2017年全国高考理科数学试题及标准答案全国卷2

2017 年普通高等学校招生全国统一考试

课标 II 理科数学

注意事项：

1. 答题前， 考生先将自己的姓名、 准考证号填写清楚， 将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂； 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体 工整，笔迹清楚

3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在 草稿纸、试卷上答题无效

4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀

12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项 是符合题目要求的。 1. 3 i

(

1i

答案】 D

A ． 1, 3

B ． 1,0

C ． 1,3

D ． 1,5

【答案】 C

【解析】由 1 得1 B ，所以 m 3， B 1,3 ，故选 C 。

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三

百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层 灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1 盏 B ．3盏 C ．5 盏 D ．9 盏

【答案】 B

x 1 2

、选择题：本题共 A ． 1 2i

B ． 1 2i

C ． 2 i

D ． 2 i

2.设集合

1,2,4 ， x x 2

4x m 0 ．若 1 ，则 （ ）

可得x 3 ，故选 B。

4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，学 科粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由

平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）

4.【答案】 B

解析】由题意，该几何体是由高为 6 的圆柱截取一半后的图形加上高为

1

2 2

为 V 32

6

32

4 63 ，故选 B.

2

2x 3y 3 0

5.设， y 满足约束条件 2x 3y 3 0，则 z 2x y 的最小值是（

y30

答案】 A

6. 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方 式共有（ ） A ．12 种 B ．18 种 C ．24 种 D ．36 种

A ． 90

B ． 63

D ．

36

4 的圆柱，故其体积

A ． 15

B ． 9

C ．

D ．

C ． 4

解析】 C 32C 42A 22

36 ,故选 D 。

7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优 秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科给丁看甲的成绩．看后甲

对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩

【答案】 D

8. 执行右面的程序框图，如果输入的 a 1 ，则输出的 S （ ）

答案】

答案】

故选 A.

10.已知直三棱柱 C 1 1C 1 中，

C 120 ， 2， C CC 1 1，则异面直线

1

A ．2

B ．3

D ．

5

解析】 S 0 1 2 3 4 5 6 3 ,故选 B.

22

9.若双曲线 C: a x

2 b y

2

1 a 0， b 0 ）的一条渐近线被圆 2

2

x 2 2 y 2

4 所截得的弦

长为 2， 则 C 的离心率为（ A ．2

B ． 3

C ． 2

23

D ． 3

解析】 圆心到渐近线 bx ay 0 距离为 22

1 3 ，所以 2b

3 c 2a e 2 ， c

C ．4

与 C 1 所成角的余弦值为(

答案】 C

2 x 1`

11.若x 2是函数 f(x) (x 2 ax 1)e x 1`

的极值点，则 f (x)的极小值为( )

A. 1

B. 2e 3

C.5e 3

D.1

【答案】 A

【解析】由题可得 f (x) (2x a)e x1 (x 2 ax 1)e x 1 [x 2 (a 2)x a 1]e

x 1

因为 f

( 2) 0 ，所以 a 1， f (x) (x 2 x 1)e x 1，故 f (x) (x 2 x 2)e x 1

令 f (x) 0，解得 x 2或 x 1，所以 f (x) 在( , 2),(1, )单调递增，在 ( 2,1)单调 递减

所以 f (x) 极小值 f(1) (1 1 1)e 1 1

1，故选 A 。

12.已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 PA (PB PC)的最小值 是( )

答案】 B

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13.一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次， 表

A ．

D ．

A. 2

3 B.

2

4 C.

3

D. 1

5

5

示抽到的二等品件数，则 D

16.已知是抛物线 C: y 2

8x 的焦点， 是 C 上一点， F 的延长线交 y 轴于点 ．若 为

F 的中点，则 F ．

【答案】 6

三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 17~21 题为必做题，每 个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分）

答案】 1.96

解析】 X ~ B 100,0.02 ，所以 DX

np 1 p 100 0.02 0.98 1.96. 14.函数

2

3

f x sin x 3cosx (

x 0, ）的最大值是

2

答案】

解析】 f x 1 cos 2

x

3 3 2 1 cosx cos x

3cosx

44

1. 3

cosx

2

0, 2 ，那么 cosx 0,1 ，当 cosx 23

时，函数取得最大值

15. 等差数列 a n 的前项和为

S n ， a 3 3， S 4 10，则 1

k 1 S

k

答案】

2n

n1

解析】设等差数列的首项为 a 1 2d 3

a

1，公差为

d ，所以

4a 1 4 3d 10

，解得

a 1 1

，所以

d1

a n n,S n n 1

2 n

，那么

2

1 S n

，那么

11 1

2 1 1

k 1 S k 2 1

2 2 3

2n

1 1

2 1

n n 1 n 1 n 1

2B ABC的内角A、B、C 所对的边分别为a,b,c，已知sin（A C）

2sin2，2 1）求cosB ；

2）若a c 6 ，ABC 的面积为，求．

15

答案】（ 1）cosB

17

2）

解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知 A C B ，再利用诱导公式化简sin（A C ），利用降幂公式化简sin2 B，结合sin2 B cos2 B 1求出cos B ；

利用（ 1）中结

试题解析：

2（1）由题设及A B C 得sin B 8sin2，故

2

2

上式两边平方，整理得17cos2B-

15

解得cosB=1（舍去）， cosB=

17

15 8 1 4 （2）由cosB= 得 sinB ，故S ABC

acsin B ac

17 17 ABC 2 17

17

则 ac

2

a c 6 得

又S ABC =2，

由余弦定理及

2 2 2

b2a2c22accos B

2

（a+c）22ac（1

cosB）

17 15

所以 b=2

【点睛】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要

利用三角形的内

进行“边转角” “角转边”，另外要注意a c, ac, a2 c 2三者的关系，这样的题目小而活，备受

老师和学生的欢迎．

18.（12 分）

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直| ，收获时各随机抽取了 100 个

论B 900，利用勾股定理和面积公式求出a c、ac ，从而

1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于 50kg,估计 A 的概率；

2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99% 的把握认为箱产量与养殖方法有

关：

箱产量＜ 50kg 箱产量≥ 50kg 旧养殖法

新养殖法

3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01 ）

P（）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828

2 n(ad bc)2

(a b)(c d)(a c)(b d)

2）

15.705 10.828

K2

100 100 96 104

有99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关。

（3）第 50 个网箱落入“ 50 55”这组；取平均值52.50即为中位数的估计值。

19.（12 分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD，

1o

AB BC AD, BAD ABC 90o, E 是PD 的中点 .

2

（1）证明：直线CE// 平面PAB

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为45o，求二面角M-AB-D 的余弦值

（ 2）取AD 中点O ，连PO ，由于△ PAD 为正三角形

∴ PO AD

又∵平面PAD 平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD

∴ PO 平面ABCD，连OC ，四边形ABCD为正方形。

∵ PO 平面POC ，∴平面POC 平面ABCD

而平面POC 平面ABCD OC

过M 作MH OG ，垂足为H ，∴ MH 平面ABCD ∴ MBH 为MB 与平面ABCD 所成角，MBH 45

∴ MH BH

在△PCO 中，MH ∥PO ，MH CH PO CO

设AB BC a ，AD 2a ，PO 3a，CO a

MH CH

，∴ MH 3CH 3a a

2 2 2 2 2 2

BH 2

BC 2

CH 2 ，∴ 3CH 2 a 2 CH 2

A(0, a,0) ， B(a, a,0) ，

设平面 MAB 的法向量为 n (0, y,1) ， n MA ay 6

a 0，∴ y 6

22

6

∴ n (0, ,1) ，而平面 ABCD 的法向量为 k (0,0,1)

2

设二面角 M AB D 的大角为(为锐角)

1

∴

cos |cos n , k | | | 1 6

1

20. (12 分)

足 NP 2NM .

(1) 求点 P 的轨迹方程；

设点 Q 在直线 x=-3上，且 OP PQ 1 .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.

解析】( 1)设 P(x,y)，M(x,y)， N(x,0)

NP 2NM

在 Rt △ BCH 中，

∴ CH 2

a ， 2 MH 6

a ，OH a 2

a

22

以 O 为坐标原点， OC 、OD 、OP 分别为、 y 、轴建立空间直角坐标系，

M (a 2 2 a,0, 26

a) ，

MA ( 22

a a, a, 2

6 a)，

AB (a,0,0)

10

。

5

设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C ： 2 x

2

y 2

1上，过 M 做 x 轴的垂线，垂

足为 N ，点 P 满

(x x,y) 2(0, y )

x x 0 即y 2y xx

y y2

代入椭圆方程 x y 2 1，得到 x 2 y 2

2

2

∴点 P 的轨迹方程 x 2

y 2

2 。

①代入得 y 0

∴过 P 且垂直于 OQ 的直线过 C 的左焦点 F 。

21. (12 分)

2

已知函数 f x ax 2

ax xln x ，且 f x 0 。

(1)求； (2)证明：

f x 存在唯一的极大值点 x 0 ，且 e f x 0 2 .

∴过 P 与直线

3

OQ 垂直的直线为： y y 1

x x 1

y

当 x 1 时，

y y 1 y 32

1 x 1

3 3x 1

y

1

y 2 y 2

3x 1 3

y 1 1

y 1 y 2 3x 1 3

y

2

y

2

1

解析】

1) f x 的定义域为 0，+

设 g x = ax - a - lnx ，则 f x = xg x , f x 0 等价于 g x 0

因为 f ' x h x ，所以 x=x 0 是 f(x)的唯一极大值点 由 f ' x 0 0得 ln x 0 2( x 0 1), 故f x 0 =x 0(1 x 0)

1

由 x 0 0,1 得 f ' x 0 <

因为 x=x 0是 f(x)在( 0,1)的最大值点，由 e 1

0,1 ,f ' e 1

0得

f x 0 >f e 1 e 2 所以 e 2< f x 0 <2-2

(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题 计分。

22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 ](10 分)

在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

C 1的极

坐标方程为 cos 4 ．

1)M 为曲线 C 1上的动点， 点 P 在线段 OM 上，且满足 |OM | |OP| 16,求点 P 的

因为 g 1 =0，g x 0, 故g' 1 =0, 而g' x a 1

1

x ,g'1 =a 1, 得 a 若 a=1 ，则 g' x = 1

1 .当 0< x< 1 时，g' x <0, g x 单调递

减；

当 x> 1 时，g' x > 0，g x

单调递增 .所以 x=1 是 g x 的极小值点，故 g x g 1 =0 综上， a=1

1 0 ，所以 h x 在 0,

1

2

又 h e 2 >0, h 1 <0,h 且当 x 0,x 0 时， h x >0 ；当 x x 0,1 时， h x <0 ，当 x

有唯一零点 x 0， 在 1

2

,+ 1,+ 时， h x > 0 .

有唯一零点 1，

直角坐标方程；

（2）设点 A 的极坐标为（2, ），点 B在曲线C2 上，求OAB 面积的最大值．

32

【解析】

（ 2）设点 B 的极坐标为B，B> 0,由题设知

OA =2， B =4cos ,于是△OAB面积

23

=-

12时，

S 取得最大值2+ 3

所以△OAB面积的最大值为2+ 3

23.选修 4-5：不等式选讲］（ 10 分）

33

已知a 0,b 0,a3 b3 2 ，证明：

（1）（a b）（a5 b5） 4；

（ 2）a b 2 ．

【解析】（ 1）

a b a5b5a6ab5a5b b6

3 3 2 3 3

4 4

sin 2 3

3 2

si

n

2

3

S= 1OA

B sin AOB

4 cos

2

2

a 3

b 3 2a 3b 3

ab a 4 b

4

4 ab a 2

b 2

2 3ab a+b

2

3 a+b

2+

4 3

2）因为

3 2 2 3

a 3

3a

2

b 3ab

2

b

3

3 a+b

2

4

3

所以a+b 8 ，因此a+b≤2.