由第二问结论可知()m x 在0,+∞）上单调递增，即得证.【小问1详解】解：因为()e ln(1)x f x x =+，所以()00f =，即切点坐标为()0,0，又1()e (ln(1))1x f x x x=+++'，∴切线斜率(0)1k f '==∴切线方程为：y x=【小问2详解】解：因为1()()e (ln(1))1x g x f x x x =++'=+，所以221()e (ln(1))1(1)x g x x x x =++-++'，令221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++，则22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++'，∴()h x 在[0,)+∞上单调递增，∴()(0)10h x h ≥=>∴()0g x '>在[0,)+∞上恒成立，∴()g x 在[0,)+∞上单调递增.【小问3详解】解：原不等式等价于()()()(0)f s t f s f t f +->-，令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，∵()()()e ln(1)e ln(1)x t x m x f x t f x x t x +=+-=++-+，e e ()eln(1)e ln(1)()()11x t x x txm x x t x g x t g x x t x++=+++-+-=+-++'+，由（2）知1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+在[)0,∞+上单调递增，∴()()g x t g x +>，∴()0m x '>∴()m x 在()0,∞+上单调递增，又因为,0x t >，∴()(0)m x m >，所以命题得证.21.已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．（1）判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；（2）若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；（3）若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．【答案】（1）是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列．（2）证明见解析．（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑3k ≤不符合，再列举一个4k =合题即可；（3）5k ≤时，根据和的个数易得显然不行，再讨论6k =时，由12620a a a +++< 可知里面必然有负数，再确定负数只能是1-，然后分类讨论验证不行即可．【小问1详解】21a =，12a =，123a a +=，34a =，235a a +=，所以Q 是5-连续可表数列；易知，不存在,i j 使得16i i i j a a a +++++= ，所以Q 不是6-连续可表数列．【小问2详解】若,设为:Q ,则至多,,,,,a b b c a b c a b c ++++，6个数字，没有8个，矛盾；当4k =时，数列:1,4,1,2Q ，满足11a =，42a =，343a a +=，24a =，125a a +=，1236a a a ++=，2347a a a ++=，12348a a a a +++=，min 4k ∴=．【小问3详解】12:,,,k Q a a a ，若i j =最多有k 种，若i j ≠，最多有2C k 种，所以最多有()21C 2kk k k ++=种，若5k ≤，则12,,,k a a a …至多可表()551152+=个数，矛盾，从而若,则6k =，,,,,,a b c d e f 至多可表6(61)212+=个数，而20a b c d e f +++++<，所以其中有负的，从而,,,,,a b c d e f 可表1~20及那个负数（恰21个），这表明~a f 中仅一个负的，没有0，且这个负的在~a f 中绝对值最小，同时~a f 中没有两数相同，设那个负数为(1)m m -≥，则所有数之和125415m m m m m ≥++++++-=+ ，415191m m +≤⇒=，{,,,,,}{1,2,3,4,5,6}a b c d e f ∴=-，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，112=-+ （仅一种方式），1∴-与2相邻，若1-不在两端，则",1,2,__,__,__"x -形式，若6x =，则56(1)=+-（有2种结果相同，方式矛盾），6x ∴≠，同理5,4,3x ≠，故1-在一端，不妨为"1,2,,,,"A B C D -形式，若,则523=+（有2种结果相同，矛盾），4A =同理不行，5A =，则6125=-++（有2种结果相同，矛盾），从而6A =，由于,由表法唯一知3,4不相邻,故只能1,2,6,3,5,4-，①或1,2,6,4,5,3-，②这2种情形，对①：96354=+=+，矛盾，对②：82653=+=+，也矛盾，综上6k ≠，当7k =时，数列1,2,4,5,8,2,1--满足题意，7k ∴≥．【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为m -可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从1到m 中间的任意一个值．本题第二问3k ≤时，通过和值可能个数否定3k ≤；第三问先通过和值的可能个数否定5k ≤，再验证6k =时，数列中的几项如果符合必然是{1,2,3,4,5,6}-的一个排序，可验证这组数不合题。
北京卷高考数学试卷及答案解析2022年
北京卷高考数学试卷及答案解析2022年多年来北京卷会在最后一题做大胆的创新。
具体来说,北京卷的最后一题并不执着于具体的知识或方法,而是通过全新的背景,考查一般意义下的数学素养。
下面是小编为大家收集的关于北京卷高考数学试卷及答案解析2022年。
希望可以帮助大家。
北京卷高考数学试卷北京卷高考数学答案解析高中数学知识汇总必修一：1、集合与函数的概念(这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解)必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。
这部分知识高考占22---27分2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
09年理科占到5分，文科占到13分必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。
高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。
文科：选修1—1、1—2选修1--1：重点：高考占30分1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考2、圆锥曲线：3、导数、导数的应用(高考必考)选修1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)理科：选修2—1、2—2、2—3选修2--1：1、逻辑用语 2、圆锥曲线3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)选修2--2：1、导数与微积分2、推理证明：一般不考3、复数选修2--3：1、计数原理：(排列组合、二项式定理)掌握这部分知识点需要大量做题找规律，无技巧。
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北京卷2022高考数学试题及答案(文字版)北京卷2022高考数学试题2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知全集，集合，则( )A. B. C. D.2.若复数z满足，则( )A.1B.5C.7D.253.若直线是圆的一条对称轴，则( )A. B. C.1 D.4.已知函数，则对任意实数x，有( )A. B.C. D.5.已知函数，则( )A.在上单调递减B.在上单调递增C.在上单调递减D.在上单调递增6.设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K;P表示压强，单位是.下列结论中正确的是( )A.当，时，二氧化碳处于液态B.当，时，二氧化碳处于气态C.当，时，二氧化碳处于超临界状态D.当，时，二氧化碳处于超临界状态8.若，则( )A.40B.41C.D.9.已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合.设集合，则T表示的区域的面积为( )A. B. C. D.10.在中，.P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( )A. B. C. D.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是_________.12.已知双曲线的渐近线方程为，则__________.13.若函数的一个零点为，则________;________.14.设函数若存在最小值，则a的一个取值为________;a的最大值为___________.15.已知数列的各项均为正数，其前n项和满足.给出下列四个结论：①的第2项小于3; ②为等比数列;③为递减数列; ④中存在小于的项.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.(本小题13分)在中，.(I)求;(II)若，且的面积为，求的周长.17.(本小题14分)如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点.(I)求证：平面;(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.条件①：;条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.18.(本小题13分)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上(含)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25;乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23;丙：9.85，9.65，9.20，9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.(I)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;(II)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望EX;(III)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)19.(本小题15分)已知椭圆的一个顶点为，焦距为.(I)求椭圆E的方程;(II)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值.20.(本小题15分)已知函数.(I)求曲线在点处的切线方程;(II)设，讨论函数在上的单调性;(III)证明：对任意的，有.21.(本小题15分)已知为有穷整数数列.给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列.(I)判断是否为连续可表数列?是否为连续可表数列?说明理由;(II)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4;(III)若为连续可表数列，且，求证：.2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学参考答案第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. D2. B3. A4. C5. C6. C7. D8. B9. B 10. D第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.12.13. ①. 1 ②.14. ①. 0(答案不唯一) ②. 115.①③④三、解答题共6小愿，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.(1)(2)17.(1)取的中点为，连接，由三棱柱可得四边形为平行四边形，而，则，而平面，平面，故平面，而，则，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，(2)因为侧面为正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因为，故平面，因为平面，故，若选①，则，而，，故平面，而平面，故，所以，而，，故平面，故可建立如所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，从而，取，则，设直线与平面所成的角为，则.若选②，因，故平面，而平面，故，而，故，而，，故，所以，故，而，，故平面，故可建立如所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，从而，取，则，设直线与平面所成的角为，则.18.(1)0.4 (2)(3)丙19.(1)(2)20.(1)(2)在上单调递增.(3)解：原不等式等价于，令，，即证，∵，，由(2)知在上单调递增，∴，∴∴在上单调递增，又因为，∴，所以命题得证.21.(1)是连续可表数列;不是连续可表数列.(2)若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾;当时,数列，满足，，，，，，，， .(3)，若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，若，则至多可表个数，矛盾,从而若,则，至多可表个数，而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数(恰 21个)，这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为，则所有数之和，，，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，(仅一种方式)，与2相邻，若不在两端,则形式，若，则(有2种结果相同，方式矛盾)，，同理，故在一端，不妨为形式，若,则 (有2种结果相同，矛盾)，同理不行，，则 (有2种结果相同，矛盾)，从而，由于,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能，①或，②这2种情形，对①：，矛盾，对②：，也矛盾，综上.学数学的小窍门1.学数学要善于思考，自己想出来的答案远比别人讲出来的答案印象深刻。
2.课前要做好预习，这样上数学课时才能把不会的知识点更好的消化吸收掉。
3.数学公式一定要记熟，并且还要会推导，能举一反三。
4.学好数学最基础的就是把课本知识点及课后习题都掌握好。
5.数学80%的分数****于基础知识，20%的分数属于难点，所以考120分并不难。
6.数学需要沉下心去做，浮躁的人很难学好数学，踏踏实实做题才是硬道理。
7.数学要想学好，不琢磨是行不通的，遇到难题不能躲，研究明白了才能罢休。
8.数学最主要的就是解题过程，懂得数学思维很关键，思路通了，数学自然就会了。
9.数学不是用来看的，而是用来算的，或许这一秒没思路，当你拿起笔开始计算的那一秒，就豁然开朗了。
10.数学题目不会做，原因之一就是例题没研究明白，所以数学书上的例题绝对不要放过。
学习数学需要注意什么一、课内重视听讲，课后及时复习接受一种新的知识，主要实在课堂上进行的，所以要重视课堂上的学习效率，找到适合自己的学习方法，上课时要跟住老师的思路，积极思考。
下课之后要及时复习，遇到不懂的地方要及时去问，在做作业的时候，先把老师课堂上讲解的内容回想一遍，还要牢牢的掌握公式及推理过程，尽量不要去翻书。
尽量自己思考，不要急于翻看答案。
还要经常性的总结和复习，把知识点结合起来，变成自己的知识体系。
二、多做题，养成良好的解题习惯要想学好数学，大量做题是必可避免的，熟练地掌握各种题型，这样才能有效的提高数学成绩。
刚开始做题的时候先以书上习题为主，答好基础，然后逐渐增加难度，开拓思路，练习各种类型的解题思路，对于容易出现错误的题型，应该记录下来，反复加以联系。
在做题的时候应该养成良好的解题习惯，集中注意力，这样才能进入最佳的状态，形成习惯，这样在考试的时候才能运用自如。
学好数学的几条建议1、要有学习数学的兴趣。
“兴趣是最好的老师”。
做任何事情，只要有兴趣，就会积极、主动去做，就会想方设法把它做好。
但培养数学兴趣的关键是必须先掌握好数学基础知识和基本技能。
有的同学老想做难题，看到别人上数奥班，自己也要去。
如果这些同学连课内的基础知识都掌握不好，在里面学习只能滥竽充数，对学习并没有帮助，反而使自己失去学习数学的信心。
我建议同学们可以看一些数学名人小故事、趣味数学等知识来增强学习的自信心。
2、要有端正的学习态度。
首先，要明确学习是为了自己，而不是为了老师和父母。
因此，上课要专心、积极思考并勇于发言。
其次，回家后要认真完成作业，及时地把当天学习的知识进行复习，再把明天要学的内容做一下预习，这样，学起来会轻松，理解得更加深刻些。
3、要有“持之以恒”的精神。
要使学习成绩提高，不能着急，要一步一步地进行，不要指望一夜之间什么都学会了。
即使进步慢一点，只要坚持不懈，也一定能在数学的学习道路上获得成功!还要有“不耻下问”的精神，不要怕丢面子。
其实无论知识难易，只要学会了，弄懂了，那才是最大的面子!4、要注重学习的技巧和方法。
不要死记硬背一些公式、定律，而是要靠分析、理解，做到灵活运用，举一反三。
特别要重视课堂上学习新知识和分析练习的时候，不能思想开小差，管自己做与学习无关的事情。
注意力一定要高度集中，并积极思考，遇到不懂题目时要及时做好记录，课后和同学进行探讨，做好查漏补缺。
5、要有善于观察、阅读的好习惯。
只要我们做数学的有心人，细心观察、思考，我们就会发现生活中到处都有数学。
除此之外，同学们还可以从多方面、多种渠道来学习数学。
如：从电视、网络、《小学生数学报》、《数学小灵通》等报刊杂志上学习数学，不断扩展知识面。
6、要有自己的观点。
现在，大部分同学遇到一些较难或不清楚的问题时，就不加思考，轻易放弃了，有的干脆听从老师、父母、书本的意见。
即使是老师、长辈、书籍等权威，也不是没有一点儿失误的，我们要重视权威的意见，但绝不等于不加思考的认同。