立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习
知识讲解空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算
知识讲解空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算距离是立体几何中一个重要的概念，用来描述两个点、线或平面之间的远近关系。
在立体几何中，可以使用空间向量的知识来计算距离。
本篇文章将介绍三种常见的空间向量在立体几何中计算距离的方法。
第一种方法是点到点距离的计算。
设立体空间中有两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则点A到点B的距离可以通过空间向量表示为：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)例如，如果点A的坐标是(1,2,3)，点B的坐标是(4,5,6)，则点A到点B的距离为：AB=√((4-1)²+(5-2)²+(6-3)²)=√(3²+3²+3²)=√(27)≈5.196第二种方法是点到直线距离的计算。
设立体空间中有一条直线L和一个点P(x0,y0,z0)，要计算点P到直线L的距离，可以通过先计算点P到直线上的一点Q的距离，再计算点Q到直线上的两个点A和B的距离，其计算公式为：d(P,L)=AB=，PP_A×PP_B，/，A-B其中，×表示两个向量的叉乘运算，，表示向量的模，P_A和P_B分别是点P到直线上的两个垂足点。
第三种方法是点到平面距离的计算。
设立体空间中有一个平面平面α和一个点P(x0,y0,z0)，要计算点P到平面α的距离，可以通过计算点P到平面上的一点Q的距离，其计算公式为：d(P,α)=PQ·n/，n其中，·表示两个向量的点乘运算，n表示平面的法向量。
需要注意的是，当计算点到直线或点到平面的距离时，我们需要先确定直线或平面上的一个点，然后再计算该点到目标点的距离。
综上所述，空间向量在立体几何中的应用可以帮助我们计算点到点、点到直线和点到平面的距离。
这些计算方法在实际问题中非常有用，例如计算物体的尺寸、相机的视距等等。
高考数学中的空间立体几何问题解析
高考数学中的空间立体几何问题解析在高考数学中，空间立体几何是考试中出现频率比较高的一类题型。
空间立体几何的基础是空间坐标系和三维图形的构造，主要包括点、线、面、体及其相互关系的研究，其中点之间的位置关系是空间立体几何的核心。
在考场上要想熟练地解决这些问题，需要掌握一定的思维方法和解题技巧。
一、空间立体几何的基础1. 空间直角坐标系：空间直角坐标系是立体坐标系的一种，它把三维空间分成了三个相互垂直的坐标轴：x轴、y轴和z轴。
在立体坐标系中，一个点的位置用三个有序实数来表示，这三个实数分别代表这个点到三条坐标轴的距离。
2. 点、线、面、体：点是空间最基本的要素，它是一个没有大小的点。
线是两个点间最短距离的轨迹，其长度可以用两点间的距离表示。
面是三个或三个以上不共线的点所决定的平面。
体是由若干个平面围成的空间几何图形，常见的体有球、立方体、棱锥等。
3. 空间几何图形的构造：空间几何图形的构造是解决空间立体几何问题的第一步，这需要我们根据题目所描述的条件，构造出相应的点、线、面、体。
二、重要的空间直线和平面1. 方向余弦：空间直线的方向可以用方向余弦来表示。
方向余弦是指由一条直线的方向向量在坐标轴上的投影所组成的数列。
如一条直线的方向向量为(a,b,c)，则它在x轴、y轴、z轴上的方向余弦分别为a、b、c。
2. 平面的解析式：平面方程的解析式就是由平面上的一点和该平面的法向量所组成的方程。
常见的平面方程包括一般式、点法式、两点式和截距式。
3. 空间直线的位置关系：空间直线有共面、平行和相交等三种位置关系。
两条直线共面的条件是它们的方向向量能够表示出一个平面。
三、空间几何图形的计算1. 空间几何图形的面积和体积：空间几何图形的面积和体积是解决空间立体几何问题的关键。
求一些固定图形的面积和体积可以用公式解决，如正方体的面积和体积、正三角形的面积、球体的表面积和体积等等。
2. 点到线段的距离：点到线段的距离是解决空间立体几何问题的常见问题，它可以用勾股定理和向量相乘来求解。
高中数学高考复习专题《立体几何》微专题1 空间中的距离
1．典型例题
题型一、点到直线的距离
例 1 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，E 为棱 A1B1 的中点，F 为棱 C1D1 的中点，
则 BF＝
，点 A 到直线 BE 的距离为
．
【答案】3，45 5
【解析】如图 2 所示，连结 B1F，在△BB1F 中可得 BF＝3．作 AH⊥BE 于 H，连结 AE，
E
A
F
B
图4
D
C
E O
A
F
B
图5
【答案】（1）2
2；（2）2
1111；（3）2
11． 11
【解析】如图 5 所示，连结 AC 交 BD 于 O．
（1）可证 OC⊥BD，OC⊥PC，又 OC＝2 2，∴异面直线 PC、BD 间的距离为
2 2．
（2）法一 可证 BD∥平面 PEF，∴点 O 到平面 PEF 的距离等于点 B 到平面 PEF 的距
（4）两条异面直线间的距离
和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异面直线的公垂线；公垂线上夹在两异
面直线间的线段的长度，叫两异面直线间的距离．
如图 1 所示，AA1 与 BC 为异面直线．易知 AB⊥AA1，AB⊥BC，因此异面直线 AA1 与 BC 间的距离为 1．
（5）直线和平面的距离
一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线和这
D1
C1
A1
B1
D
C
A （2）点到平面的距离
B 图1
从平面外一点引平面的垂线,这个点和垂足间的距离,叫做这个点到这个平面的距离．
如图 1 所示，易知 AA1⊥平面 A1C1，因此点 A 到平面 A1C1 的距离为 1． （3）两条平行直线间的距离
暑假立体几何中的距离问题
立体几何中的距离问题【要点精讲】 1．距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。
其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度点到平面的距离平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
○2等体积法。
直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。
求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。
异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定） 点到面的距离的做题过程中思考的几个方面:①直接作面的垂线求解；②观察点在与面平行的直线上，转化点的位置求解； ③观察点在与面平行的平面上，转化点的位置求解； ④利用坐标向量法求解⑤点在面的斜线上，利用比例关系转化点的位置求解。
2025届高考数学一轮复习讲义立体几何与空间向量之 空间角和空间距离
形，则在正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中，异面直线 AK 和 LM 所成的角的大小为
(
D )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
[解析] 根据题意还原正四棱柱的直观图，如图所示，取 AA 1的中点 G ，连接 KG ，
则有 KG ∥ LM ，所以∠ AKG 或其补角为异面直线 AK 和 LM 所成的角.由题知 AG ＝
A 1 C 1＝5， BC 1＝4 2 ，所以 cos
52 ＋52 −(4 2）2
9
1
∠ BA 1 C 1＝
＝ ＜ ，所以60°＜
2×5×5
25
2
∠ BA 1 C 1＜90°，则过点 D 1作直线 l ，与直线 A 1 B ， AC 所成的角均为60°，即过一
点作直线，使之与同一平面上夹角大于60°的锐角的两边所在直线所成的角均成
2 z －1＝0的交线，试写出直线 l 的一个方向向量 (2，2，1)
的余弦值为
65
9
.
，直线 l 与平面α所成角
[解析] 由平面α的方程为 x ＋2 y －2 z ＋1＝0，可得平面α的一个法向量为 n ＝(1，
⑫ [0， ] ，二面角的
2
n1，n2＞｜.
范围是⑬
[0，π] .
易错警示
1. 线面角θ与向量夹角＜ a ， n ＞的关系
π
2
π
2
如图1(1)，θ＝＜ a ， n ＞－ ；如图1(2)，θ＝ －＜ a ， n ＞.
图1
2. 二面角θ与两平面法向量夹角＜ n 1， n 2＞的关系
图2(2)(4)中θ＝π－＜ n 1， n 2＞；图2(1)(3)中θ＝＜ n 1， n 2＞.
立体几何距离问题知识点与题型分类
空间中的各种距离1.点到平面的距离(1)定义 平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离. (2)常用方法 1）定义法①找到(或作出)表示距离的线段； ②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离. 3)体积法4)转化法 将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求. 5）向量法 建立三维直角坐标系求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足， 例1 如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC Q △为正三角形，AO BC ∴⊥．Q 正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点， 1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅲ）1A BD △中，1115226A BD BD A D A B S ===∴=△，，，1BCD S =△． 在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B 的距离为3．设点C 到平面1A BD 的距离为d ．ABC DABC DO F由11A BCD C A BD V V --=，得111333BCD A BD S S d =g g △△， 1322BCD A BD S d S ∴==△△． ∴点C 到平面1A BD 的距离为22．解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC Q △为正三角形，AO BC ∴⊥．Q 在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ．取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB uuu r ，1OO u u u u r ，OA uu u r的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(023)A ，，，(003)A ，，，1(120)B ，，，1(123)AB ∴=-u u u r ，，，(210)BD =-u u u r ，，，1(123)BA =-u u u r ，，． 12200AB BD =-++=u u u r u u u r Q g ，111430AB BA =-+-=u u u r u u u rg ，1AB BD ∴u u u r u u u r ⊥，11AB BA u u u r u u u r⊥． 1AB ∴⊥平面1A BD ．2.直线和平面的距离(1)定义 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离例． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离. 思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解析一 BD Θ∥平面11D GB ，BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点O 平面11D GB 的距离,1111C A D B ⊥Θ，A A D B 111⊥，⊥∴11D B 平面11ACC A , 又⊂11D B Θ平面11D GB∴平面1111D GB ACC A ⊥，两个平面的交线是G O 1,xz AB C DO FyBA CDOGH作G O OH 1⊥于H ，则有⊥OH 平面11D GB ，即OH 是O 点到平面11D GB 的距离. 在OG O 1∆中，222212111=⋅⋅=⋅⋅=∆AO O O S OG O . 又362,23212111=∴=⋅⋅=⋅⋅=∆OH OH G O OH S OG O . 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 解析二 BD Θ∥平面11D GBBD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点B 平面11D GB 的距离.设点B 到平面11D GB 的距离为h ，将它视为三棱锥11D GB B -的高，则，由于632221,111111=⨯⨯==∆--D GB GBB D D GB B S V V 34222213111=⨯⨯⨯⨯=-GBB D V , ,36264==∴h 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 3.平行平面的距离(1)定义 与两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.4.异面直线的距离(1)定义 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.例1已知三棱锥ABC S -，底面是边长为24的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点，求CD 与SE 间的距离. 解答过程：如图所示，取BD 的中点F ，连结EF ，SF ，CF ，EF ∴为BCD ∆的中位线，EF ∴∥CD CD ∴,∥面SEF ,CD ∴到平面SEF 的距离即为两异面直线间的距离.又Θ线面之间的距离可转化为线CD 上一点C 到平面SEF的距离，设其为h ，由题意知，24=BC ,D 、E 、F 分别是 AB 、BC 、BD 的中点，2,2,621,62=====∴SC DF CD EF CD33222621312131=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴-SC DF EF V CEF S 在Rt SCE ∆中，3222=+=CE SC SE在Rt SCF ∆中，30224422=++=+=CF SC SF 又3,6=∴=∆SEF S EF Θ由于h S V V SEF CEF S SEF C ⋅⋅==∆--31，即332331=⋅⋅h ，解得332=h故CD 与SE 间的距离为332. 综合练习 点到平面的距离：1、如图，已知ABCD 是矩形，AB =a , AD =b , P A ⊥平面ABCD ，P A =2c , Q 是P A 的中点 求 (1)Q 到BD 的距离；(2)P 到平面BQD 的距离解 (1)在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD ，E 为垂足 连结QE ，∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE ∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中，AB =a ,AD =b ,∴AE =22ba ab +在Rt △QAE 中，QA =21P A =c∴QE =22222ba b a c ++∴Q 到BD 距离为(2)解法一 ∵平面BQD 经过线段P A 的中点， ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足∵BD ⊥AE ,BD ⊥QE ,∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH ∴AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离在Rt △AQE 中，∵AQ =c ,AE =22ba ab +∴AH =22222)(ba cb a abc ++∴P 到平面BD 的距离为22222)(bac b aabc ++解法二 设点A 到平面QBD 的距离为h ，由V A —BQD =V Q —ABD ,得31S △BQD ·h =31S △ABD ·AQh =22222)(ba cb a abcS AQ S BQD ABD ++==⋅∆∆Λ线和平面的距离：2． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离. 解析一 BD Θ∥平面11D GB ，BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点O 平面11D GB 的距离,1111C A D B ⊥Θ，A A D B 111⊥，⊥∴11D B 平面11ACC A , 又⊂11D B Θ平面11D GB∴平面1111D GB ACC A ⊥，两个平面的交线是G O 1,作G O OH 1⊥于H ，则有⊥OH 平面11D GB ，即OH 是O 点到平面11D GB 的距离. 在OG O 1∆中，222212111=⋅⋅=⋅⋅=∆AO O O S OG O . 又362,23212111=∴=⋅⋅=⋅⋅=∆OH OH G O OH S OG O . 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 解析二 BD Θ∥平面11D GB ，BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点B 平面11D GB 的距离.设点B 到平面11D GB 的距离为h ，将它视为三棱锥11D GB B -的高，则，由于632221,111111=⨯⨯==∆--D GB GBB D D GB B S V V 34222213111=⨯⨯⨯⨯=-GBB D V , BACDOGH,36264==∴h 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 异面直线的距离：3、已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求(1)截面EAC 的面积；(2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离； (3)三棱锥B 1—EAC 的体积解 (1)连结DB 交AC 于O ，连结EO ，∵底面ABCD 是正方形∴DO ⊥AC ，又ED ⊥面ABCD ∴EO ⊥AC ，即∠EOD =45°又DO =22a ，AC =2a ，EO =︒45cos DO =a ，∴S △EAC =22a(2)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ⊥A 1B 1∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线 又EO ∥BD 1，O 为BD 中点，∴D 1B =2EO =2a ∴D 1D =2a ，∴A 1B 1与AC 距离为2a(3)连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q ，推证出B 1D ⊥面EAC ∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高，得B 1Q =23a32422322311a a a V EAC B =⋅⋅=- 两条异面直线间的距离4．如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线.(2)在Rt △BEF 中，BF =a 23,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 212，即EF =a 22.由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为a 22.1A CA例1题图BACD5. 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离.解：设AB 中点为E ，连CE 、ED .∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB .∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离.∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =22212322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. ∴AB 、CD 的距离是22. 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.点到平面的距离：6.如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离；解答：过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =32BE =332332=⨯. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =36331222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-BO AB . ∴A 到平面BCD 的距离是36.7．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。
【立体几何专题 高考数学复习】第1讲 立体几何中4大距离问题的解决方法-原卷版
第1讲 立体几何中4大距离问题的解决方法知识与方法空间的距离有六类:点与点的距离、点与线的距离、点与面的距离、线与线的距离、线与面的距离以及面与面的距离(后三个距离分别特指在线线平行或异面、线面平行、面面平行的前提下).这六类距离概念中,点与点的距离、点与线的距离以及平行线之间的距离事实上为平面几何的问题,在此我们不再详述;而后四个概念(除平行线间的距离外)的核心是点面距离,因为其他三个距离都可以转化为点面距离的问题来求解.距离是立体几何中最重要的几何量之一,我们有必要对它进行充分的研究.本专题我们来介绍立体几何中距离问题的解决方法. 典型例题【例1】如图○1,在单位正方体1111ABCD A B C D 中,E 为AB 的中点,则点1B 到平面11EA C 的距离为 .【例2】如图○1，已知四面体ABCD 中，BCD ∆是边长为2的正三角形，60,1ABC ABD AB ∠∠===.求:(1)点A 到平面BCD 的距离;(2)点C 到平面ABD 的距离.【例】3 如图○1，已知E,F 分别是正方形ABCD 边AB ，AD 的中点，EF 交AC 于点,M GC ⊥平面ABCD .若4,2AB GC ==,求点B 到平面EFG 的距离.【例4】 在单位正方体1111ABCD A B C D -中,求异面直线11B D 与1A C 的距离.【例】5 在四面体ABCD 中AB=CD ，BC=DA ，AC=BD ，E ，F 分别为AB,CD 的中点，且,,6,10,EF AB EF CD EF AC BC ⊥⊥===则异面直线AC 与BD 间的距离是 .强化训练1.如图,直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,14,2,AA AB BAD ∠==60,E =是BC 的中点.求点C 到平面1C DE 的距离.2. 在四面体ABCD 中,已知2,,60,,AB AC BC DBA AC BC AD ∠===⊥⊥BD ,且平面ABD ⊥平面ABC ,则点A 到平面BCD 的距离为 .3.如图,在单位正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为1111,B C A D 的中点,求平面1CED 与平面1FB D 之间的距离.4.在三棱雉P ABC -中,侧面PAC ⊥底面ABC ,底面ABC 是边长为1的正三角形,,90,PA PC APC M ∠==是棱BC 的中点.则异面直线AB 与PM 间的距离为（）B.12 5.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,P 是线段1BC 上的点.过点1A 的平面α与直线PD 垂直.当点P 在线段1BC 上运动时,平面α截正方体ABCD -1111A B C D 所得截面的面积的最小值为。
高中数学立体几何专题空间距离的各种计算(含答案)
高中数学立体几何 空间距离1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线.(2)在Rt △BEF 中，BF =a 23,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 212，即EF =a 22.由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为a 22. 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED .∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB .∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离.∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =22212322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. ∴AB 、CD 的距离是22. 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.例1题图例2题图（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.题型二：两条异面直线间的距离【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =32BE =332332=⨯. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =36331222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-BO AB .∴A 到平面BCD的距离是36. 【例4】在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =2π,AB =a ,AD =3a 且sin ∠ADC =55,又P A ⊥平面ABCD ,P A =a ,求：(1)二面角P —CD —A 的大小; (2)点A 到平面PBC 的距离.【规范解答】 (1)作AF ⊥DC 于F ,连结PF , ∵AP ⊥平面ABCD ,AF ⊥DC ,∴PF ⊥DC , ∴∠PF A 就是二面角P —CD —A 的平面角. 在△ADF 中,∠AFD =90°,∠ADF =arcsin55,AD =3a ,∴AF =53a , 在Rt △P AF 中tan ∠PF A =3535==a a AF PA ,∴∠PF A =arc tan 35. (2)∵P A ⊥平面ABCD ,∴P A ⊥BC ,又BC ⊥AB ,∴BC ⊥平面P AB ,作AH ⊥PB ,则BC ⊥AH ,∴AH ⊥平面PBC ,∵P A ⊥AB ,P A =AB =a ,∴PB =2a ,∴AH =a 22.【例5】如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. ∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH. ∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1.∴DF=C 1H=2. .6222=+=∴DF BD BF （Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ， 且AG ⊂面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到面AEC 1F 的距离..113341712317123,17121743cos 3cos 3,.17,1,2211221=+⨯=⨯=∴=⨯===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CGBGCC EB 知由从而可得由解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0）， A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）.∵AEC 1F 为平行四边形，例3题图B ACD1A1B 1C1A .62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴（II ）设1n 为面AEC 1F 的法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x n n 得由⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 即111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则11114cos ||||CC n CC n α⋅==⋅ ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11334333343cos ||1=⨯==αCC d【例6】正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。
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立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习知识点整理(一)平行与垂直的判断⑴平行：设，的法向量分别为U,V ，贝U 直线l,m 的方向向量分 别为a,b ，平面线线平行i // m a 〃 b a 诂；线面平行i // a u a u 0 ； 面面平行//u// v u J.⑵ 垂直：设直线l ，m 的方向向量分别为a,b ，平面，的法向量 分别为u,v ，则线线垂直I 丄m a 丄b ab 0 ；线面垂直I 丄 a // u a ku 「； 面面垂直丄 u 丄v u v 0.(二)夹角与距离的计算注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算(1)夹角：设直线l ，m 的方向向量分别为，平面，的法向量 分别为u ，v，则①两直线I ，m 所成的角为(2)空间距离②直线I 与平面 ③二面角一I的大小为(0< < )，coscos(0<=2)，sin所成的角为点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难①点到平面的距离h：(定理)如图，设n是是平面的法向量，AP是平面的一条斜线，其中A则点P到平面的距离uuu uu②h 1 Auur n |(实质是AP在法向量n 方向上的投影的绝对值) |n|uuu ur③异面直线l i,l2间的距离d： d AB JC』1(11,12的公垂向量为|n| 'n, C、D分别是h,l2上任一点). 题型一：非正交基底下的夹角、的计算例1.如图，已知二面角-I - 点A ,B , AC I于点C, 且AC=CD=DB=1.求：(1) A、B两点间的距离；(2)求异面直线AB和CD勺所成的角(3) AB与CD勺距离.解：设AC a,CD b,DB c,则|a| |b| |c| 1, a,b b,c 900, a,c 60°,2 • • 2 •• 2 ■■ 2|AB | a b c . a b c 2a b 2b c 2c a 2A、B两点间的距离为2.(2)异面直线AB和CD的所成的角为60°小结：任何非正交基底下的证明、计算都先设基底，并将条 件也用基底表示，特别证明线面平行时，如AB//平面PEF 可 以将AB有基底表示，PE ，PF也用基底表示，最后用待定系数 法AB PE PF，将入和卩求出。
例2。
如图，在三棱锥 A — BCC 中，侧面ABD] ACC 是全等的 直角三角形，AD 是公共的斜边， 侧面ABC 是正三角形.求证：ADL BC求二面角B — AC- D 的大小；在段线AC 上是否存在一点E ,使ED 与面BCD 成30°角？若存在，确定点E 的位置；若不存 在，说明理由•20.解法一：(1)方法一：作 AH L 面 BCD 于 H 连 DH.(3)设与AB CD 都垂直的非零向量为n 由nAB得(xa 由n CD 得(xa 令x=1，则由①、 与CD 的距离为 d I』ACI 旦AC 1 |(a c) a||n| |n|b c) 0 3x0 y 0 ②，②可得z=-1 ,yb zc) (ayb zc) b —fc- ——i-xa yb zc,2y 3z 0①；a c，由法则四可知，ABPE, PF(1) (2B[=C[=1o 另一个DABL BD HBL BD •/ AD=..4■* 一 mBD=1 /. AE=、Q =BCAC /. BD L D又BD=CD贝V BHC［是正方形，则DHL BC.・•・ ADL BC方法二：取BC的中点0,连AO DO 则有AOL BC DOL BC ・•・BC L面AOD・・・BC L AD(2)作BM L AC于M 作MN L AC交AD于N,则/ BMN就是二面角B—AC—D的平面角.•・• AB=AC=BC= 2，二M是AC的中点，且MW CD则Bh=-6,MN 1CD 1, BN 1AD 3.2 2 2 2 2(3)设E为所求的点，作EF L CH于F,连FD则EF//AH , ••• EF丄面BCD / EDF就是ED与面BCD所成的角,贝ED=30° ,设EF=x ,易得AH=H(=1 ,则CF=x , FD= 1 x2.tan EDF 巨——x—,解得 x —,则 CE 2x 1,FD\1 x7 3 2故线段AC上存在E点,且CE=1时,ED与面BCD成30 角. 解法二：(1)作AHL面BCDT H 连BH CH DH则四边形BHCD 是正方形，且AH=1 ,以D为原点,以DB为x轴,DC为y轴建立空间直角坐标由余弦定理得cos BMN BM 2 MN 2 BN2.6BMN arccos系如图，则 B (1, 0, 0), C (0, 1, 0), A (1, 1, 1)BC ( 1,1,0), DA (1,1,1), BC DA 0,则BC AD.(2)设平面ABC 的法向量为m=(x,y,z), 则由 E BC 知: BC x y 0;同理由n 1 CA 知n 1 CA x z 0. 可取 n 1 (1,1, 1).(3)设 E (x , y , z ) 平面BCD 勺一个法向量为n (0,0,1), DE (x,1,x), 要使ED 与面BCD 成 30°角，由图可知DE 与n 的夹角为DE n x 1所以 cos DE,n_— 『cos60 一.|DE ||n| V 1 2x22则 2x 1 2x 2,解得,x —,则 CE 2x 1.2故线段AC 上存在E 点,且CE 1时,ED 与面BCD 成30角.题型二、利用坐标系或几何法解决距离、角度及其证明问题例3、如题(18)图，在五面体ABCDEF 中，AB // DC , BAD -,CD AD 2,四边形ABFE 为平行四边形，FA 平面ABCD ,FC 3,ED .7•求：(I)直线AB 到平面EFCD 的距离； (fl)二面角F AD E 的平面角的正切同理，可求得平面ACD 勺一个法向量为由图可以看出，二面角 1 0 1 .3 . 2贝 V cos n 1, n 2m n 2Eli|n 1 IE |n 2 (1,0, 1).B- AC — D 的大小应等于 于，即所求二面角的大小是m ,n276 arccos ——是线段AC 上 —点，则x z 0,y1,60°,值.解法一：（I ） Q AB PDC,DC 平面 EFCD ,A 到面EFCD 的距离，过点 A 作AG FD 于G 因BAD - AB // DC , 故CD AD ；又Q FA 平面ABCD ，由三垂线定理可知，CD FD ，故 CD 面FAD ，知CD AG ，所以AG 为所求直线AB 到面EFCD 的距离在 RtA ABC 中， FD 、、FC?—CD 2. ^~4 ,5由FA 平面ABCD ， 得FA AD ， 从而在Rt^ FAD 中，FA . FD 2 AD 2r -? 1AG ^AFDAD三255。
即直线AB 到平面EFCD 的距离为年。
(H)由己知，FA 平面ABCD ，得FA AD 又由BAD -,FAE为二面角F AD E 的平面角，记为..ED 2 AD 2、、厂 3 ,由 YABCD 得,FE PBA ,从而AFE —2在 RtA AEF 中,FE所以二面角F AD E 的平面角的正切值为2. 解法二：(I)如图以 A 点为坐标原- 点，AB,AD,AF 的方向为x,y,z的正方向建立空间直角坐 标系数,则AB 到面EFCD 的距离等于点知 AD AB ，故 ADDA AE，所以，在 Rt△ AED 中,AE平面ABFEAE2 AF2厂 2，故tanF AEBA(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设 F (O ,O ,Z O)(z°0)可得FC (2,2, z o ),由 |FC| 3.即，22—22一z 23,解得 F(0,0,1) Q AB // DC ,DC面EFCD ,所以直线AB 到面EFCD 的距离等于点 A 到面EFCD 的距离。
设 A 点在平面EFCD 上的射影点为CD ( 2,0,0),此即2： 0 0解得x iO ①,知G 点在yoz 面 上,故G 点在FD 上.GF PDF , G 1^ ( ^ , y” z 1)故有鲁召1② 联立①,②解得,2 4 G(0,—,).5 5|A苟为直线AB 到面EFCD 的距离.而AG (0牛) 所以5 5II)因四边形ABFE 为unr E(X o,O,1) (x o0), ED ( X o2, 1). 由|ED| -.7得、、x^ 221 .7 ,解得 x Ouuu uur uuuruuur田 AD (0,2,0) , AF (0,0,1) 因 AD AEF AD E的平面角，又Q EFuiutan FAE L^u-12|FA|G(x !, y 1,z 1),则murAG (X i ,y i ,Z i )uuur uuir AG DF uuir uuu且 AG CD,W uuirDF (0, 2,1)uuur |AG|2,55■ 2.即 E( .2,0,1).故 AE ( .2,0,1), AD AF 0,故FAE 为二面角uuuuuur(、、2,0,0) , |EF| ^2 , |AF| 1 , 所平行四边形,则可设例3、如图，四棱锥S- ABC冲，底面ABCD为平行四边形,狈寸面SBCL底面ABCD已知/ ABC= 45°, AB= 2, BC=22,s心SB= 3.⑴证明：SA a BC(2)求直线SD与平面SAB所成角的大小.求异面直线DC SA的距离.解:⑴作AE BC于E点,则AE BE AB cos ABE2 cos45°、2又•・• BC=22BE - BC2即E点是BC的中点. 又• SEA SB・•・SEB SEA 90°, 即SE是BC的中垂线.又•・•侧面SBCL底面ABCD ・•・SE面AC.um uur urn⑵ 以E为原点,分别以向量EASES的正万向为x轴、y轴、z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，如图4所示.容易求得SE=1汙是,0),S(0,0,1)A( 2,0,0),B(0, 2,0),C(0,- 2,0),D( 2,-2 2,E(0,0,0). r设平面SAB的法向量n(x,y,z),UUT —ULT… SA b/2,0, 1) SB=(0,72,-1)T ULTn SA 、2x-z 0令z .2 ,得n (1,1, &)T ULT —又、:SD ( . 2, 2 2, 1)设直线SD 与平面SAB 所成的角为题型三、探索性问题・•・不论入为何值，恒有 EF// CD 二EF 丄平面 ABC EF 平 面 BEF,・••不论入为何值恒有平面 BEF 丄平面ABC ...... .................... 6 分(H)由(I)知，BE!EF ,又平面BEFL 平面ACD・•・BE1平面 ACD ・•・BE! AC. ...... 8分 ・・・ BC=CD=1 / BCD=90，/ ADB=60 ,・°・ BD 2, AB .2tan60 6,sinuuu r SD nSD n|2 2 ,lT~422 71已知△ BCD 中，/ BCD=90 , BC=CD=1 AB 丄平面 BCD/ ADB=60 ,E 、F 分别是ACAD 上的动点，且佟生AC AD(01).(I)求证：不论入为何值，总有平面 (U)当入为何值时，平面21.证明：(I)： AB 丄平面BCD “•・• CDABC.…•…BEFL 平面 ABCBEF !平面 ACDBC 且 AB n BC=B ,............. 3分AE AF AC AD(01)，11二 CDAC AB 2 BC 2.7,由A B=AE ・AC 得AE 2 肇£J 7' AC 7'故 当 6时，平 面 BEF 丄 平面ACD ： ................................. 12 分 22. （2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是 地面边长的迈倍，P 为侧棱SD 上的点。