重积分的计算方法与例题
重积分的计算方法：
重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（
重积分）和一个二重积分。从顺序看：
Z
2
如果先做定积分f （x,y,z ）dz ，再做二重积分
F （x,y ）d ，就是“投影法”,
Z 1
D
也即“先一后二”。步骤为：找 及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ） “穿 线”确定 Z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分） ；进而按二重积分的 计 算 步 骤 计 算 投影 域 D 上 的 二 重 积 分 ， 完 成 “ 后 二 ” 这 一 步 。
Z
2
f(x, y,Z)dv [ f(x,y,Z)dZ]d
D Z 1
c
2
如果先做二重积分 f （x, y, Z ）d 再做定积分F ⑵dZ ，就是“截面法”，也
D Z
c 1
即“先二后一”。步骤为：确定 位于平面Z G 与Z c 2之间，即Z [c 1,c 2]，过
Z 作平行于xoy 面的平面截 ，截面D z 。区域D z 的边界曲面都是Z 的函数。 计算区域D z 上的二重积分 f （x,y,z ）d ，完成了“先二”这一步（二重积分）；
D
Z
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按 以下几点考虑：将积分区域
投影到xoy 面，得投影区域D （平面）
（1） D 是X 型或丫型，可选择直角坐标系计算（当
的边界曲面中有较
多的平面时，常用直角坐标系计算）
进而计算定积分
c
2
F （Z ）dz ，完成“后一”
这
步。
c
2
f (x, y,Z)dv [ f (x,y,Z)d ]dZ
c 1 D Z
当被积函数 f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且D z 的面积（Z ）容易求
出时，“截面法” 尤为方便。
，且被积函数形如f （X 2 y 2）,fd ）时，可选择
X
面坐标系计算
或不易作出的情形不赘述。
三重积分的计算方法小结:
1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域
况选取。
一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；
截面法（先二后一）：D z 是 在z 处的截面，其边界曲线方程易写
错，故较难一些。
特殊地，对D z 积分时，f （X,y,z ）与X,y 无关，可直接计算S D Z
。因而 中只
要z [a,b],且f （X,y,z ）仅含z 时，选取“截面法”更佳。
2.对坐标系的选取，当
为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成
的形体；被积函数为仅含z 或zf （X 2
y 2）时，可考虑用柱面坐标计算。
重积分的计算方法例题:
补例1 :计算三重积分I zdxdydz ， 其中 为平面X y z 1与三个坐标面
X 0, y 0,z 0围成的闭区
域。 及在xoy 面投影域. “穿
线”
解1 “投影法” 1.画出 X 型D:
3.计算
（2） D 是圆域（或其部分）
柱面坐标系计算（当 为圆柱体或圆锥体时, 常用柱面坐标计算）
（3） 是球体或球顶锥体,
且被积函数形如f （X
y 2 z 2）时，可选择球
以上是 般常见的三重积分的计算方法。对
向其它坐标面投影
及被积函数f （x,y,z ）的情
2 X
解2 “截面法” 1.画出。2. z [0,1]过点z 作垂直于z 轴的平面截 D z 是两直角边为x,y 的直角三角形，x 1
2y 2
D: x 2
3.计算
注：可用柱坐标计算。 解2 “截面法”
1.画出。
2. z [0,1]过点z 作垂直于z 轴的平面截
D z ： 0
用柱坐标计算
3.计算
得D z 。
1
1
zdxdydz [ zdxdy]dz z[
0 D z
J x 2
y 2dv ，其中 是x 2
dxdy]dz
D z
1
Z S D Z
dz
z 2
和z=1围成的闭
区域。 解1 “投影
1.画出及在xoy 面投影域
D.由 消去z ,
2.“穿线”
2 2
J x y
X 型D:
1 x 1 J 1 X 2
V 1 x 2
1 x 1
yh x 2
~2
y
V 1 x 2
J x 2 y 2
dv
I <11 x
dx dy
1
■：—2
J x 2 y 2
dz
1
dx J x 2
1
.T V
y 2(1 J x 2
y
2
)dy
6
得 D z : x 2
3.计算I
补例2:计算 z=K+y
D
2.解 r
cos “穿线”
化的边界曲面方程为：z=6-r
2 ??? D: r
r 2
2
,z=r
, _____ 1 , ____________ 1 2 z 1
1 2
J x 2 y 2dv [ J x 2 y 2dxdy]dz [ d r 2dr]dz 2 [—r 3]0dz - 0 D z
0 0
0 0
3 3
注：当f(x,y,z)为已知的解析式时可用柱坐标计算。
补例4:计算 zdv ，其中 为z 6 x 2 y 2及z J x 2 y 2所围成的闭区域。 解1 “投影法”
1.画出 及在xoy 面投影域D,用柱坐标计算
1
z 3dz 一 0 6
补例3:化三重积分I
f(X, y, z)dxdydz 为三次积分，其中
2y 2 及 z 2 x 2 所
围成的闭区域。
解：1.画出 及在xoy 面上的投影域
D.
2
x
2y 2
x 2
消去z ，得x 2
即D: “穿线” x 2 x 2 2y 2
x 2
X 型D:
\'1 x 2
1 x 1 J 1 X
2 x 2 2y 2
2 x 2
3?计算I
f(X, y, z)dxdydz I ^1 x 2
dx dy 1 2 X 2
f (x,y,z)dz
严 x 2
2y 2
由
2. 由
7
cos sin
sin sin 得 的边界曲面的球坐标方程：a cos
，连结OP=，其与z 轴正向的夹角为 ，OP=。P 在xoy
面的投影为P ，连结OP ，其与x 轴正向的 夹角为。
3?计算
zdv
6 r 2
zdz] rdrd
2 2 6 r 2
d rdr
r
zdz
2
.
「1 2i6 r[-z h
2
r
dr
2
r[(6 r 2)2
r 2
]dr
2
(36
r
13r 2
r 5)dr 聖
3
解2 “截面法”
1.画出。如图:
6 r 2及z r 围成。
2.
[0,6] [0,2] [2,6]
1
由z=r 与z=2围成;
[0,2]，D z
3.计算
zdv =
zdv
2
由 z=2 与 z=6 r 2
围成;
[2,6] , D z :
d 6 z
zdv
2 N 0 D z
rdrd ]dz
6
z[ 2 D
Z 2
rdrd ]dz 2
ZS D Z
1 0
6
dz Z S D
2
z2dZ
2
z [
6
(z 2
)]dz
Z (VF_Z)2]dz
2
2 z 3
dz
6
(6z
2
z 2)dz 92 注: 3 被积函数z 是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标 r 代换。
补例5:计算 (x
)dv ，其中 由不等式0 a J x 2 y 2 z 2 A ， 0所确定。
解：用球坐标计算。 r
王小芒S 尸
(X2y2)dv A .2.2,2.
(Sin ) sin
a
d =2
~2
?3
Sin
q 5]A d
5
2
5 \ ?3
a ) sin
0 (A5 5 \
2
a)3 1
45(A5
三重积分的计算方法练习
1.计算(X2y2)dv，其中是旋转面2z与平面z=2,z=8所围成的闭
区
域。
2.计算(X z)dv，其中是锥面z J x2y2与球面z X2y2所围成的闭
区
域。
为了检测三重积分计算的掌握情况，请同学们按照例题的格式，独立完成
以上的练习，答案后续。