《数学模型(第三版)》学习笔记

写在开始

---小康社会欢迎您今天第一次归纳、复习,整理思路重点,从最后两

章(除了“其她模型”)开始,想可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识得理解与掌握还有很大差距,自己也就是自学瞧书,非常希望各位提出宝贵意见,

内容、学习方法经验上得都就是、整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展,总

结起来有一下几个特点: (一) “实际—>模型”得建模过程很关键,本书得模型

很多虽然所谓“简单”、“假设多”,但简化分析中,还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙得建模、假设了;

(二) 模型求解之后得处理,许多地方似乎求解完毕可以结束,但却都未戛然而止,而就是进一步“结果分析”、“解释”,目得不一,要瞧进程而定,有得促进了模型得改进,有得对数学结果做出了现实对应得解释(这一点建模过程中也经常做,就就是做几步解释一下实际意义),也还有纯数学分析得,这些都就是很重要得,在我瞧来,这本书中得许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始,前面得求解似乎就是家常便饭了;

(三) 用各种各样得数学工具、技巧、思想来建模得过程,这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础得重要性,同时书中也设计到了一些(虽就是浅浅涉及)新得数学知识与技巧,许多我在读得过程中只就是试图了解这个思想,而推导过程未能花很多时间琢磨,但即便如此,还就是让我得数学知识有了很大得拓展

(作为工科专业学生)。

从上周六继续自学《数学模型》开始一周,比预期得时间长了许多,但就是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书得内容。最近学习任务比较多,所以两天前快瞧完时到现在一直未能做个小结,从今天起每天做2章得小结,既就是复习总结重点,也就是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有

限。

也可以作为未读过、准备读这本书得同学得参考

——Tony Sun July

2012, TJU

(目前已更新:全12章)

第1章建立数学模型

关键词:数学模型意义特点

第1章就是引入得一章,对数学模型得意义来源,做了很好得解释。其实数学模型也就是模型得一种,就是我们用来研究问题、做实验得工具之一,只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常,数学模型有严谨得特点,而且我们可以根据建模实际需要改变模型,成本也比较低;同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好得效果。

椅子在不平得地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉得例子,用简单得数学进行描

述、建模分析,给数学模型一个最好得诠释:用数学语言描述事物、现象——往往增添了说服力。

第2章初等模型

关键词:初等数学简化技巧思想

这一章顾名思义,就是一些用“初等”数学知识建立、求解得模型,虽然数学知识比较易懂,但就是其中得巧妙思想确实十分重要得。

如何把问题做恰当得简化,到简单得数学工具能够表示、求解得程度,本章做出了很好得例子,同时分析也很精彩。

2、1节公平席位分配,通过定义不公平程度等衡量标准,确立目标,提出Q值法。有意思得就是,在考虑就是否存在一个理论上公平得分配方法时,根据所提出得4个(毋庸置疑得)公理,得出得结论却就是:不存在满足上述公理得分配方法。这种类似情况在本书中后面得例子也出现过。这给我们什么启示呢？有些问题与工作,比如公平席位得分配,日常中就是一定要做得,就算不能达到绝对公平也要分配,但一旦证明不存在理论上公平得分配方法时,我们还有分配得意义吗？答案不一;在这个例子中,固然就是有意义得,我们自然转而寻求一个相对公平得分配方法,抑或,就就是回溯查瞧提出得“公理”就是不就是那么得“公理”,瞧能否通过删改公理来取得更公平方案。

录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型,均就是用日常现象、基础得物理知识与巧妙简化

进行得建模分析,这里每个例子中得分析,求解后得解释很重要——它们就是整个模型得关键,阐述现象。

2、7 实物交换——就是后面经济学模型得雏形,无差别曲线得图形方法,确定这种曲线实际中要收集大量得数据;核军备竞赛一节,也就是一个动态得变化过程,基本全就是用曲线进行分析得——这里给我们一个思想,得出表达式后,许多时候我们只关注曲线得形状、趋势,因此作图分析就是很好得方法,图中可以给我们很多信息(交点,截距,极限值……),而这些信息都一一对应着它们得实际意义;有些即使没有明显得含义,但也很可能为接下来得铺垫、预测作下铺垫。

2、10 量纲分析与无量纲化——就是另一种重要得求解方法,大致来说思想就就是:仅知道变量之间得制约关系(正/负相关),系数、阶数均未知,即只能得出表达式得“形式”,要我们通过“量纲齐次性”(等式两端必须保持量纲得一致)来确定具体得表达式。这就是与按理论推导建模并列得另一种方法,这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法得强大。关键:恰当地选择特征尺度,不仅可以减少独立参数得个数,还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识与经验就是关键。

第2章小结:

本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”,10节涉及了不同类型得问题、数学方法,很多都就是本书后面章节模型得雏形、基础。

第3章简单得优化模型

关键词:简单优化微分法建模思想

本章与第4章连续两章都就是优化、规划得问题,可以瞧成一类问题——内容上也就是由简单到复杂。在第3章中,主要就是几个简单得优化模型,可以归结到函数极值问题来求解,直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒,但就是还就是那句——建模,求解之后结果分析、结果解释得思想,就是我们要学习与引入脑中得。

3、1 存贮模型

分不允许、允许缺货两种讨论,中间推出一个最小费用得结果——经济订货批量公式EOQ。对存贮量函数q(t)作图,观察规律,对结果解释。

3、2 生猪出售时机

关键点在于敏感性分析与强健性分析——这对于优化模型就是否实用、有效就是很重要得。

3、3 森林救火

亮点就是对火势蔓延程度dB/dt得形式作出得数条假设,以及假设对应得实际解释。只要合理、自圆其说,就就是一个好得对实际问题得简化。

3、4 最优价格

主要就是引出边际收入、编辑支出,以及经济学一条著名定律——最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。

3、5 血管分支

就是很有趣得一节,用数学模型研究生理问题,

我们还就是只关注建模、数学得层面,而对于血管系

统几何形状等生理学知识不讨论过多,用合理有力得

假设代之。

3、6 消费者得选择

一个消费者买两种产品时,钱应该如何分配。

分配比例使她得到最大得满意度得最优比例乘务消费者均衡,而建立消费者均衡模型得关键在于确定效用

函数U(q1,q1)。

3、7 冰山运输

也就是很有趣得问题,考虑各种因素,基于一些假设,这节研究怎样运输冰山使费用最小。其中用实

际数据建立了经验公式,二就是假设冰山为球形,简化了融化规律等得计算。

第4章数学规划模型

关键词:数学规划方法 lingo/lindo软件结果深入

分析变量个数

约束条件、可行域、目标函数,构成了常说得“数学规划”模型。本章揭示了数学规划得本质,与

它与传统优化数学问题得区别:常理优化模型属于函

数极值问题得范畴,但实际中更多得就是决策变量数、约束个数较大,且最优解往往在边界上取得得问题,因此不能用传统得“微分法”求解——因此要引入“数学规划”方法。

这一章内容不少,但都就是一类问题,主要点有几个:

1、 lingo、lindo求解得使用——运行结果中还有

一些平时未留意得信息,可以作为结果分析来用,前两节叙述较多;

2、一些细节之处:把一句话用数学公式表达,它往往作为约束条件,如p102得式(19);

3、多目标规划得处理,p109得“选课策略”——基

本思想就是通过加权组合形成一个新得目标,从而化

为单目标规划;

4、同前面章节一样地,对一个问题解出结果后,问题虽然解决了,但分析并没有结束——我们要学习这种further discussion得精神,发现这个结果“恰与…

相同…”之类得,不妨多问自己一句:“这就是偶然得吗？”然后继续分析,得出一般得结论,这样往往能瞧到更多得风景,得出得结论更有含金量/启发性,而不

就是仅仅就是解决了该个问题而已。如p109选课策略。

5、减少变量个数,简化模型、式子(简化起见,同时lingo对变量个数有限制),p115销售得例子。

6、求最优解时,为了减少搜索范围,加快速度,可以

先去一个特殊情况求出一个可行解,然后让最优解至

少优于它。

第5章微分方程模型

关键词:动态模型合理假设分析预测控制

这一章就是非常经典得一章,对微分方程模型

作了很好得诠释、介绍,每一个模型都有丰富得价值。对于随时间连续变化得对象或状态,当我们要 1)分析

变化规律;2)预测;3)研究如何控制它得时候,就要建立相应得微分方程模型。

自然地,这样得模型功能非常强大,也具有一般性,也自然地需要在简化假设上动脑筋——如何用数学语言能表述得东西来刻画一个实际动态过程。一个方程,有时就表示着一件事,这件事有可能还持续几十年——多么有趣而强大。

5、1 传染病模型

本节就是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题得典例,模型分三部分层层递进:SI(只分为易感染着、已感染者),SIS(已感染者可以被治愈,重新变为易感染者),SIR(治愈后具免疫力,即增加了“移出者”)。可以说从基础模型到一步步递进,就是对实际传染病情况得逐渐深入、全面得考虑,而其中得分析十分重要,也就是本章分析得最细得章节。其中引入了“相轨线”分析法,就是很有力得工具,后面多次用到,这一节有很详细得介绍。

模型改进、建模目得性、方法三者配合,就是本节亮点。

5、2 经济增长模型

通过建立产值与1)资金;2)劳动力之间得关系,来研究1)资金与劳动力得最佳分配,使效益最大;2)

如何调节资金、劳动力增长率,使劳动生产率有效增长。

本模型虽然不长,但推导出计量经济学一重要模型——Douglas生产函数。本节给出得模型推导稍繁,但结果简明,有合理解释。

5、3 正规战与游击战

这一节介绍了历史上用过得、经典得预测战争结局得数学模型,有传统正规战争、稍复杂得游击战,以及混合战。重点在于建模过程:如何描述战争双方

得特性,如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这

节很好地体现了微分方程得强大。

5、4 药物在体内得分布与排除

本节建立了房室模型,研究血药浓度得变化过程,为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点

在于1)模型得假设:尽管就是简化,但由临床试验证

明就是正确得,可以接受;2)对参数得估计。

先由机理分析确定方程形式,再由测试数据估计参数。

5、5 香烟过滤嘴得作用

瞧起来不易下手得一个问题,用恰当得假设,引入两个基本函数q,w,及物理学常用得守恒定律,建立

出微分方程模型,从而构造动态模型。本例就是经典

得建模案例。

5、6 人口得预测与控制

本节模型与之前得区别在于:考虑年龄得分布,即除了时间外,年龄就是另一个自变量。过程中重要

得就是数学公式中,系数、因子得实际含义要解释。5、7 烟雾得扩散与消失

这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标,

不仅帮助建模,而且该指标本身就是客观存在得,并非虚构,这样更加有说服力。

5、8 万有引力定律得发现

十分有意义得一节。我们初中就熟悉得牛顿万有引力定律,就是由开普勒第三定律与牛顿第二定律

一同推导出得,这一节再现了这个推导过程。这个模

型告诉我们:正确假设+用数学演绎建模=对自然科学

研究得巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法,来提升我们解决实际问题得能力。

第6章稳定性模型

关键词:稳定性理论建而不解平衡状态趋势相轨

线

本章就是建立在上一章得基础上,在微分方程

基础上引入得一种重要思想/概念,那就就是——对于某些问题,我们可能不关注动态过程得每个瞬时状态,而就是研究稳定状态得特征,特别就是时间充分长以

后得状态/趋势,从而判断就是否“稳定”。这时我们往往不需要“求解”微分方程(组),即“建而不解”;而就是利用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。

*6、6 微分方程稳定性理论简介

这一节应为优先阅读得一节,介绍了如何判断一阶、二阶方程得平衡点与稳定性。数学推导稍复杂(对于未接触过得同学),重要在于了解一些概念、结论,在模型实例中来进一步理解。

6、1 捕鱼业得持续收获

研究捕鱼业产量、效益与捕捞过度问题,如何

捕捞能获得最大收益。这个问题虽然瞧似只需要给出一个“捕捞量”得答案就可以了,但就是模型整个过

程分析中还就是得出了许多结论,如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。在稳定得前提下步步深入。

6、2 军备竞赛

这个问题在第二章初等模型中就出现过,这里用微分方程稳定性得知识来分析。正如本节引言所说,军备竞赛因素很多,无法圆满描述,只就是想告诉我们:一个复杂实际过程可以被合理简化到什么程度,得到得结果又怎样解释实际现象。

6、3 种群得相互竞争 6、4 种群得相互依存 6、5 食饵-捕食者模型

这三节作为一个系列,用种群竞争、依存、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型得应用。其中,相轨线分析法再次成为主角,它得意义在于:从图中曲线上直观地瞧出发展趋势,且特殊点对应得意义作出解释。

第7章差分方程模型

关键词:差分方程稳定性离散时段差分阻滞增长

混沌

将时间离散化后,就可以建立与微分方程相对应得差分方程模型。这章与第8章讨论得就是确定性离散模型。实际上有些问题既可以用连续,又可以用离散,要瞧目得而定。离散得一个优势在于,便于计算机求解。

7、5 差分方程简介:介绍差分方程稳定性得知识,判别稳定得条件。本章要用到得知识。

7、1 市场经济中得蛛网模型

先用图形法建立市场经济得“蛛网模型”,给

出趋于稳定得条件,再用差分方程建模,解释结果。本节开头得“问题前瞻、介绍”部分很经典,可作为建

模论文写作得参考。

本节最后对结果得解释也非常值得学习:启示

我们,一些数学结果如参数前后得变大/变小,可能意

味着什么,我们不要轻易放过,而就是要时刻不忘解释相对应得原因。

7、2 减肥计划——节食与运动

这就是一个很生活得问题,主要讨论如何把一

个“超重”得人减到目标得正常范围内(均以WTO颁

布得体重指数BMI衡量)。

我认为这个模型得两点仍然在建模本身:及如

何将减肥计划中“减肥”这一件事量化,用数学得语

言可以表达,写出差分方程。其中p208得“基本方程”式(1)就是整个模型得基石,有了此式后面得工作就可以往上搭建了。注意到,式(1)其实就是一个“建而不解”得方程。

但正如节末评注中所述,实际参数得设置会更

复杂,代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异,

所以要有更多核对。但我们先要学习得还就是建模这一步。

7、3 差分形式得阻滞增长模型

此节就是与之前用微分方程Logistic规律描

述得“阻滞增长”规律最好得对比。有时,用离散化

得时间研究比较方便,本节就是很好得参考。(按:本

人曾经做过用差分方程加修正,描述人数传播问题,个人认为很多情况用差分方程更好,也更“诚实”些,因为我们也只就是想要每个时段得数量)

要注意得就是:若用离散描述,需要说明各“时段”指代意义。推出p211得式(6)后,这个一阶分线

性差分方程,也就是“建而不解”,但注意:此处“不解”就是指不需求通项公式,但各项得值仍要计算——用计算机递推可方便得到。我们最关心得往往就是

k趋向无穷时,y/x收敛情况,即平衡点稳定性得问题。这里微分、差分方程判别上有区别。

P212中,通过深入讨论与213页得数据表发现,不同得参数b下收敛情况不一,然后发现了“倍周期

收敛”得规律,即存在多个收敛得子序列。然后发现

当n区域无穷时,不在存在任何倍周期收敛,出现混沌现象(Chaos)。

混沌得特点为对初值极度敏感,这一点在物理课中老师也提到过,许多非线性方程均就是如此,即“差之毫厘,失之千里”,蝴蝶效应。

7、4 按年龄分组得种群增长

这个模型得主要区别在于:将种群分成n个年

龄组,分析各年龄组对种群总量增减得影响。这一节

得数学推导稍繁。

第8章离散模型

关键词:层次分析排名次冲量过程“分赃” 群体

决策

(本章就是确定性离散模型得应用、方法)

8、1 层次分析模型

社会经济系统分析工具。排名、评分评价,排

等级都可以用层次分析模型解决,数学知识虽然不深,但就是思想十分巧妙且合理,可扩展性也很好。关键

在于1)“成对比较矩阵”得确定及修正,2)特征根法

求权向量得原理(重要),3)1-9比较尺度(Satty等人

提出),4)一致性检验。

8、2 循环比赛得名次

这节也就是对一些排名评价“难题”给出一种经典解法:邻接矩阵+得分向量。转化为计算各级得分向量s、A最大特征根&对应特征向量s。按常理一般

只会想到基于原邻接矩阵得1级得分向量,若比不出

则停滞了;但若将i级乘回邻接矩阵,可以“发展”到

i+1级得分向量——这个思想就是本模型得关键,而

且简单易用易理解。

对于所谓得“下一级”得分向量定义得原理依据,或实际意义,就是此思想得关键,我觉得可以接受,瞧上去很有道理,但未想出具体得解释,这里欢迎指教、讨论。(p246)

8、3 社会经济系统得冲量过程

区别于机理分析、统计分析,冲量过程与层次

分析属于“系统分析”,就是近20年来发展起来得解决复杂系统得有力工具。

这节模型研究能源系统中,各个因素得趋势、

预测问题。主要工具有:带符号加权得有向图,冲量过程(类比物理“冲量“概念)。其目得无非就是研究系统得“稳定性”,以及如何“调整”到稳定。这就是

实际问题关注得。

8、4 效益得合理分配

几方(大于3方)合作,已知不同子组合可获得

不同收益,那么一起合作后,谁得功劳最大？也就就是

说,干完活后,如何“分赃”——这里就是理性得、用数学推理得公平得“分赃”。

本节介绍了3类方法:Shapley值,协商解等,Raiffa 解。最后用一个3方分配例子对比了这3种方法。3

种方法特点在p262。就是客观求各因素权重得有力

途径。

8、5 存在公正得选举规则吗

这一节类似第2章得“公平席位”。主要讨论得就是“群体决策”这一类问题。

首先就是简单得选举规则。

接着介绍Arrow K得工作:提出一组公理,却证明不存在满足这组公理得选举规则,但很具有启发性。

然后就是联合尺度选举规则,它就是一个简单

易行得规则(但就是对投票情况限制了,才可能满足Arrow公理)。

最后就是一种与Arrow公理无关得规则——最小距离,这就是一种类比思想,很巧妙地把公平转化为距离之与最小得最优化问题。

第9章概率模型

关键词:随机模型基础概率生灭过程数值解分析

相对“确定性”模型来说,当随机因素得影响

不可忽略时,就要建立随机模型。概率模型就就是比

较简单得随机模型,这一章用我们熟悉得概率分布、

期望、方差等知识介绍概率模型怎样处理随机因素得。

关键点有:

1、如何定义随机因素相关得量。针对一个实际问题,

做好定义就是开始工作得根本。

2、随机概率模型一般从离散角度(一个个时段)下手,但求解中为了需要可能会转化为连续(如p274得求与转化为积分)。

3、要灵活根据实际问题,决定哪些参数应设为定值,哪些参数会变(如9、4轧钢问题,重量服从正态分布中,均方差应认为就是已知得定值,而均值就是可以调整得)。

4、一般得“生灭过程”参考9、5得随机人口模型——相比之前得人口模型,这个更加一般,考虑得因素更多,更接近实际。

5、有些模型无法解析求解,然而数值计算得结果已

满足我们对问题进行分析得需要(9、6预订票策略)。

第10章统计回归模型

关键词:数据拟合MATLAB统计残差分析自相

关逐步回归

对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理得问题,我们建模、拟合得通常做法就就是搜集大量得

数据,用统计方法建立模型——统计回归模型。

关键点有:

1、做散点图,大致判断函数趋势(比如有明显得线性增长),确定方程形式,待定系数。

2、用MATLAB统计工具箱regress拟合,得出结果;重点:如何由MATLAB输出结果下结论(如置信

区间不要包含零点,R^2、F)。

3、 (考虑实际问题制约)适当引入变量简化问题,如

10、1中引入价格差(p297最后一段说明)。

4、利用好回归变量得预测(置信)区间。

5、改进回归模型:逐渐考虑回归变量之间得交互作用——在方程中引入二次项、交叉项。若MATLAB 拟合输出信息表明有改进,则说明模型更符合实际。还可加上作图对比前后模型(p300)。

6、残差分析(p305,但这页我未瞧懂具体做法,待交流),及分析得出得结论,我们应该怎样改进模型。

7、 p307评注内容:0-1变量法、残差分析法、异常值应剔除。

8、线性化(p309),及非线性MATLAB求解

(p310);p315最后两段。

9、自相关得考虑(10、4节):若存在自相关性(具有滞后性,即前期对后期有影响得时间序列),普通回归模型将失去意义。我们必须先检测就是否存在自相关(D-W检验、广义差分法),同时注意若高阶自相关,则必须改进直至不存在自相关为止。

10、逐步回归:因素较多时,排除次要因素,用来选择影响因素显著得变量。

第11章马氏链模型

关键词:离散随机过程无后效性转移概率状态选

取

基本概念

这一章介绍了处理离散随机过程得重要工具——马氏链模型,及若干个应用。总体从浅到深,阐述了马氏链得主要思想。

1、无后效性/Markov性: 系统在每个时期所处得状态时随机得,这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移,且下个时期状态只取决于 1)这个时期状态2)转移概率,与以前各时期状态无关。

2、马氏链(Markov Chain)模型通常描述: 已知现在,将来与历史无关,具有无后效性得,时间状态均离散得随即转移过程。

3、一些确定性系统得状态转移问题也能用马氏链处理。

一、健康与疾病

主要介绍马氏链基本概念、要素: 系统得状态,状态概率,转移概率,马氏链基本方程,状态概率向量,转移概率矩阵。本章讨论时齐得(转移概率与时段n

无关)马氏链。

同时介绍2种主要类型——

1)正则链:从任意状态出发,经过有限次转移都能达到另外得任意状态(如何判断就是正则链、相应定理);

2)吸收链:首先引入吸收状态,顾名思义吧,就就是某个状态得转移概率=1,即进了这个状态就出不来了,被“吸收”掉。吸收链就是(至少)存在一个吸收状态,使马氏链从每个费吸收状态出发,能有限次到某个吸收状态。

二、钢琴销售得存贮策略

动态随机存贮。一个简化得存贮模型,关键就是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵得设置与求解。判断转移矩阵P为正则链后,用公式求出稳态概率分布w,就就是达到稳态后得情况,然后用全概率公

式算出失去销售机会得可能性。这个模型虽然简单,但却就是动态存储马氏链得浅显易懂得好例子,其中结合实际问题具体分析就是最值得学习得。

三、基因遗传

用马氏链模型研究遗传过程,关键就是建模得过程——即选取系统得状态,这在“随机交配”与“近亲繁殖”中需用不同得设法。随机交配过程推导得结果就是 (p^2, 2pq, q^2) 分布将保持下去,即遗传学中得Hardy-Weinberg平稳定律;然而,近亲繁殖中,得到得转移矩阵发现就是一个“吸收链”——即如果近亲结婚得话,若干代繁殖终将变成全就是优种/全就是劣种,并保持下去。这两个结论(虽然在理想化假设下)与我们之前得认识就是很一致得,从中加深了马氏链得理解。

四、等级结构

这个模型就是用马氏链研究一个群体中各个个体等级分布变化情况,目标就是研究等级分布变化规律,假设总人数不变。然后用某种途径让群体等级分布达到想要得稳定状态。

重点在于变量得设置,以及还就是状态设置、模型建立过程。建模过后,先用“调入比例”这一现实中可控得量进行稳定控制,其中有“稳定域”得构造、分析。然后就是具体如何用调入比例,进行动态调节,实则转化为了一步步优化问题,动态调节得过程就是一步接一步得,有重复循环得操作规律。这里也很好地体现了马氏链得“离散”特性,以及给编程创造了机会。

五、资金流通

基本与等级结构一样,一系列推导最后总结出

步骤,先判断稳定能否达到,若能达到,则由公式算出

每年应如何投放资金。与等级模型不同在于:各

地区资金进出可正可负;所有地区资金总与可以变化。

第11章小结:

虽然只有短短5节,但就是几个模型由浅入深,循序渐进,学习中有逐渐清晰得感觉。过程得推导复

杂度适中,具体问题具体分析得思想很经典。这章算

就是马氏链模型得基础,虽就是基础但案例、思想也

足够典型,就是今后解决离散随机过程很有力得工具。

第12章动态优化模型

关键词:泛函极值变分法动态规划最短路

基本概念

本章介绍动态优化,优化目标,虽然优化目标仍然就是数值,但最优策略就是一个函数。连续过程归

结于求泛函得极值问题(几个模型中一直体现),方法

有古典变分法、最优控制论。几个例子都就是能用古典变分法解决得,而离散过程则用动态规划求解。

第一节先用“速降线”与“短程线”两个17

世纪末得物理模型引出变分法基本概念,与后面要用

得结果;同时介绍泛函、泛函极值概念。

这一章得数学知识、推导比较繁杂(尤其就是

对于没接触过泛函等概念得学生),2、3、4、5节(生

产计划制订、国民收入增长、渔船出海、赛跑速度)

均就是连续动态优化得典型问题,许多都就是归结于

泛函极值得问题。尤其就是“渔船出海”,实属一个