四、稳定性概念
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
S ( ) x0
xe
xe
xe
x1
x1
x1
(a) 李雅普诺夫意义下的稳定性
(b) 渐近稳定性
(c) 不稳定性
4.2 李雅普诺夫第一法(间接法)
间 接 法：利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。 适应范围：线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统。
定理4-9 对于线性定常系统
f ( x, t ) x
(4 382)
式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t；f(x，t)为线性或非线性、定常或 时变的n维函数，其展开式为
i x
f
i
( x1 , x2 ,...,xn , t ); i 1,2,...,n
(4 383)
假定方程的解为x(t；x0，t0)，式中x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻， 则初始条件x0必满足 x(t0 ；x0，t0) = x0 。 1 平衡状态 李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于所有t，满足
t e
i
Hale Waihona Puke i t j i tˆ ) A , i ji i ( A i
(4 394)
2）结论2）证明
由式(4-390)可知，当且仅当‖eAt‖ 对一切 t≥0为有界，且当t→0时 ‖eAt‖ →0，零平衡状态 xe= 0 为渐近稳定。如上所证，当且仅当 A 的所有特征 值均具有负或零实部时，‖eÂt‖有界。又根据式(4-393)和式(4-394)可知 当且 t j t 0 t→0时‖eAt‖→0，这就等价于A的特征值均具 仅当t→∞时 t e ，可保证 有负实部。结论2）证毕。
第4章 系统的稳定性分析
f ( xe , t ) 0 x
平衡点 xe 不只一个，可能有多个
1 x1 x 例系统 3 x x x x 1 2 2 2
2 3 4
中，有几个平衡点？
(0 0), (0 1), (0 1) 皆为系统的平衡点
8
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第四章 系统的稳定性分析
实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意
义上看，往往更重视系统的输出稳定性。
2 3 4
如果系统对于有界输入
所引起的输出
是有界的，则称系统为输出
稳定。
线性定常系统 输出稳定的充要条件是其传递函数：
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第四章 系统的稳定性分析
1 李 氏 意 义 下 的 稳 定
的极点全部位于s 的左半平面。
则称 x e 为系统的平衡状态。
2 3 4
6
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第四章 系统的稳定性分析
1 李 氏 意 义 下 的 稳 定 从定义可知, 平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为 零向量的点(状态)。 由于导数表示的状态的运动变化方向, 因此平衡态即指能够保 持平衡、维持现状不运动的状态, 如图所示。
平衡态
2 3 4
4、本章内容：李氏第二法及其应用。
4
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第四章 系统的稳定性分析
1 李 氏 意 义 下 的 稳 定
4.1 基本定义 几个稳定性概念
一、系统：
f ( x, t , u ) 设x 稳定性是系统本身的一 种动态属性，与外部 f ( x, t ) 输入无关。u 0, 则x x(t )为n维向量，f ( x, t )也是n维向量 f i ( x1 , x2 , xn , t ), 初始状态x(t0 ) x0 x
2020-2021学年北师大版八年级生物下册第8单元第23章第4节 生态系统的稳定性
第4节生态系统的稳定性学习目标核心素养1.描述生态系统稳定性的概念(重点)2.阐明生态系统具有一定的自我调节能力(难点)3.确立保护生物圈的意识1.科学思维:分析归纳不同生态系统自我调节能力不同的原因2.生命观念:生态系统的结构和功能相适应3.社会责任:保护生态环境【生活小思考】澳洲大陆在长期的演变过程中,形成了自己的生态系统,英国人在40年代引入欧洲野兔,结果繁殖成灾,使草原破坏非常严重,当时的澳洲人常常谈兔色变。
生态系统具有一定的自我调节能力,为什么还会出现“谈兔色变”的现象?知识点一生态系统具有一定的稳定性(教材P80～P81)1.活动:分析凯巴森林被破坏的原因。
(1)数量变化:1906年,凯巴森林被列为国家禁猎区后,黑尾鹿的数量先上升后下降。
(2)上升原因:该生态系统禁猎黑尾鹿。
(3)下降原因:缺少食物。
(4)变化原因:凯巴森林发生上述变化主要是由于人类的不正确干预,破坏了原有的稳定状态。
2.生态系统的稳定性的概念:生态系统经过长期的发展,逐步形成的生物与非生物物质、能量之间、生物与生物之间相对稳定平衡的状态。
【活学巧记】理解生态系统相对稳定的两个方面(1)生态系统内的生物种类和数量相对稳定。
(2)生物与生物以及生物与环境之间的能量流动和物质循环保持相对稳定。
知识点二生态系统具有一定的自我调节能力(教材P81～P82)1.生态系统发生一定的变化或受到外来因素干扰时,可通过生态系统内部的自我调节,克服系统内部的变化和外来干扰因素的影响,维持相对稳定和平衡的状态。
2.深入思考:为什么过度放牧会影响草原生态系统的稳定?提示:过度放牧会使草原上牛羊的数量猛增,超出草原的承载能力,草原生态系统的自我调节能力减弱,导致草原生态系统的稳定性下降。
【活学巧记】调节能力大小(反义词记忆法)(生物)少(结构)简单(能力)小(生物)多(结构)复杂(能力)大知识点三生态系统的自我调节能力是有限的(教材P83)1.稳定性破坏的原因:生态系统的自我调节能力是有限度的,当外来干扰因素超过了这个限度,生态系统就会失去自我调节能力,导致稳定状态被破坏。
第四章稳定性与李雅普诺夫方法
第四章稳定性与李雅普诺夫方法稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中的两个重要概念。
稳定性是控制系统分析中的基本问题之一，它描述了系统在受到干扰后能否回到平衡状态的能力。
李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
稳定性是控制系统设计中最基本的要求之一、一个稳定的系统能够在受到干扰后迅速恢复到平衡状态，而不会发生不可控制的震荡或不稳定的行为。
稳定性可以分为两种类型：渐近稳定性和有界稳定性。
渐近稳定性要求系统的状态能够收敛到一个稳定的平衡点，而有界稳定性要求系统的状态能够保持在一个有限范围内。
李雅普诺夫方法是一种通过构造李雅普诺夫函数来判断系统稳定性的方法。
李雅普诺夫函数是一个标量函数，它满足以下条件：1)对于任意非零的向量，李雅普诺夫函数的导数都是负的或零；2)当且仅当系统达到稳定时，李雅普诺夫函数的导数为零。
通过构造李雅普诺夫函数并分析其导数的符号，可以判断系统的稳定性。
在实际应用中，人们通常使用李雅普诺夫直接法、李雅普诺夫间接法和李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理等方法来进行稳定性分析。
其中，李雅普诺夫直接法是最常用的方法之一，它通过选择一个合适的李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
如果可以找到一个李雅普诺夫函数，使得该函数的导数对于所有非零的初始条件都是负的，则系统是渐近稳定的。
李雅普诺夫间接法是通过构造一个李雅普诺夫方程来判断系统的稳定性。
李雅普诺夫方程是一个微分方程，其中包含系统的状态向量和一个非负标量函数，满足一定的条件。
如果可以找到一个满足李雅普诺夫方程的解，并且该解是有界的，则系统是有界稳定的。
李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理是李雅普诺夫方法的重要理论基础。
该定理表明，如果系统的李雅普诺夫函数存在并且连续可导，并且李雅普诺夫函数的导数满足一定的条件，则系统是渐近稳定的。
这个定理为李雅普诺夫方法的应用提供了重要的理论依据。
总之，稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中基础且重要的概念。
第4章 Lyapunov稳定性分析
自主技术与智能控制研究中心
x2 k 2 x2 g x2 半负定。 k m l sin x1 m x2
二、 Lyapunov 稳定性判别
1 x2 x 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 2 x1 x2 x 方法判断其稳定性.
2
自主技术与智能控制研究中心
二、 Lyapunov 稳定性判别
3、Lyapunov 稳定性判别定理
f ( x)，设xe 0为一平衡点. 考虑系统 x 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 1）V ( x)是正定的； V ( x) 2） V ( x) f ( x)是半负定的； x x 则系统的平衡点xe 0是Lyapunov稳定的。
线性系统理论基础 第四章
Lyapunov稳定性分析
自主技术与智能控制研究中心
内容与要点
内容 要点
一．Lyapunov稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性,
全局渐近稳定性 二．Lyapunov稳定性判据 稳定性判据,渐近稳定性判 据,全局渐近稳定性判据 三．连续时间线性系统的 间接法判据，直接法判据
1
V
V ( x(t ))
x2
x(t )
自主技术与智能控制研究中心
二、 Lyapunov 稳定性判别
例: 研究单摆在(0,0)点的稳定性
解 : (1) 选择李亚普诺夫函数
2 g x2 V ( x) (1 cos x1 ) l 2 (2) 稳定性判断
四年级下册数学教案-7.6 三角形的稳定性 丨苏教版
四年级下册数学教案-7.6 三角形的稳定性 | 苏教版一、教学目标1. 让学生了解三角形的稳定性及其在实际生活中的应用。
2. 使学生能够运用三角形的稳定性解释一些生活现象，培养学生的观察能力和解决问题的能力。
3. 培养学生合作交流的意识，提高学生的动手操作能力。
二、教学重点1. 使学生理解三角形的稳定性概念。
2. 培养学生运用三角形的稳定性解释生活现象的能力。
三、教学难点1. 帮助学生建立三角形的稳定性概念。
2. 引导学生运用三角形的稳定性解释生活现象。
四、教学过程1. 导入a. 利用多媒体展示生活中常见的三角形结构，如自行车架、电线塔等，引导学生观察并思考这些结构的特点。
b. 提问：这些结构为什么采用三角形形状？三角形有什么特殊的性质？2. 探究新知a. 请学生分组讨论，探究三角形的稳定性原理。
b. 各小组汇报讨论成果，教师总结并讲解三角形的稳定性概念。
c. 通过实例演示，让学生直观感受三角形的稳定性，如用三根木棍搭建三角形结构，并与四边形结构进行对比。
3. 实践应用a. 出示一些实际问题，如设计一个稳定的凉棚、搭建一个稳定的桥梁等，让学生运用三角形的稳定性进行分析和设计。
b. 学生分组进行实践操作，教师巡回指导。
4. 总结与拓展a. 让学生谈谈对本节课三角形稳定性的认识。
b. 提问：三角形的稳定性在实际生活中还有哪些应用？举例说明。
c. 布置作业：观察生活中运用三角形稳定性的实例，并记录下来。
五、教学反思本节课通过观察、讨论、实践等方式，让学生了解了三角形的稳定性及其在实际生活中的应用。
在教学过程中，要注意引导学生运用三角形的稳定性解释生活现象，培养学生的观察能力和解决问题的能力。
同时，要加强课堂互动，鼓励学生积极参与，提高学生的动手操作能力。
六、板书设计1. 三角形的稳定性概念2. 三角形稳定性的应用实例3. 实践操作要求七、课后作业观察生活中运用三角形稳定性的实例，并记录下来。
在以上的教学设计中，需要重点关注的是“实践应用”环节。
测量系统分析培训--4 稳定性
计算 X 控制图的相关参数
计算 R 控制图的相关参数
UCL=X+A2R LCL=X - A2R
UCL=D4R LCL= D3R
Mean=R LCL可以不考虑
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第四章
稳定性
稳定性检查判断原则
-6-
第四章
稳定性
稳定性检查判断原则
-7-时间-2源自量 值时间-1稳定性
时间
-2-
第四章
稳定性
不稳定的可能原因
仪器需要校准，需要减少校准时间间隔 仪器、设备或夹紧装置的磨损 正常老化或退化 缺乏维护─通风、动力、液压、过滤器、腐蚀、锈蚀、清洁 磨损或损坏的基准，基准出现误差 校准不当或调整基准的使用不当 仪器质量差─设计或一致性不好 仪器设计或方法缺乏稳健性 不同的测量方法─装置、安装、夹紧、技术 量具或零件变形 环境变化─温度、湿度、振动、清洁度 违背假定、在应用常量上出错 应用─零件尺寸、位置、操作者技能、疲劳、观察错误
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第四章
稳定性
稳定性分析流程:
决定要分析的测量系统
产品特性/控制计划中所提及的过程特性 针对样本使用更高精密度等级的仪器进行精密测 量十次，加以平均，做为参考值。 计算每一组的平均值/R值。 计算出平均值的平均值/R的平均值。 1.计算控制界限: A)平均值图：Xbarbar+-A2Rbar, Xbarbar B)R值图：D4Rbar, Rbar, D3Rbar 2.划出控制界限,将点子绘上 3.先检查R图，以判定重复性是否稳定。 4.再看Xbar图，以判定偏移是否稳定。 5.若控制图稳定，可以利用Xbarbar-标准值，进行偏差检 定，看是否有偏差。 6. 若控制图稳定，利用Rbar/d2来了解仪器的重复性。
名词解释 系统的稳定
名词解释系统的稳定名词解释：系统的稳定稳定这个词在我们的日常生活中经常出现，无论是指心理状态，还是指物体的平衡状态，都可以用"稳定"一词来描述。
在科学和工程领域，系统的稳定也是至关重要的概念。
本文将讨论系统的稳定性，并探讨系统稳定的条件、影响因素以及其在不同领域中的应用。
一、什么是系统的稳定系统的稳定性是指系统在受到外界扰动或内部变化的情况下，能够保持其原有的状态或恢复到稳定状态的能力。
一个稳定的系统具有鲁棒性和可靠性，不易受到外界因素的干扰，也能够自我调节以保持平衡。
在不同领域中，系统的稳定性具有不同的定义和特征。
例如，在生态系统中，一个稳定的生态系统可以保持物种多样性和生态平衡；在金融市场中，一个稳定的市场会有相对较小的波动和风险；在信息技术领域，一个稳定的计算机系统会保持良好的运行状态，不会因为软硬件问题而崩溃。
系统的稳定与其内部元素之间的相互作用和调节有着密切的关系。
一个复杂的系统通常由多个子系统组成，这些子系统之间的相互作用决定了整个系统的稳定性。
二、系统稳定的条件为了确保系统的稳定，需要满足一些条件。
首先，系统的内部元素之间的关系必须是相互协调的。
如果一个子系统的变化引起其他子系统的不稳定，整个系统就会受到影响。
其次，系统应该具有某种自我修复能力。
当系统受到扰动时，它应该能够通过自我调节机制来恢复到稳定状态。
最后，系统必须具备适应性。
外界环境的变化是不可避免的，一个稳定的系统应该能够适应和响应这些变化。
在控制论中，系统稳定有两种常见的形式：渐近稳定和有界稳定。
渐近稳定是指系统在经过一段时间的调整之后，最终达到稳定状态。
有界稳定是指虽然系统可能会有小幅度的波动，但波动的范围是有限的，不会超出一定的界限。
三、系统稳定的影响因素系统稳定性的影响因素是多方面的。
首先，外界环境的变化是一个重要的因素。
如果外界环境发生了剧烈变化，系统可能无法及时适应，导致系统不稳定。
其次，系统的结构和组成元素也会影响系统的稳定性。