分式方程的概念,解法及应用

分式方程的解法及应用

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

● 分式方程的概念以及解法；

● 分式方程产生增根的原因；

● 分式方程的应用题。

重点难点：

● 重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量

关系．

● 难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析．

学习策略：

● 经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培

养数学的应用意识。

二、学习与应用

（一）什么叫方程？什么叫方程的解？

答：含有 的 叫做方程．

使方程两边相等的 的值，叫做方程的解．

（二）分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘（或除以）同一个 ，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质．用式子表示是：

M

B M A B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=,（其中M 是不等于0的整式）． “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（三）等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或（除数不能为0），所得的结果仍是等式。（四）解下列方程：（1）9－3x＝5x＋5；

（2）

5

2

2

2

1+

-

=

-

-

y

y

y

知识点一：分式方程的定义

里含有未知数的方程叫分式方程。

要点诠释：

（1）分式方程的三个重要特征：①是；②含有；③分母里含

有。

（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有（不是一般

的字母系数），分母中含有未知数的方程是，不含有未知数的方程是

方程，如：关于x的方程x

x

=

-2

1

和

1

2

7

2

3

+

=

-x

x

都是方程，而关于x的

方程x

x

a

=

-2

1

和d

c

b

x

=

+

1

都是方程。

知识点二：分式方程的解法

（一）解分式方程的基本思想

把分式方程化为方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分

母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。

（二）解分式方程的一般方法和步骤

（1），即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。

（2）解这个方程。

（3）：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是

原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的。

注：分式方程必须；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，

但增根不适合原方程，可使原方程的 为零。

（三）增根的产生的原因：

对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未

知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着 不为零的条件。

当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范

围 了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那

么就会出现增根。

知识点三：分式方程的应用

分式方程的应用主要就是 ，它与学习一元一次方程时列方程解应用题

的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。

一般地，列分式方程（组）解应用题的一般步骤：

（1） 题意；

（2）设 ；

（3）根据题意找 关系，列出分式方程；

（4）解分式方程，并验根；

（5）检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案．

知识点四：常见的实际问题中等量关系

（一）工程问题

（1）工作量＝ ×工作时间，_ _ _ _工作效率＝工作时间，

工作量_ _ _ _ _ ＝工作效率

；

（2）完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．

（二）营销问题

（1）商品利润＝商品 一商品 ；

（2）100% _ _ _ _ _商品利润率＝_ _ _ _ _ _

；

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量；

（4）商品的销售利润＝（销售价一成本价）× ．

（三）行程问题

（1）路程＝ ×时间，_ _ _ _ _速度＝时间，路程_ _ _ _ _＝速度

；

（2）在航行问题中，其中数量关系是：

顺水速度＝＋水流速度，逆水速度＝静水速度－；

（3）航空问题类似于航行问题．

类型一：分式方程的定义

例1．下列各式中，是分式方程的是（）

A．5

x y

+=B．22

53

x y z

+-

=C．

1

x

D.0

5

y

x

=

+

思路点拨：要逐个检查是否符合分式方程的三个特征：A．5

x y

+=因为方程里没有

，所以分式方程；B．22

53

x y z

+-

=虽然有分母，但是分母里没有，所以分式方程；C．

1

x

没有，所以不是，

它只是一个；D．0

5

y

x

=

+

具备分式方程的三个特征，是。总结升华：

举一反三：

【变式】方程32

x x

a b

-=-中，x为未知量，a，b为已知数，且a b

≠，则这个方程（）

A．分式方程B．一元一次方程

C．二元一次方程D．三元一次方程

类型二：分式方程解的概念

例2．请选择一组,a b的值，写出一个关于x的形如b

x

a

=

-2

的分式方程，使它的解是x＝0这样的分式方程可以是.

思路点拨：分式方程是中含有的，能够使分式方程