几何产品造型设计

c
P
7
按投射线与投影面的倾角不同，平行投影可分为：
斜投影（斜角投影）—投射线不垂直于投影面 正投影（直角投影）—投射线垂直于投影面
工程中常用的投影图：
正投影图—机械工程中应用最广泛的一种投影图。
轴测投影图—是按平行投影法绘制的。优点是立体感强， 易于看懂；缺点是度量性不够理想，作图较麻烦。
透视投影图—是按中心投影法绘制的。画图时，常使画面 位于物体和观察者之间，观察者通过画面“视”物体而画 出图形。优点是形象逼真，缺点是度量性差，作图复杂。
l’
a’ c'
c” b”
a”
a’
b’
X
O
X
b c
O
YW
b
a
l
k
a
YH
对于侧平线，有两种判断方法：利用侧投影；利用比例法。
35
五．空间两直线的相对位置
1、两直线平行
若空间两直线平行，则它们的同名投影必然平行。反之， 如果两直线的各个同名投影相互平行，则这两直线在空间 也一定平行。 b' a'
A B c' C
30
正平线：
c’
d’
Z
d”
V
C YW

D C D
X
c
d
c”
W
O
YH
H
侧平线：
c’
d’
Z
c”

d”
X
O
c
d
YW
YH
31
3．一般位置直线的投影
直线与三个投影面都倾斜，这样的直线称为一般位置直线。
E
F P e f
32
以一般位置直线 HG 为例，讨论其投影特性： Z V g” g’ g'
h’ ?
3
空间几何元素 投射中心 S
投射线 s
a
投影
A
b
B C
投影条件及标注：
• • • • 投射线（s） 空间几何元素（大写 A、B、C…） 投影面（大写 P、V、H、W…） 投影（小写a、b 、c …）
c
投影面
P
4
二. 投影的分类
根据投射线交于一点还是相互平行，可将投影法分为 中心投影法和平行投影法。 用上述两种方法画出的投影图分别称为中心投影图和 平行投影图。
YH
分析： 点 B在点 A 的正下方 5 mm， 即点 B（12，8，5）。
a ≡b
21
三．重影点及可见性
当空间两点处在对某投影面的 同一条投影线上时，它们在该 投影面上的投影重合，这两点 称为对该投影面的重影点。 点A、B为H面的重影点。
a'
b' X
Z
az
O
a”
b” YW
ax
aYW aYH
YH
a≡(b b)
Z V
a'
ax az
W
a”
旋转90° • W面绕OZ轴向 X 右 旋转90° ③最后擦去边框， H 得到三面投影图。
O
aYW
YW
a
aYH
YH
16
点在三投影面体系中的投影规律：
① a’a OX，a’a” OZ
② aax=a”az ③ 设空间点A的坐标为
a'
Z
az a”
A(x,y,z)，则 a’ax = a’’aYW = Aa = z 坐标 (点A与H的距离) aax = a’’az = Aa’ = y 坐标 (点A与V的距离) aaYH =a’az = Aa” = x 坐标 (点A与W的距离)
4 点、直线和平面的投影
4.0 4.1 4.2 4.3 投影法 点的投影 直线的投影 平面的投影
1
4.0 投影法
2
一. 基本概念
投影法：对影子和物体之间的几何关系进行科学研究和 抽象，形成的在投影平面上表示空间物体的方法，称为 投影法。
在研究物体的投影时，把影子投落的平面称为投影面，
把光线或视线称为投射线。投射线、被投影的物体和投 影面，是形成投影必备的3个条件，也称投影三要素。
• 平面倾斜于投影面： 平面在该投影面上的投影为类似形。
47
2.平面在三投影面体系中的投影特性
①投影面平行面的投影
平行于某一个投影面的平面 — 投影面平行面。 例：(以正平面为例) • 平面平行于V—正平面 • 平面平行于H—水平面 • 平面平行于W—侧平面
a’
Z c' X b’ O
a”
c” b” YW
（2）点的另一个投影与其本身重合。
14
3.点的三面投影
①直观图
OZ轴
直观图展平方式 Z
.
正立投影面 正面投影
OX轴
.
V
a' ax
侧立投影面
az
A
X 空间“点” 水平投影面 水平投影
O
a”
W W绕OZ旋转 侧面投影
H H绕OX旋转 OY轴
a
aY
.
Y
15
②直观图展平 • V面与画面重 合 • H面绕OX轴向 下
可见性
在投影图中，对H面的重影点，上者为可见点； 对V面的重影点，前者为可见点； 对W面的重影点，左者为可见点。
表示方法
不可见点的投影加圆括号表示。
22
4.2 直线的投影
23
一．直线在单一投影面上的投影
A C E
D
B P
a≡ b
F
P c d
P
e
f
• 直线垂直于投影面：直线在该投影面上的投影积聚为点 • 直线平行于投影面：直线在该投影面上的投影反映实长 • 直线倾斜于投影面：直线在该投影面上的投影缩短
③ ab⊥OX, a”b”⊥OZ ④ = 90°、 = = 0°
27
铅垂线：
Z
a'
b'
a”
b”
V
A YW
B W A B
X
a≡ b
O YH Z
H
侧垂线：
a'
b'
投影特性：
a"≡b"
X
a b
O
YW
YH
投影面垂直线在所垂直 的投影面上的投影积聚 为一点；另外两个投影 反映实长，且垂直于相 应的轴。
24
二．直线在三投影面体系中的投影
直线与投影面夹角的规定名称
相对于投影面名称 H V W
规定夹角的名称



直线在三投影面体系中的相对位置：
投影面垂直线 投影面平行线 一般位置直线
25
1．投影面垂直线的投影
在三投影面体系中，当直线垂直于某一个投影面时，则必 同时平行于另两个投影面，这样的直线称为投影面垂直线。 A
3
d b
c
(2) 2 4 1≡
39
六．直线的迹点
直线（或其延长线）与投影面的交点，称为该直线的迹点。 迹点既在直线上（或延长线上），又在投影面上。 规定： 直线与 H 面的交点—水平迹点（M） 直线与 V 面的交点—正面迹点（N） 直线与 W 面的交点—侧面迹点（S） 因为迹点是投影面上的点， 所以，迹点的一个投影必 在投影轴上！
Z PZ PV X PX PH PYH Y
H
V
PW O
PZ
PYW Y
W
PV PX PH H
W P
PW
PY
43
2.迹线表示
Z
V
O
QV
X
QW QY
W
YW
QV
Q W
QX
QH
QY
H
QX
YH
QW QH H QY
44
2.迹线表示
Z
V
RW
O YW
X
R
RW
RH RYH
YH
W
RH H
RY
45
3.无轴投影
只强调形状、大小，不考虑其相对于投影面的位置。 作图时，利用几何元素之间的相互位置关系。
a’
n’≡ N
b’
X
m’
b
n
O
m≡M
a
40
4.3 平面的投影
41
一. 平面的表示方法
1.几何元素表示
P
A C
B •不共线的三点 •线及线外一点
a'
D
•两平行线
•两相交直线 •任意平面图形
b'
c'
X
b
d' d' d d c a
O
42
2.迹线表示
迹线：平面与投影面的交线。 规定：正面、水平、侧面迹线分别用PV、PH、PW表示。
c' a'
A
k'
C
K
b' d'
D B
c' a'
k'
a
d
a b
c k
d
b
c
k
38
3、两直线交叉 虽然两交叉直线在空间没有交点，但它们的同名投影却可 能相交，但各个投影的交点不符合空间一点的投影规律。 b' c' a'
A C
c'
B D
4'(3') 4' ≡3' 1' 2'
b'
d’
d'
a'
a
a c
d b
X B V
a'
ax b'
c
a'
b' b
ax
c' d
O
d'
a
A b O H H绕OX旋转
a
X
G
13
点在两投影面体系中的投影规律：
1、点的正面投影在OX轴上方（或下方）时，表示空间 该点在H面的上方（或下方）； 2、点的水平投影在OX轴下方（或上方）时，表示空间 该点在V面的前方（或后方）； 3、当点位于投影面内时， （1）点的一个投影落在OX轴上；
X
ax
O
aYW
YW
a
aYH
YH
17
4.点的二求三
已知点的两个投影，利用点的三面投影规律求其第三个投影。 Z
a' az a”
X
O
ax
YW
a
YH
18
5.根据点的空间坐标做其投影图
已知空间点A的坐标为(50,30,40)，求其三面投影图。 Z
a'
40
az
a”
X
ax
30
50
O
YW
a
YH
19
二．两点间的相对位置
CD ∥ H，与 V、W 倾斜。
c”
V
X
d
O

YW
d'
c'
D

d”
W
c”
C
d
c
YH
H
c
投影特性： ① cd = CD = LCD ③ c’d’ < CD , c”d ” < CD 投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映实长、反映与另外两 ② c’d’∥OX , c”d ”∥OYW ④ = 0°， 0°< 、 < 90° 个投影面的夹角实际大小；另两个投影平行于相应的轴，且缩短。
8
4.1 点的投影
9
一．点的投影图
1.点在一个投影面的投影
A→a 反过来，就无法实现 a → A ！ P
a
A
A1 A2
因此，工程上一般需采用多个相互正交的投影面组成投影 面体系，用多个投影来表示空间几何元素的位置和形状。
10
2.点的两面投影
由V面和H面组成的投影体系称为两投影面体系。 将物体置于第一分角内，使其处于观察者和投影 面之间而得到的正投影，称为第一角投影。
h”
h’
G

g”
X
g
?
h
O
YW
W
h”
H
g
?
H
YH
h
投影特性： 三个投影均与轴倾斜、投影缩短，与三个投影面的夹角 都不反映实际大小。
33
三．线段的实长及其与投影面的夹角
例：求线段HG的实长及 其与投影面V的夹角。
g'
h’
V
h’
g'
△ZGH
G

g”
GV
.

GH
.
.
W
h”
H X O
g
GW
g
h
△YGH
例： 完成△ABC 的侧面投影。
wk.baidu.coma’
c' b’ b”
a”
c”
b
a
c
注意： • 几何元素间的 方位关系 • 几何元素间的 度量关系
46
二. 平面的投影特性
1.平面在单一投影面上的投影特性 • 平面垂直于投影面： 平面在该投影面上的投影积聚为直线；
• 平面平行于投影面： 平面在该投影面上的投影反映实形；
Z
a' b' a”
b”
X、Y、Z值大者: 为左、前、上方
YW 点B在点A的左、 前、下方。
X
a b
x
O y YH
z
20
例：已知点 A (12，8，10)， 点 B在点 A 的下方 5 mm、 左 0 mm、前 0 mm，试完 成点 B 的投影。
X
Z
a'
b' 5 O
az
a”
b” YW
ax
aYW aYH
5
中心投影法
s
a d b
A
S
B E
D
C
c
e
1．优点 ：实体感强、逼真； 2．缺点： 一般情况下，投影不反映物体的真 实大小，度量性不好，无等比性，无平行性。
P
6
平行投影法
• 空间AB∥DE,投影ab∥de • AD/DC = ad/dc
s s a a d b e b c e
A
S B E
D
C 若将投射中心“S” 向左移至无穷远处 优点：具有平行性、等比性、实形性 （当空间的面、线与投影面平行时）。 缺点：立体感差。
共有三种投影面垂直线：
直线⊥投影面 V：正垂线 直线⊥投影面 H：铅垂线 直线⊥投影面 W：侧垂线 P
a≡ b
B
26
以正垂线 AB 为例，讨论其投影特性：
Z
a’ ≡b’
b”
∵ AB ⊥ V，∴ AB∥H，AB∥W。
a”
V YW
a'≡b'
b”
X
b
O
B
A
b
W
a”
a
YH
H
a
① a’ ≡b’ ② ab =a”b” =AB = LAB
H
△YGH
h
△XGH
△YGH .
LGH

g’h'
求线段HG的实长可利用GHGH、GHGV、 GHGW 任一个直角三角形；而夹角、 、 则分别在不同的三角形中。
34
四．属于直线的点
属于直线的点，其投影必在该直线的同名投影上，且将该直 线的各投影分割成和空间相同的比例。 （用图解法） Z b’
k’
28
2．投影面平行线的投影
在三投影面体系中，当直线平行于某一个投影面，同时与 另两个投影面倾斜，这样的直线称为投影面平行线。 共有三种投影面平行线： 直线∥投影面 V：正平线 直线∥投影面 H：水平线 直线∥投影面 W：侧平线 C D
P c
d
29
以水平线 CD 为例，讨论其投影特性： Z
d’
c’ d”
d’
D
a b
c
d
36
注意：若空间两直线 是一般位置直线，只 要其任意两对同名投 影相互平行，就能判 定这两条直线在空间 相互平行。但如果是 投影面平行线，则需 要做出第三个投影。 直线EF和GH不平行
Z
e' g' g"
e"
f'
f"
X
f
h'
g
h"
O
YW
e
h
YH
37
2、两直线相交 若空间两直线相交，则它们的同名投影也一定相交，并且 交点符合空间一点的投影规律。 b' d’
正立投影面 正面投影 投影轴
V
a'
第一分角 A O H a H绕OX旋转
X 空间“点”
水平投影面 水平投影
ax
11
A点的正投影图
V
a' a'
X
ax
简化
O
X
ax
O
H
a
a
投影特性：
① a’a OX
② a’ax = Aa (点A与H的距离)
aax = Aa’ (点A与V的距离)
12
点在两投影面体系中的投影规律：