2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(大纲卷)

2021年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，

{|D x x =是菱形}，则

A ．A

B ? B ．

C B ?

C ．

D C ?

D ．A D ?

2．函数1)y x =≥-的反函数为

A ．

B ．

C ．

D ．

3．若函数()[]()sin 0,23

x f x ?

?π+=∈是偶函数，则 A ．

B ．

C ．

D ．

4．已知α为第二象限角，3

sin 5

α=

，则sin2α=（ ）. A ． B ．

C ．

D ．

5．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为

A ．22

11612x y +=

B ．22

1128x y +=

C ．22

184

x y +=

D ．22

1124

x y +=

6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S = A ．

B ．

C ．

D ．

7．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有 A ．240种

B ．360种

C ．480种

D ．720种

8．已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为

A ．2

B C

D ．1

9．ABC ?中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ?=，||1a =，||2b =，则AD =

（A ）1133a b - （B

）

2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455

a b - 10．已知F 1、F 2为双曲线C ：x2-y2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= A ．

1

4

B ．

35

C ．

34

D ．

45

11．已知ln x π=，5log 2y =，12

z e

-=，则

A ．x y z <<

B ．z x y <<

C ．z y x <<

D ．y z x <<

12．正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，13

AE BF ==

。动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为

（A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）3

二、填空题 13．

的展开式中的系数为____________.

14．若,x y 满足约束条件10

{30330

x y x y x y -+≥+-≤+-≥，则3z x y =-的最小值为____________.

15．当函数sin 3(02)y x x x π=≤<取得最大值时，x =___________. 16．已知正方体1111ABCD A B C D -中， E 、F 分别为11BB CC 、的中点，那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为____________.

三、解答题

17．△ABC 中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a 、b 、c 满足223b ac =，求A ． 18．已知数列{n a }中，1a =1，前n 项和2

3

n n n S a +=． （Ⅰ）求23,a a

(Ⅱ)求{n a }的通项公式．

19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC =2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =．

（1）证明PC ⊥平面BED ；

（2）设二面角A PB C --为90?，求PD 与平面PBC 所成角的大小

20．乒乓球比赛规则规定，一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．

（I ） 求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （II ） 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率． 21．已知函数3

21()3

f x x x ax =

++

（I ）讨论()f x 的单调性；

（II ）设()f x 有两个极值点12,x x 若过两点1122(,()),(,())x f x x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上，求a 的值．

22．已知抛物线C ：2

(1)=+y x 与圆2221

:(1)()(0)2

-+-=>M x y r r 有一个公共点A ，且在A 处两曲线的切线与同一直线l 1. 求r ；

2.

设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l

的距离。

参考答案

1．B 【解析】

因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D ?A ，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B ?A ，C ?A ，正方形是矩形，所以C ?B ． 故选B ． 2．A 【解析】 因为所以

.由得，，所以，所以反

函数为，选A.

3．C 【解析】函数，因为函数

为偶函数，所以，所以

,又

，所以当

时，

，

选C. 视频 4．A 【分析】

由同角三角函数关系先求得cos α，再由sin 22sin cos ααα=即可得解. 【详解】

因为α为第二象限，所以cos 0α<，即4cos 5

α==-

， 所以4324

sin 22sin cos 25525

ααα==-??=-，选A. 【点睛】

本题主要考查了正弦的二倍角公式，属于基础题. 5．C 【解析】

椭圆的焦距为4，所以

因为准线为

，所以椭圆的焦点在轴上，且

，所以

，，所以椭圆的方程为，

选C. 6．B 【解析】 因为

，所以由得，，整理得，所

以，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，

选B. 7．C 【解析】

先排甲，有4种方法，剩余5人全排列有种，所以不同的演讲次序有

种，选C. 8．D 【解析】

试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．

1//AC 平面BDE ，

1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得

11111223232E ABD ABD V S CC -=?=???=

，在BDE 中，

BE DE BD ====BD 边上的高2=

=，所以

1

22BDE

S

=?=11

33

A BDE BDE

V S h -==?，利用等体积法

A BDE E ABD V V --=，得: 133

?=解得: 1h =

考点：利用等体积法求距离

9．D

【解析】如图，在直角三角形中，

521===AB CA CB ，，,则5

2=

CD ,所以5

4

54422=

-

=-=

CD CA AD ,所以

54=AB AD ,即5

4

54)(5454-=-==，选D. 10．C 【解析】

由x 2-y 2=2知,a 2=2,b 2=2,c 2=a 2+b 2=4, ∴2,c=2.

又∵|PF 1|-|PF 2|=2a,|PF 1|=2|PF 2|, ∴|PF 12,|PF 22又∵|F 1F 2|=2c=4,

∴由余弦定理得cos ∠F 1

PF 2

2

2

2

4222424222

+-??3

4

. 故选C. 11．D 【详解】

ln 1x π=>，5

211log 2log 52y ==<，12z e e

-==，112e <<，所以y z x <<，选D. 12．B

【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞6次即可.

13．7 【解析】

二项展开式的通项为

，令

，解得，所以

，所以的系数为7.

14． 【详解】

做出不等式所表示的区域如图，由得

，平移直线

，由图象可

知当直线经过点

时，直线

的截距最 大，此时最小,最小值为

.

15．

【解析】

试题分析：sin 2sin 3y x x x π??

=-=- ??

?

，所以当23

2

x k π

π

π-

=

+时函数取得最大

值，此时56

x π=

考点：三角函数最值 16．

【解析】如图连接，则,所以与所成的角即为异面直线所成的角，设边

长为2，则，在三角形中.

视频 17．=

2

6

A π

π

或

【解析】

本试题主要考查了解三角形的运用， 因为

222222222222,3

2cos 235

2,22

-cos =02=

2

6

B A

C B A C B b a c ac B a c ac b ac

a c ac a c c a

b

c a A bc A π

ππ

π

=+++=∴=

=+-=+-=∴+=∴==+∴=∴或或

【点评】该试题从整体来看保持了往年的解题风格，依然是通过边角的转换，结合了三角形的内角和定理的知识，以及正弦定理和余弦定理，求解三角形中的角的问题．试题整体上比较稳定，思路也比较容易想，先将利用等差数列得到角B ，然后利用余弦定理求解运算得到A ．

18．3(1)

(1)=6?

(2)=2

n n n a a + 【解析】

本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和的相结合的综合运用．

【点评】试题出题比较直接，没有什么隐含的条件，只要充分利用通项公式和前n 项和的关系式变形就可以得到结论．

19．（1）证明见解析；（2）030 【分析】

（1）先由已知建立空间直角坐标系，设)

,0D

b ，从而写出相关点和相关向量的坐标，

利用向量垂直的充要条件，证明PC BE ⊥，PC DE ⊥，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（2）先求平面PAB 的法向量，再求平面PBC 的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b 的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角 【详解】

（1）以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，

设)

,0D

b ，则()

0C ，，()002P ，，，233E ??

? ??

?，)

0B b -，，

∴()

22PC =-，，22 ,3BE b ??= ? ???，22 3DE b ??

=- ? ???

，， ∴44

033

PC BE ?=-=，0PC DE ?=， ∴PC BE ⊥，PC DE ⊥，BE DE E ?=，

∴PC ⊥平面BED .

（2）()

002AP =，，，(

)

2,,0AB b =-，

设平面PAB 的法向量为() ,,x y z m =，则2020

m AP z m AB x by ??==???=-=??，

取()

2b m =，， 设平面PBC 的法向量为() ,,p n q r =，则222032

023n PC r n BE p bq r

??=-=?

??=++=??

， 取2

1,b n ?=-

?，

∵平面PAB ⊥平面PBC ，∴

2

0m n b

b =-=

?

，故b = ∴(

1,1,n =-，()

DP =-， ∴1

cos ,2

n DP DP n n DP

?=

=

?， 设PD 与平面PBC 所成角为θ，02??∈???

?

，πθ，则1sin 2

θ=， ∴30θ=?，

∴PD 与平面PBC 所成角的大小为30.

【点睛】

本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，属于中档题.

20．10.352? 20.3072（）（） 【解析】 【分析】

本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值问题．首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析，讨论，并结合独立事件的概率求解结论． 【详解】

【点评】

首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用，以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题．情景比较亲切，容易入手，但是在讨论情况的时候，容易丢情况． 21．（I ）见解析；（II ）0a =或23

a =或34a =

【详解】

（I ）22

()2(1)1f x x x a x a '=++=++-，

当1a ≥时，()0f x '≥，当且仅当1,1a x ==-时，()0f x '=， 所以()f x 是R 上增函数；

当1a <时，()0f x '=的两个根为11x =-

21x =-12()0,(,)(,)f x x x x '>∈-∞+∞， 12()0,(,)f x x x x '<∈，

综上所述，当1a ≥时，()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞；

当1a <时，()f x 单调递增区间是(,11)-∞---++∞，

单调递减区间是(11---+； （II ）由题设知，12,x x 是方程()0f x '=的两个根， 故有1a <，2

2

11222,2x x a x x a =--=--， 因此3221111111111

()(2)33

f x x x ax x x a x ax =

++=--++ ()211111121222(1)333333

a

x ax x a ax a x =+=--+=--， 同理222()(1)33

a

f x a x =

--， 因此直线l 的方程为2(1)33

a

y a x =

--， 设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，得02(1)

a

x a =

-，

()3

2

2

0132(1)2(1)2(1)a a a f x a a a ????=++ ? ?---???? ()2

221217624(1)

a a a a =-+-， 由题设知，点0(,0)x 在曲线()y f x =上，故0()0f x =， 解得0a =或23

a =

或3

4a =

所以a的值为

23 0,, 34

.

【点睛】

本试题考查了导数在研究函数中的运用．第一就是三次函数，通过求解导数，求解单调区间．另外就是运用极值的概念，求解参数值的运用．

22．(1)r2

（

【解析】本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离。

【点评】该试题出题的角度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处。另外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向。

2200000200200

00(1)A ,(1)=(x+1)y'=2(x+1)=(1)=1,11(1)1

2

M 1,'=

321

l MA,kk'=-1

1

(1)2(1)=-11=0,A 0,12

r 62++≠+--⊥+-

+-=

∴=

设（x x ）,对y 求导得故L 的斜率k 2x 当x 不合题意，所以x x 圆心为（）,MA 的斜率k 分

x 由知道x 即2x x 解得x 故（）

分

（）设

(2222220122,(t+1)y-(t+1)2(t 1)(x t)y 2(t 1)x t 1

2

1

|2(t+1)--t +1|

t (t 4t 6)=0t =0,t =2=29,(t +1)=+-∴=+-+=--+i i t )为曲线C 上一点，则在该点处的切线方程为若该直线与圆相切，则圆心M 到该切线的距离为化简得解得分

抛物线C 在点(t )(i=0,1,2),

处的切线分别是222,,=+,=2(t +1)x-t 1=2(t +1)x-t 1t +t =

=22

x=2=2(t +1)x-t 1y=-1,D(2,-1)125

+++=112221

11l m n 其方程

分别为

y 2x 1y y 则后两式相减得到x 将代入到y 中，得故所以D 到l 的距离d 分