立体几何三 空间的角与距离.

三、空间的角与距离

一．角

1.异面直线所成的角： 范围是]2

,

0(π；

一般方法是平移直线，构造三角形，把异面问题转化为共面问题来解决。平移时，固定一条，平移另一条（在某平面内），或两条同时平移到某特殊位置，顶点选择在特殊位置上； 2.直线与平面所成的角： 范围是]2

,

0[π。

关键是：找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置于三角形中计算。

注:确定点的射影位置有以下几种方法：

①结论：如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；

如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；；

②两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ③利用三棱锥的有关性质：

a.若侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；

b.若顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；

c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； 3．二面角 二面角的范围一般是指],0(π。 作二面角的平面角常有三种方法 ①定义法：

②三垂线定理法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；

③垂面法： 作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线所成的角就是二面角的平面角。

④面积射影法：θcos ⋅='S S (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成二面角的平面角)

它对于任意多边形都成立，是求二面角的好方法.当作角困难时,易求斜面及射影面积,可直接用公式求出二面角的大小。

二．空间的距离

（1）点到平面的距离常用求法 （点到直线的距离、直线到平面的距离及平面与平面间的距离（仅平行时）略） ①定义法：作垂线

②转移法：平行线转移或中点转移（斜线中点）等 ③等体积法：

（2）异面直线间的距离常有求法： 异面直线b a ,间的距离为b a ,间的公垂线段的长． ①定义法

②转化为线面距离： 找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线a 到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离． ③转化为面面距离： 找或作出分别过b a ,且与b ，a 分别平行的平面，则它们距离就是异面直线b a ,间的距离． 1、已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是菱形⊥︒=∠PD DAB ,60平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中 点（1）证明平面PED ⊥平面PAB ；（2）求二面角P —AB —F 的平面角的余弦值

A

B

C D

A1

E B1

C1

2. 四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD.①若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；②证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°

3. 如图，已知四棱锥P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的 正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°。（1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小。

4 如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=900

，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE=

2

3

，D 为AB 的中点.（1）求证：AB 1⊥平面CED ；（2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离；（3）求二面角B 1—AC —B 的平面角. 5. 如图a-l -β是120°的二面角，A ，B 两点在棱上，AB=2，D 在α内，三角形ABD 是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C 在β内，∆ABC 是等腰直角三角形∠ACB=.900

①求三棱锥D —ABC 的体积；②求二面角D —AC —B 的大小；③求异面直线AB 、CD 所成的角

6 如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且

EA=AB=2a， DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.（1）求证：FD∥平面ABC；（2）

求证：AF⊥BD；(3) 求二面角B—FC—G的正切值.

7. 如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长都相等，D、E分别为AC1，

BB1的中点。（1）求证：DE∥平面A1B1C1；（2）求二面角A1—DE—B1的大小。

8.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小。

9.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，

DD1=AB=1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点。点P到直线AD1的距离为

22

3①求证：AC∥平面BP;②求二面角B-PQ-D的大小.

A

B

C

1

A

1

B

1

C

E

D

·

B1

P

A

C

D

A1

C1

D1

B

O

H

·

A B

C

D

A B

C

D

P

Q

11

1

1