偏微分方程期末复习笔记
《偏微分方程》期末考试复习
一、波动方程（双曲型方程）),(2t x f u a u xx tt =-
（一）初值问题（柯西问题）
1、一维情形?
??
??===-==)
()(),(002x u x u t x f u a u t t t xx tt ψ?
（1）解法（传播波法）：
由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，
（I ）?
????===-==)()(00
02x u x u u a u t t t xx tt ψ? （Ⅱ）???
??===-==00)
,(002t t t xx tt u u t x f u a u
其中，问题（I ）的解由达朗贝尔公式给出：
ξξψ??d a
at x at x t x u at
x at x ?+-+
++-=
)(212
)
()(),(
由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t x W t x u t
?=
);,(),(
其中，);,,,(τt z y x W 是下述初值问题的解：?
??
??===-==)
,(00
2τττx f W W W a W t t t xx tt ，
利用达朗贝尔公式得ξτξτττd f a
t x W t a x t a x ?-+--=)
()(),(21);,(
从而问题（Ⅱ）的解为：
τξτξττd d f a t x u t t a x t a x ??-+--=
0)
()
(),(21),(
综上所述，原初值问题的解为：
τξτξξξψ??ττd d f a d a at x at x t x u t t a x t a x at x at x ???-+--+-++
++-=
0)
()
(),(21)(212
)
()(),(
（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征线：
①依赖区间：点(x , t )的依赖区间为：[x-at , x+at ];
②决定区域：区间],[21x x 的决定区域为：{(x,t )|at x x at x -≤≤+21} ③影响区域：区间],[21x x 的影响区域为：{(x,t )|at x x at x +≤≤-21} ④特征线：at x x ±=0 （3）解的验证：见课本P10, P14
2、三维情形????
???===++-==)
,,(),,()
,,,()(002z y x u z y x u t z y x f u u u a u t t t zz yy xx tt ψ?
（1）解法（球面平均法）：
由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，
（I ）???????===++-==),,(),,(0)(002z y x u z y x u u u u a u t t t zz yy xx tt ψ? （Ⅱ）???????===++-==0
0),,,()(002t t t zz yy xx tt u u t z y x f u u u a u
其中，问题（I ）的解由泊松公式给出：
????+???
???????=M at M at S S dS t a dS t a t t z y x u ψπ?π2241
41),,,(
由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t z y x W t z y x u t
?=
);,,,(),,,(
其中，);,,,(τt z y x W 是下述初值问题的解：????
???===++-==)
,,,(00)(2τττz y x f W W W W W a W t t t zz yy xx tt ，
利用泊松公式得??--=???
???=
M t a S t a r dS r f a t z y x W )
()
(),,,(41);,,,(τττζηξπτ 从而问题（Ⅱ）的解为：
dV r
a r
t f a t z y x u at
r ???
≤-=
)
,,,(41),,,(2
ζηξπ
综上所述，原初值问题的解为：
dV r
a r
t f a dS t a dS t a t t z y x u at
r S S M at M at ???
????≤-++???
???????=)
,,,(41
4141),,,(222ζηξπψπ?π
（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理（无后效现象）：
①依赖区域（球面）：点),,,(000t z y x 的依赖区域为
2
02202020)()()(t a z z y y x x =-+-+-；
②决定区域（锥体）：球面2
02202020)()()(t a z z y y x x =-+-+-决定区域为：
202202020)()()()(t t a z z y y x x -≤-+-+- )(0t t ≤；
③影响区域（锥面）：点)0,,,(000z y x 的影响区域为：
22202020)()()(t a z z y y x x =-+-+- )0(>t
④特征锥：202202020)()()()(t t a z z y y x x -=-+-+-
惠更斯原理（无后效现象）见课本P35
（3）解的验证：见课本P29, P32
3、二维情形????
???===+-==)
,(),(),,()(002y x u y x u t y x f u u a u t t t yy xx tt ψ?
（1）解法（降维法）：
由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，
（I ）???????===+-==),(),(0)(002y x u y x u u u a u t t t yy xx tt ψ? （Ⅱ）???????===+-==0
0),,()(002t t t yy xx tt u u t y x f u u a u
其中，问题（I ）的解由二维泊松公式给出：
???
?????----+----??=????∑∑M at M at d d y x at d d y x at t a t y x u ηξηξηξψηξηξηξ?π222222)()()(),()()()(),(21),,( 由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t y x W t y x u t
?=
);,,(),,(
其中，);,,(τt y x W 是下述初值问题的解：????
???===+-==),,(00
)(2τττy x f W W W W a W t t t yy xx tt ，
利用泊松公式得??∑-=????
??
??
???
?
-----=M r d d y x r a r t f a t y x W t a r ηξηξηξπττ)
(222)()(),,(21);,,( 从而问题（Ⅱ）的解为：
???∑-=????
??
??
???
?
-----=at t a r M r d d y x r a r t f a t y x u 0)
(2222)()()
,,(21),,(ηξηξηξπτ
综上所述，原初值问题的解为：
???????∑-=∑∑??????
??????-----+??
??????----+----??=at t a r M
r M at M at d d y x r a r t f a d d y x at d d y x at t a t y x u 0)
(2222222222)()(),,(21)()()()
,()()()(),(21),,(ηξηξηξπηξηξηξψηξηξηξ?πτ
（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、后效现象：
①依赖区域（圆饼）：点),,(00t y x 的依赖区域为
2
022020)()(t a y y x x ≤-+-；
②决定区域（锥体）：圆饼2
022020)()(t a y y x x ≤-+-决定区域为：
2022020)()()(t t a y y x x -≤-+- )(0t t ≤；
③影响区域（锥体）：点)0,,(00y x 的影响区域为：
222020)()(t a y y x x ≤-+- )0(>t
④特征锥：2022020)()()(t t a y y x x -=-+-
后效现象见课本P35、36
（3）解的验证：课本没有，有兴趣的童鞋自己动手丰衣足食。
（二）初边值问题?????
??=====-====0
)()
(),(0
02l x x t t t xx tt u u x u x u t x f u a u ψ?
（1）解法（分离变量法）：
由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，
（I ）???????=====-====0)()(00002l x x t t t xx tt u u x u x u u a u ψ? （Ⅱ）???????=====-====000),(0
002l x x t t t xx tt u u u u t x f u a u
用分离变量法（过程请脑内补完）得到（I ）的解为：
x l k t l a k B t l a k A t x u k k k πππsin sin cos ),(1∑∞
=??? ?
?
+=
其中???
????
==??ξξπ
ξψπξξπξ?d l k a k B d l k l A l k l k sin )(2sin )(200 用齐次化原理得到（Ⅱ）的解：
x l
k d t l a k B t x u k t
k π
ττπτsin )(sin
)(),(1
?-=∑?∞
= 从而原初边值问题的解为：
x l k d t l a k B x l k t l a k B t l a k A t x u k t k k k k πττπτπππsin )(sin )(sin sin cos ),(1
01?-+??? ??
+=∑?∑∞=∞
=
注：非齐次边界条件的情形见课本P21、22
（2）解的验证、相容性条件（见课本P19）
相容性条件：函数2
3
)(,)(C x C x ∈∈ψ?，并且0)()0()(")0(")()0(======l l l ψψ????
二、热传导方程（抛物型方程）),(2t x f u a u xx t =-